Dirección del proyecto: Adolfo Sillóniz

Diseño: Dirección de Arte Corporativa de SM

Traducción: Ana Belén Fletes

Edición: Fernando Barbero

Corrección: Ricardo Ramírez

Ilustraciones: Mikhail Panov

© Autor: Alexander Zvonkin

© Real Sociedad Matemática Española y Ediciones SM

Revisión científica: Fernando Barbero, Luis Hernández Corbato y Esteban Serrano Marugán

Editor General de la Real Sociedad Matemática Española: Alberto Ibort

Responsable de la Real Sociedad Matemática Española de la colección: Luis Hernández Corbato

Comisión de la Real Sociedad Matemática Española:

Bartolomé Barceló Taberner
Universidad Autónoma de Madrid

Emilio Fernández Moral
IES Sagasta, Logroño

María Moreno Warleta
IES Alameda de Osuna, Madrid

Victoria Otero Espinar
Universidad de Santiago

Guillermo Curbera Costello
Universidad de Sevilla

Joaquín Hernández Gómez
IES San Juan Bautista, Madrid

Juan Núñez Valdés
Universidad de Sevilla

Encarnación Reyes Iglesias
Universidad de Valladolid

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ISBN: 978-84-675-9111-8

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Prólogo a la edición española

Este libro contiene una amplia colección de problemas, acertijos, actividades y puzles de contenido matemático, adecuados para niños de Educación Infantil y de los primeros años de Educación Primaria. Solo por ello ya debería ocupar un lugar destacado en los textos de matemáticas con vocación de divulgación y apoyo a la docencia. Seguramente debido a una visión reduccionista de en qué consisten las matemáticas elementales, existe un cierto vacío en lo que respecta a propuestas de matemáticas inteligentes dirigidas a niños de corta edad.

Pero este texto es mucho más que eso: contiene no solo las propuestas de problemas y actividades, sino también, y sobre todo, el relato de cómo un grupo de niños reacciona ante ellas: lo que entienden y lo que se les escapa, las ideas que se les ocurren (sean acertadas o erróneas), qué actividades captan su interés y cuáles les aburren.

En suma, se trata de un relato pegado a la realidad del proceso de aprendizaje que resulta del mayor interés para maestros, padres y, en general, para cualquier persona interesada en la educación, pues pocas cosas hay más reveladoras sobre el aprendizaje que indagar en los procesos mentales de un niño que se enfrenta a actividades que ponen en juego sus capacidades de imaginación, creación y razonamiento.

Un relato, en fin, en el que los niños son los auténticos protagonistas, como nos recuerda el autor con sus referencias casi continuas a las reacciones de los niños ante distintas actividades:

— ¿Y en general, en la vida, qué hay más, cuadrados o cuadriláteros?

— ¡Cuadrados! —responden los chicos a la vez sin el menor asomo de duda.

— Porque son más fáciles de recortar.

— El pino.

— ¿Por qué?

— Porque el pino es el más grande y el abedul es el más pequeño. Y el abeto es el más mediano.

— ¡Yo sé contar hasta números muy grandes, pero nunca lo he intentado!

— ¡Papá! ¡Ya lo hemos hecho! —me quedo atónito, porque efectivamente lo hicimos en aquella primera sesión hace exactamente dos años.

El texto es esencialmente un diario donde Alexander Zvonkin, matemático ruso, registró las actividades que desarrolló de forma regular (pero adaptada a la edad: sesiones de media hora con carácter semanal o quincenal, nada que ver con una “educación especial”) con un grupo de niños formado por sus dos hijos y algunos de sus amigos. Como el autor repite en varias ocasiones, que nadie espere encontrar en este libro un “método para enseñar matemáticas”; el objetivo es más modesto —y más interesante— porque en la transcripción de las sesiones se puede aprender de los aciertos —y de los fracasos— de sus planteamientos y también se puede apreciar de forma muy clara la dificultad del trabajo del maestro: lo importante que es saber estar en silencio mientras los niños toman la iniciativa y, por encima de todo, lo difícil que es enfrentarse a la situación de un niño atascado ante un problema y cómo hay que intentar darle la información mínima necesaria para sacarle de ese estado, sin revelarle más de lo imprescindible sobre el desarrollo de la actividad. Una experiencia vital llena de emoción que hace exclamar a su autor: Casi me dan ganas de decir: “¡Al diablo las matemáticas! ¡Los niños son mucho más interesantes!”.

Un vistazo a la lista de temas que se tratan en las sesiones (la banda de Möbius, un poco de topología, intersección de conjuntos, teoría de la probabilidad, ,…) puede sorprender al lector familiarizado con las matemáticas que estudian los niños en Educación Infantil y primeros cursos de Primaria. Uno de los mayores logros del libro es, justamente, mostrar cómo se pueden diseñar actividades que introducen conceptos matemáticos avanzados a niños de edades tempranas y, además, de forma que el niño tome la iniciativa y se convierta en protagonista de la actividad.

El texto puede ser consultado como fuente de ideas para diseñar actividades, aunque su lectura completa aporta el valor añadido de observar la evolución de los niños a lo largo de los años que dura la experiencia. En todo caso, estamos seguros de que su lectura enriquecerá la perspectiva de los lectores interesados en la enseñanza en general, y en la enseñanza de las matemáticas en particular.

Pedro Ramos Alonso

Profesor Titular de la Facultad de Educación de la Universidad de Alcalá

Madrid, 27 de octubre de 2015

Prólogo a la edición americana

Cuestión de cultura

En mi época de estudiante en la Universidad de Berkeley, a finales de los ochenta, mis compañeros americanos y yo sabíamos que los europeos del este eran simplemente mejores. No es que fueran genéticamente superiores; de hecho, un buen número de mis compañeros americanos, entre los que me incluyo, éramos descendientes de inmigrantes de Europa del Este y sabíamos que no éramos tontos. Muchos de nosotros habíamos obtenido excelentes resultados en olimpiadas matemáticas, incluso a escala internacional, pero en Berkeley, los europeos del este, tanto alumnos como profesores, eran conocidos por su intensidad. Los seminarios en los que predominaban los americanos tenían una duración razonable: una hora. Sin embargo, en un seminario ruso o rumano el debate podía prolongarse hasta bien entrada la noche. Algunos de nosotros decíamos en broma que los rusos en realidad venían de Krypton y adquirían superpoderes cuando se instalaban entre nosotros.

Bromas aparte, nosotros, matemáticos en ciernes, comprendíamos que lo único realmente importante no era la inteligencia o el conocimiento puro y duro (los americanos tienden a rezagarse en esto último en comparación con alumnos de otras nacionalidades). Lo que realmente importaba era la pasión. La forma de alcanzar el éxito en las matemáticas, como en cualquier otra actividad, es que despierten en ti el interés, el amor y la obsesión. En esto, los europeos del este eran claramente superiores; poseían una ventaja cultural. Habían sido entrenados desde pequeños para amar las matemáticas con más intensidad.

Durante muchos años, en un tiempo que se remonta al menos a la era de los Sputnik, América ha padecido una especie de complejo de inferioridad educacional. Intentamos ponernos al día, buscando por todas partes los ingredientes secretos utilizados por otras naciones. ¿Deberíamos adoptar el currículo que siguen en Singapur? ¿Llevar a nuestros hijos a clases extraescolares en academias Kumon? ¿Enseñarles meditación? ¿Yoga?

Nada de esto es malo; examinar las prácticas de los demás tiene que ser, por fuerza, enriquecedor, pero no son los ingredientes lo verdaderamente importante. No existe una salsa mágica especial; lo que hace falta es una cultura de indagación intelectual que sea apropiada para nosotros.

De las muchas y muy loables técnicas didácticas que se utilizan en el mundo, una de las que más fascinan a la comunidad matemática americana es la de los Círculos Matemáticos1 practicada en la Europa del Este. La mayoría de los Círculos Matemáticos poseen ciertos rasgos que los distinguen de simples clubes matemáticos.

En primer lugar, la integración es vertical: alumnos jóvenes interactúan con otros mayores, estudiantes universitarios, licenciados, matemáticos industriales, profesores e incluso investigadores de talla mundial, todos dentro de la misma sala. El círculo no es tanto una clase como una reunión de jóvenes aprendices con los ancianos de la tribu en un acto de transmisión de las tradiciones.

En segundo lugar, el “currículo”, si es que se puede denominar así, lo forman en su mayor parte problemas más que temas matemáticos. Un problema, a diferencia de un ejercicio, es una cuestión matemática que uno no sabe cómo abordar, al menos inicialmente2. Por ejemplo, multiplicar 4 por 3 es un ejercicio para la mayoría de la gente, pero es un problema para un niño pequeño. Calcular 437 también es un ejercicio, conceptualmente muy parecido al anterior y ciertamente más difícil, pero solo en el sentido “técnico”. Del mismo modo, la pregunta “calcula e5xsen 3x dx” también es un ejercicio para estudiantes de cálculo en el que solo se necesita conocer el algoritmo correcto y cómo aplicarlo.

Los problemas, por el contrario, no se presentan vinculados a algoritmos concretos. Su propia naturaleza hace que sea necesario hacer investigación, lo que es al mismo tiempo un arte y una ciencia que requiere conocimientos técnicos combinados con estrategias psicológicas; lo que yo llamo las “tres ces”: concentración, confianza y creatividad. En los círculos matemáticos se transmiten estos conocimientos a los alumnos, no a partir de una educación formal, sino practicando las matemáticas y observando cómo las practican otros. Los estudiantes aprenden que un problema que merezca la pena resolver puede suponer no minutos, sino posiblemente horas, días y hasta años de esfuerzo. Trabajan con algunos de los problemas clásicos y descubren en qué medida pueden ayudarles a investigar sobre otros. Aprenden a no rendirse y a convertir los errores y fallos en nuevas oportunidades para seguir investigando.

En un Círculo Matemático, un niño aprende a hacer exactamente lo que hace un investigador matemático. De hecho, realiza una investigación independiente, pero a un nivel inferior, y con frecuencia, aunque no siempre, sobre problemas que ya han sido resueltos por otros.

Por último, en muchos Círculos Matemáticos se desarrolla una cultura similar a la que existe en un equipo deportivo con su intensa camaradería, respeto por el “entrenador” y sana competitividad (lo ideal es que el “entrenador” sepa dirigirlo bien). La cultura del Círculo Matemático se complementa en gran medida con competiciones de resolución de problemas denominadas “olimpiadas”.

Durante varios años, otros muchos matemáticos y yo mismo nos hemos esforzado para instaurar esta cultura de los Círculos Matemáticos en los Estados Unidos, pero no a fuerza de imponer modelos rígidos, sino reuniendo a “matemáticos adultos” y jóvenes con el propósito de trabajar sobre problemas interesantes. A lo largo de los últimos doce años aproximadamente, los círculos matemáticos han experimentado un auge rápido por todo el país, al que ha contribuido el Instituto para la Investigación de las Ciencias Matemáticas (Mathematical Sciences Research Institute, MSRI), de Berkeley. Estos círculos no se parecen demasiado entre sí ni tampoco son réplicas exactas de los círculos rusos. Existen diversos grados de intensidad, competitividad y rigor, y, además, estrictamente hablando, ninguno de ellos trabaja con niños pequeños. Los círculos matemáticos para alumnos de enseñanza prescolar son poco comunes.

Qué es este libro, qué no es, y por qué habría que leerlo

Estas preguntas nos llevan hasta el libro que tiene el lector en las manos. En 2006, el MSRI patrocinó un viaje a Rusia para visitar escuelas especializadas en matemáticas y círculos matemáticos de San Petersburgo y Moscú. Nuestro anfitrión en Moscú fue el extraordinario Centro para la Educación Matemática Continua de Moscú (Moscow Center for Continuous Mathematical Education, MCCME, siglas en inglés que seguiremos utilizando a lo largo del libro), del que se da más información en la página 34.

El MCCME acababa de publicar el libro de Alexander Zvonkin Malyshi i Matematika (Los niños y las matemáticas), y nos cautivó el relato que hizo el autor sobre la experiencia de dirigir en su casa un Círculo Matemático para alumnos de prescolar durante los años ochenta. Regresamos de allí con el libro, uno de los “artefactos” que recogimos, con la esperanza de traducirlo al inglés.

Afortunadamente, la mujer de Zvonkin, Alla Yarkho, era profesora de inglés, y se encargó de preparar una traducción preliminar que más tarde fue modestamente editada y anotada hasta convertirse en esta versión.

Como sabe cualquiera que haya enseñado o criado a algún niño, la enseñanza de las matemáticas a niños pequeños es todo un misterio. ¿De qué son capaces? ¿Qué es lo primero que deberían aprender? ¿Cuánto deberían esforzarse? ¿Es necesario que tengan que esforzarse? ¿Habría que presionarlos o dejarlos a su aire?

No hay una respuesta correcta a ninguna de estas preguntas y Zvonkin las trata al estilo clásico de los Círculos Matemáticos: no hace una pregunta y luego la responde, sino que nos muestra el problema —ya sea matemático o pedagógico— y describe lo ocurrido. Su libro es un relato de lo que hizo, las distintas tácticas que utilizó, las que funcionaron y las que no, pero, por encima de todo, es un relato de las experiencias de los niños.

Este libro no es una guía y no pretende mostrar cómo crear precoces investigadores de éxito. Es la historia personal de las enseñanzas que un matemático intentó transmitir a media docena de escolares. Por otro lado, para quien esté interesado en organizar un Círculo Matemático o educar a sus hijos en casa, este libro constituirá sin duda una valiosa fuente de inspiración. No es un manual sobre “cómo enseñar”, sino más bien un diario que nos cuenta “esto es lo que ocurrió”.

Zvonkin describe con todo detalle las diferentes actividades creativas que llevó a cabo, pero es mucho más que un relato matemático. Sitúa el foco de atención más en los niños que en las matemáticas, en un esfuerzo constante por introducirse en sus cabezas y ver el mundo a través de sus ojos.

¿Lo consigue? ¡No siempre! De hecho, lo más sorprendente de este libro, uno de sus mayores encantos, reside en que parte de lo que relata son fracasos. Como alguien capaz de resolver problemas de manera ejemplar, Zvonkin pone a prueba varias ideas y trata de ver si funcionan. Si no lo hacen —algo que ocurre con más frecuencia de la que podríamos suponer—, intenta comprender el porqué y continúa con algo distinto. Así es como se hacen las matemáticas y así es como funcionan los círculos matemáticos para escolares.

De todas formas, no hay que preocuparse, Zvonkin no sometió a los chicos a una batería de extraños experimentos. Sus “fracasos” fueron pequeños en comparación con lo mucho que consiguió. Tanto si la “actividad” funcionaba como si no, lo que consiguió fue suscitar un interés serio, y hasta el cariño, de un grupo de niños muy pequeños hacia las matemáticas.

¿Cómo lo hizo? El lector tendrá que leer el libro para averiguarlo. Todas y cada una de sus páginas contienen una idea educativa inteligente, un problema matemático interesante y una historia divertida e inspiradora al mismo tiempo. Es imposible, por no decir injusto, reducir el libro a una enumeración somera de puntos. Con todo, y dado que se trata de la edición americana, lo que viene a continuación sería el “resumen ejecutivo”.

1. ¡Que sea divertido! Está claro que si los niños no se lo pasan bien con algo, no le prestarán atención; es una cuestión de sentido común, pero también algo más complejo. La diversión alivia el estrés, contribuye a la creación del concepto de comunidad y mejora la confianza. Zvonkin da muchos ejemplos que demuestran que la risa mejora cualquier situación.

2. Prepárate concienzudamente, aunque las cosas al final no salgan siempre como uno las planea. Zvonkin en ocasiones critica su falta de preparación y no pocas veces se le ocurren las cosas sobre la marcha, pero un rasgo destacable de su círculo era la amorosa atención que tanto él como su esposa, Alla, dedicaban a idear y preparar una multitud de tarjetas, dibujos, juegos, etc. Las casualidades afortunadas, algunas de bastante éxito, no surgen de la nada, sino que tienen su origen en muchas horas de reflexión y trabajo previos.

3. Reconoce la individualidad de cada niño. Otra idea de sentido común, pero que a menudo se olvida. Cada niño no solo es diferente, sino que cambia por momentos. Zvonkin se juzga a sí mismo con dureza, hasta el punto de confesarse en no pocas ocasiones como una persona impaciente e insensible, pero lo cierto es que esta autocrítica introspectiva es lo que mantiene la conexión entre los niños y él. Solo los profesores a los que preocupa su posible falta de sensibilidad pueden llegar a escuchar realmente a sus alumnos. De hecho, este libro no es más que un diario en el que su autor fue anotando detalladamente los resultados de escuchar, observar y leer la mente.

4. Utiliza objetos físicos (“materiales manipulativos”) siempre que sea posible con el objeto de suscitar el interés de los niños hacia el mundo “real”. Los niños no aprenden a base de escuchar sentados una charla. Ellos tienen que tocar, moverse, contar, recortar, pegar, dibujar, etc.; algo especialmente importante en esta era moderna dominada por los ordenadores. Zvonkin cuenta una conmovedora historia titulada “¡Puedes tocarlo!” (ver aquí.) en la que unos niños en clase de informática prefieren jugar con una antigua calculadora que tiene una manivela que da vueltas. A lo largo del libro nos damos cuenta de que las personas, en general, no solo los niños, no pensamos sumergidos en el vacío. Parte de lo que nos distingue como humanos es la conexión que tenemos con el mundo físico. Los profesores que no tienen esto en cuenta corren el riesgo de no llegar a sus alumnos.

5. No expliques demasiado. Deja que los niños lleguen a sus propias conclusiones. Cualquier profesor o padre sabe que esto es más fácil de decir que de hacer, y Zvonkin da numerosos ejemplos de su lucha particular por dejar a sus niños equivocarse y enfrentarse a las dificultades; también de la inmensa alegría que siente al ver que son capaces de afrontar cuestiones difíciles que se plantean ellos mismos.

6. Sé flexible, incluso a la hora de interpretar las normas anteriormente citadas. Un tema recurrente en el libro es el peligro de caer en la rigidez. Zvonkin descubre que las mejores sesiones son las que estando bien preparadas dan lugar a afortunadas situaciones imprevistas, es decir, aquellas en cuya preparación ha invertido mucho tiempo pero que no salen como había planeado, lo que le obliga a cambiar el enfoque. Por el contrario, algunas de las peores experiencias tienen lugar cuando se ciñe al plan establecido pese a lo que le dice su análisis de las circunstancias.

Una última regla podría ser: “no vaciles en pedir ayuda a otras disciplinas”. El propio Zvonkin se aventuró en las profundidades de la informática y la psicología del desarrollo y en su libro se incluyen consideraciones interesantes sobre el aprendizaje de los niños en general. No es ningún experto, la muestra es pequeña y, por tanto, dichas consideraciones tienen bastante de especulación aunque inciten a la reflexión. Porque al final, el objetivo real no es hacer que los niños piensen en las matemáticas, por maravilloso que esto pueda ser; el verdadero objetivo es hacer que los niños piensen. Así de simple.

Puede que el lector americano se sorprenda, igual que me ocurrió a mí, al leer la severa crítica que hace Zvonkin sobre el sistema educativo soviético. Nuestro complejo de inferioridad nos lleva a pensar que otros sistemas educativos tienen que ser mejores. Este libro muestra una situación más compleja: no es en los centros educativos en sí donde radica la diferencia, sino en la cultura extracurricular que complementa su labor o, como Zvonkin podría argumentar, la contrarresta. Para Zvonkin, la escuela no es tan diferente de la americana: es un trámite que hay que soportar, mientras que el verdadero aprendizaje tiene lugar en otro lugar. En la escuela aprendes algoritmos. En el Círculo aprendes a investigar mientras te diviertes.

Cómo utilizar este libro

Esperamos que este libro llegue a un público amplio: profesores, padres, matemáticos y alumnos. Dado que posiblemente algunos de los lectores no se dediquen a las matemáticas de forma profesional, nos hemos esforzado por hacer un libro lo más accesible posible. Contiene gran cantidad de notas explicativas, así como un índice temático breve pero útil que da referencias únicamente sobre asuntos matemáticos, pedagógicos y psicológicos. Los temas que aparecen en negrita son de especial importancia. Es posible que el lector relativamente nuevo en el mundo de los círculos matemáticos quiera comenzar buscando referencias a problemas populares para ir ganando tiempo. Del mismo modo, las referencias a los materiales manipulativos dan fe de la variedad de objetos utilizados por Zvonkin.

Utilizados de este modo, el índice temático y las notas permiten que el lector impaciente vaya directamente al punto que le interesa y pueda encontrar ideas que le resulten útiles en sus propias aventuras educativas. En cualquier caso, el lector debería leer el libro entero, ya que, tal y como he mencionado, no se trata de un catálogo de recursos de enriquecimiento curricular.

Es posible que los lectores que se acerquen por primera vez al mundo de los círculos matemáticos para niños quieran explorar otros recursos que los ayuden a situarse. Zvonkin describe muchos de los libros que utilizó, pero la mayoría son rusos. A continuación paso a enumerar una serie de excelentes complementos a este libro en lengua inglesa. En cualquier caso, el lector deberá tener en cuenta que todos ellos hacen uso de matemáticas más avanzadas que las utilizadas aquí.

Leer, aunque solo sea eso, cualquier escrito de Martin Gardner, el antiguo editor de la columna de Scientific American titulada “Mathematical Games” (“Juegos Matemáticos”3). Dichas columnas han aparecido recogidas en distintos volúmenes, y muchas de ellas están disponibles actualmente en CD.

Existen muchos otros libros excelentes que describen los Círculos Matemáticos. Dos de ellos forman parte de la serie Mathematical Circles Library, en concreto: Circle in a Box, de Sam Vandervelde, y A Decade of the Berkeley Math Circle: The American Experience, volumen 1, de Zvezdelina Stankova y Tom Rike. Los dos están llenos de detalles específicos y prácticos sobre diversas actividades. Además, Mathematical Circles, de Fomin, Genkin e Itenberg (American Mathematical Society, volumen 7 de la colección Mathematical World) es un relato muy recomendable sobre actividades realizadas en círculos matemáticos rusos con chicos más mayores4.

Muchos libros escritos recientemente contienen ideas fantásticas sobre problemas y actividades interesantes. Personalmente, mis dos favoritos son A Mathematical Mosaic, de Ravi Vakil, y Solve This, de James Tanton. Ambos se centran en material bastante elemental. El segundo en particular es uno de los pocos libros que prestan atención a actividades sobre física.

Aparte de la Wikipedia (que es bastante fiable en matemáticas en comparación con la política, por poner un ejemplo), existe un gran abanico de recursos en línea. El anteriormente citado MCCME contiene gran cantidad de artículos en inglés5. Cut the Knot6 es una página que contiene gran cantidad de material, una miscelánea interactiva sobre matemáticas, mantenida por un inmigrante ruso, Alexander Bogomolny. Una visita a la National Association of Math Circles7 (Asociación Nacional de Círculos Matemáticos) y la Math Teachers’ Circle Network8 es una estupenda forma de introducirse en la creciente comunidad de Círculos Matemáticos de los Estados Unidos. Además de encontrar ayuda en cuestiones matemáticas, es una forma muy útil de hacer contactos.

Finalmente y a un nivel más avanzado, el mejor sitio web del mundo para encontrar actividades sobre resolución de problemas, al menos en inglés, es The Art of Problem Solving9. Esta página web incluye foros, clases en línea, libros, etc.

Nota sobre nombres y centros educativos rusos

Nombres rusos

La mayoría de los nombres que aparecen en el libro son apodos. En el caso de los personajes que aparecen repetidamente, utilizamos sus equivalentes apodos ingleses10.

Tabla de equivalencias.

Apodo traducido

Apodo ruso

Nombre de pila

Sexo

Andy

Andryusha

Andrei

Hombre

Dima

Dima

Dmitry

Hombre

Dinah

Dina

Dina

Mujer

Jane

Zhenya

Evgenia

Mujer

Gene

Zhenya

Evgenii

Hombre

Pete

Petya

Pyotr

Hombre

Sandy

Sanya

Aleksandra

Mujer

Sasha

Sasha

Aleksandr

Hombre

Cursos y calificaciones

En Rusia, los niños empiezan a ir al colegio entre los seis y los siete años de edad, aproximadamente un año más tarde de la edad a la que los niños americanos empiezan en la guardería. La escuela primaria dura cuatro años. Lo que en Estados Unidos es un “grado” (curso), en Rusia es una “clase”; por tanto, se dice que un niño está en primera clase para decir que está en primer curso. Estos alumnos son первоклассник (pervoklassnik), lo que hemos traducido como “alumnos de primer curso”. A veces hemos utilizado la expresión “año escolar” o simplemente “año” para cursos superiores, dado que, por ejemplo, en Rusia la décima clase no se corresponde en modo alguno con el décimo curso americano. De hecho, en la época en que se escribió el libro se habría correspondido más con el duodécimo curso, el último año antes de ir a la universidad.

El sistema de calificación ruso sigue una escala de cinco puntos, donde 5 es la nota más alta (equivalente a la A del sistema americano), y 1, la más baja y rara vez utilizada (un 2 también es suspenso).

Agradecimientos

La edición americana de este libro no habría sido posible sin la inestimable ayuda —en muy diversos modos— de Tatiana Shubin, Mark Saul, Alla Yarkho y el MSRI (especialmente David Eisenbud, Jim Sotiros y Silvio Levy). Por supuesto, siempre estaré en deuda con Alexander Zvonkin.

Paul Zeitz

Catedrático de la Universidad de San Francisco.

1 El término procede del ruso математический кружок, que significa literalmente “circulito matemático”.

2 Mucha gente utiliza indistintamente las palabras problema y ejercicio. Estoy muy agradecido a Titu Andreescu (natural de Rumanía) por explicarme la utilidad de distinguir entre ambas; de hecho, esta distinción es bastante explícita en los libros de texto rusos desde los primeros cursos.

3 Esta sección existía también en la versión española de la revista: Investigación y Ciencia.

4 Editado en la Biblioteca Estímulos Matemáticos con el título Círculos matemáticos. (N. del T.).

5 http://www.mccme.ru

6 http://cut-the-knot.com

7 http://mathcircles.org

8 http://mathteacherscircle.org

9 http://artofproblemsolving.com

10 Se trata de una decisión del editor de la serie de libros en inglés a la que pertenece este. Su objetivo era evitar cierto aire extranjero que no está presente en el original ruso. En la traducción española hemos optado por conservar los apodos en inglés. (N. del T.).

Introducción

Diario de padres

Este libro es un ejemplo de lo que podríamos llamar un “diario de padres”. Los hijos van creciendo y los padres anotan diligentemente en un cuaderno las cosas que les van ocurriendo. Leer estas anotaciones años más tarde resulta de lo más interesante, sobre todo para los padres. Esto no es de extrañar, ya que el diario trata de sus propios hijos cuando eran pequeños y, de manera indirecta, sobre ellos mismos cuando eran más jóvenes.

¿Cuántas veces, querido lector, has tenido que mirar fotos de niños, no ya tuyos, sino de los demás? Llega una visita a casa, sacan un taco de fotos y empieza el pase. Después del segundo paquete, uno trata de disimular los bostezos, pero los invitados insisten en llegar al final. Para ellos, todo lo relacionado con sus hijos o nietos resulta extremadamente fascinante, mientras que tú no dejas de pensar que todos los niños son prácticamente iguales.

Ahora, al presentar este libro, me encuentro en una situación parecida y admito que esto despierta en mí sentimientos encontrados. Me gustaría ser un observador objetivo e imparcial, pero no puedo. Mi esposa, Alla Yarkho, suele mostrarse severa y exigente en sus críticas, pero cada vez que coge el libro y comienza a releerlo es incapaz de parar. Nuestra actitud habitualmente irónica se evapora y en su lugar aparecen emociones completamente diferentes.

Este libro trata de nuestro hijo Dima y de nuestra hija Jane. Habla de cuando eran pequeños y también sobre sus amigos, aunque, como es de esperar, observamos con más atención a nuestros hijos que a los otros niños. La difícil pregunta es ahora: ¿por qué habría de resultar interesante este libro para otra gente? ¿Por qué tendría que ser interesante, no solo para nuestra familia, sino para los que no pertenecen a ella?

Supongo que la respuesta es que este libro no es únicamente un diario de las actividades de mis hijos, sino un diario del funcionamiento de un Círculo Matemático. Cuando Dima tenía tres años y diez meses, reuní a tres de sus amiguitos, de la misma edad o algo mayores, y formé con ellos un Círculo Matemático. Este libro trata sobre esa inusual experiencia. Puede servir como libro de ejercicios y acertijos matemáticos para niños de prescolar; pero también describe las reacciones de los pequeños, lo que comprendieron y lo que no, y qué clase de problemas psicológicos y malentendidos encontré por el camino.

Lo más probable es que un libro de problemas de álgebra o geometría, acompañados de historias reales sobre cómo los alumnos se enfrentan a ellos, sea una lectura interesante para muchos, pero si esos alumnos son niños pequeños, la historia resulta incomparablemente más atractiva. La evolución de sus razonamientos, los caminos y las vueltas de su intelecto son más visibles, más vívidos.

Cuando puse en marcha el Círculo no imaginaba lo emocionante y apasionante que sería. El resultado fue que durante años mis lecturas trataron en gran parte sobre educación y psicología. Más tarde, el espectro se amplió para incorporar otras materias como la lingüística, la psiquiatría, la etología o la genética del comportamiento. Para mí supuso descubrir un inmenso mundo nuevo. Gané mucho con la experiencia, y todo gracias a mis niños.

Las matemáticas para prescolares son relativamente sencillas y, por tanto, accesibles para cualquier lector, no solo para los especialistas. Esto significa que los lectores potenciales forman un grupo bastante grande de profesores, padres, abuelos, amantes de las matemáticas, psicólogos, filósofos y cualquier otro perfil imaginable. En fin, creo que he conseguido convencerme de que mi libro puede interesar a muchas personas, no solo a mí, así que ahora, querido lector, ya puedo recomendarlo con la conciencia tranquila. De todas formas debo confesar, sin pecar de falsa modestia, que muchos amigos que leyeron el manuscrito me animaron a convertirlo en libro. Numerosas copias circularon primero por Moscú y después por el resto del mundo. El interés no ha disminuido en los últimos veinte años; ello ha sido un motivo más para hacer este libro.

¿Por qué un Círculo? ¿Por qué un diario?

Un Círculo, como cualquier otro tipo de actividad sistemática, es una forma de imponerse una autodisciplina. Se puede trabajar con niños sin Círculo alguno: de vez en cuando haces preguntas, pides que realicen alguna tarea y analizas los resultados después. Pero en el mundo real esto casi nunca funciona, y antes de que te des cuenta, el proyecto termina por evaporarse: ayer estabas muy ocupado, hoy no estás de humor o te sientes demasiado cansado. ¿Y por qué tiene que ser precisamente ahora? Seguro que más adelante tendré tiempo en algún momento, quizá hoy o quizá otro día… La consecuencia de todo esto es que al final no se consigue prácticamente nada. Por el contrario, si sabes que mañana a las once en punto darás la bienvenida a cuatro niños y tendrás que entretenerlos durante media hora, la situación cambia radicalmente. Quieras o no, vas a tener que encerrarte en algún sitio a preparar algo. Si no se te ocurre nada, tendrás que recurrir a algún libro, y cuando le dedicas tiempo a pensar, tarde o temprano surgen ideas que no habrías tenido de no haberte impuesto una obligación. También es posible que se te ocurra algo que requiera una preparación como dibujar, usar tijeras o pegamento. Para llevarlo a cabo es necesario entonces un sentido de la obligación más concreto que la noble aspiración de hacer algo “por la familia”.

Por cierto, a los niños también les gustan los rituales en sus juegos. Si de repente un adulto empieza a entrometerse en ellos y a darles la tabarra con enigmas matemáticos, se enfadarán y querrán que dejen de interrumpirlos cuando están jugando. Una cosa muy distinta es que sepan que una vez a la semana, un día especial y a una hora determinada, nos reunimos para tratar de temas serios.

Esta es la respuesta breve a la pregunta: “¿Por qué un Círculo?”.

En cuanto al diario, no empecé a tomar anotaciones en un cuaderno nada más comenzar y, sobre todo, no me pareció que fuera muy importante para las sesiones. Como se ve, el diario comienza en la sesión número veintiuno. Las primeras “veinte semanas” no representan cinco meses como uno podría pensar, sino el doble, ya que no nos reuníamos durante las vacaciones de verano ni en otros períodos. No hay que pensar que porque hubiéramos decidido reunirnos con regularidad, una vez a la semana, cumplimos este propósito al pie de la letra. Un día, a los seis meses de comenzar, unos amigos me pidieron que les contara lo que habíamos estado haciendo. Encantado con la idea, intenté comenzar a hablar, pero en vez del aluvión de ideas y acertijos que pensé que me vendrían a la cabeza, me quedé extrañamente callado al darme cuenta de que, en realidad, solo me acordaba de unos pocos detalles. Ciertamente recordaba la sensación general de entusiasmo y la arrolladora energía de los niños que había experimentado en cada sesión, pero era como si los detalles exactos hubieran desaparecido por el camino. Me sentí como alguien al que le han cortado una pierna y sigue sintiéndola aunque ya no esté.

Jamás habría esperado semejante mala jugada de mi propia memoria y me sentí contrariado y avergonzado. Tras aquello, anoté lo poco que aún recordaba y decidí que a partir de ese momento, al final de cada clase, haría un resumen escrito de lo que hubiéramos hecho. De esta forma tendría, por lo menos, una lista de acertijos a la que podría recurrir para reconstruir el resto de la sesión, aunque intuí que una simple lista de cuestiones y problemas no bastaría para ello. Al poco tiempo hice mi primer “descubrimiento pedagógico”. Me di cuenta de que llevar un registro de los acertijos no tenía mucho sentido. No son los acertijos, ni tampoco sus soluciones, lo que resulta realmente interesante: lo importante es el proceso de resolución, el camino que conecta unos con otros. Se puede decir objetivamente que los problemas matemáticos para prescolares son sencillos (aunque idearlos no lo es en absoluto). Además, un niño puede tardar años en resolver un acertijo. No exagero. ¡Años! Hay varios ejemplos de ello a lo largo del libro. En todo ese tiempo la mente del niño no descansa, no deja de dar vueltas a las cosas como si estuviera poseído, siempre alerta a cualquier detalle que pudiera tener algo que ver con los acertijos matemáticos. Este proceso de búsqueda de soluciones es lo más interesante de todo.

Así que empecé a añadir más y más observaciones a los problemas de mi lista —historias y anécdotas— y comencé a incluir también no solo comentarios sobre matemáticas, sino también otros de carácter más general e incluso “teórico” que dieron como resultado esto que ahora tiene forma de libro.

La siguiente fase fue el proceso de retroalimentación entre el diario y el círculo. Cuando plasmas tus pensamientos en el papel surgen nuevas ideas, nuevos puntos de vista y nuevos problemas y temas de estudio. La comprensión se hace más profunda; incluso la capacidad de observar parece agudizarse. A veces te acuerdas de algo que pasó desapercibido en mitad de la excitación de la sesión y que podrías haber olvidado fácilmente si no lo hubieras anotado. Esta simbiosis entre el Círculo y el diario de sesiones funcionó tan bien que llegó un momento en que no podía imaginar uno sin el otro.

Por último, pero no menos importante, mis hijos, ahora ya adultos, también leyeron mi diario. Recuerdan bien muchas cosas, pero a veces su versión se contradice totalmente con la mía. Añadieron sus propios comentarios a petición mía, lo que sirvió para enriquecer aún más el proyecto. En palabras de un amigo, le aportaron un efecto estereoscópico.

¿Se debería editar un diario?

Creo que sí, estoy absolutamente a favor de ello. Hace tiempo, algunos autores solían decir cosas como: “Estas páginas no sufrirán la humillación de ser impresas”. Normalmente no eran sinceros al afirmar esto, ya que secretamente confiaban en que sus descendientes, emocionados y agradecidos, encontrarían sus obras y, encantados al ver la modestia y sinceridad de aquellos (“¿te das cuenta de que no tenía la intención de que vieran la luz?”), las publicarían, proporcionándoles así la gloria eterna. La verdad es que es muy fácil pillar a un autor así porque se pasa las horas explicándose a sí mismo muchas cosas que debería conocer perfectamente. En realidad, es el lector quien necesita todas estas explicaciones, no él.

Sin embargo, imaginemos que alguien escribe un diario para su exclusivo uso privado y por casualidad otra persona lo encuentra más tarde y lo lee. Este lector podría malinterpretar su contenido de mil formas. Supongamos, por ejemplo, que alguien en particular cuenta con todo mi respeto —rayano incluso en la adoración—, a pesar de lo cual soy perfectamente consciente de sus pequeños (o no tan pequeños) defectos y manías. Como yo he escrito el diario “solo para mí”, puedo permitirme algún comentario irónico, burlón o que refleje irritación sin necesidad de tener que recordarme a mí mismo que yo siento un gran respeto por esa persona. (“No creas que no respeto enormemente a esa persona”. ¿No creas? ¿Quién no tiene que creerlo?). Si leyera el diario alguien que desconociera mi relación con la persona aludida, podría malinterpretar mis comentarios. Se quedaría únicamente con el sarcasmo sin ser consciente de mi profundo respeto por ella.

Pongamos otro ejemplo más pertinente. El tema del libro son los niños o eso parece. En realidad hablo únicamente de un aspecto de sus vidas, que no es otro que su relación con las matemáticas. Más exactamente, describo lo que ocurre durante un período de media hora una vez cada dos semanas. Sería una locura pensar que la vida de un niño puede reducirse de tal forma. Cada uno tiene sus áreas de interés, sus problemas y sus talentos. Pero si hasta yo mismo lo olvido a veces cuando leo el diario, ¿qué no le ocurriría al lector que ni siquiera conoce personalmente a los niños? No comprendería nada. (Desarrollo esta idea más adelante en el caso particular de mi hija. Véase aquí). Por no mencionar el hecho de que los otrora niños ahora son adultos. Dentro de no mucho serán sus propios hijos quienes lean el libro protagonizado por sus padres y madres. El diario que un día pretendió ser un documental pasaría a ser ficción.

No sería exacto decir que mi diario era un documento íntimo estrictamente hablando. Se trató más bien de algo técnico. Lo escribí para mí, pero nunca guardé el contenido en secreto, sino que lo compartí de buena gana con todo aquel que mostraba interés. De todas formas, su naturaleza técnica ocasionó algunos problemas; por ejemplo, yo no explicaría para mí mismo el problema del lobo, la cabra y la col, ni daría detalles sobre el problema de las torres de Hanoi11.

Además de esto, el texto original contenía gran cantidad de repeticiones, notas que había que descifrar y explicaciones adicionales. (He dejado algunas repeticiones como estaban, especialmente en los casos en que partiendo de las mismas premisas alcanzaba distintas conclusiones. De esta forma tiene un aspecto más auténtico).

Resumiendo, son muchas las razones, tanto éticas como técnicas, por las que mi diario requería una buena corrección. Por eso me negué durante muchos años a publicarlo tal y como estaba, pese a lo que me sugerían en mi entorno.

¿Por qué tardé tanto tiempo en corregirlo? ¿A qué me dediqué durante todo ese tiempo? Bueno, la vida es la vida... Sea como fuere, creo que ha llegado el momento de dejar de irse por las ramas y ponernos manos a la obra.

Reflexiones de un novato sobre matemáticas para prescolares

¿Cuándo comenzar?

Seguro que todos los lectores habrán visto esta escena muchas veces: una madre joven se esconde detrás de una cortina y al cabo de un momento sale sonriendo, dice “cu-cú... ¡tras!” y vuelve a desaparecer. Su bebé celebra estas apariciones y desapariciones aplaudiendo y chillando de alegría. Los dos son tremendamente felices con este juego y ninguno de ellos imagina que lo que están haciendo tiene que ver con las matemáticas.

La última frase no la he escrito para provocar la sorpresa del lector ni para dejarlo anonadado con una paradoja inverosímil. Lo digo en serio. Según los psicólogos, hasta los dieciocho meses, el principal obstáculo intelectual que se le presenta a un niño es el descubrimiento de la permanencia de los objetos. Esto significa que un objeto que no se ve no ha desaparecido por completo; sigue estando en alguna parte, aunque no lo veamos. El niño descubre que un objeto tan importante como su mamá, aunque se haya esfumado tras la cortina, sigue estando ahí y enseguida reaparecerá.

A medida que el niño crece, aumenta su comprensión del mundo. Una niñita muy pequeña está jugando a algo que le resulta muy interesante: recoger los bloques de construcción desparramados por el suelo y dárselos uno a uno a su padre acompañando cada regalo con un grito de júbilo: “¡Toma!”. Su padre los coge y la niña se ríe alegremente. La niña acaba de aprender la palabra “toma” y trata de utilizarla todo lo posible. De repente, sus torpes manitas cogen dos bloques a la vez. Se para a pensar un segundo y, ¡eureka!, le da los dos a su padre diciendo: “¡Toma-toma!”.

Parafraseando a Pushkin, “seguir los pensamientos de un niño pequeño es un pasatiempo realmente fascinante”12. A los dos años los niños ya dominan muchas cosas. Un niño de esta edad intenta despertar a su padre por la mañana:

— Papá, ¿estás dormido?

— No —responde el padre restregándose los ojos—, estoy en la cocina, tomando un té.

El niño se queda estupefacto. Las palabras de su padre contradicen todo lo que él sabe. Por si acaso, va corriendo a la cocina a comprobarlo y vuelve triunfante.

— No estás en la cocina. Estás aquí. ¡Aquí!

La próxima vez no le engañará tan fácilmente. Me gustaría insistir en ese momento de investigación independiente en el que el niño sale corriendo a la cocina para comprobar que su padre no está allí. De una forma intuitiva sé que esta iniciativa es una cualidad muy importante y me gustaría que los niños la conservaran todo el tiempo que fuera posible.

Contar en japonés

Tiempo después, al niño se le enseñarán matemáticas “de verdad”. Como norma significa que tendrá que aprender a contar. Está claro que saber contar es importante, pero los adultos no siempre son conscientes de lo que está en juego.

Intentemos ponernos en el lugar del niño y aprender a contar, pero en japonés. Los números del uno al diez son: ichi, ni, san, shi, go, roku, shichi, hachi, kyu, ju. La primera tarea consiste en aprender de memoria la secuencia. No es tan fácil. Una vez que lo hayamos conseguido, pasaremos a la segunda tarea, que consiste en aprender a contar hacia atrás, de ju a ichi. Una vez dominado esto también, intentaremos calcular. ¿Cuánto es roku más san? ¿Shichi menos go? ¿Hachi dividido entre shi? Y ahora una suma: mamá compró en el mercado kyu manzanas y les dio ni manzanas a cada uno de sus shi hijos. ¿Cuántas manzanas quedan? Solo hay una regla: no se te permite traducir las cantidades, ni siquiera mentalmente. Con un poco de práctica se vuelve algo natural. A veces ni siquiera nos damos cuenta.

No fui capaz de apreciar el enorme logro intelectual que supone para los niños aprender a contar hasta mucho después, cuando vine a vivir a Francia. Llevo más de quince años aquí, y los números todavía se me resisten. El francés tiene un peculiar sistema para designar los números entre 70 y 99. Después del sesenta y nueve dicen sesenta-diez (70), sesenta-once (71), sesenta-doce (72), etc. Después del sesenta-diecinueve aparecen cuatro-veintes (80), cuatro-veintes-uno (81), cuatro-veintes-dos (82), y después del cuatro-veintes-nueve (89) dicen cuatro-veintes-diez (90), cuatro-veintes-once (91), cuatro-veintes-doce (92) y así hasta cuatro-veintes-diecinueve (99). Solo entonces viene el cien. Cuando alguien me dice un poco rápido un número de teléfono o la fecha de nacimiento de alguien famoso, créeme, no me resulta nada fácil coger todos los números. Menos mal que no tengo que sumar y restar.

(Por cierto, este es el origen de la divertida respuesta, citada con frecuencia en la literatura sobre pedagogía, que dio un alumno de primaria francés a la pregunta: “¿Cuánto es veinte veces cuatro?”. El chico respondió: “Cuatro-veintes, porque la multiplicación es conmutativa”).

¿Eres ya capaz de contar hasta ju? ¿Cuánto tiempo has tardado? ¿Una semana? ¿Un mes? Ahora ya sabes que no es un problema de aprender de memoria sin más. De haber sido así, lo habrías dominado en una hora; pero, si no se trata de aprender de memoria, ¿entonces qué es? ¿Eres capaz de aislar a partir de tu experiencia problemas puramente matemáticos que estén siempre presentes a la hora de contar, pero de los que no nos percatemos habitualmente? No es tan fácil, ¿verdad?

De todas formas, quizá sea mejor así, porque, de lo contrario, los entusiastas de la educación temprana, en su impaciencia por que el niño avance, le habrían explicado algo que no está en condiciones de comprender y a lo que podría haber llegado por sí mismo.

Geometría de guardería

Además de a contar, otra cosa que se aprende pronto es la geometría básica. Tradicionalmente se cree que los niños deberían aprender (un poco) lo que son las figuras geométricas y las formas como los triángulos, los cuadrados, los círculos, etc., y a hacer mediciones sencillas. Pero pensemos un momento: si un niño es capaz de diferenciar entre un tenedor y una cuchara con facilidad, ¿por qué habría de resultarle difícil diferenciar entre un cuadrado y un triángulo?

De hecho, no es nada difícil. Lo realmente complicado es aprender a establecer relaciones lógicas y cómo manipular las formas geométricas. Por ejemplo, muchos estudiantes de primaria creen que un cuadrado apoyado en un vértice ya no es un cuadrado, sino un cuadrilátero (figura 1). Por otra parte, comprender la pregunta “¿Cuáles son más abundantes, los cuadrados o los cuadriláteros?” requiere utilizar la lógica con habilidad.

Figura 1. La figura de la izquierda es un cuadrado. ¿Y la de la derecha? Es muy habitual que los niños piensen que no: a sus ojos, un cuadrado apoyado en un vértice pierde la calidad de cuadrado y pasa a ser un cuadrilátero.

Desde este punto de vista, los cuadrados y los triángulos pierden enseguida su primacía: los acertijos en los que aparecen tenedores y cucharas no son menos matemáticos si nos proporcionan un motivo para pensar13. Por decirlo de otro modo, las matemáticas escolares trabajan con “números y formas” y así es como debería ser. Sin embargo, no podemos decir gran cosa de estos objetos a los niños. Esto en un principio podría significar que no podemos transmitirles una información matemática valiosa cuando lo cierto es que no es así. En realidad hay un montón de cosas interesantes que podemos enseñarles, pero tenemos que plantearnos cuidadosamente cuál es el enfoque más adecuado para ello.

¿Cuál es el planteamiento correcto? Bueno, cada uno tiene su propia opinión. A continuación hablo un poco sobre este asunto (exagerando a veces para que se vea con más claridad mi punto de vista).

Opiniones

1) La sociedad tecnológica en la que vivimos actualmente requiere una mayor exposición de los niños a las matemáticas, incluso antes de comenzar la educación formal en la escuela.

Qué aburrimiento. ¡Al cuerno con tanto requisito!

2) Es peligroso atiborrar los cerebros infantiles con cosas tan complicadas como todas esas integrales.

Pero ¿quién ha hablado de integrales?

3) ¡¿Te lo imaginas?! ¡Hace que los niños estudien teoría de la probabilidad! ¡Los niños se enfrentan con toda facilidad a temas que muchos adultos con un nivel educativo superior no llegan a comprender! Siempre he dicho que no conocemos realmente el potencial de nuestro cerebro, sobre todo en los primeros años de vida.

Querido observador entusiasta: me temo que te equivocas. No estudiamos teoría de la probabilidad, aunque sí es verdad que observamos ciertos fenómenos relacionados. (Es parecido a lo que haces cuando estás en la parada de autobús intentando adivinar cuál llegará primero).

4) De pequeños, los niños normalmente tienen una memoria y una capacidad de aprendizaje excelentes. Además, realmente prestan atención a lo que dicen los adultos, por lo que habría que proporcionarles toda la información posible. Más tarde, cuando mejore su capacidad de pensamiento crítico y no quieran hacer cosas que para ellos no tienen sentido, tendríamos que darles más tiempo para la reflexión y añadir la motivación a su aprendizaje.

Saqué esta opinión de internet. Pertenece a un profesor universitario, neurofisiólogo. Como no voy a revelar su nombre, permítame el lector expresar mi sincera opinión: esta chorrada ni siquiera merece respuesta.

5) No veo por qué habríamos de atiborrar las cabecitas infantiles con tanta tontería. Dejadlos en paz. ¡Dejad que tengan una infancia normal!

Este interlocutor plantea dos asuntos: las “tonterías” y la “infancia normal”. No voy a discutir sobre tonterías. Al fin y al cabo, todo es cuestión de gustos. Hice con los niños lo que me gusta hacer a mí personalmente y me parece que este aspecto de nuestras clases es muy importante.

Cuando mis artículos vieron la luz, me encontré inesperadamente jugando un papel totalmente ajeno a mi forma de ser: el de consejero. Recibí cartas de padres. En una de ellas, una madre escribía lo siguiente (de forma muy sentida): “Odio las matemáticas desde que era pequeña, pero sé que son muy importantes para el desarrollo intelectual de los niños. ¿Podría darme algunos consejos sobre cómo hacer actividades matemáticas con mi hijo?”.

Afortunadamente, en este caso sabía lo que tenía que responder. “Si las odia, no haga nada sobre matemáticas con su hijo. Haga con él solo aquello que a usted le guste hacer y será divertido para ambos. Por ejemplo, si le gusta la repostería, hagan pasteles juntos”. Lo único que me preocupaba era que se sintiera ofendida por mi respuesta; tal vez pensara que no la consideraba lo bastante inteligente.

En lo que sí discrepo es en lo de la “infancia normal”. Imaginemos la siguiente escena. Estamos sentados a la orilla de un río observando a una avispa hacer un agujero en la arena compacta. Cuando termina se aleja volando y al rato vuelve con comida suficiente para alimentar a su futura progenie, es decir, arañas paralizadas. Entonces pondrá los huevos dentro de sus presas y tapará el hoyo. El famoso biólogo y etólogo Nikolaas Tinbergen demostró que las avispas se guían utilizando objetos como referencias. Pongamos un zapato a la derecha del nido y una concha a la izquierda, y cuando la avispa se marche, desplacemos ambos objetos a un metro del nido. Tinbergen descubrió que cuando la avispa regresa, un par de minutos más tarde, no aterriza junto al nido, sino a un metro de él, entre el zapato y la concha.

Hicimos el experimento y fue acogido con entusiasmo no solo por nuestros hijos, sino también por los demás niños que había en la playa. (Resulta interesante destacar que a ninguno se le ocurrió pisar a la avispa). ¿Se corresponde esta forma de divertirse con tu idea de una infancia normal? Para Tinbergen supuso el Premio Nobel, lo que podría llevar a nuestro entusiasta observador número 3 a decir alguna bobada pomposa sobre prodigios que llevan a cabo experimentos ganadores del Nobel.

Si algo inculqué a esos niños fue la idea de experimentar con todo abiertamente y con interés. Siempre recordaré las palabras de mi gran amigo Andrei Toom, extraordinario matemático y profesor. Las cito, no como un halago hacia mí, sino por la hermosa descripción que hace del ideal educativo al que todos debemos aspirar: “Lo que les enseñas no son matemáticas, sino una forma de vida”.

Breve historia de nuestro Círculo

La primera sesión de nuestro Círculo tuvo lugar de forma bastante casual el 23 de marzo de 1980. Las clases con los chicos se prolongaron durante cuatro años con bastante regularidad. Por aquel entonces, mi hija había crecido y creé un segundo Círculo con ella y sus amigos que duró dos años. Hubo algunos intentos de crear Círculos con otros niños, pero ninguno de ellos fructificó. Yo simultaneaba el desarrollo de aquella actividad con mi trabajo habitual (que no me llenaba en absoluto; ver aquí). De vez en cuando colaboraba dando clases magistrales en calidad de “maestro” visitante.

Sin embargo, en un determinado momento reuní el coraje suficiente y me puse a dar clases en colegios. Comencé dirigiendo un Círculo en el colegio de Dima. Tras varias experiencias similares más, hice algo alocado: me tiré de cabeza a la enseñanza a tiempo completo en un colegio de Moscú, donde puse a prueba un currículo experimental durante un mes. Antes de aquello me comportaba como un intelectual arrogante, siempre criticando a los profesores y a los centros escolares, y siempre dándoles sabios consejos. Sin embargo, aquel experimento en mis propias carnes me abrió los ojos. Vaya que lo hizo, pero estoy adelantando acontecimientos.

Un suceso importante para este relato tuvo lugar cuando una amiga de la familia, la conocida psicolingüista Revekka Frumkina (a cuyos congresos domésticos yo mismo había asistido14), tras leer mi diario, me llevó a las oficinas de la revista Znanie-Sila (Saber es Poder), que poco después publicó mis dos trabajos sobre el círculo (n.o 8, 1985, y n.o 2, 1986). Hubo un tercer trabajo que no tuvo la inesperada acogida de los dos primeros. Vadim Levin, extraordinario poeta y profesor infantil, llegó a decirme que para él eran clásicos de la literatura educativa. ¿Qué ocurrió con ellos? Pasado un tiempo, ambos trabajos aparecieron publicados en inglés en The Journal of Mathematical Behavior (n.o 2, 1992, y n.o 2, 1993). Después fueron publicados en cuatro sitios web diferentes, si no me equivoco. Luego los reimprimió la revista rusa Educación Prescolar (mayo y julio de 2000) comentados por Vadim Levin e incorporados a su libro Lecciones para padres (Moscú, Folio, 2001). Más recientemente, la editorial September First publicó un cuadernillo titulado La educación en casa para niños con el mismo texto. Desgraciadamente, el nombre de Levin no aparece en algunas de las publicaciones (especialmente en las digitales), de modo que parece que algunos halagos que me hace Levin los hubiera hecho yo mismo. Resulta complicado rectificar la situación.

Eran los primeros años de la perestroika15. Nuestro gran amigo Stepan Pachikov organizó un club de informática para niños en Moscú. Los ordenadores los donó el campeón mundial de ajedrez Gari Kaspárov. En aquella época (1986) probablemente fuera el único sitio en toda la Unión Soviética en el que los niños tenían acceso a ordenadores. Como era de esperar, me confiaron uno de los grupos de menor edad. Le siguieron campamentos informáticos de verano en Pereslavl’-Zaleski y otro de invierno en Zvenígorod. Se formó otro club de informática para niños, Zodiac. Me cuesta recordar todos los detalles. Estaba muy solicitado y todo el mundo me consideraba un experto en matemáticas a nivel de educación prescolar.

En un momento dado me incorporé al llamado Equipo Científico Temporal Escuela-1, predestinado a preparar una reforma de todo el sistema escolar. El director formal de este grupo era el académico Velikhov, pero su líder real era Alexei Semenov. Entre nuestras muchas actividades, redactamos el libro de texto Algorithmica (para alumnos de 12 a 15 años). Sus autores por orden alfabético (en ruso) son A. Z. Zvonkin, A. G. Kulakov, S. K. Lando, A. L. Semenov y A. K. Shen. Tras varias publicaciones mimeografiadas, la editorial Drofa publicó varias ediciones, la primera de ellas16 en 1986. Algunas de las primeras materias que enseñamos en nuestro Círculo presentaban una forma un poco más complicada que las del libro. Cuando me enteré de que el curso había sido elegido para alumnos de primer año de una universidad americana me hizo gracia.

* * *

La dirección de mi vida cambió de manera sorprendente en aquel momento, dio un giro relacionado con el Círculo, aunque de forma indirecta. En 1989 dejé mi trabajo en el Instituto de Investigación y Desarrollo para la Automatización de la Industria del Gas y el Petróleo de la Unión Soviética. Aquellos que vivieron el período soviético saben lo que eran esos lugares: institutos de investigación aplicada de tercera categoría, con guardias que controlaban la asistencia y misiones anuales a un koljós17 como parte del trabajo. Relaciones cordiales y positivas con otros colegas en la misma situación que tú realizando un trabajo aburrido e inútil (en la actualidad, las mismas personas llevan a cabo trabajos que sí merecen la pena, pero en otros lugares).

Yo odiaba aquel trabajo, pero no tenía posibilidad de encontrar otro. Entonces, de repente, fui a dar en el Consejo Científico de Cibernética de la Academia de las Ciencias de la URSS, formando parte de un equipo cuya función consistía en introducir la informática en el currículo escolar. Creo que nuestros resultados dejaban mucho que desear, pero en aquella época rebosábamos entusiasmo y estábamos tan emocionados con el trabajo que a veces llegábamos al límite del agotamiento físico. Dejando a un lado las fuerzas de la Historia, en lo que concierne a la historia de mi vida queda claro que, sin el Círculo, jamás habría conseguido aquel maravilloso trabajo.

Continué dedicándome a la investigación matemática. Me refiero a que continué investigando en el área de las matemáticas al tiempo que realizaba mis investigaciones en enseñanza, pero la dirección de mi trabajo cambió radicalmente. Contribuyó a este cambio, entre otras cosas, el hecho de que en el campamento de informática en Pereslavl’-Zaleski del que he hablado antes coincidí con dos colegas tan entusiasmados como yo con mi nuevo objeto de interés en esta área: Sergei Lando y George Shabat. Comenzamos a trabajar juntos y nuestra colaboración sigue funcionando a fecha de hoy: nuestra monografía conjunta con Sergei Lando fue publicada en 2004 por Springer-Verlag y la traducción al ruso vio la luz en 2010.

En 1990 visité Francia por primera vez. De haber seguido en mi anterior trabajo habría sido inconcebible viajar al extranjero, pero en el Consejo de Cibernética la situación era totalmente distinta. Por aquella época yo aún no conocía a mis colegas en mi nuevo campo de investigación, así que aquel viaje me sirvió para orientarme. En Burdeos conocí a otras personas con intereses similares a los de mi trabajo. Fui a aquella ciudad una vez y repetí; después me invitaron a ir como profesor visitante durante un año. Al final, me quedé allí definitivamente como catedrático. Es curioso que el hecho de que yo ahora sea profesor en Burdeos se deba en gran medida al círculo matemático para niños que fundé hace años.

Agradecimientos

Mis lectores, como personas inteligentes que son, adivinarán enseguida a quién debo mi agradecimiento en primer lugar: a los niños. Cuando era joven, mis padres me daban mucho la tabarra con: “Cuando tengas hijos lo entenderás”. Aquello me ponía furioso. ¿Qué es eso tan especial que hay que entender? Hijos, vaya cosa. Todo el mundo los tiene, ¿y qué?

¿Cómo iba a saber yo por aquel entonces que tener hijos te hace ver el mundo de una manera totalmente distinta? Estoy seguro de que algunas personas, más imaginativas, son capaces de intuir esto. Tal vez para ellas, los cambios no sean tan extremos, pero en mi universo personal mis hijos fueron como un big bang y les doy las gracias.

Les estoy profundamente agradecido a todos los niños que participaron en nuestros círculos. Cuesta imaginar lo mucho que he aprendido de ellos. Sí me gustaría decirles algo: sinceramente, siempre traté de repartir mi atención por igual entre todos ellos y lo mejor que pude, aunque me temo que no siempre lo conseguí. Sin embargo, si alguno me guardara rencor por ello, lo único que puedo decirle es: “Cuando tengas hijos lo entenderás”.

Le estoy muy agradecido también a mi mujer, Alla Yarkho. En primer lugar por los hijos que tuvimos —sería difícil sobrestimar su parte del trabajo— y en segundo lugar porque fue a ella a quien se le ocurrió la idea del círculo. Resulta evidente que el programa es tan suyo como mío. Le estoy agradecido tanto por su apoyo moral como por su insistencia posterior en que debería preparar el diario para publicarlo. Ni que decir tiene que a lo largo de todos estos años ha hecho las veces de correctora de pruebas, editora, asesora y, por supuesto, lectora entusiasta.

Revekka Markovna Frumkina fue quien me “lanzó”. Gracias a ella, nuestra empresa familiar se hizo popular. Rita Markovna, como la conocen sus amigos, es la madrina de numerosos proyectos interesantes; entre ellos, este. Las conversaciones que tuvimos al respecto me ayudaron a aclararme las ideas.

Alexei Semenov no fue solo mi supervisor oficial en el Consejo de Cibernética, sino que también actuó como un “sabio consejero” (aunque sea más joven que yo). Su convicción de que mi trabajo merecía llegar a un público más amplio terminó por persuadirme.

Alexander Shen fue una de las primeras personas que leyeron mis cuadernos manuscritos y me instó reiteradamente a que los publicara. Al final, cansado de que lo postergara continuamente, reunió un equipo entre estudiantes de secundaria y universitarios para que mecanografiaran y pasaran a formato impreso la primera versión de este libro. Vladimir Lugovkin, en particular, hizo un grandísimo trabajo. Llegado a ese punto ya no tuve más remedio que editar el libro y, de nuevo, el indispensable Shen me ayudó instalando la versión rusa de LaTeX en mi ordenador francés, ahorrándome con ello años de trabajo.

La lista de agradecimientos dista mucho de acabarse. De hecho, ni siquiera he empezado como es debido, pero si sigo, seguro que el lector terminará por saltarse esta parte, así que seré breve. Les estoy profundamente agradecido a todos aquellos con quienes discutí sobre este libro, ya fuera largo y tendido o brevemente, y a los que me animaron con su interés. ¡Gracias a todos, amigos!

* * *

En Moscú, en la calleja Bolshoi Vlassievskii Lane, cerca de la calle Arbat, se encuentra el edificio que acoge a una muy destacable institución que ya se ha hecho tremendamente popular entre matemáticos de todo el mundo. Se trata del Centro para la Educación Matemática Continua de Moscú (MCCME)18. Lo de “continua” significa que es “para todas las edades”. Se compone de una editorial, la Universidad Independiente de Moscú y una escuela de posgrado. Además, se encarga de la organización de numerosas olimpiadas y competiciones matemáticas para estudiantes de secundaria, así que ¿por qué no incluir niños de prescolar? Me alegra y enorgullece que mi libro fuera publicado por el MCCME.

Además, en un lugar así, uno se topa por fuerza con viejos amigos. Uno de ellos, Vadim Bugaenko, fue el responsable de la edición del libro en sus fases iniciales, aunque no fuera su obligación directa. Su ayuda resultó nuevamente impagable con la segunda y tercera ediciones rusas, así como con la versión inglesa. Con frecuencia, los lectores suelen atribuir todo el mérito al autor sin darse cuenta de la complejidad y las múltiples facetas del proceso de publicación.

Le estoy muy agradecido a todo el equipo y, especialmente, a Mikhail Panov, quien, entre otras cosas, realizó todos los dibujos. (Los expertos sabrán apreciar su habilidad para dibujar imágenes reales con el programa METAPOST, concebido inicialmente como herramienta para dibujar imágenes gráficas para trabajos científicos).

Por, último aunque no por ello menos importante, quiero mencionar el extraordinario papel que han jugado mis colegas americanos Paul Zeitz y Silvio Levy, así como todo el departamento de publicaciones del MSRI. Les traslado también a ellos todo el agradecimiento dedicado anteriormente a mis ayudantes rusos. Finalmente, me gustaría mencionar el importante papel de la Sociedad Matemática Americana (American Mathematical Society, AMS) al poner en marcha la edición americana de este libro.

Descargo de responsabilidades

En primer lugar, no todos los problemas y acertijos que aparecen en el libro son creación mía. Proceden de diferentes fuentes, entre ellas libros de psicología y matemáticas recreativas, y también de amigos. Dejé algunos en su forma original y transformé otros, de forma sustancial en algunos casos, durante el transcurso de las sesiones. Algunas de mis fuentes se me olvidaron hace tiempo. Otras se perdieron cuando me fui a vivir a Francia. En el caso de algunos problemas ya ni siquiera recuerdo si los tomé prestados o son míos realmente. Para pagar esta deuda con el mundo, permito a todos que los usen y me comprometo a no denunciar a nadie por plagio. Antes bien, me alegrará saber (incluso me sentiré orgulloso de ello) que mis invenciones se incorporan a la tradición educativa.

En segundo lugar, mis historias no son relatos transcritos literalmente. Están escritas a partir de mis recuerdos y no siempre resulta fácil discernir lo que los niños dicen cuando hablan todos a la vez. Estoy seguro de que se me habrán pasado cosas y otras las habré interpretado mal; en cualquier caso, creo que esto es algo más o menos obvio.

11 Dos problemas clásicos que se discuten en las páginas 66 y 338.

12 Pushkin, el gran poeta ruso, dijo una vez: “Seguir los pensamientos de un gran hombre es un pasatiempo realmente fascinante”.

13 En el original en inglés se usa la expresión food for thought, lo que da lugar a un ingenioso juego de palabras al mencionarse la comida junto con la cuchara y el tenedor. (N. del T.).

14 Los “congresos domésticos” de la era soviética eran reuniones de intelectuales que se llevaban a cabo en la casa de alguno de los participantes. En ellas se hacía trabajo muy serio al margen del control de las autoridades.

15 El conjunto de reformas, emprendidas por Gorbachov, que llevaron con el tiempo a la disolución de la Unión Soviética.

16 La última edición salió a la luz en 2006: A. K. Zvonkin; S. K. Lando; A. L. Semenov: Informatica, Algorithmica: Textbook for 6th-year students. Moscú, Prosveshchenie (publisher); “Education”.

17 Granjas colectivas. Zvonkin se refiere a trabajo regular “voluntario” que era requerido por el Gobierno.

18 Consultar www.mccme.ru. La página está en ruso, pero hay una parte sustancial traducida al inglés.

Capítulo 1

La primera sesión: narrativa y reflexiones

(La primera mitad de este capítulo está basada en mi artículo “Matemáticas para los pequeños”, publicado en The Journal of Mathematical Behavior, vol. 11, n.o 2, 1992).

Una sesión en acción

Nuestro círculo se compone de cuatro miembros: mi hijo Dima y tres amigos suyos, Gene, Pete y Andy. Con tres años y diez meses, Dima es el más pequeño. El mayor, Andy, tiene casi cinco años.

Nos sentamos alrededor de una mesa baja. Estoy nervioso. ¿Seré capaz de hacerme con ellos? Para empezar, les digo que vamos a hacer algo de matemáticas. Para afianzar mi autoridad, añado que las matemáticas son la ciencia más interesante del mundo. Como podrás imaginar, nada más decirlo me preguntan: “¿Qué es la ciencia?”.

Tengo que explicarles que “ciencia es cuando piensas mucho”. Andy se queda un poco decepcionado. “Yo creía que habría trucos”. En casa le habían dicho que yo hablaría de matemáticas y haría trucos. “También haremos trucos” —recorto la introducción y voy al grano.

Primer acertijo. Dejo ocho botones encima de la mesa. Sin esperar a que les diga nada, los chicos se ponen a contarlos. Aparentemente, a pesar de su corta edad, ya se les ha inculcado la idea de que las “matemáticas” consisten en “contar”. Cuando se calman, les planteo el acertijo:

— Ahora poned sobre la mesa el mismo número de monedas.

Colocamos ocho botones y ocho monedas en dos filas paralelas perfectamente alineadas.

— ¿Qué hay más, botones o monedas?

Los niños se quedan sorprendidos y vacilan antes de responder.

— No hay ni más botones ni más monedas.

— Eso significa igual.

Entonces les digo:

— Ahora, mirad lo que voy a hacer —y pongo las monedas más separadas entre sí, de forma que la fila se hace más larga.

— Y ahora, ¿de qué hay más cantidad?

— ¡De monedas! —corean todos ellos.

Le pido entonces a Pete que cuente los botones. Ya los hemos contado cuatro veces, pero a Pete no le sorprende en absoluto y se pone a contarlos por quinta vez.

— Ocho.

Le pido a Dima que cuente las monedas. Él lo hace y dice:

— Ocho.

— ¿Ocho también? —pregunto yo enfatizando mis palabras—. ¿Entonces tenemos el mismo número de botones que de monedas?

— ¡No, hay más monedas! —insisten los niños convencidos.

Lo cierto es que yo sabía de antemano que dirían eso. El acertijo forma parte de una serie de test utilizados por el gran psicólogo suizo Jean Piaget (abundaré sobre la teoría de Piaget más adelante en este mismo apartado). Piaget demostró que los niños pequeños no entienden cosas que resultan evidentes para los adultos. Cambiar objetos de sitio o reordenarlos no altera su número. Sin embargo, aunque sabía lo que dirían, ¡no tenía preparada una respuesta razonable! ¿Qué habría hecho el lector en mi lugar? ¿Qué les habría dicho a los niños?

Desafortunadamente, la reacción más frecuente en los adultos es esforzarse por “explicarlo” sea como sea. “¿Cómo puede ser?”, diría un adulto con fingida sorpresa. “¿Más monedas? ¡Pero si no hemos añadido ninguna más! ¡Lo único que hemos hecho ha sido separarlas! Antes había el mismo número de botones que de monedas, vosotros mismos lo dijisteis. ¿Cómo va a haber más monedas de repente?”. Y ahora más alto: “¡Hay el mismo número de botones que de monedas!”.

Por mucho que te esfuerces, no vas a conseguir nada con este tipo de estrategia educativa. O dicho de forma más precisa, solo conduce a un punto muerto. En primer lugar, no creas que vas a convencer a un niño con la lógica. El dominio de la lógica es posterior a la comprensión de la ley de conservación del número. Hasta entonces, la lógica no convencerá a los niños. Lo que sí les resulta convincente es tu entonación, que muestra a los niños que, una vez más, se han equivocado.

Los niños no se rinden fácilmente. Es difícil vencer a su sentido común, pero si se ejerce la presión suficiente, puedes salirte con la tuya: dejarán de confiar en su inteligencia y experiencia para intentar adivinar lo que el adulto quiere que digan. Generalmente, los adultos exigen unas cosas muy raras: no puedes pintar en la pared; tienes que irte a la cama en mitad del juego; no debes preguntar: “¿Cuándo se va el tío George a casa?”. Ahora ocurre lo mismo: veo perfectamente que hay más monedas que botones, pero por alguna razón tengo que decir que hay las mismas.

La aceptación de las matemáticas como ritual en el que hay que pronunciar ciertos encantamientos en un orden determinado comienza en la escuela elemental y a veces perdura hasta la secundaria y más allá.

¿Qué hacer entonces? ¿Deberíamos evitar estas preguntas si no se les pueden dar respuestas? Al contrario, las preguntas se pueden y se deben hacer. Resulta también muy útil intercambiar opiniones.

— Y tú, Gene, ¿piensas lo mismo? ¿Y tú, Pete? ¿Por qué? ¿Cuántas monedas hay de más?

Incluso puedes darles tu punto de vista, pero con cuidado, acompañándolo de numerosos “yo creo”, “probablemente” o “tal vez”. En otras palabras, deberías hacer uso de toda tu autoridad de adulto no para imponer las respuestas “correctas”, sino para convencer al niño de la importancia de su propio razonamiento y su esfuerzo intelectual. Resulta aún más interesante hacerle ver las contradicciones presentes en su punto de vista.

— ¿Cuántas monedas tenemos que quitar para que el número sea igual?

— Dos.

Quitamos dos monedas y volvemos a contar. Tenemos ocho botones y seis monedas.

— ¿Qué hay más ahora?

— Ahora están iguales.

Bien. Vuelvo a colocar las monedas que quedan más separadas entre sí y repito la pregunta. Ahora resulta que seis monedas son más que ocho botones.

— ¿Por qué?

— Porque las has separado unas de las otras.

Quitamos dos monedas más y otras dos. Al final tenemos lo que se ve en la figura 2.

Figura 2. Hay ocho botones en la fila superior y dos monedas en la inferior. ¿De qué hay más, botones o monedas?

En este momento, los chicos se enzarzan en una acalorada discusión. Algunos siguen pensando que hay más monedas. Otros de repente “ven” que hay más botones. Es el momento de parar y pasar a otra actividad, de dejar que piensen ellos solos.

Yo era de los que decían que había más monedas. Al principio estaba de acuerdo con los demás y repetía sin pensar. Todas las demás veces me pareció que estaba bien (o papá no decía lo contrario), así que no vi por qué habría tenido que cambiar de opinión. [Dima]

No se me ocurrieron todas estas ideas desde el principio, así que en mi historia me he adelantado un poco a los acontecimientos. Esto que cuento ahora son reflexiones posteriores y reminiscencias de sesiones que tuvieron lugar más adelante. Repetimos el problema, pero con diferente aspecto; por ejemplo, un día teníamos dos ejércitos y ninguno podía ganar porque contaban con el mismo número de soldados.

Entonces los soldados de un ejército se separaron, su número aumentó y empezaron a ganar. Los soldados del otro ejército al verlo se separaron más aún, y así. (Usa tu imaginación para buscar un final para la historia). También vimos un acertijo de un zorro y un gato que querían engañar al pobre Pinocho diciéndole que cinco monedas de oro habían aumentado en número cuando lo que habían hecho era separarlas entre sí. Aprendí a no esperar victorias fáciles. Independientemente de lo que yo haga, los niños no dominarán la ley de conservación del número hasta dentro de dos o tres años. ¡Y tampoco deberían! La enseñanza prematura no es más beneficiosa que un nacimiento prematuro. Cada verdura tiene su estación. No debemos adelantarnos al curso natural de las cosas, y eso vale también para el desarrollo intelectual. (Soy consciente de que esto puede sonar raro, pero espero convencer de ello al lector a lo largo del libro).

Sin embargo, como ya he dicho antes, todas estas reflexiones llegaron más tarde. En nuestra primera sesión la intuición me decía que no me metiera en explicaciones, así que planteé otro acertijo.

Saqué seis cerillas y realicé con ellas distintas figuras. Tras hacer una nueva figura, pedí a los niños, por turno, que contaran las cerillas. Todas las veces había seis. No, así no sirve. Mi estilo se ha vuelto demasiado soso y formal. Observemos directamente a los niños y veamos lo que sucedió de verdad.

Cada resultado es recibido con risas y alegría. Andy y Gene gritan que siempre habrá seis. Dima, con bastantes malos modos, intenta quitarme las cerillas de las manos: quiere crear su propia figura. Pete, por su parte, es tremendamente educado y me pide unas cuantas cerillas. En cuestión de minutos la alegría se convierte en caos. Tengo que hacer que paren, escuchar atentamente lo que dicen entre gritos (“¿Por qué creéis que habrá siempre seis?”) y no perderme ningún giro de su razonamiento. Dima ha hecho una figura tridimensional, un “pozo” (figura 3).

Figura 3. Un “pozo” de seis cerillas.

Invito a los demás a mirarlo. Esta vez ni siquiera Andy y Gene están totalmente seguros de que haya seis cerillas. Cuesta contarlas, el pozo no es muy sólido, se derrumba, lo reconstruimos, contamos las cerillas, se vuelve a derrumbar... Finalmente, Dima cuenta hasta siete cerillas. Los chicos están un poco perplejos, pero no sorprendidos. Pues serán siete, aunque sea un poco extraño.

He de reiterar una vez más que mi tarea como profesor no consiste en dictar a los niños “la verdad”, sino en estimular su curiosidad. Lo máximo que espero lograr es que en unos cuantos días (o meses), uno de mis chicos construya un pozo con cerillas y las cuente porque quiera investigar. ¡Investigación modesta pero independiente! Y si no ocurre, espero que pase en algún otro momento, con otro problema. (Lo que, efectivamente, sucedió en varias ocasiones). De todos modos, yo contesto únicamente algo así como “¡interesante!” y “¡asombroso!” con la esperanza de que de esta forma se les quede en la cabeza.

Los niños tienen una memoria increíble. No puedo evitar contar algo que ocurrió mucho más adelante. Estábamos analizando las propiedades de tres figuras hechas de cartón (figura 4). Cada figura tiene cuatro ángulos, de modo que podemos decir que son cuadriláteros. Eso significa que tenemos tres cuadriláteros. Pero todos los ángulos de dos de las figuras son rectos; por eso se llaman rectángulos. Uno de ellos es especial porque tiene todos los lados iguales: es un cuadrado.

Figura 4. ¿Cuántos cuadrados hay? ¿Y rectángulos? ¿Y cuadriláteros? Estas preguntas no les resultan sencillas ni siquiera a los adultos.

Se puede decir que un cuadrado recibe tres nombres: nos podríamos referir a él como cuadrado, rectángulo o cuadrilátero y los tres nombres serían correctos. Los chicos aceptan esta información a regañadientes porque se empeñan en considerar únicamente clases disjuntas. En cuanto a sus explicaciones, me hacen pensar que todavía no han comprendido esa gran ley que dice que “el todo es mayor que cada una de sus partes”. Hace diez minutos discutían sobre si los padres y los abuelos eran hombres y si los hombres eran personas. Ahora se niegan a llamar rectángulo a un cuadrado: o es una cosa o la otra. Yo sigo defendiendo con energía que es correcto considerar los cuadrados como rectángulos. No tardo en notar los avances conseguidos gracias a mi insistencia. Recapitulemos una vez más:

— ¿Cuántos cuadrados tenemos?

— Uno.

— ¿Y rectángulos?

— Dos.

— ¿Y cuadriláteros?

— Tres.

Parece que todo va bien, de modo que ya puedo pasar a la última pregunta (que ya he mencionado en la introducción):

— ¿Y en general, en la vida, qué hay más, cuadrados o cuadriláteros?

— ¡Cuadrados! —responden los chicos a la vez sin el menor asomo de duda.

— Porque son más fáciles de recortar —explica Dima.

— Porque hay muchos en las casas, en los tejados, en las chimeneas —explica Gene.

En realidad lo que he contado es solo el planteamiento de la historia. El desenlace tuvo lugar un año y medio después sin que yo lo suscitara. Estábamos dando un paseo por el bosque en verano y, de repente, Dima me dijo: “¿Te acuerdas, papá, de aquel acertijo de cuadrados y cuadriláteros que nos pusiste una vez? Nos preguntaste de qué había más cantidad. Creo que te dimos una respuesta equivocada; de hecho, hay más cuadriláteros”. Y me explicó de un modo bastante inteligente por qué lo decía. Desde entonces me mantengo fiel al principio de que las preguntas son más importantes que las respuestas.

Durante décadas, los psicólogos han llevado a cabo experimentos para intentar enseñar a los niños algunas leyes matemáticas básicas. Veamos un ejemplo. Inicialmente, se hace una prueba a un grupo de niños para ver si comprenden que por mucho que se moldee, se amase o se deforme de cualquier otro modo un trozo de arcilla, la cantidad de esta no varía. Se divide en dos grupos a aquellos que no lo entienden. Se deja a uno de los dos solo, como grupo de control, mientras los psicólogos se quedan con el otro grupo y tratan de enseñarles la ley de conservación de la materia: pesan, comparan, muestran y explican.

Dos semanas más tarde, se realiza una prueba a ambos grupos para ver lo que han aprendido. La mayoría de las veces, el progreso en ambos grupos resulta ser insignificante y más o menos parecido. Los psicólogos observan con perplejidad que los niños con los que habían trabajado pacientemente no han aprendido gran cosa. Lo que a mí me llamó la atención al leer dicho experimento fue lo contrario: que los niños del grupo de control hubieran progresado a pesar de que nadie había estado con ellos. Después de tantos años trabajando con niños, creo que sé la respuesta: progresaron porque a ellos también les hicieron preguntas.

Pero volvamos a nuestra primera sesión. Nuestra siguiente actividad fue otra versión de la ley de conservación del número. Las seis cerillas siguen encima de la mesa. Las coloco en fila y les pido que pongan un botón enfrente de cada una (figura 5).

Figura 5. Hay tantas cerillas como botones.

Luego les hago la pregunta de rigor. “¿Qué hay más, cerillas o botones?”.

— Igual.

— Hay igual cantidad de botones que de cerillas —reafirmo yo.

Quito todos los botones, los escondo dentro de una mano y pregunto cuántos hay. Es típico que ninguno de los chicos intente siquiera contar las cerillas. ¿Por qué habrían de hacerlo? La pregunta se refería a los botones, así que lo que hay que contar son botones. Dima, como es quien más confianza tiene conmigo, intenta abrirme el puño, mientras que los demás preguntan perplejos:

— ¿Pero cómo vamos a contarlos?

— No podéis, claro, porque están escondidos, pero podéis intentar adivinar cuántos hay.

Los chicos lanzan todo tipo de suposiciones entre gritos, pero solo Gene acierta. Intento escucharlo y le pido que me explique su respuesta, pero entonces él se retrae. Su problema principal es que es tímido. Cuando todos los niños se ponen a dar voces, él es el que da la respuesta correcta en más ocasiones, pero en el momento que pido a los demás que se calmen y le pregunto a él directamente, le da vergüenza y se queda callado. Con Andy tengo un problema diferente. Es un chico muy orientado hacia sus objetivos, aunque parece que le falta motivación en nuestras sesiones. En la siguiente ocasión, les planteé el mismo problema pero en forma de escena bélica: en vez de cerillas y botones, teníamos soldados con armas y en un momento dado los soldados desaparecían dejando allí sus armas. Entonces el espía tenía que descubrir el número de soldados que había y fue a él al primero que se le ocurrió contar las armas. También le gustan mucho los juegos en los que se puede ganar. Desgraciadamente, a veces me falta la imaginación necesaria para presentar los acertijos de forma que le resulten atractivos, en parte porque no es tan necesario para los otros chicos.

En cuanto a Dima, no le gusta resolver los acertijos que plantean otros, sino que prefiere inventárselos. Al final termino por descubrir cómo tratar con él. Yo digo algo como: “Imaginad un rompecabezas en el que...” y a continuación formulo lo que sea. Además, las soluciones que se le ocurren demuestran una peculiar imaginación (como veremos en el siguiente ejemplo) y cuesta trabajo hacer que se quede dentro de los límites del sentido común. Pete también posee su propia idiosincrasia.

¿Cómo ocuparme yo solo de todos ellos? Dios bendito, son solo cuatro alumnos y no soy capaz de dar a la enseñanza un enfoque individual. ¿Cómo se las apañará un profesor en una clase de cuarenta alumnos? A menudo se compara a los profesores con los directores de orquesta, pero yo me veo más como un malabarista al que en cualquier momento se le van a caer todas las pelotas al suelo. Mientras intento hablar con Gene, Dima ya ha sacado unas tarjetas para la tarea siguiente (“El intruso”) y pregunta:

— Papá, ¿es este el siguiente ejercicio?

Los otros le quitan las tarjetas de las manos y las arrugan despiadadamente sin consideración alguna por el trabajo paterno de la noche anterior. Gene ya no me hace caso, sino que los mira de reojo. Abro la mano. Comprobamos rápidamente el número de botones y pasamos a la siguiente pregunta.

Todo el mundo conoce las reglas de este juego. Entrego a los niños cuatro tarjetas con los dibujos de un conejo, una ardilla, un erizo19 y una maleta, y ellos tienen que señalar cuál está fuera de lugar. Tiene gracia que los chicos den casi siempre la respuesta correcta, pero que no sepan explicar el porqué.

— La maleta es el intruso.

— ¿Por qué?

— Porque no es un conejo, ni una ardilla ni un erizo.

— ¿De verdad? Y yo que creía que el intruso era el conejo porque no es ni una ardilla, ni un erizo ni una maleta…

Los chicos me miran perplejos, pero insisten:

— ¡No, la maleta es el intruso!

Les pregunto si sabrían encontrar una palabra que describa a los tres objetos que no son intrusos: el conejo, la ardilla y el erizo. Pete, que es quien más vocabulario tiene de todos, es el primero en encontrar la palabra apropiada: “animales”. Volvió a serme de ayuda más veces en situaciones parecidas. (En una ocasión, me invitaron a dar una clase a niños que tendrían más o menos la misma edad, cuatro o cinco años, a quienes no había visto nunca. Coloqué mis tarjetas favoritas del conejo, la ardilla, el erizo y la maleta encima de la mesa y les pedí que señalaran al intruso. Los niños me miraron horrorizados hasta que uno se atrevió a hablar y dijo en un susurro: “Son igualmente...”. Ajá, pensé, ¡conque alguien los ha puesto a prueba ya!).

A veces les propongo variantes con soluciones ambiguas, por ejemplo: un gorrión, una abeja, un caracol y un avión. El intruso podría ser el avión (que no es un ser vivo) o el caracol (que no puede volar). La figura 6 muestra un acertijo en el que cada uno de los objetos podría ser el intruso. Esto altera por completo la naturaleza del problema. Ahora nombro los objetos de uno en uno y ellos tienen que explicar por qué cada objeto podría ser el intruso. De esta forma, espero hacerles llegar la idea matemáticamente importante de que dar una buena explicación es tan necesario como dar la respuesta correcta. En otras palabras, solo la afirmación correcta no vale, es necesario justificarla.

Figura 6. En vez de buscar al intruso, los niños tienen que nombrar los objetos de uno en uno y explicar por qué son intrusos.

Este juego es muy útil para enseñar a los niños a identificar regularidades (algo que se pasa por alto totalmente en las clases de matemáticas del colegio). A veces resulta más conveniente utilizar ocho dibujos que se puedan separar en dos grupos iguales según las categorías elegidas. Este fue el enfoque que siguió el investigador soviético en ciencias de la computación M. Bongard en su libro clásico Pattern Recognition (Reconocimiento de patrones). Lamentablemente, el lector estará de acuerdo en que ocho dibujos son el doble de cuatro. ¿Cómo conseguirlos? Normalmente, Alla hace los dibujos que utilizamos en las sesiones porque yo no sé dibujar, mientras que ella fue a clases de arte.

Los conjuntos que comparten elementos pueden constituir todo un reto para la lógica. Por ejemplo, supongamos que tenemos una colección de cinco figuras que debemos dividir en dos conjuntos del mismo tamaño que consten de tres figuras cada uno. Habrá una figura que tendrá que formar parte de los dos conjuntos. Tomemos, por ejemplo, los siguientes objetos: pelota, rueda, botas de goma, abrigo y gorro. Tres de ellos están hechos de goma (pelota, rueda y botas) y tres son prendas de vestir (botas, abrigo y gorro). El objeto común a los dos grupos son las botas de goma. Es difícil dividir físicamente un conjunto de cinco figuras en dos de tres dado que no podemos partir una de ellas en dos. Sin embargo, podemos utilizar la técnica pictórica de los diagramas de Venn y colocar el objeto común dentro de la intersección de dos círculos (como se muestra en la figura 7, en la que se resuelve un problema análogo).

Figura 7. Tenemos aquí dos conjuntos de tres objetos cada uno. Uno está formado por tres elementos blancos y el otro por tres cuadrados. El cuadrado blanco es común a los dos conjuntos, lo que los matemáticos expresan diciendo que pertenece a su intersección.

Este tipo de problemas causaba dificultades a Dima (¿o acaso el problema era él?). “Esto es un abuelo, pero parece una señora” —decía, señalando el dibujo de un anciano con barba y colocándolo en el montón de los dibujos de mujeres. O decía que una rueda era una prenda de ropa porque te la puedes poner alrededor de la cintura, y cuando le llevaba la contraria, salía diciendo que era como la ropa de un coche.

Los habrá que dirán: “¡Qué chico tan creativo y fuera de lo común!”. Desde luego, está fuera de lo ordinario, pero ¿es realmente creativo? Una persona creativa es capaz de encontrar soluciones inesperadas y no convencionales sin salirse de los límites que marca el problema. Hacer un pozo con seis cerillas es creativo, pero poner a un anciano con barba en el grupo de las mujeres o insistir en que una rueda es la ropa de un coche no lo es. A menudo, Dima da muestras de una inventiva desbordante, pero carece de la habilidad para no salirse del planteamiento de los problemas o quedarse cerca por lo menos. Sería positivo nutrir el segundo aspecto sin suprimir el primero. ¿Pero cómo?

Terminamos la sesión con un problema de geometría. Saco un tablero perforado para fichas de colores que ya tenía antes de que comenzara a funcionar el círculo (por eso suelo echar mano de él). Tiene forma rectangular y agujeros en los que se pueden insertar fichas de colores (figura 8).

Figura 8. Tablero de fichas de colores. La línea vertical del centro es un “espejo” o eje de simetría. El profesor hace la figura de la izquierda y el alumno tiene que hacer una figura simétrica a la derecha.

Nuestro problema tiene que ver con la simetría. En primer lugar construyo un eje, una línea vertical de un solo color en el centro del tablero, y digo que es un “espejo”. Vamos a hacer figuras que se “miran al espejo”. Construyo pequeñas figuras a un lado del espejo, mientras que los niños tendrán que hacer figuras simétricas al otro lado. Intento hacer todas las variaciones posibles de parámetros: color, tamaño, posición. En sesiones posteriores cambiaré también la dirección del eje: será horizontal y después diagonal. Comprobamos las soluciones con espejos reales: ¿lo que vemos detrás del espejo es lo mismo que lo que vemos en el espejo?

Los niños resuelven el problema con facilidad, sin cometer prácticamente ningún error. No puedo comprender por qué este concepto (el de la simetría axial) causa tantas dificultades en la enseñanza secundaria20. Dedicamos muchas sesiones a este tema tan bonito y rico. Admirábamos los patrones simétricos que dibujábamos; hacíamos manchas de tinta simétricas doblando un papel por la mitad; recortábamos copos simétricos en Navidad; buscábamos “fallos” en dibujos que contenían errores de simetría introducidos a propósito; clasificábamos tarjetas con figuras simétricas y no simétricas, etc. Otros tipos de simetría (por ejemplo, la simetría rotacional) resultaron más complicados para ellos, pero la simetría axial fue un éxito.

El tablero de fichas se convirtió rápidamente en una de mis herramientas favoritas. Resulta muy útil para plantear problemas de geometría, combinatoria, lógica y búsqueda de patrones. Me dio incluso una impagable lección sobre “lo que es más importante para los niños”. Los chicos se lo pasaban bien en las sesiones y, a veces, cuando ya habíamos terminado, me pedían que siguiéramos. Yo me sentía halagado hasta que me di cuenta de que solo me pedían que siguiéramos con la sesión cuando jugábamos con el tablero. Decidí hacer una prueba. No utilizamos el tablero en la siguiente sesión y cuando la di por terminada, los chicos salieron sin más. Empecé a sentir serias dudas. El tablero es un juguete realmente bonito —no me extraña que los chicos disfrutaran con él—, pero mis ejercicios matemáticos parecen entonces una imposición que interfiere con él. En la siguiente sesión decidí hacer la prueba definitiva. Utilizamos una vez más el tablero y, como en ocasiones anteriores, los niños no querían que acabara la sesión. Al decirles que podían seguir jugando con él al acabar la clase, recibí un grito indignado a modo de respuesta. Fue Pete quien lo expresó con palabras: “¡No! ¡Queremos más acertijos!”.

Aquello me hizo comprender que los niños tienen que disfrutar tanto con el aspecto intelectual como con el estético. Si falta uno de los dos, no hay diversión. Un árbol de Navidad sin adornos tiene tan poca gracia como los adornos sin el árbol. La diversión está en la unión de ambos. Espero que un día, cuando mis alumnos estén centrados en tareas matemáticas más abstractas e “intelectuales”, disfruten más que sus colegas porque las nociones y las imágenes abstractas se mezclen de forma inconsciente con esa “sensación del árbol de Navidad”, los recuerdos de aquellos acertijos matemáticos de vivos colores de su niñez.

Llegados a este punto, cada niño ha resuelto ya dos acertijos y es hora de dejarlo, pero quieren más. De repente, se me ocurre una idea. “¿Qué os parece si me planteáis vosotros los acertijos y yo los resuelvo?”. Los niños están encantados. Se ponen a hacer figuras con renovado entusiasmo, mientras yo construyo las imágenes simétricas. Me empleo a fondo. Entonces se me ocurre otra idea: cometer errores a propósito. Pete, eufórico, es el primero en darse cuenta. Se han llenado de nueva energía, observan mis manos con atención y reciben cada error con gritos de guerra. Por desgracia hay que terminar ya; retiro el tablero, les doy las gracias y les digo que la sesión ha terminado.

— ¿Y los trucos? —recuerda Andy.

— ¡Vamos, Andy! ¡Pero si has sido tú el que ha hecho los trucos! ¡Recuerda que yo escondí los botones en la mano cerrada y aun así fuiste capaz de contarlos!

Lo cierto es que no fue él, sino Gene quien supo cómo contar los botones, pero Andy quedó aparentemente satisfecho. Nos levantamos y miro la hora. ¿Cómo puede ser que la clase solo haya durado veinticinco minutos? Los chicos se van y yo me quedo ordenando mis pensamientos, ideando nuevos acertijos y pensando en nuevos métodos y estrategias. Me pongo también a recortar, pegar y pintar, es decir, a crear “ayudas visuales” y “materiales manipulativos”. Tengo una semana para preparar la siguiente sesión.

La teoría del desarrollo intelectual según Piaget:
¿realidad o ilusión?

En vista de las numerosas ocasiones en que hago referencia a la teoría del desarrollo intelectual de Piaget, me parece oportuno mencionar ciertos aspectos de ella. El gran psicólogo suizo Jean Piaget fue, sin duda, una de las personas más influyentes en su campo en el siglo xx. A lo largo de su dilatada vida (1896-1980) escribió aproximadamente cincuenta libros y quinientos artículos. En 1976 celebró un aniversario de lo más inusual: su octogésimo cumpleaños y su septuagésimo aniversario como científico. ¡No es broma! Publicó su primer artículo a los once años: el resultado de sus observaciones de un gorrión albino en un parque.

Cuando estudiaba, Piaget se interesó por la malacología, la rama de la ciencia que estudia los moluscos, y no tardó en convertirse en un experto reconocido. Gracias a sus publicaciones sobre este tema le ofrecieron por correspondencia la dirección de una prestigiosa colección de moluscos en el Museo de Historia Natural de Ginebra. Tuvo que confesar entonces que aún era alumno de enseñanza secundaria. A los veinte años era ya un malacólogo de fama mundial. En ese momento, el objeto de sus estudios cambió radicalmente y pasó a interesarse por la psicología infantil. A los treinta ya había escrito cinco famosas monografías y era un líder mundial en el campo de la psicología infantil21.

De todo el conjunto de su vasta obra, la parte más famosa es su teoría del desarrollo intelectual que he mencionado antes. Un niño no entiende que mover de sitio unos objetos (piedras, bloques de construcción) no hace variar su número. Por tanto, la noción de número está fuera de su capacidad de comprensión aunque sepa “contar hasta cien”. Al final terminará comprendiendo la ley de conservación del número, de la que ya hemos hablado, pero habrá que esperar un año y medio o dos para que entienda la misma idea con cantidades continuas: si hacemos una salchicha moldeando una bola de arcilla, la cantidad de arcilla no variará, como tampoco lo hará la cantidad de agua que trasvasamos de un vaso a la bañera. De igual modo, si tenemos dos cantidades iguales de algo y le quitamos una parte a una y una parte un poco mayor a la otra, nos quedará más de la primera que de la segunda. ¡Cuesta creer que los niños no comprendan algo que para nosotros resulta tan obvio!

Por increíble que parezca, para llegar a los descubrimientos de Piaget solo hace falta observar, no es necesario ningún equipo sofisticado; ni cohetes ni rayos láser. Platón o Euclides podrían haber hecho los mismos descubrimientos si se les hubiera ocurrido estudiar estos asuntos. Lo único que hacía falta era alguien interesado en la cognición, que fuera capaz de plantearse las preguntas adecuadas y que estuviera dotado de un excelente poder de observación y del deseo de llevar a cabo experimentos exhaustivos.

Sin embargo, sí resulta interesante que algunos miembros de la comunidad científica estuvieran totalmente en contra de los descubrimientos de Piaget. Todavía hoy, décadas después, hay gente que dice: “Cuando hacemos preguntas a un niño utilizamos las palabras más y menos, ¿no es cierto? ¿Y quién le ha explicado lo que significan esas palabras? Un niño no les da el mismo sentido que nosotros, es así de simple”. Esta misma idea la formuló mejor un amigo mío experto en lógica: “Como no se le ha dado la definición de la palabra más, el niño la entiende a su manera. Cree que más significa una «fila más larga»”.

¿Cómo refutar estas afirmaciones? Es cierto que yo no les había dado definición alguna, pero ¿qué tipo de definición podría darles? ¿Debería haberles dicho que existe una biyección22 entre un conjunto y un subconjunto propio del otro? No creo que hubiera servido de mucho porque ¿cómo podemos estar seguros de que si tal biyección existe una vez, seguirá existiendo más tarde? Discuto con mi amigo experto en lógica, pero sin mucha convicción. Le hablo de los experimentos que llevé a cabo con los niños, de cómo se pusieron a pesar trozos de arcilla antes y después de haber hecho salchichas con ellos… ¿Y qué? Un niño no sabe lo que es una báscula ni lo que mide.

No podemos escapar de este círculo vicioso de la argumentación. Da igual lo que le digamos al niño, da igual cómo planteemos las preguntas, siempre habrá una conexión intermedia, un “portador de la señal”, consista este en un conjunto de palabras, una báscula o cálculos. Siempre podemos culpar a esa “interfaz”, a ese “protocolo de intercambio”, de no ser lo bastante precisa y hacer que nuestras interpretaciones difieran de las de un niño. Cierto es que podemos preguntar a nuestros interlocutores: “Entonces, ¿por qué un niño de siete años responde correctamente a nuestras preguntas si nunca se le han dado definiciones?”. Pero esto no sirve para nada porque en una discusión científica no podemos recurrir a un “entonces, ¿por qué...?”. El interlocutor no está obligado a demostrar nada porque la carga de la prueba recae en el defensor de una teoría (por supuesto, en la medida en que quepa hablar de demostración en psicología).

Sin ánimo de atascarnos en las complejidades filosóficas de todo esto, quiero compartir mi opinión personal al respecto. Tras años de trabajar con niños, no me hace falta prueba alguna. Yo sabía que Piaget tenía razón. Pude observar esos fenómenos tan a menudo y en condiciones tan distintas que no me hace falta convencerme. Recuerdo que una vez tuvimos visita y nos faltaba una silla. Entonces Dima, que en aquel momento tenía tres años, intentó que los invitados cambiaran de asiento para que hubiera sitio para todos. Por desgracia, tras cada cambio seguía habiendo una silla de menos. Bastaba con ver su expresión de perplejidad para comprender que no tenía nada que ver con la semántica de la palabra “más”. (Yo, desde luego, no me habría percatado de esto de no haber sido por Piaget).

Los psicólogos han dedicado mucho tiempo e ingenio a enseñar a los niños todas estas leyes de conservación (o, como nuestros oponentes dirían, a explicarles el significado exacto de sus preguntas); por norma general, sin éxito23. Mi historia favorita es aquella en la que se selecciona entre un grupo grande de niños a los que parecían haberlo “comprendido todo” o, al menos, habían respondido correctamente a las preguntas de los psicólogos: “La cantidad de arcilla es la misma de antes porque no añadimos ni quitamos nada, solo hemos cambiado la forma”. Seguidamente, los investigadores dieron un paso más y trataron de desenseñar a los niños. Repitieron el experimento preguntándoles sobre la cantidad de arcilla antes y después de modelarla. Los niños respondieron correctamente, pero al pesar el trozo de arcilla, ¡pesaba menos! ¿Qué había ocurrido? Que el pícaro investigador había quitado un poco de arcilla sin ser visto. El resultado fue que los niños que tan fácilmente habían aprendido la ley de conservación la desaprendieron con la misma facilidad. Comenzaron a decir que ahora había menos arcilla porque habíamos hecho una salchicha con ella. Por el contrario, no fue posible desenseñar a los niños que habían llegado por sí mismos a entender la ley de conservación antes del experimento. “A lo mejor se nos ha caído un trozo y no nos hemos dado cuenta”, dijeron.

Si tan difícil es enseñar a los niños el concepto de número, entonces ¿qué estoy intentado hacer? ¿Qué sentido tienen mis clases? Lo he dicho muchas veces y lo vuelvo a repetir: el objetivo de las lecciones son las lecciones en sí mismas. Porque son divertidas. Porque es divertido hacer preguntas y buscar las respuestas. Es un modo de vida.

Terminaré contando unas cuantas historias. La primera es de mi infancia cuando tenía unos cinco años. Vivíamos en Vítebsk (en Bielorrusia, por entonces república de la Unión Soviética). En nuestro patio de vecinos vivía un anciano a quien le gustaba hablar con los niños. A mí se me consideraba un “chico listo” que sabía contar. Un día me pidió que multiplicara tres por cinco. Yo ya sabía que “significa sumar el mismo número tantas veces como sea necesario”. Así que me lancé de cabeza a tan peligrosa aventura. Tres más tres, seis, fácil. Seis más tres, nueve, un poco más difícil, aunque lo más difícil no es sumar, sino recordar cuántas veces lo has hecho. Ahora viene la parte más complicada: 9 + 3. Primero, la cantidad pasa de diez; segundo, no se me puede olvidar cuántas veces he sumado. Por fin, al límite ya de mis capacidades intelectuales, sumé 12 + 3 y dije: “Quince”.

— ¡Bien! —dijo el anciano—. ¿Cómo lo has hecho?

Yo se lo conté.

— ¿Por qué lo haces tan complicado? —preguntó—. Podrías haber sumado sencillamente cinco más cinco más cinco.

Me sentí abrumado y completamente perdido al mismo tiempo. ¡Sé sumar 5 + 5 + 5 con los ojos cerrados! Porque 5 + 5 = 10, ¡no tiene dificultad! ¡Y 10 + 5 = 15 es igualmente fácil! Lo más asombroso es que también salga 15. Pero ¿por qué?

Aquel misterio se me quedó en la cabeza durante mucho tiempo. Busqué una explicación, pero no la encontré. En el colegio me enteré de que en sexto curso tendríamos álgebra y veríamos fórmulas. Normalmente a los niños no se les suele ocurrir hojear el libro de texto del curso siguiente, de modo que esperé pacientemente a que llegara sexto con la esperanza de recibir la tan ansiada iluminación. En sexto escribí la fórmula a ⋅ b = b ⋅ a, me quedé mirándola como un bobo un buen rato, pero la iluminación no llegó. Tres años más tarde, con quince años, entré en el famoso internado matemático Kolmogorov. El currículo era bastante avanzado y enseguida estábamos aprendiendo sobre grupos, cuerpos y anillos. “Qué idiota era”, pensé, “aquello no era más que un axioma, llamado conmutatividad. Los axiomas no se demuestran”.

Finalmente llegó el momento en que aprendí. Comprendí que la propiedad conmutativa no se inventó por capricho, sino porque es una propiedad que se cumple verdaderamente en la multiplicación de los números naturales.

(Llamo aquí la atención sobre el hecho de que la exponenciación, es decir, la “multiplicación reiterada”, no es conmutativa. Si multiplicamos 5 por sí mismo 3 veces y después multiplicamos 3 por sí mismo 5 veces, se obtendrán dos resultados diferentes [53 ≠ 35]. Sin embargo, con la multiplicación, es decir, la “suma reiterada”, el resultado sí que será igual).

No recuerdo cuándo ni cómo comprendí que realmente era cuestión de contar el mismo número de objetos de dos formas diferentes. Podemos distribuir las piedras en tres filas de cinco piedras cada una o en cinco filas de tres piedras cada una, dependiendo de lo que consideremos como una fila (figura 9). Entonces, es fácil ver que si cuentas el mismo número de objetos de varias formas, ¡siempre obtendrás el mismo resultado! En todo caso quisiera insistir en que no es una propiedad que resulte evidente porque, de lo contrario, no me habría llevado tantos años y un esfuerzo intelectual tan intenso comprenderla.

Figura 9. Se ven 3 filas horizontales con 5 círculos cada una, es decir, 5 × 3, pero también se puede decir que hay 5 filas verticales con 3 círculos cada una, es decir, 3 × 5. Si creemos que independientemente de cómo contemos, siempre obtendremos el mismo resultado, la conclusión inevitable es que 5 × 3 = 3 × 5.

El último ejemplo muestra la conversación entre un matrimonio de ancianos. La esposa tiene intención de cocinar unos huevos revueltos, pero la sartén que usa habitualmente está sucia y no tiene ganas de fregarla.

— Oye —le dice al marido—, la sartén grande está sucia.

— Bueno, pues hazlos en la sartén pequeña —responde él, ligeramente irritado porque ella lo haya molestado.

— Entonces, quizá no habrá suficientes huevos para los dos.

El marido se queda pensativo y al final contesta encogiéndose de hombros:

— Pues friega la grande.

¿Y qué pasa con la ley de conservación? Está claro que depende de la situación. Supongamos que le hiciéramos a esta pareja un “test de inteligencia” formal: si se vierten los huevos batidos de una sartén a la otra, la cantidad ¿(a) aumenta; (b) disminuye; (c) se queda igual; (d) depende del tamaño de la sartén? No me cabe la más mínima duda de que responderían correctamente. Lo que da pie a preguntas que me cuesta formular incluso. En primer lugar, tienen que ver con las relaciones entre el aprendizaje formal y la comprensión real. En segundo lugar, ¿nos guiamos en nuestro día a día por un “razonamiento correcto” o por lo que es “visualmente obvio”, y hasta qué punto? (¿Te has fijado en cuántas comillas he tenido que usar en las últimas frases? Lo hago porque no sé cómo expresar mis ideas de manera clara y concisa).

¿Para qué leer libros de psicología?

Cuesta convencer a los matemáticos de que merece la pena leer libros de psicología. Todo lo que tiene que ver con la psicología resulta incómodo: la terminología, el alcance de las demostraciones, el tipo de formulación de los problemas, etc. A continuación reproduzco una conversación frustrada con un alumno sobre una serie de experimentos.

— Por ejemplo, nos gustaría saber si un bebé de dos meses es capaz de aprender.

El alumno se encogió de hombros y dijo:

— ¿No es obvio? Si me lo hubieran preguntado, se lo habría dicho.

¿Cómo se puede responder a esto? Desde luego que es “obvio”. Un conocido francés reaccionó de igual modo cuando se enteró de que el Premio Nobel de economía recayó una vez sobre alguien por demostrar que el comportamiento económico no era ni racional ni lógico. “Se lo podrían haber preguntado al portero de mi casa”, dijo el hombre.

Tenía la impresión de que mi alumno se equivocaba, pero tardé en encontrar la forma de refutar su argumento. Consideremos para ello otro campo del saber y preguntémonos si las leyes de la física son las mismas en diferentes lugares y diferentes momentos en el tiempo. Aparentemente, la respuesta es tan obvia como antes. Cualquier filósofo dirá que así tiene que ser, pues de lo contrario no serían leyes de la física. Y está en lo cierto, sin duda, pero ¿qué diría un físico? Su situación es más complicada porque tiene que vérselas no solo con afirmaciones generales, sino también con leyes específicas, como las ecuaciones de Maxwell. Además tendrá que concretar la vaga afirmación sobre el tiempo y el espacio explicando qué es lo que cambia exactamente y en qué forma cuando pasamos de un sistema de coordenadas a otro. Intenta desarrollar esta idea y lo primero que descubrirás serán las transformaciones de Lorentz y después la teoría de la relatividad de Einstein. Y esto es solo el primer paso; las ecuaciones de Maxwell describen la interacción electromagnética, pero también existen las fuerzas débiles, fuertes y gravitatorias. Durante siglos, los físicos se han esforzado en dar una forma concreta al principio filosófico “obvio” de la invariabilidad temporal y espacial de las leyes físicas, tarea que están aún lejos de rematar. Esperemos que conduzca a una “teoría unificada de campos” (a veces llamada medio en broma “teoría del todo”).

En resumen: el fondo del problema consiste no en hablar en términos filosóficos generales, sino en formular preguntas concretas y ocuparse de fenómenos observables y verificables. Por supuesto, no podemos utilizar fórmulas y ecuaciones en psicología; sin embargo, en vez de preguntarnos si un bebé es capaz de aprender, podemos formular una pregunta más específica, por ejemplo: ¿puede un bebé de dos meses memorizar la secuencia 0011? Comparada con la cuestión original, esta parece más bien superficial, pero conseguir una respuesta empírica, aun para una pregunta tan sencilla, no resulta fácil.

En primer lugar, ¿cómo podríamos saber si el bebé ha aprendido realmente la secuencia 0011 que le hemos transmitido? Tal vez podríamos comprobar si, con el fin de conseguir un cierto objetivo, el bebé gira la cabeza dos veces a la izquierda y dos a la derecha, pero entonces nos enfrentamos al complicado problema de encontrar un objetivo que sea capaz de motivar al bebé y hacer que quiera alcanzarlo. ¿Qué cosas pueden interesarle? En la experimentación con animales la solución es simple: el hambre (¡siento decir esto!). El peso de algunos animales utilizados en experimentos se reduce al 80 % del normal, de modo que, cuando se pongan a buscar comida, tengan iniciativa. Gracias a Dios, los investigadores no tratan a los bebés de la misma forma. Pero, entonces, ¿qué podemos hacer?

En psicología, los avances importantes rara vez se producen investigando directamente sobre una pregunta, sino al dar rodeos inesperados. De hecho, la investigación del problema que acabo de relatar reveló nuevas certezas. Los investigadores utilizaron numerosos “atractores”: sonajeros atractivos, melodías, luces de colores. Finalmente, se dieron cuenta de que una simple bombilla era suficiente. En cuanto a los estímulos, ¡bastaba con la oportunidad de aprender!

Esto es lo que ocurrió24. Un bebé descubre por casualidad que cuando vuelve la cabeza a la izquierda, la bombilla se ilumina. Varios intentos le bastan para corroborar esta observación. Al cabo, el bebé se calma y se limita a comprobar de vez en cuando que la “regla” se sigue cumpliendo. En un momento determinado se da cuenta de que la bombilla ya no se ilumina. El bebé busca la razón hasta que descubre otra cosa: para que la bombilla se encienda ahora tiene que volver la cabeza una vez hacia la derecha y otra hacia la izquierda. A un nuevo proceso de verificación le sigue otro período de complacencia. A continuación, el bebé descubre una vez más que la bombilla no responde a la “regla”. Tras una nueva búsqueda activa, encuentra una nueva solución y así hasta que “aprende” el 0011.

Por tanto, se demuestra que el principal estímulo para aprender no es un premio, ni un caramelo simbólico después del colegio, sino el colegio en sí mismo; la posibilidad de aprender cosas nuevas. Nuestra tarea consiste en no sofocar este impulso, en no reprimir la necesidad innata de aprender; y también en crear un ambiente estimulante para que el niño pueda conservar su interés por el mundo. La psicología es también en este caso una fuente de intuiciones inesperadas. La cita que incluyo a continuación procede del libro Search Activity and Adaptation, de V. S. Rotenberg y V. V. Arshavsky, (Moscú, Nauka, 1984):

Los investigadores americanos Jones, Nation y Massad pusieron a prueba a cuatro grupos de sujetos. En la etapa inicial de la investigación, se propuso al primer grupo una serie de problemas de los que no consiguió resolver ninguno (0 % de éxito); el segundo grupo resolvió todos los problemas que se le dieron (100 % de éxito); los sujetos pertenecientes al tercer grupo consiguieron resolver uno de cada dos problemas (50 % de éxito). Tras ello, se dio a los sujetos de estos tres grupos más los del cuarto (el grupo de control) una serie de problemas que en principio no tienen solución, es decir, los investigadores intentaron desarrollar la llamada “indefensión aprendida”. En la etapa final se propusieron a todos los sujetos problemas resolubles de dificultad media. De este modo, los investigadores querían descubrir la eficiencia de la etapa previa. El resultado fue que solo los sujetos del tercer grupo desarrollaron inmunidad contra la indefensión aprendida. Fueron los que mejor resolvieron los problemas de la etapa final. No se observaron diferencias notables entre los grupos primero, segundo y el grupo de control. El resultado más interesante aparentemente es que tanto el 100 % de fracaso como el 100 % de éxito fueron igualmente ineficaces a la hora de aumentar la resistencia de los sujetos frente al fracaso.

Se obtuvieron resultados similares con niños, cachorros y crías de ratón. Da que pensar, ¿a que sí? Aún lamento no haberle dicho todo esto a aquel alumno con el que discutí. Todos deseamos que nuestros hijos sean inteligentes y despiertos, ¿verdad que sí? ¿Cómo lograrlo?

En su libro Two Worlds of Childhood: US and USSR, Urie Bronfenbrenner habla de un proyecto llamado El experimento de los treinta años, cuyo objeto era integrar a los niños con discapacidad intelectual que vivían en un hogar especial, para ayudarles a ser independientes. El experimento se componía de varias fases, de las cuales la más emotiva probablemente fuera la inicial. A cada niño le fue asignada una “madre” adoptiva escogida entre las mujeres con discapacidad intelectual que vivían en esos mismos centros. Las pruebas especiales que se llevaron a cabo dos años después mostraron que la inteligencia de los niños había aumentado entre un 20 % y un 30 % en media, mientras que la de los integrantes del grupo de control había disminuido. Lo que más me impresionó fue el hecho de que esas madres no estaban capacitadas para “enseñar” nada a esos niños. Lo único que podían hacer era abrazarlos, arroparlos, besarlos y, de un modo muy general, ser “madres” para ellos. Resulta que, al menos a cierta edad, los vínculos emocionales y los abrazos parentales son mucho más importantes para el desarrollo del niño —incluido el intelectual, quiero incidir en ello— que cualquier otra forma o actividad dirigida a la enseñanza. ¡Los padres no deberían olvidarlo!

No quiero escribir un libro de psicología (sobre todo porque no soy precisamente un experto), pero sí quiero retomar la teoría de Piaget una vez más y describir un experimento, el único que tuvo un éxito parcial en la enseñanza de la ley de conservación. Tengo en mente los “conflictos cognitivos” de Jan Smedslund (descritos en las pp. 374-375 del libro de John Flavell ya mencionado). Las cursivas son mías:

Si, por ejemplo, un sujeto determinado se sintiera inclinado a pensar que dar forma alargada a una bola de plastilina aumentaría la cantidad y que quitarle un trozo la haría disminuir, el investigador podría hacer ambas cosas a la vez [...]. El procedimiento tenía por objeto hacer parar al sujeto, inducirlo a vacilar entre diferentes estrategias contradictorias. A partir de ese punto, se esperaba que lentamente fuera adoptando el esquema más sencillo y coherente de la suma y la resta...

Nótese que no se les “explicó” nada a los niños, ni se comprobó nada utilizando una balanza. Fue posible “enseñar” la ley de conservación a cuatro niños de un grupo de trece y ya no hubo manera de “desenseñársela” después.

Sé que tengo tendencia a sacar conclusiones sin una base sólida y a contradecirme (unas pocas páginas más atrás insistía en que nuestro objetivo no era enseñar a un niño la ley de conservación y aquí estoy ahora intentando explicar cómo hacerlo). ¡No importa! Lo que quiero subrayar como base de mi método docente es lo siguiente: es importante hacerles vacilar, dudar entre dos estrategias contradictorias. El punto de vista opuesto es que la inteligencia es capaz de resolver rápidamente acertijos. Una vez más, aun a riesgo de sonar pretencioso, propongo que nuestro objetivo tiene que ser criar a nuestros niños para que sean homo deliberans (persona que razona). Veremos más adelante ejemplos concretos.

¿Por qué son necesarias las teorías?

Tengo en las manos un libro extraordinario con un título aburrido: Mathematical Simulation in Ecology: Historical and Methodological Analysis25. El tema del libro aparentemente no tiene nada que ver con lo que aquí estamos tratando, pero sirvió para consolidar mis ideas sobre la importancia de las “teorías”.

Este libro trata, entre otras cosas, sobre las clásicas ecuaciones de Lotka-Volterra. La idea de partida es bastante simple. Consideremos, por ejemplo, dos poblaciones: una de zorros y otra de conejos. Como los zorros se comen a los conejos, la población de conejos disminuye hasta que los zorros no tienen comida suficiente. Ahora es la población de zorros la que disminuye por falta de alimento, de modo que la vida de los conejos se hace menos peligrosa y su número crece. Los zorros vuelven a tener comida abundante, su población aumenta, disminuye la de los conejos, y así todo el tiempo. Es bastante fácil describir el comportamiento de este modelo utilizando ecuaciones diferenciales que, afortunadamente, pueden ser resueltas de forma explícita (algo poco habitual en este campo). Sus soluciones, que describen ambas poblaciones como funciones del tiempo, muestran de forma clara ciclos y oscilaciones.

Ya tenemos la teoría; ahora debemos comprobar empíricamente si es correcta. Lo cierto es que las observaciones empíricas, en las que se realizan medidas sobre dos poblaciones (no necesariamente de zorros y conejos, podemos fijarnos en cualquier par de especies con tal de que una se alimente de la otra), no proporcionan resultados satisfactorios. Esto no es de extrañar teniendo en cuenta los muchos factores externos que influyen sobre la existencia de estas poblaciones. Cualquier intento de identificarlos y tenerlos en cuenta se vuelve demasiado complicado.

El experimento puede llevarse a cabo en el laboratorio, controlando todos los parámetros, utilizando especies (como las levaduras) que son más fáciles de manejar que los animales. Ni siquiera en esos casos se ha podido lograr un tratamiento estadístico exhaustivo (el experimento se llevó a cabo en los años treinta del siglo pasado antes de que la estadística matemática estuviera desarrollada por completo), por lo que resulta complicado extraer conclusiones definitivas. En una ocasión, los investigadores encontraron oscilaciones en las poblaciones de liebres y linces cerca de la bahía de Hudson. El problema era que los ciclos iban en la dirección equivocada, como si las liebres fueran los predadores, y los linces, las presas. El irónico título del artículo era: “¿Se comen las liebres a los linces?”26.

En una palabra, hemos fracasado en nuestro intento de demostrar experimentalmente este modelo. ¿Qué deberíamos hacer? ¿Deberíamos simplemente abandonarlo? Algunos filósofos —críticos con la ciencia— son de esta opinión, pero los autores del libro no son filósofos, sino investigadores activos, y la conclusión a la que han llegado es justo la contraria.

En su intento de demostrar (refutar, especificar, desarrollar, modificar) el modelo de Lotka-Volterra, los científicos hicieron numerosas medidas y acumularon una valiosa experiencia. No podemos expresarlo con simples ecuaciones, pero a pesar de todo, los ecólogos saben mucho más hoy que a finales de los años veinte del siglo pasado. No habrían sabido por dónde empezar de no haber sido por aquel ímpetu inicial. Se habrían quedado al nivel de vagas declaraciones como la que afirma que “en la naturaleza todo está relacionado”.

Lo que no debemos olvidar es que el autor de una teoría invierte tanto en articularla que termina por creer en ella como si fueran los Santos Evangelios. Como diletante que soy, me siento con derecho a hacer malabares con distintas teorías aunque sean contradictorias, inventar otras aunque no tengan fundamento (o casi) y refutarlas al día siguiente. Hay modelos psicológicos en los que tengo total confianza, como la teoría del desarrollo cognitivo de Piaget. Otros, sin embargo, me parecen una absoluta basura, como la llamada “teoría de la formación paso a paso de acciones mentales”, que tan popular se hiciera en la URSS, o la teoría de Piaget sobre la adquisición del lenguaje en los niños27. Pienso en todo caso que, si nos aproximamos a las teorías sin afán dogmático, todas merecen ser tenidas en consideración, pues nos proporcionan argumentos en los que pensar y, en mi caso, ideas para inventar nuevos acertijos para mis niños.

En ese mismo libro de ecología leí la siguiente parábola. Un grupo de turistas visita unas islas del mar Blanco. Se han enterado de que por allí hay una isla con un lago de agua dulce en el que abundan las percas. Es incluso posible que ya estén en esa isla, pero ¿cómo encontrar el lago? No es sencillo moverse por los bosques pantanosos y accidentados de Carelia. ¡Necesitan una teoría! El agua del lago tiene que salir de él por alguna parte: quizá exista un manantial de salida y es posible que haya un sendero junto al riachuelo que brota del manantial. Avanzan a lo largo de la costa y encuentran ciertamente un río con un sendero que corre paralelo a él. De momento bien. Siguen el sendero que asciende por la pendiente a lo largo del río. Sin embargo, al poco, sendero y río desaparecen. “Subimos por la pendiente inclinada, pero no se ve nada más que bosque alrededor. Vagamos sin rumbo y, de repente, encontramos un camino que nos lleva hasta el lago”. Que, por cierto, ¡está lleno de unas percas magníficas! La moraleja de la historia es que necesitamos una teoría no para darnos una imagen correcta de la realidad, sino para comenzar a hacer algo; después ya veremos. (Aunque como los autores dicen en otro sitio, la teoría correcta es mejor que una incorrecta). En fin, ya es hora de que deje de parlotear y me ponga otra vez manos a la obra. Es hora de volver a nuestro círculo.

19 Los erizos aparecen con mucha frecuencia en la literatura infantil rusa.

20 En concreto en el sexto curso ruso, más o menos equivalente al séptimo u octavo curso en los EE. UU. (2.o de ESO en España, N. del T.).

21 El mejor resumen de su teoría aparece, en mi opinión, en el libro escrito por John H. Flavell titulado The Developmental Psycology of Jean Piaget (D. van Nostrand, Princeton, 1963).

22 Biyección es el término matemático que se usa para referirse a una correspondencia biunívoca. Dos conjuntos tienen el mismo número de elementos cuando existe una biyección entre ellos.

23 En la página 55 describo un caso en el que se logró un éxito parcial.

24 El siguiente experimento aparece descrito en: T. Bower: Development in Infancy. San Francisco, W. H. Freeman and Company, 1982 (2.a edición).

25 Sus autores son V. N. Tutubalin, Yu. M. Barabasheva, A. A. Grigoryan, G. N. Devyatkova y E. N. Uger.

26 Michael E. Gilpin: “Do hares eat lynx?”. The American Naturalist, vol. 107, n.o 957, 1973. (N. del T.).

27 Véase el notable libro de Steven Pinker The Language Instinct: How the Mind Creates Language, Harper Perennial, 1994.

Capítulo 2

El círculo matemático de los chicos.
Primer año

Como ya he dicho antes, el círculo comenzó en marzo de 1980, pero no empecé a tomar notas hasta febrero de 1981. No hay manera de recuperar las primeras 20 sesiones, así que el diario comienza con la sesión 21. Los títulos de estas sesiones no son descripciones completas. Cada una se componía normalmente de varias actividades, aunque el título describe solo una, generalmente una idea nueva, un incidente digno de atención o un súbito giro de los acontecimientos.

Sesión 21. La banda de Möbius

Miércoles, 4 de febrero de 1981, 10:30-11:00 h.

Dima, Pete, Gene, Andy.

Actividad 1

Corto una hoja de papel en cuatro tiras y las pegamos formando cuatro cintas de Möbius.

Explicación para no matemáticos: Si se coge una tira de papel y se pegan los extremos de forma “normal”, tenemos un cilindro sin bases (véase figura 10, izquierda), pero si antes de pegar los extremos se le da media vuelta (un giro de 180°) a uno de ellos, se consigue una figura diferente, la llamada banda de Möbius (figura 10, derecha). El cilindro tiene dos caras, la interna y la externa, que podemos pintar de colores distintos. En cambio, la banda de Möbius tiene solo una cara, y si se empieza a pintar la “superficie” interna, se termina coloreando toda la banda.

Figura 10. Dos formas de pegar una tira de papel por los extremos: a la izquierda se obtiene un cilindro sin bases, y a la derecha, una banda de Möbius.

Hago un cilindro para mí (para comparar). Dos hormigas compiten por ver cuál de sus casas es más rara. Sobre la banda de Möbius de Dima pinto las huellas de su hormiga por una cara y les muestro cómo las huellas pasan a la “otra” cara. En la banda de Gene dibujo las huellas de la hormiga en un borde y les muestro cómo estas pasan al borde “opuesto”. (Debería haber ido más despacio y haberles dejado que vieran por sí mismos que existe una única cara y existe un único borde).

A continuación, corto el cilindro por su línea central (línea punteada en la figura 10) y hago lo mismo con la banda de Möbius (ídem), al tiempo que les pido que adivinen el resultado. Después hago lo mismo con los objetos que he obtenido tras efectuar el corte y les pido que adivinen nuevamente. (Habría sido mejor no cortar por la línea central la segunda vez, sino haberlo hecho a un tercio del borde. De esta forma se habrían distinguido mejor los dos trozos enlazados que se obtienen).

Les muestro una pelota y les explico que está formada por dos mitades unidas. Les explico que el borde de las dos desaparece cuando las pegamos. A continuación les muestro cómo construir un toro con dos tubos de plástico (tampoco habrá borde). Les digo lo que ocurrirá si pegamos las dos bandas de Möbius a lo largo del borde (no habrá borde, pero será posible pasar del exterior al interior). No les impresiona en absoluto. Les hablo sobre la leche que había dentro y que de repente se encuentra fuera28. “¿Y qué? Se habrá derramado”, contestan ellos. (Debería haberles dicho que la leche no rebosa por el borde porque no hay borde).

Actividad 2

¿Cuánto cuesta el billete de metro (autobús, tranvía)29? ¿Qué tipo de tornos de entrada tenemos en el metro? (Aceptan únicamente monedas de 5 kopeks y no dan billete). ¿Qué clase de máquinas de monedas hay en el autobús? (5 kopeks en monedas de distintos valores y sí dan billete). Se trata de reunir 5 kopeks de todas las maneras posibles. (Las monedas están distribuidas en montones. Para poder juntar 5 kopeks de todas las formas posibles hacen falta una moneda de 5 kopeks, dos de 3 k, cuatro de 2 k y once de 1 k)30. Los chicos no lo hicieron tan bien como yo esperaba porque no comprendieron la pregunta. Se equivocaron contando; repitieron las combinaciones; se quedaron atascados con un grupo de monedas; no encontraron la moneda correcta porque siempre buscaban en el mismo montón: “¡Todo el rato salen monedas de un kopek!”.

Creo que Gene sacaba todo el rato monedas de 1 kopek porque buscaba en el montón equivocado. No sabía si decírselo y estaba tan alterado por ello que no me daba cuenta de que yo tampoco encontraba las monedas correctas por la misma razón. [Dima]

(Debería haber empezado por el precio del billete de tranvía y de ahí haber pasado al del trolebús y al del autobús. Incluso habría sido aún mejor comenzar por las monedas necesarias para llamar desde una cabina: 2 kopeks).

Sesión 22. ¿Qué es más grande, el todo o una parte?

Sábado, 14 de febrero de 1981, 10:35-11:20 h.

Dima, Pete, Gene, Andy.

Actividad 1

Pregunta para Dima:

— ¿Qué son más abundantes, las liebres o los animales?

— Los animales.

— ¿Por qué?

— Porque además de las liebres (la cursiva es mía) hay también loros, lobos, gatos, perros, etc.

— Porque las liebres también son animales —sugiero yo.

Pregunta para Andy:

— ¿Qué son más abundantes, los gansos o los pájaros?

Andy explica que hay más pájaros porque viven en todas partes, en la India, en Georgia y hasta en el Polo Norte. Usa el mismo patrón de respuesta que Dima (hay muchos pájaros diferentes) sin mencionar la idea central que expresa la palabra “además”. Le digo que también hay muchos gansos y le explico dónde viven. ¿Es posible que haya más gansos que pájaros? Andy dice que no lo sabe.

Pregunta para Gene:

— ¿Qué son más abundantes, los hombres o las personas?

Gene cree que hay más personas, pero no sabe explicar por qué. Dima le da la respuesta.

— Porque los hombres también son personas. Son gente doble.

(Analizamos entonces si los abuelos y los padres son hombres).

Pregunta para Pete:

— ¿Qué son más abundantes, las moscas o los insectos?

— Las moscas.

— ¿Por qué?

— Porque vuelan por todas partes.

— ¿Y los insectos no vuelan por todas partes?

— No.

— ¿Las moscas son insectos?

— Sí.

(Hablamos sobre el hecho de que no todos los insectos vuelan).

Dima fue el único que respondió correctamente, pero la actividad 4 (ver aquí) muestra que al igual que sus compañeros, él tampoco comprendía completamente el concepto de inclusión conjuntista.

Actividad 2

Seguimos respondiendo a preguntas (por tercera vez) sobre niños y niñas que llevan o no llevan gafas. Les hago cuatro preguntas más, una por persona.

Doy a cada uno de los chicos una tarjeta en la que he dibujado varios niños y niñas, algunos con gafas. Les pregunto si afirmaciones como “todos los niños que llevan gafas son chicos” o “hay una niña que no lleva gafas” son correctas. Se puede hacer este tipo de preguntas acerca de cualquier tarjeta, por lo que es una actividad fácil de repetir.

Pete se ha dado cuenta de que a él y a Gene les he dado los mismos dibujos. Alla me hizo notar que las afirmaciones eran también muy similares. “Todas las niñas llevan gafas” y “no hay ninguna niña que no lleve gafas” son equivalentes. A Andy le cuesta más que a los otros y sigue hablando de niños aunque las preguntas se refieran a niñas. Creo que se debe a que no había podido asistir a las dos sesiones anteriores en las que ya habíamos estado realizando esta actividad. El único que supo afrontar el problema de forma independiente (sin mi ayuda) fue Dima. Claro que la pregunta que le hice a él era más fácil: era referente a todos los niños, no a niños o a niñas por separado.

Una vez más, analizamos el problema del conjunto vacío. Por ejemplo, ¿es correcto decir “todas las niñas llevan gafas” cuando no hay niñas dibujadas en la tarjeta? Los niños, naturalmente, dicen que no.

— De acuerdo, entonces muéstrame una niña que no lleve gafas.

— ¡Pero si no hay ninguna niña!

— Por eso digo que todas las que aparecen aquí llevan gafas.

— ¡Pero si no hay ninguna!

— No digo que haya...

Y así todo el rato.

Al comienzo de la actividad se produjo una divertida escena. En cuanto saqué las tarjetas, los chicos se pusieron a gritar en inglés: “¡Azul! ¡Amarillo! ¡Marrón! ¡Gris!”. Entonces yo aproveché para preguntar, también en inglés:

— ¿Es un niño o una niña?

— ¡Un niño! (Andy estaba de broma).

— No, Andy, no es verdad, es una niña31.

Actividad 3

Doy a los chicos diferentes tarjetas con dibujos de formas similares a las de la figura 11. Tienen que adivinar qué forma falta. Andy es el primero en hablar. Le pregunto cómo lo ha adivinado y lo explica. Con esta ayuda, los demás también resuelven el problema, excepto Dima. (Gene parece haber resuelto el acertijo independientemente de la pista dada por Andy). Muestro a Dima en qué se ha equivocado.

Figura 11. ¿Qué forma falta?

— Mira, aquí cada fila contiene las tres formas diferentes, mientras que en tu dibujo hay dos triángulos en esa fila y ningún cuadrado.

Analizamos el principio general del patrón y Dima corrige su dibujo.

Hacemos una segunda vuelta con tarjetas similares, pero esta vez la forma que falta no está en la esquina inferior derecha, sino en una posición más complicada —en el centro, por ejemplo. En la siguiente ronda, las tarjetas contienen cuatro de las nueve formas y les pido que rellenen los huecos (figura 12). Los cuatro lo resuelven a la perfección.

Figura 12. Rellenar los huecos con las formas que faltan. Cada fila y cada columna deben contener los tres tipos de formas distintas.

Actividad 4

Enseño a los niños un triángulo de cartulina y les pregunto cómo se llama la figura y por qué. A continuación saco un cuadrilátero (con los lados de diferente longitud), un rectángulo, un cuadrado y un pentágono. Los niños dicen cómo se llama cada figura.

— ¿Cómo sabéis que esto es un rectángulo?

— Tiene todos los ángulos rectos.

(Tiempo atrás le había leído a Dima el libro Geometry for Kids32, por eso sabía lo que eran los ángulos rectos).

— ¿Podemos decir que es un cuadrilátero?

— No.

— ¿Por qué no? Contad los ángulos.

— Cuatro.

— Correcto, entonces también es un cuadrilátero33. Tiene dos nombres: rectángulo y cuadrilátero. Un rectángulo es un cuadrilátero, uno especial con ángulos rectos.

Les hago la misma pregunta sobre el cuadrado.

— ¿Podemos decir que es un cuadrilátero?

— No.

— ¿Por qué no?

— Porque no es alargado —dice Dima.

Sigue a esta otra discusión similar. Les explico que un cuadrado puede tener tres nombres y todos ellos correctos.

— Y ahora dime, ¿qué hay más, cuadrados o rectángulos?

— Cuadrados.

— ¿Por qué?

— Porque son más fáciles de recortar —contesta Dima.

Me rindo.

(Debería haber sacado las tres figuras y haberles pedido que contaran el número de cuadrados, rectángulos y cuadriláteros).

La siguiente figura que presento es un polígono no convexo de ocho lados (figura 13). Gene es el único que cuenta correctamente los ángulos; el resto no tiene en cuenta las “partes cóncavas”34. Les explico que también tienen que contarlas. Dima pregunta: “¿Pero también son ángulos? Si son agujeros... agujeros angulares”.

Figura 13. Polígono con ocho ángulos, ¿o no?

Distribuyo cuadriláteros irregulares similares y ellos tienen que dibujar una línea a lápiz, recortar la figura y formar (a) dos triángulos; (b) dos cuadriláteros; (c) un cuadrilátero y un triángulo; (d) un pentágono y un triángulo. Andy es el único que lo hace perfectamente. Los demás cometen algún fallo y a veces se copian entre sí. Dima plantea una inusual solución para la cuestión (b): recorta un cuadrilátero dentro de otro (figura 14), que sigue siendo un cuadrilátero, a pesar del hueco.

Figura 14. ¿Qué es esto? ¿Un cuadrilátero?

Me dispongo a decirle que su solución no es correcta, pero me detengo justo a tiempo, con la sensación de que hay que estimular que propongan ideas originales como esta. Inspirado, Dima continúa por el mismo camino y plantea una solución similar para (c): recortar un triángulo dentro del cuadrilátero. Y después intenta resolver (d) del mismo modo, pero no lo consigue.

Al final de la sesión, los chicos casi se pelean por unas tijeras (solo hay dos); además, la actividad nos ha llevado bastante tiempo, así que pongo punto final a la sesión sin terminar de discutir las soluciones de (c) y (d). Andy dice que quiere llevarse sus figuras a casa. Ni que decir tiene que los demás siguen su ejemplo.

Sesión 23. La torre de Hanoi

Sábado, 28 de febrero de 1981, 10:40-11:15 h.

Dima, Pete, Gene, Andy.

Actividad 1. Preguntas sobre transitividad

Le pregunto a Andy:

— A un niño le gusta más el helado que las nueces y le gustan más las nueces que las naranjas. ¿Qué le gusta más, el helado o las naranjas?

— El helado.

— ¿Por qué?

— Porque empezó a comérselo antes.

— ¿Le dejaron hacerlo antes?

— Sí.

La siguiente pregunta es para Dima.

— El abuelo tiene más dinero que papá, y papá, más que mamá. ¿Quién tiene más dinero, el abuelo o mamá?

— El abuelo.

— ¿Por qué?

— Sé que el abuelo gana más dinero que mamá.

— ¿Cómo lo sabes?

— Lo sé y ya está.

— ¿Pero lo sabes porque comprendes el acertijo o porque conoces sus vidas?

— Porque conozco sus vidas.

La siguiente es para Gene:

— Un pino es más grande que un abeto y el abeto es más grande que un abedul. ¿Cuál es mayor, el pino o el abedul?

— El pino.

— ¿Por qué?

No recuerdo la respuesta de Gene, porque en ese momento Dima lo interrumpió para decir:

— Porque el pino es el más grande y el abedul es el más pequeño. Y el abeto es el más mediano.

Realizamos observaciones acerca de si es eso lo que ocurre en realidad. Los chicos gesticulan.

(Ya me acuerdo de la respuesta de Gene: “El pino empezó a crecer antes que el abedul”).

Puede ser que los chicos entiendan que cuando les pregunto “¿por qué?” les estoy exigiendo una explicación, “¿por qué tal cosa sucede de determinada manera?”. No es el hecho lógico lo que les interesa, sino una explicación de por qué ocurre así.

La siguiente pregunta es para Pete:

— Un cazo contiene más agua que una tetera, y la tetera, más que una jarra. ¿Cuál contiene más agua, el cazo o la jarra?

Dima vuelve a interrumpir y entre los dos responden correctamente.

(La próxima vez debería probar con condiciones inverosímiles: Jane35 es más grande que Dima, y Dima, más grande que papá. ¿Quién es más grande, papá o Jane?).

Actividad 2

Vuelvo a sacar tres figuras: un cuadrado, un rectángulo y un cuadrilátero. Recordamos sus nombres y les pido que cuenten los cuadrados (uno), los rectángulos (dos) y los cuadriláteros (tres). Pete es el único que responde a lo último correctamente. Hago un resumen:

— ¿Qué hay más, cuadrados o cuadriláteros?

Su respuesta no cambia.

— Cuadrados (porque hay muchos en las casas, en el tejado, en la chimenea, etc.).

No les explico nada más, únicamente les pregunto si los cuadrados son cuadriláteros y responden que sí.

Actividad 3

He seleccionado 16 objetos (un múltiplo de 4 porque tenemos cuatro participantes) del “kit de matemáticas escolares elementales”: dos círculos azules, dos cuadrados amarillos, tres cuadrados rojos, cuatro triángulos rojos y cinco triángulos verdes. Atando los extremos de una cuerda formo una circunferencia que coloco sobre la mesa. Los chicos cogen, por turnos, una figura y tienen que poner las rojas dentro de la circunferencia de cuerda y dejar fuera las de otros colores.

Retiro la circunferencia y con una nueva cuerda hago otra circunferencia similar que pongo sobre la mesa. La tarea ahora es meter dentro los triángulos y dejar fuera las otras figuras. Ninguno se equivoca (excepto Andy, una vez).

Ahora pongo las dos circunferencias de cuerda sobre la mesa, pero sin que se solapen. Los chicos tienen que realizar ambas tareas a la vez. Tras la primera ronda, paso un triángulo rojo a Dima. Él lo coloca con las figuras rojas sin pensárselo. Quiero que los cuatro piensen en el conflicto que se suscita entre las dos tareas. (Otra vez me estoy adelantando. Debería haber esperado a que terminaran y haber analizado el tema entonces).

Andy dice:

— ¿Está hecho a propósito?

— Así es. Lo de antes ha sido solo un calentamiento. El problema real viene ahora: tenéis que pensar en la manera de que el triángulo pueda estar simultáneamente aquí y allí.

Dima intenta hacer un puente entre las dos cuerdas con el triángulo. Le doy una pista:

— ¿Y si moviéramos las cuerdas de alguna forma?

Andy entiende lo que quiero decir y plantea solapar ambos círculos (aparentemente, Dima también lo había entendido, pero no le dio tiempo a decirlo). El problema se resuelve y se completa fácilmente (cada uno coloca un triángulo rojo, puesto que hay cuatro). Las cuerdas blancas y las figuras de colores quedan muy bonitas encima de la mesa negra. Se lo digo y Andy contesta:

— ¡Ha sido idea mía!

— No, se me ocurrió a mí —contesta Dima.

Yo intento decirles que los triángulos rojos pertenecen a las dos categorías, pero no obtengo reacción alguna.

Actividad 4. La torre de Hanoi

Entrego a cada uno una copia del juego y les explico las reglas. Este juego está considerado como una verdadera joya en la programación informática. Se puede utilizar con niños de cinco años, pero para alumnos universitarios también supone un reto. Esta es una descripción tomada de un artículo reciente de la Wikipedia:

Se compone de tres varillas verticales y varios discos de distintos tamaños que podemos insertar en cualquiera de las tres varillas. El juego comienza con los discos apilados de mayor a menor en una varilla, formando una torre cónica con el vértice hacia arriba. Se trata de pasar todos los discos a otra varilla siguiendo estas tres reglas:

1) Solo se puede mover un disco cada vez.

2) Cada movimiento consiste en sacar el disco superior de una de las varillas y apilarlo en otra, encima de los discos ya colocados.

3) No se puede poner un disco de mayor tamaño sobre otro de menor tamaño.

El juego fue inventado por el matemático francés Édouard Lucas en 1883. Cuenta una leyenda que en un templo vietnamita hay una enorme sala con tres postes gastados por la acción del tiempo, uno de ellos con 64 discos dorados ensartados. Los monjes de Brahma, conforme a una antigua profecía, tenían la tarea de mover estos discos siguiendo las reglas del juego. Según la leyenda, cuando completaran el último movimiento se terminaría el mundo.

Una versión del problema para niños de más edad consiste en pedirles que calculen, al menos aproximadamente, cuándo “terminará el mundo”. (Pista: para mover una torre de n discos necesitamos 2n − 1 operaciones. Si tardamos un segundo en cada operación, ¿cuánto tiempo se necesita para mover una torre si n = 64?).

Cuesta seguir todos los movimientos de los niños y además se saltan las reglas todo el tiempo. Dima ya ha resuelto el rompecabezas dos veces, por lo que es el primero en terminar y sin hacer trampas. Al final, cuando los demás no saben cómo seguir, se quedan observando sus rápidos y seguros movimientos sin respirar siquiera. Pete parece incapaz de comprender las reglas y no deja de incumplirlas aun cuando Dima, Natasha36 y yo intentamos ayudarle. Las sugerencias de Dima lo enfadan.

Figura 15. La torre de Hanoi: posición inicial.

Figura 16. Una de las posiciones intermedias. Al final, hay que conseguir mover la torre completa a B o a C.

Gene comprende las reglas, pero duda mucho. Mueve los dos primeros discos, pero luego se bloquea, no sabe qué hacer a continuación. Natasha, Dima y yo lo ayudamos. Se enfada con Dima y le dice que se ha equivocado por su culpa. Dima a su vez se burla de él y le dice que ayudó a Pete para que este terminara antes que Gene y que Andy. Según él, todos tendrían que irse a dar una vuelta menos Gene, que debería quedarse. Tuve que reprenderlo seriamente.

Andy, a quien no presté demasiada atención mientras resolvía el rompecabezas, había movido su torre con bastante rapidez, mucha más que yo. Le pedí que repitiera los movimientos, pero entonces se dio cuenta de que debía de haber hecho algo mal y se negó en redondo. Dijo que había resuelto el acertijo una vez y que no lo haría una segunda vez.

— Me temo que te has saltado las reglas —dije yo.

— ¿Cuándo? —preguntó Andy con insolencia, consciente de que yo no podía pillarlo puesto que no había visto nada. Pero Lyuda lo delató. Andy se enfadó mucho. Lyuda intentó consolarlo, comenzó a mostrarle la forma correcta de hacer el acertijo y, al final, lo resolvió ella. Cuando Pete hubo terminado, Andy dijo:

— Pete ha tenido mucha ayuda.

Obviamente, se le había olvidado que no había conseguido resolver el rompecabezas. Él también se burló de Gene.

Mi defecto es que reacciono ante su comportamiento como si fueran adultos en vez de niños. En la teoría, soy perfectamente consciente del principio “critica el comportamiento, no al niño”, pero en la práctica no lo hago. Lo peor es que eso me hace retraerme y mi estado de ánimo afecta a la atmósfera general mucho más que sus tonterías sin importancia.

Sesión 24. Un poco de topología

Sábado, 7 de marzo de 1981, 10:35-11:00 h.

Dima, Pete, Gene.

Actividad 1. Preguntas sobre transitividad con condiciones improbables

Pregunta para Dima:

— Érase una vez una niña llamada Jane, un niño llamado Dima y su papá. Jane era más grande que Dima (“¡Oh!”), y Dima, más grande que papá. ¿Quién crees que era más grande, Jane o papá?

Dima se ríe, pero responde correctamente.

— Jane es más grande, Jane es la más grande. Es más grande que Dima y Dima es más grande que papá.

Pregunto entonces a Gene:

— Érase una vez un gusano, una bicicleta y un avión que decidieron ver cuál de los tres corría más. Resultó que el gusano corría más rápido que la bicicleta, y la bicicleta, más rápido que el avión. ¿Cuál crees que corría más, el gusano o el avión?

Gene responde correctamente, pero después de un ataque de risa tan grande que se cae hacia atrás en el sofá. Le meto un poco de prisa. Natasha también lo intenta, en vano. Parece confundirle el hecho de que los aviones no corren, sino que vuelan.

Pregunta ahora para Pete:

— Érase una vez tres niños: Dima, Pete y Andy. Dima era mayor que Pete, y Pete, mayor que Andy. ¿Quién era mayor, Dima o Andy?

Pete responde correctamente y lo explica.

(Podría argumentarse que este tipo de preguntas son ejemplos de “conflicto cognitivo” según Smedslund (ver aquí). Los niños tienen que elegir entre dos explicaciones contradictorias. Si una hormiga pesa más que un perro y un perro pesa más que un elefante, es posible concluir quién pesa más a partir de (a) la experiencia vital (un elefante pesa obviamente más que una hormiga, que es muy pequeña); (b) la transitividad, es decir, la formulación del acertijo (en cuyo caso la hormiga pesa más). Puede que el humor estimule el desarrollo intelectual creando una especie de conflicto cognitivo, pero afirmar esto es, quizá, ir demasiado lejos porque los chicos comprenden rápidamente que tienen que contestar “al revés”.

Actividad 2. Clasificaciones topológicas

Recuerdo a los chicos el juego de “El intruso”. Les explico que en esta ocasión no va a haber una tarjeta con un intruso, sino que tienen que separar las ocho tarjetas de cada ronda en dos grupos iguales (de paso, les pregunto cuánto es 8 entre 2).

Las categorías son las siguientes (propiedades “opuestas”):

(1) Convexos y no convexos (no se trata de una propiedad topológica, sino geométrica); todas las figuras son homeomorfas a un círculo37.

(2) Una forma o dos formas.

(3) Dos figuras, una dentro de la otra o una fuera de la otra.

(4) Ocho círculos topológicos, cuatro de ellos con dos “antenas”.

(5) Ocho círculos, cuatro de ellos con dos “antenas” y el resto con tres.

(6) Dos figuras similares unidas por dos o tres “puentes”.

Los problemas 3 y 6 les resultaron los más difíciles; el 5, bastante difícil, y no les costó resolver el resto.

Las verdaderas dificultades no eran de tipo matemático. En cuanto saqué las tarjetas, los chicos intentaron coger tantas como les fuera posible, sin esperar instrucciones, peleándose entre sí y arrugando las tarjetas con las prisas. Empecé a ponerme nervioso y, lo que era todavía peor, así no podíamos analizar las tarjetas. Al final, tuve que imponerme y prohibirles que las tocaran si no era para dar una solución y con mi permiso.

Los problemas más fáciles (números 1, 2 y 4) los resolvió en su mayor parte Pete. Dima y él eran los participantes más activos, aunque Pete encontraba las soluciones más rápidamente. Gene se quedaba fuera del juego. Dima inventaba muchas “explicaciones” originales y no siempre se ceñía al enunciado de los problemas (por ejemplo, en vez de dividir las tarjetas en dos grupos de cuatro, él proponía hacer un grupo de dos y otro de seis).

Gene resolvió los problemas más difíciles (números 5 y 6), cuando los demás no sabían por dónde cogerlos. Tengo que decir que también se le daba bien el juego del intruso. No resultaba fácil escuchar con paciencia sus explicaciones (porque, en cuanto la atención se centraba en él, guardaba silencio) ni proteger sus tarjetas de Pete y Dima.

Dima dio una solución al problema 6 diferente de la que yo tenía en mente. Dividió las figuras en las que tenían “líneas rectas” y las “curvas”. No pude rebatir su enfoque. Sin embargo, se negó a buscar otras soluciones alternativas, así que tuve que reñirle y decirle que el círculo era para todos, no solo para él.

En el problema 3 tuve que darles una pista. Dije que todas las clasificaciones que proponían (especialmente Dima) eran demasiado complicadas, que la diferencia podía explicarse en dos palabras. Una determinaría lo que teníamos que poner en un montón, y la otra, lo que tenía que ir al otro. Las palabras eran “dentro” y “fuera”.

Actividad 3. La torre de Hanoi (segunda vuelta)

Dima fue el primero en terminar. Gene (tras cinco pistas por mi parte) fue el segundo. Se puso tan contento que empezó a saltar y a mover las piernas. Pete volvió a necesitar las pistas de Dima (por algún motivo, no se le da bien este rompecabezas). Solo pudo hacer de forma independiente los cinco primeros y los dos últimos movimientos.

Intenté pararlo para poder decir después que lo había hecho yo todo. [Dima]

Tenía otra tarea en mente relacionada con conjuntos y subconjuntos, pero se nos acabó el tiempo. Mejor así, porque si no, habrían sido demasiadas actividades con tarjetas.

Sesión 25. El niño del ascensor

Sábado, 14 de marzo de 1981, 10:40-11:00 h.

Dima, Pete, Gene y Andy.

La sesión duró solo veinte minutos porque Gene llegó tarde y yo tenía que irme a las once en punto.

Actividad 1

Había un niño que vivía en la decimoquinta planta de un bloque de pisos. Su madre dejaba que subiera y bajara solo en el ascensor, pero tenía un modo extraño de utilizarlo: cuando bajaba, lo hacía directamente hasta el bajo, pero cuando subía, llegaba hasta la séptima planta y luego seguía por las escaleras. ¿Cómo podéis explicarlo?

— Era una costumbre —contesta Andy.

— Quería hacer ejercicio.

Y así.

— Cuando se hizo un poco mayor, empezó a subir en ascensor hasta la novena planta y después seguía por las escaleras.

— Yo creo que se hizo vago —dijo Dima.

— Pero el acertijo no especifica si era vago o no, ni si quería estar en forma o no. Solo dice que era pequeño.

— Era una costumbre, simplemente —insiste Andy.

Les sugiero que lo piensen un poco más después. (Esperaba que les resultara fácil resolver el acertijo recurriendo a su propia experiencia, pero no hubo suerte).

Actividad 2

Meto en una taza un montón de fichas de cuatro colores, trece de cada uno (una grande y doce pequeñas), y empiezo mi historia: “Había una vez cuatro ejércitos: el rojo, el amarillo, el azul y el verde. Estos son sus generales (las fichas grandes) y el resto son los soldados. ¡Ahora, hay que formar los ejércitos!”.

Formamos cuatro columnas con los “generales” al frente. No todas las columnas tienen la misma longitud y, de forma espontánea, los chicos se ponen a discutir sobre cuál es más grande. Andy ocupa una posición intermedia muy interesante. Primero dice que hay más soldados en la columna más larga (solo tiene en consideración su longitud), pero cuando estiro la fila más pequeña y la hago más grande, él insiste en que hay más soldados en la primera.

Con mi habitual falta de flexibilidad corto la discusión y sigo con el planteamiento del acertijo.

“Los ejércitos estaban todo el tiempo peleando hasta que se hartaron y decidieron hacer las paces y celebrar una gran fiesta. Pusieron mesas (saco unos cuadrados de cartulina), una para cada cuatro soldados, y los cuatro soldados de cada mesa tenían que ser de colores distintos. Tenía que cumplirse una norma muy importante: los cuatro colores tendrían que estar dispuestos de maneras diferentes alrededor de cada mesa porque, si no, la paz no sería estable y duradera”.

Dejo los generales sobre la mesa y los chicos cogen inmediatamente las fichas pequeñas y empiezan a colocarlas alrededor de las mesas. (Yo había imaginado, cómo no, un procedimiento más sistemático). Al no proceder con un plan, se hace más difícil identificar las disposiciones de asientos idénticas (y, por tanto, prohibidas); Pete es el primero en descubrirlas. Cada vez que se encuentran dos disposiciones iguales, los chicos cambian una de ellas sin caer en la cuenta de que al hacerlo puede que sea igual a la disposición de otra mesa.

A veces (con la ayuda inestimable de Natasha) surgen dudas sobre las reglas. En este caso decidimos que hay que contar como distintas las configuraciones de las mesas obtenidas mediante rotaciones.

(Comentario: En total hay 4! = 24 disposiciones posibles, que son demasiadas para que los chicos puedan encontrarlas todas. Elegí doce fichas solo porque serían tres o cuatro participantes y así habría igual cantidad de fichas para todos).

Adenda

El martes, Alla le dijo a Dima que subiera en ascensor a la planta decimoquinta. Como no llegaba al botón, se acordó del problema que habíamos visto en la última sesión y fue así como encontró la solución. Lo mismo le ocurrió a Andy. No hubo que inducirle a recrear la situación, puesto que vive en la planta decimotercera.

En la sesión no se me ocurrió pensar que el niño no alcanzaba al botón. De hecho, no se me ocurrió ponerme en su lugar. [Dima]

Sesión 26. Intersección de conjuntos

Sábado, 21 de marzo de 1981, 10:35-11:00 h.

Dima, Pete, Gene.

Actividad 1. Clasificación sin intersección

(1) Les enseño a los niños un conjunto de cinco tarjetas (en las que se ven una mariposa, un cuervo, un avión, un tren y un barco) y les pido que señalen las que contienen objetos voladores. Volvemos a apilar las tarjetas y les pido que elijan las que muestran medios de transporte. Discuten acerca del avión. Dima cree que debería quedarse con los elementos que vuelan (para que los conjuntos sean disjuntos), mientras que Pete insiste en que pertenece al conjunto de los medios de transporte. Gene zanja la situación diciendo: “¡Es común a los dos grupos!”.

Felicito a Gene por haber encontrado la expresión exacta y les pregunto, sin esperanza real de obtener la respuesta, a qué problema se parece. De repente, es Dima quien afirma correctamente: “Al de los triángulos rojos”.

Agradablemente sorprendido, felicito a Dima y saco las cuerdas. Gene intenta poner la tarjeta del avión sobre las dos cuerdas (como hizo Dima aquella otra vez), pero Dima y Pete le dicen que no es así y colocan las tarjetas correctamente. A continuación separan los siguientes grupos de tarjetas en dos clases sin esperar a que yo les diga nada (pensé que sería necesario).

(2) Un huevo, un pez, un champiñón, un abeto y flores. Enseguida los dividen en cosas que se comen y cosas que se plantan. Pete coloca inmediatamente el champiñón en la intersección.

(3) Una paloma, una urraca, un avestruz, una jirafa y un lagarto. He metido la pata. En vez de un avestruz saco una tarjeta con una grulla y encima digo que es una cigüeña. Admito públicamente mi error, le doy la vuelta a la tarjeta y declaro por decreto que es un “avestruz”. Alla aprovecha la oportunidad para hablarnos sobre el guion o rey de codornices, un ave rusa que tampoco vuela, aunque es capaz de recorrer caminando cientos de kilómetros en época de migración.

(En general, no es buena idea definir conjuntos mediante negación [“no vuela”], pero con las cartas disponibles no tenía otra opción. La próxima vez le pediré a Alla que dibuje las ilustraciones que necesite).

(4) Una niña, dos niñas, un niño, un hombre y un anciano. Me encuentro con una inesperada dificultad: Dima coloca la ilustración del anciano en la intersección y dice: “Aunque es un abuelo, parece una señora”.

(El hombre del dibujo es calvo y lleva una barba larga).

Tras numerosos intentos, Pete resuelve el problema.

Actividad 2

Los chicos cogen tarjetas con dibujos (una flor, un lápiz, la letra A, etc.). Algunas muestran un único objeto; otras, varios. También hay una tarjeta con el conjunto vacío (está en blanco). Colocamos las tarjetas sobre un enorme pliego de papel gris. Los chicos deben mostrar mediante flechas la relación “esta parte es mía” (es decir, “es subconjunto mío”). La dificultad principal que encuentro es que me molesta la forma en que los chicos tratan nuestras preciosas tarjetas nuevas: intentan dibujar sus flechas mágicas directamente sobre ellas y, pese a todas las precauciones y advertencias, algunas terminan manchadas.

Dima es el primero en trazar una flecha desde un conjunto al conjunto vacío, pero no se le ocurre trazar flechas similares que partan de los otros conjuntos38. Si bien los chicos resolvieron bastante bien la tarea, yo tenía la impresión de que no habían comprendido realmente lo que habíamos estado haciendo.

Sesión 27. Cuadriláteros en el tablero perforado

Sábado, 4 de abril de 1981, 10:35-11:00 h.

Dima, Pete, Gene, Andy.

Creo que a Andy le aburren nuestras lecciones. Es un niño al que le gusta competir y ganar, pero eso es algo que rara vez ocurre en el círculo. Sería absurdo obligarlo a asistir, pero, por otro lado, no puedo dejar de invitarlo a que participe; tengo que proceder con tacto. Confío en que Lyuda, más que ninguna otra persona39, sea consciente de la situación. Hoy Andy ha estado a punto de estropear la sesión.

Actividad 1

Antes de empezar, los niños estaban muy revoltosos y para calmarlos se me ocurrió pedirles que contaran muy bajito del 1 al 10 y luego al revés. Sin embargo, metí la pata al decir que quien hablara más bajo ganaría. El resultado fue que cuando terminaron de contar, en vez de estar calmados y centrados, empezaron a discutir entre ellos sobre quién había ganado.

Actividad 2

Se trataba una vez más de clasificar conjuntos con intersección no vacía. Como los chicos ya conocían la mecánica, coloqué rápidamente sobre la mesa las dos cuerdas y comencé a explicar.

— Recordaréis que ya hemos hecho problemas de este tipo, primero con triángulos rojos y después con tarjetas...

— Yo no quiero hacer cosas que ya hemos hecho, me aburre —me interrumpió Andy.

— Si te parece aburrido, no tienes que participar, puedes mirar —respondí yo.

Entonces Pete dijo que él también se aburría. (Tan solo una semana antes le había contado a su madre que las matemáticas le gustaban aún más que el inglés y dibujar. Su razonamiento fue inesperado: “Jugamos en clase de inglés y dibujo, mientras que en la de matemáticas hacemos cosas serias”. El amor es un pájaro rebelde...40).

Sin saber qué otra cosa hacer, le dije lo mismo que a Andy. Dima, mi única esperanza, se lo pensó un poco y dijo:

— A mí también me aburre un poco, pero lo haré de todas formas.

Sin esperar a que Gene dijera nada, empecé la sesión.

— Bien, tenemos aquí un conjunto de cartas para Dima y Gene...

Entonces Andy vio que las tarjetas no eran las mismas de la última vez y gritó:

— Vale, lo haré —y trató de agarrar las tarjetas.

Pete también gritó: “¡Yo también lo haré!”, pero yo ya no estaba de humor. Me encontraba molesto, sobre todo al ver que Andy no dejaba que ningún otro cogiera una tarjeta, no paraba de pelear con Gene y distraía constantemente a todos con bromas estúpidas.

Solo nos dio tiempo a ver tres conjuntos (¡y llevaba once preparados!):

(1) Una pelota, un neumático, botas de goma, un abrigo y un sombrero (tres objetos de goma, tres prendas de ropa; las botas de goma son el elemento común).

(2) Una pelota, un neumático, botas de goma, un sonajero y un payaso de juguete (tres objetos de goma, tres juguetes; la pelota es el elemento común).

(3) Una pelota, un neumático, botas de goma, un volante y el chasis de un coche (tres objetos de goma, tres partes de un coche; el neumático es el elemento común).

En general, todos lo hicieron peor que la última vez. A Dima siempre le pasa igual: no es capaz de ceñirse a las reglas del problema y su impulso creativo carece de orden. En este caso insistía en que el neumático también era una prenda de vestir porque te lo puedes poner a la cintura. Intentamos convencerlo de que no, a lo que él respondió:

— Sigue siendo una prenda de vestir porque los coches lo llevan puesto.

Los chicos no fueron capaces de resolver el primer problema y tuve que darles la solución. En los dos problemas restantes, Dima colocó las tarjetas correctamente, pero Pete y Gene ya habían dado antes la solución.

Actividad 3. Problemas en el tablero perforado

Problema para Dima: haz un triángulo (lo hace). Para Andy: haz un cuadrado (lo hace). Para Gene: haz un rectángulo (lo hace). Para Pete (le advierto que esa es la tarea más difícil): haz un cuadrilátero que no sea un rectángulo. Pete hace un hexágono. Le pido que cuente los ángulos. Dima dice que solo tiene dos ángulos y los señala (aparecen indicados en la figura 17).

Figura 17. ¿Es cierto que esta figura tiene solo dos ángulos?

— ¡Te equivocas! —grita Gene al tiempo que cuenta los ángulos. Pero Dima ya ha comprendido cuáles son los ángulos que hay que contar y aparta a Gene para contarlos él: son seis. Ahora le pido a Dima lo mismo que le he pedido antes a Pete, y el resultado, nuevamente, es del todo inesperado (figura 18):

Figura 18. Un inesperado “cuadrilátero”.

— Es un cuadrilátero —dice— porque tiene cuatro ángulos —y los señala.

Yo le digo que su solución es muy interesante, pero que el cuadrilátero debe ser cerrado. Entonces le pregunto a Andy y hace un hexágono irregular. Al final, Gene da la solución correcta y dibuja un paralelogramo con ángulo de 45° (figura 19).

Figura 19. Paralelogramo con ángulos de 45°.

Nuestra sesión termina aquí, pero Pete no quiere irse. Me pide que resuelva yo un problema que él me propone: construye una figura y yo debo hacer la misma, pero girada 90°. Hago lo que me pide y se va tan contento.

Sesión 28. Comenzamos con la teoría de la probabilidad

Sábado, 11 de abril de 1981, 10:40-11:15 h.

Dima, Gene, Andy.

Actividad 1. Clasificación con intersección entre categorías:
continuación

Saco las dos cuerdas de siempre y digo:

— Mirad, Alla ha hecho tarjetas nuevas para vosotros —enfatizando la palabra “nuevas”.

No soy el único que ha cambiado el tono. Andy, a quien parece que Lyuda ha leído la cartilla, pregunta de una forma mucho más educada:

— ¿Por qué siempre hacemos los mismos rompecabezas?

— ¿Resolviste todos los rompecabezas la última vez? —pregunto yo sin demasiada compasión.

Andy se muerde el labio y se calla, ni siquiera me mira.

— Queremos aprender a resolver todos los rompecabezas de este tipo.

Les pido que me prometan que esta vez harán todo por estricto orden, todo el mundo contestará cuando le toque y nadie interrumpirá hasta que haya quedado resuelto el problema. Ojalá hubiera seguido fielmente desde el principio la primitiva pero indispensable regla escolar que dice que la disciplina es lo primero; la de problemas que me habría ahorrado.

(1) Para Dima: un lápiz, un bolígrafo, una máquina de escribir eléctrica, una aspiradora y una máquina de coser (tres utensilios de escritura y tres electrodomésticos; la máquina de escribir es el elemento común).

— Con esto escribimos —dice Dima, pero por algún motivo pone la máquina de coser en la intersección.

— ¿Usamos esto para escribir?

— Sí.

— ¿Y qué es esto?

— Una máquina de coser. ¡Anda, no es para escribir, sino para coser!

Gene intenta corregir a Dima, pero este se empeña, desafiante, en colocar las tarjetas de un modo absurdo. Tras una larga discusión, colocamos juntos las tarjetas en su lugar correspondiente. A los niños les cuesta reconocer lo que tienen en común los “electrodomésticos”, así que les ayudo y repasamos otros objetos de la casa que podrían encajar en esa categoría (batidora, lavadora, frigorífico, etc.) y también en la otra (tiza, pinceles, etc.).

(2) Para Andy: un reloj de arena, un reloj de pulsera, un despertador, un anillo y un collar (tres tipos de relojes y tres objetos que podemos llevar puestos; el reloj de pulsera es el elemento común).

Andy identifica y describe los dos conjuntos correctamente (“relojes y cosas que la gente puede llevar puestas”), pero por alguna razón coloca el despertador en la intersección. Lo comentamos y le pregunto si podemos ponernos un despertador. Gene corrige a su compañero y Dima interrumpe, redistribuye las tarjetas y, al cabo de tres o cuatro intentos, llega a la conclusión acertada.

Esta vez es Gene quien declara desafiante que esa solución (¡la suya!) es incorrecta y vuelven a hacerse un lío con todo. Inesperadamente, es Alla la que interrumpe esta vez. Ha encontrado otra posible solución: relojes y “objetos redondos”, el despertador es el que está en la intersección. En general, no está mal mostrar que puede haber varias soluciones, pero, desafortunadamente, esta división (en “relojes” y “objetos redondos”) era el objeto de la siguiente tarea, por lo que Alla les dio una pista sin querer.

(3) Para Gene: un reloj de arena, un reloj de pulsera, un despertador, un plato y un tambor (tres relojes de distinto tipo y tres “objetos redondos”; el despertador es el elemento común). Gene identifica rápidamente las dos clases, pero vacila al colocar las tarjetas en los círculos de cuerda. Finalmente, pone el reloj de arena en la intersección y explica que es redondo si se mira desde arriba. Tengo que darle la razón, pero consigo convencerlo de que debemos poner el despertador en la intersección. Tras ello, discutimos sobre lo que ocurriría si el reloj de pulsera fuera redondo también (en este caso, el conjunto de los relojes sería un subconjunto del conjunto de los “objetos redondos”).

Actividad 2. Hacia la teoría de la probabilidad

Pongo dos cubos amarillos y dos negros dentro de una bolsa opaca y les digo que es un sótano oscuro en el que hay un par de zapatos amarillos y un par de zapatos negros. Para poder salir a la calle, tienen que ponerse un par que haga juego, no vale llevar zapatos de distintos colores. Como el sótano está oscuro, no queda más remedio que coger los zapatos de uno en uno sin poder verlos. Los chicos sacan los cubos por turnos, tomando nota de los cubos que han ido sacando hasta conseguir el par a juego. (Habría sido mejor darles fichas con figuras).

Analizamos con cuántas extracciones (1) no podríamos obtener un par de zapatos a juego, (2) podríamos tener un par conjuntado si tenemos suerte y (3) sacaríamos siempre un par a juego. Durante mis explicaciones veo que Andy se aburre y está distraído, y que Lyuda (por primera vez) lo reprende (para que “se prepare para el colegio”).

Concluida la sesión, Jane (nuestra hija pequeña) entra en mi despacho cargada de cubos que va dejando en el suelo, mientras que yo los recojo y los coloco sobre mi mesa. Cuando hay seis cubos sobre la mesa y tres en el suelo, Dima dice: “Quedan otros tres en la otra habitación”. Resulta que durante la sesión ha conseguido contar los cubos (doce) y acaba de calcular el valor de la expresión 12 − (6 + 3) = 3. Lo interesante es que yo no había hecho con él ningún problema de aritmética, más allá de responder a alguna pregunta que me hacía de vez en cuando. Aprende por sí mismo. Cumplirá cinco años dentro de un mes.

Sesión 29. Sonoro fracaso

Sábado, 18 de abril de 1981, 10:30-10:45 h.

Dima, Pete, Gene, Andy.

Clasificación con intersección (final)

Los conjuntos de hoy son:

(1) Una ventana, un vaso, unas gafas, un anillo y un cinturón (tres objetos de cristal, tres cosas que la gente se pone; las gafas son el elemento común).

(2) Un piano de cola, un violín, un tambor, un plato y un despertador (tres instrumentos musicales, tres objetos redondos; el tambor es el elemento común).

(3) Un piano de cola, un violín, un tambor, un sofá y un armario (tres instrumentos musicales, tres muebles; el piano de cola es el elemento común).

(4) Una ventana, un vaso, unas gafas, una tacita y una taza grande (tres objetos de cristal, tres utensilios para beber; el vaso es el elemento común).

(5) Un despertador, un plato, un tambor, una cuchara y una tetera (tres objetos redondos, tres utensilios de cocina; el plato es el elemento común).

Los chicos responden a todas las propuestas sin cometer errores. En la quinta proponen una solución alternativa: dado que la tetera es redonda si se mira desde arriba, habrá dos objetos en la intersección (el plato y la tetera).

Cuando estoy a punto de pasar a la siguiente actividad, Andy pregunta: “¿Y cuándo terminan las matemáticas?”.

Yo le respondo que ya se han terminado para todo aquel a quien no le interesen y que puede irse a jugar si lo desea, porque yo no voy a obligar a nadie, etc. Pero mi tono es titubeante y creo que mi desaliento resulta evidente. Tras un momento de confusión mientras preparo una bolsa llena de cubos de colores, Andy se decide y dice: “Prefiero ir a jugar” —y se va al cuarto de juegos con nuestra pequeña Jane, Sandy, que es la hermana de Pete, y la prima de Andy, que también se llama Sandy. ¡Está tan harto de las matemáticas que prefiere irse a jugar con tres niñas pequeñas!

Pete va tras él sin mediar palabra. Gene farfulla algo como: “Yo ya he hecho todos los problemas” y también sale corriendo. Solo Dima quiere seguir (debido probablemente a una conversación que habíamos tenido recientemente sobre su conducta en la clase de inglés, en la que le hablé de lo importante que es tener ganas de aprender). Está a punto de echarse a llorar cuando le digo: “Más tarde”.

Estaba a punto de echarme a llorar no porque no fuéramos a tener clase, sino porque lo sentía por mi padre (estaba muy triste) y porque quería consolarle, pero él no me hizo caso. [Dima]

Sea como fuere, Dima no es quien más nos preocupa en este momento. Estamos ocupados resolviendo problemas “pedagógicos” que no solo conciernen a los niños, sino a mí también. Alla es perfectamente consciente de mi implicación emocional en las sesiones y tiene que recurrir a todo su tacto para intentar consolarme. Por mi parte, me debato entre abandonar el proyecto, mandar a paseo las sesiones o... ¿qué? Dios mío, no sé qué hacer. Lyuda también se encuentra en una posición incómoda. Por un lado, desea proteger a Andy de nuestro enfado, pero, por otro, no quiere herir nuestros sentimientos.

Tras largas discusiones (en grupo e individualmente) acordamos el siguiente plan de acción:

(1) Seguir sin Andy41. Al día siguiente hablé con Lyuda. Le dije que no le veía sentido a obligar a Andy a hacer algo que no le gustaba, que de eso ya tendría suficiente en el colegio. Era mejor que le dejara a su aire durante los meses que le quedaban; además, solo iba a perderse tres o cuatro sesiones, lo que tampoco era gran cosa. Realmente todo lo que le dije era cierto: que no se debería obligar a los niños a hacer las cosas y que ya tendrían bastante de eso en el colegio. Además, el niño empezaría el colegio en septiembre y nuestro círculo era para alumnos de prescolar42.

Lo único que lamento es haber tenido que decir todo a toro pasado, en vez de haberlo hecho antes, por lo que mis palabras sonaron un poco hipócritas. Mi situación no era la ideal para negociar. Era evidente que se habían herido mis sentimientos.

(2) No reñir a los niños bajo ninguna circunstancia.

(3) Tomarnos un descanso, esperando, en cierto modo, que fueran ellos los que pidieran que diéramos clases de matemáticas (lo que ya había ocurrido en alguna ocasión antes, incluso con Andy). Durante un tiempo insistí obstinadamente en que “no daría clases hasta que me lo pidieran”.

Valiente estupidez. Los niños viven en el momento presente y no se les ocurre pensar en lo que sucederá el sábado a las once de la mañana. Si no ocurre nada, no se darán ni cuenta.

La moratoria duró tres semanas.

(4) Hacer en la siguiente sesión algo completamente diferente a lo hecho hasta el momento (sugerencia de Rita Markovna43).

Me habría gustado más que hubiera sido como siempre. No recuerdo si llegué a echar de menos el círculo, pero lo que eché de menos, sin duda, era su desarrollo habitual; no me gustaba el nuevo. Me llevé una desagradable sorpresa, además, cuando vi que nos quedábamos en el recibidor en vez de ir al salón. [Dima]

Al echar la vista atrás me sorprende realmente lo exagerado de mi reacción. Fue como si me hubiera colocado en el papel de un revolucionario que deseara hacer feliz a la gente, pero sentía que, en vez de recibirme con los brazos abiertos, cada uno continuaba con sus vicios. Hasta me entraron ganas de empezar a cortar cabezas...

Sesión 30. Verter agua

Sábado, 9 de mayo de 1981, 10:10-10:40 h.

Dima, Pete, Gene.

Nuestro experimento (sobre la ley de conservación de la materia) se hace vertiendo agua. Esta sesión tiene lugar en el recibidor con el propósito de no mojar la alfombra y también con la intención de buscar una atmósfera nueva. Nuestro material consiste en dos recipientes con agua teñida (la de uno de amarillo y la del otro de azul), dos tazas para verter el agua, dos botellas de leche vacías, dos vasos estrechos, dos vasos anchos y dos copas de vino. Les advierto a los niños de que tengan cuidado para no romper los objetos de cristal.

Pregunta 1. Vierto igual cantidad de agua azul y amarilla en cada botella. Los niños ven con sus propios ojos que las cantidades son iguales. A continuación vierto toda el agua amarilla en dos copas de vino y pregunto de qué color hay más. Dima, sorprendentemente, da la respuesta correcta (“igual otra vez”) e incluso la explicación correcta: “Porque es la misma agua, solo que ahora está en dos copas de vino. No hemos añadido ni quitado nada”.

No me rindo fácilmente y vierto el agua amarilla en tres copas de vino y después en cuatro (Piaget tenía sujetos que cambiaban de opinión al variar el número de utensilios). Pero Dima se mantiene en sus trece: sigue siendo la misma cantidad de agua.

Me vuelvo hacia Pete y le pregunto esperanzado: “¿Y tú qué opinas?”.

¡Maravilla! Pete opina lo mismo y también Gene. Estoy desalentado y avergonzado. En primer lugar, mi intención de utilizar la idea de Smedslund del conflicto cognitivo (ver aquí) no funcionará, ya que los niños han comprendido la ley de conservación sin ayuda. En segundo lugar, la sesión en la que tantas esperanzas había depositado corre el riesgo de venirse abajo: he agotado el programa de toda la clase en cinco minutos. Me asusta formular la segunda pregunta. Otra respuesta correcta implicará un nuevo fracaso. ¿Y qué haré entonces?

Pregunta 2. Vierto un poco de agua en el vaso ancho y les pido que viertan la misma cantidad en un vaso más estrecho.