Дмитрий Усенков
Готовые дидактические материалы для тренировки устного счета: теорема Виета. 600 примеров

Предисловие

Теорема Виета, сформулированная французским математиком Франсуа Виетом, дает возможность в отдельных случаях (для целых и, иногда, для дробных значений корней) быстро находить решения квадратных уравнений, не прибегая к вычислениям с использованием дискриминанта. В школьной алгебре теорема Виета (формула Виета) играет такую же ведущую роль, как и теорема Пифагора в геометрии, однако учебно-методических материалов для отработки навыков поиска корней по формуле Виета имеется крайне мало.

Данное пособие призвано хотя бы частично устранить этот дефицит и содержит 600 готовых примеров квадратных уравнений с целыми корнями, а также ответы на эти примеры для проверки и самоконтроля.

При использовании в классно-урочной форме работы учитель может использовать текст пособия в качестве готового раздаточного материала, а после выполнения работы учащимися произвести проверку по имеющимся готовым ответам.

При использовании пособия для самостоятельной подготовки вы можете использовать ответы для самопроверки после решения выбранных примеров.

Ответы записаны в форме разложения квадратного уравнения на множители; если требуется получить значения самих корней, то нужно константные слагаемые в скобках брать с противоположными знаками.

Примечание. При использовании формулы Виета дискриминант квадратного уравнения должен быть неотрицательным. В случае, если дискриминант равен нулю, считается, что данное уравнение имеет два равных друг другу корня.

Теорема Виета (краткие теоретические сведения)

Формулировка теоремы Виета:

Сумма корней x² + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Таким образом, если уравнение x² + bx + c = 0 имеет два корня: x₁ и x₂, то справедливы следующие два равенства:

Согласно этим равенствам, для получения решения квадратного уравнения необходимо подбором найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при x, взятому с обратным знаком, а произведение равно свободному члену. Следует заметить, что при этом исходное квадратное уравнение должно быть приведено к виду, когда коэффициент a при x² равен единице.

Доказательство теоремы Виета

Докажем теорему Виета.

Формулы для вычисления корней квадратного уравнения (рассматривается ситуация, когда дискриминант D положителен; уравнение с нулевым дискриминантом можно считать частным случаем):

Вычислим сумму этих корней:

Раскрыв скобки и сократив слагаемые, получаем:

.

Вычислим произведение корней:

Применив в числителе формулу разности квадратов, получаем:

Подставляем известную нам формулу для вычисления дискриминанта:

Получаем:

Таким образом, оба равенства теоремы Виета доказаны.

Обратная теорема Виета

Формулировка обратной теоремы Виета:

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x² + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x² + bx + c = 0.

Доказательство обратной теоремы Виета читатели могут произвести самостоятельно.

Задания для самостоятельного решения

1. x² – 28x + 171 = 0

2.      x² + 8x – 180 = 0

3.      x² – 10x – 75 = 0

4.      x² + 22x + 72 = 0

5.      x² + 0x – 289 = 0

6.      x² – 6x – 160 = 0

7.      x² + 1x – 30 = 0

8.      x² – 2x – 120 = 0

9.      x² – 14x + 40 = 0

10.      x² + 7x – 18 = 0

11.      x² – 6x – 160 = 0

12.      x² + 3x – 10 = 0

13.      x² + 6x – 7 = 0

14.      x² – 20x + 19 = 0

15.      x² + 5x – 50 = 0

16.      x² – 8x – 9 = 0

17.      x² – 17x – 38 = 0

18.      x² + 7x + 6 = 0

19.      x² + 17x + 30 = 0

20.      x² – 28x + 160 = 0

21.      x² + 30x + 221 = 0

22.      x² + 0x – 16 = 0

23.      x² – 2x – 120 = 0

24.      x² + 4x – 77 = 0

25.      x² + 14x + 45 = 0

26.      x² + 19x + 18 = 0

27.      x² – 23x + 102 = 0

28.      x² + 9x – 90 = 0

29.      x² + 9x – 220 = 0

30.      x² – 5x – 126 = 0

31.      x² – 25x + 136 = 0

32.      x² – 20x + 19 = 0

33.      x² – 1x – 132 = 0

34.      x² – 17x + 60 = 0

35.      x² + 6x – 7 = 0

36.      x² + 15x + 36 = 0

37.      x² + 1x – 240 = 0

38.      x² – 12x + 27 = 0

39.      x² – 6x – 135 = 0

40.      x² – 19x + 70 = 0

41.      x² + 9x – 22 = 0

42.      x² + 3x – 10 = 0

43.      x² + 20x + 84 = 0

44.      x² – 9x – 10 = 0

45.      x² + 17x + 52 = 0

46.      x² – 13x – 114 = 0

47.      x² + 3x – 88 = 0

48.      x² + 33x + 260 = 0

49.      x² – 12x + 36 = 0

50.      x² – 17x + 0 = 0

51.      x² + 25x + 136 = 0

52.      x² – 18x + 81 = 0

53.      x² – 9x – 90 = 0

54.      x² + 23x + 60 = 0

55.      x² + 25x + 136 = 0

56.      x² – 15x + 50 = 0

57.      x² + 14x – 120 = 0

58.      x² + 5x – 126 = 0

59.      x² – 7x – 120 = 0

60.      x² + 12x – 45 = 0

61.      x² + 26x + 160 = 0

62.      x² + 27x + 162 = 0

63.      x² + 1x – 30 = 0

64.      x² – 6x – 135 = 0

65.      x² + 8x – 105 = 0

66.      x² – 4x – 45 = 0

67.      x² + 15x + 14 = 0

68.      x² – 4x + 3 = 0

69.      x² – 20x + 100 = 0

70.      x² + 10x – 39 = 0

71.      x² + 24x + 140 = 0

72.      x² – 22x + 112 = 0

73.      x² – 27x + 162 = 0

74.      x² – 1x – 6 = 0

75.      x² – 15x – 16 = 0

76.      x² + 34x + 285 = 0

77.      x² + 3x – 238 = 0

78.      x² + 9x + 18 = 0

79.      x² + 10x + 24 = 0

80.      x² – 15x + 44 = 0

81.      x² + 12x + 11 = 0

82.      x² + 18x + 32 = 0

83.      x² + 27x + 170 = 0

84.      x² + 13x + 40 = 0

85.      x² – 2x – 99 = 0

86.      x² – 4x – 96 = 0

87.      x² – 11x – 26 = 0

88.      x² – 3x – 10 = 0

89.      x² – 21x + 90 = 0

90.      x² – 22x + 112 = 0

91.      x² + 25x + 126 = 0

92.      x² + 16x + 55 = 0

93.      x² – 8x – 33 = 0

94.      x² – 12x – 160 = 0

95.      x² – 18x + 0 = 0

96.      x² – 8x – 33 = 0

97.      x² – 2x – 195 = 0

98.      x² + 20x + 75 = 0

99.      x² + 11x + 10 = 0

100.      x² + 2x – 224 = 0

101.      x² + 1x – 240 = 0

102.      x² – 19x + 88 = 0

103.      x² + 11x + 30 = 0

104.      x² – 24x + 128 = 0

105.      x² – 28x + 160 = 0

106.      x² + 12x + 35 = 0

107.      x² + 0x – 256 = 0

108.      x² + 38x + 361 = 0

109.      x² + 13x – 140 = 0

110.      x² – 14x – 15 = 0

111.      x² + 4x – 32 = 0

112.      x² + 36x + 320 = 0

113.      x² – 3x – 180 = 0

114.      x² + 4x + 4 = 0

115.      x² – 13x – 30 = 0

116.      x² + 7x – 98 = 0

117.      x² + 17x + 70 = 0

118.      x² – 12x + 32 = 0

119.      x² – 2x – 3 = 0

120.      x² – 4x – 77 = 0

121.      x² – 29x + 180 = 0

122.      x² + 13x + 42 = 0

123.      x² – 15x + 26 = 0

124.      x² + 14x + 0 = 0

125.      x² + 9x – 10 = 0

126.      x² + 33x + 272 = 0

127.      x² – 4x – 117 = 0

128.      x² – 11x – 60 = 0

129.      x² – 3x – 180 = 0

130.      x² + 18x + 56 = 0

131.      x² + 2x – 120 = 0

132.      x² – 15x + 44 = 0

133.      x² – 30x + 225 = 0

134.      x² – 5x – 36 = 0

135.      x² + 9x – 36 = 0

136.      x² – 23x + 90 = 0

137.      x² + 10x – 96 = 0

138.      x² + 2x – 80 = 0

139.      x² + 10x – 200 = 0

140.      x² – 16x + 48 = 0

141.      x² + 4x – 192 = 0

142.      x² + 9x – 52 = 0

143.      x² – 27x + 182 = 0

144.      x² – 8x – 153 = 0

145.      x² + 19x + 18 = 0

146.      x² + 30x + 216 = 0

147.      x² – 1x – 72 = 0

148.      x² + 18x + 0 = 0

149.      x² + 2x – 48 = 0

150.      x² – 10x – 56 = 0

151.      x² – 4x – 285 = 0

152.      x² + 2x – 120 = 0

153.      x² + 31x + 228 = 0

154.      x² + 6x – 187 = 0

155.      x² – 12x + 27 = 0

156.      x² + 1x – 272 = 0

157.      x² – 26x + 144 = 0

158.      x² – 23x + 126 = 0

159.      x² + 31x + 228 = 0

160.      x² – 12x – 160 = 0

161.      x² – 25x + 126 = 0

162.      x² – 25x + 126 = 0

163.      x² + 14x + 13 = 0

164.      x² + 11x – 152 = 0

165.      x² – 15x + 36 = 0

166.      x² + 3x – 238 = 0

167.      x² + 8x – 105 = 0

168.      x² + 5x – 24 = 0

169.      x² – 6x – 216 = 0

170.      x² + 17x – 18 = 0

171.      x² – 28x + 171 = 0

172.      x² – 2x – 255 = 0

173.      x² + 23x + 120 = 0

174.      x² + 18x + 77 = 0

175.      x² + 21x + 108 = 0

176.      x² – 24x + 144 = 0

177.      x² – 10x – 119 = 0

178.      x² + 35x + 306 = 0

179.      x² – 10x – 24 = 0

180.      x² – 4x – 320 = 0

181.      x² + 22x + 112 = 0

182.      x² + 0x – 36 = 0

183.      x² – 32x + 255 = 0

184.      x² + 29x + 180 = 0

185.      x² – 5x – 66 = 0

186.      x² + 5x – 176 = 0

187.      x² + 15x – 54 = 0

188.      x² – 39x + 380 = 0

189.      x² + 23x + 112 = 0

190.      x² + 20x + 19 = 0

191.      x² + 14x – 72 = 0

192.      x² – 28x + 192 = 0

193.      x² + 8x + 15 = 0

194.      x² – 15x + 44 = 0

195.      x² + 23x + 132 = 0

196.      x² + 23x + 76 = 0

197.      x² + 8x – 65 = 0

198.      x² + 7x – 170 = 0

199.      x² – 30x + 209 = 0

200.      x² + 27x + 152 = 0

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «ЛитРес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на ЛитРес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.