Los problemas de matemática en la práctica didáctica

Bruno D’Amore

Prefacios de

Gérard Vergnaud y de Silvia Sbaragli

Título: Los problemas de matemática en la práctica didáctica

Autor: Bruno D’Amore

ISBN:978-958-20-1420-9

Primera Edición: 2021

Diagramación y portada: Jonnatha Moncaleano Ovalle

Traducción: Diana Rocío Pérez Blanco

© Cooperativa Editorial Magisterio

Diagonal 36 bis No. 20-70

Celular: (+57) 312 4354489

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Los destinatarios de este libro son los docentes de Matemática, cuyos alumnos tienen dificultad para resolver los problemas que les son planteados.

La investigación en Didáctica de la Matemática ha reflexionado mucho sobre cuáles podrían ser los factores que determinan este problema. Muchas de estas dificultades son de carácter psicológico y otras de carácter didáctico. En este libro se hace un largo y detallado análisis de este tipo de estudios, para mostrar a los docentes el origen y la causa de las dificultades de los alumnos. Se proponen varios ejemplos y muchas soluciones para ayudar a los alumnos superar esta dificultad.

Este libro está dedicado a los padres que ven a sus hijos sufrir al momento de resolver problemas de Matemática; es una fuente densa de ideas para ayudar a sus estudiantes y a los profesores en esta difícil pero necesaria tarea.

Este libro está destinado a los cultores de Didáctica de la Matemática, estudiantes universitarios de maestría y de doctorado, quienes desean profundizar en la bibliografía y los estudios críticos sobre este el tema, siendo esto este uno de los argumentos más estudiados a nivel mundial. La selección bibliográfica es notable y las citaciones son profundas y oportunas, clásicas y contemporáneas; tanto en el campo psicológico como en el campo didáctico

Bruno D’Amore es doctor en Investigación (PhD) en Mathematics Education; en 2013 la Universidad de Chipre le otorgó el doctorado de Investigación (PhD) honoris causa en Social Sciences and Education. Actualmente es profesor experto titular catedrático en el Doctorado Interinstitucional en Educación (DIE) (énfasis matemático), en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia, donde dirige tesis de doctorado y dicta seminarios para los estudiantes de doctorado.

https://es.wikipedia.org/wiki/Bruno_D’Amore

Wikipedia, The Free Encyclopedia. Bruno D’Amore. Recuperado de https://en.wikipedia.org/wiki/Bruno_D’Amore

La página web de: Bruno D’Amore y Martha Isabel Fandiño Pinilla. Bruno D’Amore e Martha Isabel Fandiño Pinilla. Recuperado de http://www.incontriconlamatematica.net/sitoufficialebm/

Gruppo di Ricerca e Sperimentazione in Didattica e Divulgazione della Matematica. Bruno D’Amore. Recuperado de https://rsddm.dm.unibo.it/chi-siamo/bruno-damore/

Incontri con la Matematica. Recuperado de http://www.incontriconlamatematica.org/ita/organizzazione.php

Dedico esto libro a Martha que discutió cada palabra conmigo

con inmensa competencia, cultura y disponibilidad

poniendo preguntas terribles que me obligaban a pensar por días

el autor

Contenido

Los problemas de matemática en la práctica didáctica

Prólogo

Prefacio

Premisa

1. Problemas, ejercicios y aprendizaje

1.1. Problemas y ejercicios

1.2. Resolución de problemas, formación de conceptos y “teoremas en acto”

1.3. Problem solving y problem posing

1.4. Problem solving, problem posing y descubrimiento

1.5. Tipos de aprendizaje

1.6. Aprendizaje operativo

1.7. Jerarquías de aprendizaje y problemas de “inmersión total”

2. El papel fundamental de la motivación

2.1. La motivación

2.2. Motivación y resolución de problemas

2.3. Motivación, volición y afectividad

2.4. El contrato didáctico en el laboratorio

3. La intuición

3.1. La capacidad de resolver problemas con un golpe de intuición

3.2. Entonces, ¿qué es la intuición?

3.3. ¿Se puede educar la intuición?

4. Aprendizaje, desarrollo y problemas

4.1. Relación entre desarrollo y aprendizaje 1

4.2. Relación entre desarrollo y aprendizaje 2

4.3. Relación sobre desarrollo y aprendizaje 3

4.4. Relación entre desarrollo y aprendizaje 4

4.5. Capacidades iniciales, condiciones del aprendizaje y problemas

4.6. ¿Es útil hacer varias veces el mismo ejercicio?

4.7. Sobre los aprendizajes de base que se poseen con anterioridad

5. La resolución de problemas: actitudes al respecto

5.1. Tiempo de latencia y actitud de los profesores

5.2. Estudios sobre las estrategias de resolución

5.3. Resolución de un problema y formas de aproximación al mismo

5.4. Otras condiciones al respecto

6. Problemas

6.1. Introducción

6.2. Problemas

6.3. Más sobre los problemas

7. Problemas y lenguaje

7.1. La importancia de los aspectos lingüísticos

7.2. Una experiencia sobre el texto de los problemas

7.3. Una clasificación semántica y clásica de los problemas verbales

8. Modelos, campos conceptuales y resolución

8.1. Siempre «5+7», pero (...)

8.2. El campo conceptual de las estructuras multiplicativas

8.3. Otras clasificaciones de los problemas de multiplicación y división

8.4. Números-medida y números-transformación

8.5. Modelos intuitivos en la multiplicación y en la división

9. Conflictos y obstáculos antes de la resolución

9.1. ¿En qué fase se manifiesta el fracaso?

9.2. Modelos mentales de las operaciones aritméticas básicas

9.3. Un primer acercamiento al problema de la metacognición

10. Conflictos y obstáculos durante la resolución

10.1. Leer el texto del problema

10.2. Representar el texto del problema

10.3. Cómo transformar la solución de un problema en un algoritmo

11. Procesos metacognitivos y actividades de reflexión

11.1. Importancia de las reflexiones sobre su propio trabajo

11.2. Redefinición de un problema, creación de la pregunta

11.3. Problemas y fórmulas

12. Modelos en y de los procedimientos de resolución

12.1. Modelos adecuados y modelos formados

12.2. Modelos normativos y modelos descriptivos

12.3. Cómo ayudar a imaginar modelos

12.4. Modelos para la didáctica de los problemas

12.5. Modelos mentales

13. Problem solving

13.1. Las fases y las condiciones “externas”

13.2. Las condiciones internas y las diferencias individuales

13.3. Enfoques psicológicos sobre el estudio y la investigación en el problem solving. La Gestalt

13.4. La contribución de Polya

13.5. Enfoque psicométrico y conductista

13.6. El enfoque conocido como informático y la teoría de las redes semánticas

13.7. Imágenes y representaciones mentales

13.8. Conclusión (…) circular

Referencias bibliográficas

Prólogo

El aprendizaje de la matemática se ha convertido en una necesidad para todos los jóvenes de hoy. Los retos a los cuales son llamadas las sociedades contemporáneas han llevado progresivamente a elevar el nivel de la educación hasta los 16 años, después hasta los 18 y aún más allá. En esta educación la parte de la ciencia, de la técnica y de la matemática no ha hecho más que crecer. En dos generaciones se pasó del modelo de la escuela primaria al de la educación superior: ya no basta con saber leer, escribir y hacer cuentas, es oportuno saber expresarse oralmente y por escrito sobre temas complejos y en condiciones de discusión delicadas; es oportuno también comprender técnicas sofisticadas, para las que se requieren conocimientos matemáticos concernientes a las grandes estructuras de la aritmética, el álgebra, el análisis y la geometría, que hace un siglo estaban reservadas un estrecho círculo.

Así, es cada vez menos posible, y será imposible para un alumno de los años futuros, afirmar que la matemática no tiene nada que ver con nosotros directamente.

El fracaso en matemática no es una fatalidad. Cuando se enseña bien, la matemática interesa a todos los alumnos; no se llegará al punto de darles la vocación de convertirse en matemáticos naturalmente, pero sí lo suficiente para darles la fuerza y el deseo de obtener la cultura de base que es necesaria hoy en día. La didáctica y la psicología de la matemática nacieron a partir de la preocupación por entender mejor las dificultades encontradas por los alumnos y por ayudarlos a superarlas. La competencia profesional de un profesor no radica solo en el conocimiento de su materia o de las materias que enseña: radica también en su cultura general y en sus conocimientos en cuanto a la psicología, la pedagogía y la didáctica.

Estoy sorprendido por la importancia que Bruno D’Amore, un matemático, ha querido conferir, en esta obra, a cuestiones que no se refieren de hecho a la matemática sino a la psicología. Él consagra páginas muy interesantes a la teoría de la Gestalt, a las teorías del aprendizaje y del desarrollo cognitivo, a la psicología de la resolución de problemas. Y da al mismo tiempo un impresionante número de ejemplos que serán de utilidad para los profesores y quizás para algunos padres de familia. Leyendo el manuscrito, me sorprendí por la variedad y la riqueza de las fuentes de información a las que Bruno D’Amore cuidadosamente hace referencia. Este hecho hace de su obra a su vez una obra de referencia y una introducción a aquellos campos del conocimiento cuales la didáctica de la matemática y la psicología de la matemática.

No hay dominios que la ciencia no pueda penetrar, incluidos aquellos en los cuales el objeto de la investigación parece complejo, variable y poco perceptible. Es éste el caso del aprendizaje de la matemática. Hoy en día no es presuntuoso decir que se empieza a tener una idea relativamente clara del modo en el cual los niños aprenden y comprenden la matemática, desde las etapas que atraviesan, los errores en los que caen con bastante frecuencia, las dificultades que encuentran y la manera en la que llegan a superarlos, con la ayuda de los profesores.

Un concepto es un objeto complejo. Se forma en un largo periodo de tiempo; implica en general una diversidad de propiedades y está asociado a varios tipos de teoremas, algunos de los cuales pueden ser comprendidos también por niños de muy corta edad, mientras que algunos son estudiados con dificultad aún por jóvenes de 15 años. Sin las situaciones que le dan sentido y sin problemas para resolver, un concepto es casi nada. Sin embargo, el censo y la clasificación de los problemas a los que responde un concepto son difíciles y requieren una investigación profunda. Lo mismo en lo referente a los procedimientos a los que recurren los alumnos, espontáneamente o después del aprendizaje. Lo mismo también en lo que se refiere a las formas lingüísticas y no lingüísticas (gráficas, algebraicas) que les permiten expresar estos conocimientos. El trabajo sistemático de la investigación científica no es en absoluto una cosa fácil.

Bruno D’Amore ha estudiado y reflexionado mucho sobre todas estas cuestiones. Su obra hace un buen análisis sobre el estado de nuestros conocimientos al respecto.

Le deseo un gran éxito entre los profesores.

Gérard Vergnaud

Prefacio

Bruno D’Amore es una de las personas que en el curso de los años ha contribuido mayormente a convertir una didáctica disciplinaria, la didáctica de la matemática, en una disciplina propiamente dicha, reconocida en el ámbito académico; además ha insistido internacionalmente por más de cuarenta años para lograr que esta disciplina consienta una lectura crítica de las situaciones en el aula, convirtiéndose de tal manera en un poderoso instrumento en las manos de los profesores de todos los niveles escolares.

Un punto de partida verdaderamente certero para esta recopilación que se propone «presentar estudios y propuestas derivadas de la didáctica de diversas disciplinas con el fin de proporcionar a los profesores en etapa de formación inicial y en servicio, de todos los niveles escolares, una lectura útil para alcanzar profesionalismo e interpretar las situaciones del aula».

Recuerdo cuando el prof. D’Amore presentó este libro en su primera versión italiana en la Universidad de Bologna, una tarde, a los docentes de diversos niveles escolares, en un apasionante encuentro con la presencia de Franco Frabboni, noto pedagogo, quien mantuvo a todos entretenidos por un buen rato, mostrando la importancia pedagógica y didáctica de tal tratado. Para mí y para los otros presentes fue un momento importante para entender aún más el mundo de la didáctica, al cual empezaba a dedicarme profesionalmente.

Este libro ha representado por años un instrumento indispensable en las manos de quienes, como yo, se disponían a entrar en el mundo de la investigación en la didáctica de la matemática y por demás ha representado un instrumento útil para los profesores que cotidianamente deben interpretar lo que sucede en el salón de clase.

La fuerza de este libro está legada también a la capacidad de su autor de saber considerar e interpretar las contribuciones derivadas de otras disciplinas, como la pedagogía, la didáctica general y la psicología del aprendizaje, integrándolas al mundo de la matemática, con el fin de entender con más consciencia el delicado proceso de enseñanza/aprendizaje de la matemática. Competencias y fuerza que caracterizan ciertamente todo el trabajo llevado a cabo por Bruno D’Amore en todos estos años.

En esta ocasión, el autor ha revisado todo el texto original italiano, eliminando párrafos superados, agregando muchos nuevos, enriqueciendo la bibliografía que, entre 1993 y 2020, ha aumentado de manera considerable, en cantidad y en calidad. Por lo tanto, se trata de un libro absolutamente nuevo, moderno, que enfrenta la cuestión de la resolución de problemas de matemática en el aula desde una óptica muy actual, nueva y completa, mirando al futuro.

Leyendo el texto se despierta el interés de profundizar, de conocer, de ir más allá, de no detenerse en una primera lectura superficial de las respuestas de los alumnos, sino de querer sumergirse profundamente para lograr aprehender lo que se esconde detrás de una estrategia dada o de una aplicación fallida, qué se deriva, qué implica, y cómo todo varía dependiendo de la solicitud … Curiosidades que permiten a cualquier lector convertirse en interprete siempre más crítico de los procesos internos que se encuentran a la base de las elecciones de los alumnos y también y sobre todo en la base de sus propias metodologías didácticas.

El tema de los problemas de matemática en la práctica didáctica representa un argumento fundamental, ya que resolver problemas se constituye en una de las actividades más significativas del género humano, tal como afirma Polya. Para diversos autores, de hecho, el componente más importante y delicado del pensamiento y de la actividad matemática está relacionado con la capacidad de saber captar, comprender, interpretar y resolver situaciones problemáticas. De tal manera que el docente debe prestar particular atención didáctica a este tipo de aprendizaje, buscando la manera de aprovechar eficazmente los resultados que emergen del mundo de la investigación. Desde este punto de vista, D’Amore traslada e interpreta con absoluta y bien nota competencia los resultados derivados de numerosos estudios sobre este tema publicados entre los años 80 y los primeros dos decenios de este siglo XXI, logrando también abrir escenarios de reflexión actuales y de investigaciones futuras. Al mismo tiempo, este texto ofrece numerosas ideas didácticas absolutamente concretas a los profesores para reflexionar de manera crítica sobre las propuestas y los enfoques usados en clase cuando se enfrenta este tema, logrando así satisfacer plenamente las exigencias de la recopilación, es decir proveer una contribución con fuerte carácter tanto teórico como empírico que apunte hacia la reflexión investigativa, la que se transforma en herramientas eficaces para la construcción de “buenas” situaciones de enseñanza/aprendizaje.

Tengo plena certeza que este texto será utilizado con éxito tanto de los investigadores en didáctica de la matemática como de los profesores, que desean entender profundamente el complejo y fascinante mundo de la resolución de problemas de matemática en la praxis didáctica.

Silvia Sbaragli

Premisa

Con algo de titubeo me dispongo a presentar al público el argumento de la reflexión de estas últimas décadas. El titubeo está ciertamente legado al hecho que mi formación de base es la de matemático, mientras que los temas de investigación en los cuales me adentré están en los confines de la pedagogía y de la psicología. Por otro lado, ¿cómo es posible ocuparse de la didáctica y dejar por fuera la pedagogía y la psicología, como quisieran algunos? Me parece una posición un poco miope y deletérea. Sin embargo, hubiese podido reservar para mí el fruto de mis estudios y de mis reflexiones y no llegar a proponer estos resultados, si no hubiese motivos de fondo que me parecieran válidos y que expongo a continuación.

Los motivos que me llevaron a dedicar (mucho) tiempo a este volumen son tres.

Primer motivo, banalmente editorial. Mi proyecto Ma.S.E.1 tuvo en Italia un éxito tal en ventas que el pedido explícito, más de una vez, por parte de los lectores, de afrontar el tema “Problemas” no se podía eludir. En realidad, en el curso del Ma.S.E., hay más de una referencia a esta importante actividad. Pero hacía falta un discurso específico, lo más coherente y completo posible.

Segundo motivo, más profundo. No hay quien, ocupándose a cualquier nivel de la Didáctica de la Matemática, no reconozca en la actividad de resolución de problemas una característica “fuerte”, central: hacer Matemática es en primera instancia afrontar problemas. Por otro lado, el Núcleo de Investigación de la Matemática de Bolonia (del cual soy fundador y responsable director científico desde 1984 hasta hoy) hace años se ocupa de una sub-sección particular propia de esta problemática: la resolución de problemas con estrategias ingenuas (es decir no formales). Llegó el momento de exponer las ideas que se encuentran en la base de esta investigación y algunos resultados en forma explícita y difusa.

Tercer motivo, más personal. En cuanto matemático profesional involucrado en la investigación en Didáctica de la Matemática, decidí graduarme en Pedagogía; por lo tanto ¡tenía que escribir una tesis de grado! Este tema tuvo una gran acogida por parte de un querido amigo mío, el famoso pedagogo Franco Frabboni quien fue mi director de tesis. Mi tesis de grado es un subconjunto (muy reducido) precisamente de este volumen2.

El Ma.S.E. ha tenido varias aplicaciones concretas, más allá de aquellas que he seguido en primera persona; es obvio que un producto editado en miles de copias se salga de las manos del autor y que cada lector se apropie de él a su manera.

Otro impulso decisivo llegó del sector didáctico en el cual se mueve el Núcleo de Bologna, es decir los “Laboratorios de Matemática”. Como ya he ampliamente escrito en otras ocasiones, también durante los laboratorios la actividad tiene como eje principal la resolución de problemas, por lo que una puntualización de tipo teórico se vuelve esencial3.

Buscaré inmediatamente un fundamento autorizado para dar importancia a este tema:

Una vez adquiridas ciertas reglas, el hombre puede usarlas con diferentes objetivos en su relación con el ambiente. Puede también hacer algo más importante: puede pensar. Esto significa fundamentalmente estar en capacidad de combinar las reglas aprehendidas a una gran variedad de reglas nuevas de orden superior. Esto se puede hacer por auto estimulación y también respondiendo a diversos tipos de estimulación del ambiente. Mediante el proceso de combinación de reglas viejas y reglas nuevas, la persona resuelve problemas que le son nuevos, adquiriendo así un patrimonio aún mayor de nuevas capacidades.

De esta manera se expresa R. M. Gagné (1973, p. 83). Y, del mismo modo, más adelante (p. 86):

El problem solving se resuelve a partir de la adquisición de nuevas ideas que multiplican la aplicabilidad de las reglas ya aprehendidas. Como sucede en otras formas de aprendizaje, ésta se funda sobre las capacidades ya obtenidas; y no se ubica en el vacío, en la ausencia de cada conocimiento ulterior. La condición más importante para impulsar al sujeto a pensar y asegurarse de tener algo en lo cual pensar. El aprendizaje mediante problem solving lleva a nuevas capacidades ulteriores del pensamiento.

Sin abandonar a este autor (pp. 257-58):

Ciertamente una de las mayores razones para aprender reglas es su uso en la resolución de problemas. La actividad de problem solving es de tal suerte una extensión natural del aprendizaje de reglas, en la cual la parte más importante del proceso se desarrolla al interior del sujeto. La resolución puede ser guiada por una cantidad mayor o menor de comunicación verbal, proveniente del exterior, pero las variables más esenciales son internas. Es particularmente importante notar que los componentes que parecen posibilitar el problem solving son las reglas obtenidas precedentemente. El problem solving puede ser concebido como un proceso de descubrimiento por parte del sujeto de una combinación de reglas ya notas que éste puede aplicar para alcanzar la solución de una situación nueva y problemática. Sin embargo, no se trata solo de aplicar las reglas ya sabidas. El proceso también genera un nuevo aprendizaje. El sujeto está bajo o se encuentra en una situación problemática y recuerda las reglas precedentemente aprehendidas en el tentativo de encontrar una “solución”. Durante este proceso del pensamiento, éste probará cierto número de hipótesis verificando su aplicabilidad. Cuando encuentra una combinación particular de reglas que se adaptan a la situación, no solamente ha “resuelto el problema”, sino que también ha obtenido algo nuevo.

“Regla” sin embargo se debe entender en este contexto en sentido más amplio del que puede comúnmente venir a la mente, como veremos difusamente a lo largo del libro. Todavía una citación de la misma fuente (p. 265):

[…] la resolución de un problema jamás surge de la nada, sino que depende siempre de la experiencia precedente del sujeto.

Por lo tanto, la resolución de los problemas (o, como se dice habitualmente, también en los países de idioma español, el problem solving) es una condición óptima para el aprendizaje. Ésta es la tesis que acepto, aunque tendré que entrar en particularidades delicadas para analizarla profundamente, lo que requerirá varias decenas de páginas.

Sin embargo, hay que decir explícitamente que hasta aquí el problem solving se ha descrito de manera genérica (…) Surge espontáneamente la pregunta: ¿Qué caracteriza el problem solving en Matemática? En otros términos: resolver problemas no es una característica de las actividades matemáticas únicamente y nada nos impide pensar esta misma problemática en otros campos. Se pueden proponer dos tipos de actitudes:

1. el “contenido” es el que caracteriza; en esta acepción, “nuestro” problem solving es matemático porque nos ocupamos de problemas (a veces ejercicios) en el campo de la Matemática;

2. la “forma” en la cual el solucionador se propone es la que caracteriza; en esta acepción, paradójicamente, podremos tener problem solving matemático con contenidos no necesariamente matemáticos, o problem solving no matemático, pero con contenidos matemáticos.

La primera posición parece un poco débil, pero la segunda es difícilmente definible.

La posición asumida en el contexto de las investigaciones del Núcleo de Bolonia (y la mía personal) emergerá, lentísimamente, de las páginas de este libro y se trata de una especie de término medio entre las dos. Hay quien se ocupa del problem solving poniendo toda la atención a los procesos de “descubrimiento” y que parece al final más interesado en la actividad de resolución de ejercicios y no de problemas en el verdadero sentido de la palabra. Nos parece que se puede “descubrir” algo también frente a un ejercicio y que las “condiciones alrededor” sean las que determinan si se trata de descubrimiento o de otra cosa. Por otro lado, hay solucionadores de problemas para quienes el contexto es tal que su actividad no comporta de hecho descubrimiento sino mera aplicación.

Es obvio que en este punto se vuelve esencial definir bien el concepto de “problema”; ahora, si es cierto que en el primer capítulo enfrentaré un primer estudio sin profundizar sobre este punto fundamental, a vuelo de pájaro, también es cierto que la problemática no se extingue de hecho en el primer capítulo (el cual, en cambio, de acuerdo con mis intenciones, debe crear más (…) problemas de tipo interpretativo de los que puede resolver).

Como diré más adelante, el libro fue concebido a manera de espiral: qué es un problema es el argumento afrontado en el primer capítulo y NO resuelto allí. En cierto sentido, todo el libro es un intento por responder esta pregunta.

Cuando se habla de problemas, se disparan, entre los profesores de la escuela primaria, discusiones a propósito de:

• automatismos de cálculo (por ejemplo: tablas de multiplicar y similares);

• uso de las máquinas de cálculo (por ejemplo: ábacos, calculadoras, […]) (a favor, contrarios, más o menos, depende, […]);

• uso de otros instrumentos de cálculo más sofisticados (TIC).

A propósito de los automatismos de cálculo, sugiero la siguiente posición que exhibo desde siempre: si a las dificultades de resolución de un problema (de la comprensión textual a la elección de una estrategia resolutiva, como veremos de manera amplia y detallada) se agrega la dificultad de recordar cuánto es 7×8, ¡entonces sí que la actividad matemática se torna pesada! El aparente conservadurismo de quien propone adquirir automatismos de cálculo (acusación muy difundida en los primeros años de la década de los 70) se puede entender, en últimas, como un aligeramiento a favor de actividades más significativas. Luego, en cuanto al “cómo” (las tablas de multiplicar de memoria, o carteleras en las paredes que los niños u otra persona llenan diariamente, o algo más), el “estilo” del profesor y de los niños individualmente, podrían ser decisivos. Regresaré mucho más decididamente, en varias ocasiones, al problema de los automatismos de cálculo.

En cuanto a las máquinas calculadoras, he dicho y escrito mil veces, alborotando a veces avisperos, que el uso de las máquinas calculadoras no necesariamente lleva a la pérdida de la capacidad de hacer cálculos. Se puede incluso fácilmente demostrar que un uso inteligente y creativo de tal instrumento mejora las condiciones de la actividad escolar y facilita los cálculos; y lo demostramos con varias publicaciones (AA. VV., 1977).

A propósito de las calculadoras, en cambio, aquí un fragmento significativo:

Supongamos que debemos calcular: 0,18×75200+36500; digitando en orden las cifras y los signos de las operaciones, y al final la tecla =, una calculadora cualquiera de bajo costo puede dar el resultado correcto. Supongamos en cambio que debemos resolver el siguiente problema: Ángela dice a su papá: «Mido un metro y 32 centímetros»; el papá responde: «Yo soy 41 centímetros más alto que tú». ¿Qué tan alto es el papá de Ángela? Ninguna calculadora, ni siquiera una computadora, es capaz hoy de interpretar y resolver autónomamente un problema como éste, puesto en el teclado ¡tal como está “escrito”! La resolución de problemas matemáticos es tal vez la actividad matemática en la cual se constata con más claridad la brecha enorme de prestaciones que todavía separa el razonamiento humano del razonamiento que podemos “incorporar” en las máquinas. Esta constatación no es poco importante si se piensa en la importancia que tiene la resolución de problemas en la vida de todos los días y en muchas profesiones para comparar dos cotizaciones de seguros, hacer un presupuesto de gastos para unas vacaciones familiares, etc., es necesario individuar y resolver problemas en general bastante más complejos que aquel apenas citado; las calculadoras pueden ser de ayuda en la ejecución de los cálculos, pero las decisiones sobre los datos a tener en cuenta y sobre los cálculos a efectuar ¡no pueden ser delegadas a las máquinas existentes hoy en día! (Boero, 1990, p. 23)

No puedo más que hacer mía la posición de Paolo Boero expuesta aquí de manera muy convincente. Es extremadamente importante leer en el mismo texto también otros párrafos.

Una advertencia de gran importancia para la lectura de este libro. Se retorna una y otra vez sobre la misma cuestión; por lo que no se puede considerar cerrada una problemática en los primeros capítulos del libro, ya que será retomada ciertamente más adelante, de manera más profunda, una vez se pueda hacer uso de otros conocimientos. Lo anterior depende de la naturaleza de la temática evaluada: he imaginado una espiral cilíndrica que, después de cada giro, retorna a los mismos argumentos, enriquecida de experiencia. Tal y como es la característica de mucha didáctica (en forma de espiral) también este libro fue, y lo repito, escrito en espiral. Al leerlo no se puede olvidar, ni por un segundo, esta condición.

Agradecimientos

Doy las gracias a Martha Fandiño por la presencia constante y las críticas constructivas que fueron necesarias durante la escritura de este trabajo tan complejo, que a menudo excedió mis competencias y me obligó entonces a enfrentarme a una persona de plena confianza, del más alto nivel cultural y crítico. Y para ayudar a escribir este libro en español.

Doy las gracias a la traductora de esta obra, Diana Rocío Pérez Blanco.

Doy las gracias a Gianfranco Arrigo por su asistencia técnica en la creación de las imágenes, las figuras y los esquemas que ha creado con experiencia y amistad.

Nota bibliográfica

Indicaciones bibliográficas ulteriores sobre los laboratorios, además de las ya citadas (D’Amore, 1988a, 1988b, 1990-91; Caldelli, D’Amore, 1986; D’Amore, Marazzani, 2011).

Sugiero al lector interesado en la investigación dos lecturas, si es posible, preliminares (Boero, 1986; Boero, Ferrari, 1988). La rica bibliografía allí contenida será de gran ayuda para quien tenga intenciones de entrar a fondo en este campo de estudio.

Sugiero la lectura de (Pellerey, 1991a, 1991b).

Están también los “clásicos” del problem solving, el primero entre todos George Polya que citaré varias veces en este libro y sobre cuyo trabajo equivocadamente interpretado como didáctico discutiré muy críticamente al final del libro; entre todos los autores posibles, sugiero (Aebli, 1961; Lester, Garofalo, 1982; Schoenfeld, 1987a) porque su visión ha influido y no poco sobre las diversas elecciones descritas en este libro, aunque no siempre serán citados de manera explícita.

Recuerdo también el libro (Cofman, 1990).

Sobre la “didáctica a manera de espiral” tengo en mente el famoso modelo de Bruner (1962).

Hoy, en el 2020, frente a la posibilidad de sacar a la luz una nueva edición muy ampliada y muy enriquecida, tendré el deber de revisar algunas posiciones, de tomar en cuenta nuevas contribuciones que señalaré cada vez que lo considere necesario. Por ejemplo, citaré tesis y estudios publicados entre el ya lejano 1993 y el actual 2020. Pero lo haré de manera oportuna y específica a su debido tiempo.

Permanece el firme deseo de presentar esta obra que recoje los estudios sobre este delicado e interesantísimo problema didáctico, pero que no sea solo teórico (para investigadores en Didáctica de la Matemática), sino una fuente de rica estimulación concreta para los profesores de la escuela primaria, sobre todo, en su quehacer cotidiano.

Vale la pena recordar aquí la formidable aventura del Proyecto MaSE, sobre la cual he escrito tantas veces y que, por su magnitud histórica en el ámbito nacional italiano, obtuvo un lugar también en una famosa Enciclopedia, como lo he dicho anteriormente. Para la lista completa de los ejemplares, se puede consultar la bibliografía final (D’Amore, 1986-1993).

En tiempos mucho más recientes, dados los rápidos y fantásticos progresos de la Didáctica de la Matemática, con Martha Isabel Fandiño Pinilla y Silvia Sbaragli hemos concebido un nuevo megaproyecto dirigido a profesores de la escuela primaria, llevado a cabo por la casa editorial Pitagora de Bolonia, Matemática en la escuela primaria, recorridos para aprender (D’Amore, Fandiño Pinilla, Sbaragli, 2011). En la bibliografía se retoma la lista completa de libros de diversos autores.

1 El Proyecto Ma.S.E. constaba de 12 volúmenes y tuvo un éxito fulgurante en los años 90 en Italia, entre los profesores de la escuela primaria; el éxito fue tal, que el proyecto terminó con una amplia voz en la Enciclopedia Pedagógica (2002) dirigida por Mauro Laeng, Brescia: La Scuola Editrice, páginas 1228-1230.

2 Unos años después decidí de graduarme también en filosofía ya que me di cuenta de necesitar bases filosóficas para mi trabajo de investigador en didáctica de la matemática. La idea era de incluir lo que necesita de pedagogía, filosofía y psicología al interior de la didáctica de la matemática, así que esta, al final sea autónoma y completa. Como hoy es.

3 He publicado mucho desde un punto de vista teórico sobre las actividades de laboratorio de matemática, también a propósito de la teoría de las situaciones de Guy Brousseau, por lo tanto al interior de teorías didácticas fundamentales, desde 1986 (como se sustrae de la lista de publicaciones que aparece en www.dm.unibo.it/rsddm).

1. Problemas, ejercicios y aprendizaje

1.1. Problemas y ejercicios

Consideremos la siguiente conjetura:

Cada número par mayor de 2 es la suma de dos números primos.

Verifiquemos: 14 es 11+3; 26 es 13+13; 80 es 7+73; (...) Por cuantas verificaciones se hagan, con números pares grandes o pequeños, con un poco de paciencia se encuentra una pareja de adendas primos que cumplen dicha condición.

¿Es éste un problema?

Una primera respuesta ingenua de un profesor de primaria fue: «No, no es un problema porque no hay una pregunta». Quien piensa esto o bien deja de leer este libro o lo debe leer con mucha atención. No hay una pregunta explícita, pero se trata de un problema, claro está.

Se trata de:

• demostrar esta afirmación (y entonces la conjetura se vuelve un teorema, es decir una afirmación verdadera en cuanto demostrada); o en cambio

• encontrar un ejemplo que contradiga la afirmación, o sea “exhibir” un número n par mayor de 2 y demostrar que no existen dos números primos cuya suma sea n.

Se resuelve el problema en uno u otro caso4.

Otra conjetura:

Estamos en una clase de 18 alumnos y queremos ir de excursión viajando en un autobús que cuesta 250.000 pesos; sin embargo, 2 de nosotros no pueden pagar. Si los 16 restantes contribuyen con 40.000 pesos cada uno, lo podremos hacer.

También en este caso la pregunta es implícita: ¿Es cierto o no que lo podremos hacer?

Esta vez es fácil transformar la conjetura y darle un valor de verdad: basta con hacer una multiplicación y verificar. ¿Se trata de un problema? No hay pregunta explícita, pero hay una situación que pone de presente una cuestión que hay que resolver. Podríamos llamarla “situación problemática”.

Aún otro ejemplo:

Juanito va al mercado con 600 pesos, compra huevos a 30 pesos cada uno y gasta todo. Regresando, rompe 3. ¿Cuántos huevos lleva a casa?

He ahí todos los ingredientes en el lugar preciso para obtener lo que en la escuela se llama problema: datos numéricos, una situación ficticia aun cuando comprensible e imaginable, una sugerencia semántica sobre las operaciones necesarias. Un verdadero y típico problema escolar. También con datos inútiles.

Sugiero una clasificación banal pero útil y muy difundida, entre

• problemas

• ejercicios.

Tanto los problemas como los ejercicios implican situaciones problemáticas causadas por varios factores: la propuesta del profesor (más o menos motivada), el test, la situación real y efectiva en la cual se encuentran el alumno o la clase, (…) Pero los ejercicios se pueden resolver utilizando reglas ya obtenidas, o en vía de consolidación y que, por lo tanto, entran en las categorías: refuerzo o evaluación inmediata. En cambio, los problemas involucran el uso de más reglas (algunas deben ser explicitadas precisamente en el momento) o una sucesión de operaciones cuya elección es un acto estratégico, a veces creativo, del alumno mismo.

Se entiende bien que las anteriores no son definiciones propiamente dichas: hay casos límite que se pueden interpretar en las dos posiciones. A mi modo de ver, se trata de un comportamiento que juega con los roles relacionales profesor-alumno, más que de una verdadera línea divisoria.

Tanto así que una situación problemática puede dar lugar a un problema o ejercicio según la situación didáctica. Veamos un ejemplo: se entrega un objeto circular plano (por ejemplo, la tapa de una olla) y se pide al alumno evaluar la longitud del contorno (una circunferencia).

En el primer año de primaria éste es un problema; en el grado octavo es (debería ser) un ejercicio.

Entran en juego también una serie de factores anexos:

• la motivación, como veremos más profundamente en el Capítulo 2, por la cual la distinción ejercicio/problema puede depender del comportamiento, de factores emocionales o emotivos, del rol que tiene la ejercitación en clase, del contrato que se ha venido creando, etc.;

• la mayor o menor cercanía de las situaciones problemáticas propuestas con la realidad. Me explico mejor. Usualmente los ejercicios de tipo escolar son del todo ficticios. Aquel Juanito que va al mercado con 600 pesos para comprar los huevos y que luego rompe 3, no existe y ningún niño de la clase se identifica con él: la situación es creíble, pero ficticia, nunca vivida. En cambio, un gasto para la excursión dividido entre 16 puede ser verdaderamente una situación problemática vivida en la realidad, a tener en cuenta para solicitar el análisis matemático. Se trata de decir correctamente los términos de la cuestión verbalmente (oral o escrito), hacerse una imagen mental, hacer que cada niño tenga un modelo matemático de la cuestión y, luego, pasar a la solución concreta: cuánto dinero debe pedir cada uno a sus padres para participar en la excursión.

No es necesario que la situación problemática sea experimentada en primera persona, la cosa es más sutil. En una clase de tercer año de primaria en la periferia de Bolonia, durante el segundo cuadrimestre, a instancia de ciertos discursos, se propuso el asunto de evaluar los gastos asumidos por la dirección didáctica en un año por concepto de energía eléctrica y calefacción. La situación problemática podría haberse considerado ficticia al principio, pero luego, mientras se procedió con el estudio de los recibos, la entrevista a un conserje, la visita a la empresa del gas, etc., la situación se enriqueció con la experiencia directa que la transformó de ficticia a real y concreta.

Decía que la motivación juega un rol no secundario: en un grupo interesado, la construcción de la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, (...), relacionada, en la historia y en las circunstancias, al aumento ideal de la población de las parejas de conejos de cría, sí es ficticia (porque en la realidad ninguno cría conejos en la ciudad y muchos niños nunca han visto un conejo real), pero con tal vínculo emotivo (el contexto se vivió con gran vivacidad) se convirtió en problema: cada uno quería dar su contribución personal que iba más allá de la simple operación aritmética (todo saben que cada número de la sucesión es la suma de los dos precedentes).

Queda aclarar, pero no es trivial, qué es la situación problemática en relación con el problema.

Apropósito de esto, tenemos más de una interpretación; escojo, por ahora, dos:

• la de Boero (1986), según la cual la situación problemática es «el significado del texto» (mientras que el texto es «un sistema de signos» que la codifica);

• la de Borasi (1984), según la cual la situación problemática es «el contexto en el cual el problema propuesto tiene sentido».

Propongo una definición más amplia, en alternativa:

la situación problemática es el sistema de las competencias reales en las cuales se puede imaginar todo aquello descrito en un texto y su significado (semántica), dentro de la experiencia del niño individual (el sistema es específico para el problema dado).

Con esta definición, la situación problemática recuperaría aspectos semánticos, pragmáticos y experienciales.

El lector debe aceptar el hecho que en esta materia no encontrará definiciones precisas, como en Matemática; aquí se delinean tesis y conceptos en la manera más detallada posible, llevando al examen de la propia idea, no demostraciones o pruebas irrefutablemente unívocas, sino solicitudes traídas desde la experiencia personal de estudiosos o investigadores de la Didáctica de la Matemática.

Llegaré a proponer varios modelos relacionados con la resolución de problemas. Pero es muy temprano; para poder describirlos necesito de otros materiales.

Aquí quiero todavía recordar la importancia que cobra, tanto en la resolución de los ejercicios como (y aún más) en la de los problemas, la formalización del lenguaje común en términos matemáticos. Una vez el texto es bien entendido y se hace una imagen mental (personal), puede ser útil (y, de hecho, en la mayoría de los casos lo es) “matematizar” la situación. Muy a menudo, esto implica la traducción del lenguaje común al lenguaje matemático.

Por ejemplo, en el ejercicio de los huevos que compró Juanito, la solución es, formalmente: 600:30–3. En el caso de la conjetura de los números pares, se trata de demostrar que:

(∀x)(x=2n /\ n>1)→[(∃y)(∃z)(x=y+z) /\ (∀h)(∀k) (¬∃m)(m≠l /\ m≠y /\ y=mh) /\ (¬∃p)(p≠l /\ p≠z /\ z=pk)] [x, y, n, z, h, k, m, p ∈ N]

La primera formulación aparece en términos aritméticos muy elementales; la segunda en términos de formalización lógica, un poco más compleja.

Pero entonces ¿Qué es un problema? ¿Existe una definición?

No puedo más que recordar (por ahora) la célebre frase de uno de los más conocidos estudiosos de la resolución de problemas matemáticos, George Polya (1945):

Resolver problemas significa encontrar un camino para salir de una dificultad, un camino para reaccionar ante un obstáculo, para lograr un fin que no sea alcanzable inmediatamente. Resolver problemas es una empresa específica de la inteligencia y la inteligencia es el don específico del género humano: resolver problemas se puede considerar la actividad más característica del género humano.

Propongo también la afirmación de Karl Duncker (1945), quien evidencia exclusivamente el objetivo:

Surge un problema cuando un ser viviente tiene una meta, pero no sabe cómo alcanzarla.

[Una colección de respuestas a la pregunta «¿Qué es un problema?» se encuentra en Ferri (1989)].

Como se ve, no hay definiciones sino precisiones, puntualizaciones, clarificaciones: no hay problema si no hay una situación problemática que cree una pregunta, cuya la respuesta sea, por alguna razón, causa de dificultad.

Nota bibliográfica

Para la redacción de esta sección, además de los textos ya citados, hice uso también de (Antiseri, 1985; Borasi, 1984, 1986a; Duncker, 1969; Polya, 1954; Petter, 1985; Aebli, 1961).

1.2. Resolución de problemas, formación de conceptos y “teoremas en acto”

Con ese título, esta sección requeriría un libro por sí sola; empezaré a tratar esta problemática aquí para después retomarla varias veces más adelante, de manera más o menos explícita y refiriendo textos oportunos.

En una didáctica moderna, no se requiere un comportamiento pasivo por parte del alumno: «Haz esto y esto en una situación de este tipo»; en cambio, se requiere y se favorece un conocimiento activo que se transforme en “saber qué hacer” (lo podemos llamar “eficiencia”). Todos están sustancialmente de acuerdo con el hecho que la solución de problemas y el saber escoger cómo comportarse en situaciones problemáticas son una manera excelente de formar conceptos. Pero, concretamente, es muy difícil establecer lo que esto significa verdaderamente.

Debemos a Gérard Vergnaud (1985a) un muy buen intento por explicar este punto y en él me inspiro para lo que sigue.

Es bien sabido que, para explicar el modelo de desarrollo mental de los niños, Jean Piaget recurre a varios esquemas, entre los cuales recuerdo el esquema de “permanencia del objeto”. Sus experimentos son famosos; por ejemplo, moviendo de manera evidente de un lugar A a un lugar B un objeto escondido en ambos casos (por ejemplo, A debajo de un tapete y B debajo de una toalla), durante cierto período de tiempo, un niño muy pequeño seguirá buscando el objeto en el punto del cual fue movido. El niño solo entiende lentamente lo que es una especie de principio general de permanencia; tal permanencia, por ejemplo, tendrá que ver, más adelante, con el valor cardinal de un número, cantidad, longitud, amplitud, masa, (…) Al lado de la permanencia de un objeto, se considera la invariabilidad de ciertas relaciones de tipo más abstracto y, por lo tanto, capaces de constituir una conquista más tardía. Por ejemplo, la relación “ser hijo de” que es bien comprendida por el niño si la pareja ordenada es (yo; mi papá), y es rechazada a largo plazo si la pareja se vuelve (mi papá; mi abuelo). Tal permanencia de las relaciones (que se llama “invariante relacional”) es, por así decirlo, la base de la comprensión de los verdaderos “teoremas”, por ejemplo:

Si A es menor que B y B es menor que C, entonces A es menor que C.

Aunque se haya comprendido plenamente que «A es menor que B» y que «B es menor que C», permanece el hecho que la afirmación «A es menor que C» puede ser reconocida haciendo la prueba (comparando, donde sea posible, A y C), o “deduciéndola” de las dos primeras. Sabemos que se trata de la propiedad transitiva de la relación de orden “es menor que”: si se verifica de la primera forma (heurística) no es más que entrar en contacto con una invariante relacional; pero si se “deduce” de la segunda forma (lógica), entonces se puede hablar de un teorema en acto, como propone Vergnaud.

Un buen ejemplo que he oído usar de Vergnaud mismo en una escuela de verano es el de un niño que debe decidir cuántos puestos organizar en la mesa para los invitados; algunos invitados están dentro de la casa (a), otros están en el jardín (b); los puestos en la mesa deben ser entonces a+b. Se trata de un teorema en acto: el niño ha aplicado una regla de la cardinalidad:

card (X U Y) = card X + card Y

cuáles que sean los conjuntos X y Y con X∩Y=∅.

Es claro que la toma de conciencia de tales teoremas en acto constituye una formación genuina de conceptos y que la situación más natural para hacer emerger tales teoremas en acto es la resolución de problemas (mejor si son concretos).

Por ende, se trata, entre otras cosas, de una manera activa y deductiva de ver la resolución de problemas.

Nota bibliográfica

Para la redacción de esta sección, he usado (Furth, Wachs, 1977; Petter, 1984; Vergnaud, 1981a, 1985a, 1990a, 1990b).

Para una crítica a la posición descrita por Piaget, ver (Donaldson, McGarrigle, 1974; Freudenthal, 1973; McGarrigle, Grieve, Hughes, 1978).

Para un estudio detallado y moderno sobre la diferencia entre ejercicio y problema y sobre el aprendizaje estratégico en un contexto teórico más amplio (Fandiño Pinilla, 2008).

1.3. Problem solving y problem posing

En este proceder a manera de espiral, encuentro la necesidad de contraponer dos problemáticas aparentemente opuestas, las del título de la sección.

Ya he hecho notar como uno de los impulsos para aprender es la motivación y la gratificación (placer ‘interno’, es decir satisfacción interna, o el reconocimiento social de ser considerado un buen solucionador de problemas). Por tanto, aparte de la motivación, la actividad de la resolución de problemas puede con razón ser considerada una extensión del aprendizaje de reglas o de maneras de comportarse o de obtención de ejemplos y estrategias, etc.

Tal proceso, difícil de definir, en su mayoría se desarrolla dentro del alumno que lo resuelve, aun cuando las sugerencias que llegan al sujeto que está resolviendo el problema sean notables (facilidades, sugerencias, etc.) bajo la forma de varios tipos de comunicación (verbal o no).

Por muy importante que sea la aplicación de reglas (normas, experiencias, […]) precedentes, vale la pena resaltar que el proceso resolutivo genera también y sobre todo un nuevo aprendizaje. Es cierto que, en primera instancia, aquel que resuelve intenta aplicar reglas (normas, experiencias, […]) precedentes (mejor aún si fueron exitosas); pero también es cierto que, si la situación problemática es oportuna, el sujeto podría no encontrar simplemente una solución análoga o idéntica a una precedente. En cambio, puede encontrar una combinación particular de reglas (normas, experiencias, […]) del todo nueva que enriquecerá el campo de la experiencia y a la cual se puede recurrir en el futuro. En fin, una frase en la que creo firmemente: resolviendo un problema, el sujeto aprende.

En este sentido, el modelo de referencia al que nos aferramos no tiene importancia, si es el de Dewey (1910) o en cambio el primero o el último de Gagné (1962, 1976); la cuestión es muy general y puede funcionar en todos los casos.

Por ahora, podemos llamar a esta serie de fragmentos “estrategias de resolución de problemas”:

• exploración de las reglas (normas, experiencias, [...]) ya conocidas y ya aplicadas;

• descarte de cada una;

• análisis de la situación desde varios puntos de vista;

• construcción de una regla completamente nueva, obtenida de la “dosificación” en manera oportuna de reglas (normas, experiencias, […]) usadas precedentemente;

• verificación de la capacidad de resolver el problema con la regla nueva.

Esta es la razón por la cual Gagné subraya la exigencia que «la expresión problem solving sea usada en general para referirse a problemas nuevos» (nosotros diremos: a verdaderos problemas y no a ejercicios). Él ejemplifica, entre estos, los siguientes: parquear el carro en un lugar permitido y cercano al lugar de trabajo; entender por qué suceden las fases lunares; describir un comportamiento indolente mediante las acciones de un personaje; (…) El hecho que la resolución induzca al pensamiento nos hace hablar de problem solving productivo (precisamente porque se produce un efecto).

Finalizados estos ejemplos, por así decirlo, de la vida real, Gagné (1976) pasa a problemas más cercanos a la praxis escolar, explicando bien la diferencia que hemos indicado mediante la dicotomía problema/ejercicio, pero lo ejemplifica también mediante juegos de cambios de lugar de fósforos, lo que ha sido analizado en modo particular desde un punto de vista psicológico por George Katona (1967). En este estudio, Katona sugiere una sucesión de métodos usados para hacer que los sujetos resuelvan problemas-juego con fósforos:

• hacer los movimientos precisos frente a los ojos del sujeto examinado, haciendo que este último recuerde los movimientos exactos;

• exponer verbalmente las propiedades “matemáticas” de los fósforos en cuestión, notando cómo los fósforos con “funciones” dobles deben ser movidos para tener una función “simple” o haciendo desaparecer por completo las figuras para hacer reconstruir la estructura deseada, con los vínculos deseados;

• proceder al descubrimiento guiado (ésta es la denominación usada): sin enunciar las reglas, proceder paso a paso, ilustrando los cambios producidos, dejando vacíos en la figura original.

Esta sucesión no es casual; según Katona el primer método lleva a un aumento banal de las capacidades; el segundo es mucho mejor; pero solo el tercero, en el cual el sujeto mismo descubre la regla, lleva a poseer satisfactoriamente la competencia. La enunciación verbal de la regla, que sin dudas produce efectos positivos, ayuda a muchos sujetos, pero no a otros. Haber descubierto por sí mismo la regla a aplicar, aún en contextos limitados, produce conocimientos y competencias en todos. Gagné (1973) ilustra otros ejemplos, además de aquel de Katona, entre los que se encuentra el experimento del péndulo de N. R. F. Maier, el cual describiré en breve.

Los resultados de tales experimentos se pueden condensar de la siguiente manera: se produce un efecto positivo en el sujeto que resuelve si se dice exactamente la naturaleza de la actuación (performance) que de él se espera; incluso si no se hace explícitamente, se puede dar una guía en cuanto a la elección de reglas (normas, experiencias, […]) que son útiles para escoger la estrategia, mediante la formulación del problema.

Toda la actividad y la atención del problem solving radican en la resolución.

De otra naturaleza, pero siempre dentro de la misma problemática, es la actividad del problem posing. Esta actividad involucra dos maneras diferentes, pero estrechamente interconectadas, de actuar:

• la creación de un problema basado en la reflexión relativa a un tema de examen;

• la propuesta de las preguntas que analizan situaciones “limítrofes” (externas pero cercanas) a un problema de examen.

Los autores del texto que volvió famoso el problem posing, S. I. Brown y M. I. Walter (1988), distinguen dos modos de actuar diferentes:

• hacer o hacerse preguntas

• preguntarse siempre «¿Y si (...) ?», o «¿Y si no (...) ?»

lo cual da muy buena cuenta de la cuestión.

Una reducción didáctica trivial del problem posing es la actividad consistente en hacer que los alumnos inventen los problemas: ésta ha sido ampliamente estudiada en la investigación en Didáctica de la Matemática y tendremos ocasión de entrar en detalles. Pero el problem posing, en su formulación más general y genuina, debe llevar a nuevos problemas, si bien generados a partir de aquellos presentes en situaciones anteriores. Este tipo de actividad lleva a generar un descubrimiento y en este sentido, a mi modo de ver, se asemeja mucho al que los estudiosos del problem solving han resaltado.

Dado que tendré que retomar este argumento en la siguiente sección, me limitaré a presentar este boceto a manera de resumen.

Experimento del péndulo de Maier del 1930, (Gagné, 1973).

El sujeto examinado es conducido a una habitación de 5 m por 6 m aproximadamente, en la que hay una mesa de trabajo. El sujeto tiene a su disposición tablillas, pedazos de hilo, tiza y abrazaderas. El problema es descrito en estos términos: construya dos péndulos, de manera que cada uno, oscilando y teniendo en cada extremidad una tiza, marque un punto establecido sobre el piso.

Para ilustrar mejor el problema, he aquí la representación de una buena solución proporcionada por sujetos sometidos a la prueba.

Con algunos sujetos, Maier usó la estrategia de recordar problemas precedentes que, en este caso, son, por decirlo así, sub problemas:

• cómo se hace una plomada, teniendo a disposición hilo, abrazaderas y tiza;

• cómo hacer un poste largo, teniendo a disposición dos postes cortos y una abrazadera;

• cómo anclar al techo un objeto prensado entre dos postes.

Maier hizo sugerencias sobre la resolución presentando otro problema: el problema sería más simple si existiese una puntilla y se pudiera clavar un poste al techo. El experimento de Maier mostró cómo las instrucciones adicionales, que permiten recordar soluciones parciales precedentes, llevaron a los sujetos a la resolución del problema con mayor frecuencia, en comparación con aquellos que escuchaban solo el enunciado del problema sin ayudas adicionales. La sugerencia sobre la puntilla (que Maier llamó “dirección”), favorecía más la probabilidad de resolución.

Nota bibliográfica

Para la redacción de esta sección, utilicé (Dewey, 1910; Aebli, 1961; Katona, 1967; Gagné, 1973; Brown, Walter, 1988).

1.4. Problem solving, problem posing y descubrimiento

Empezamos con un ejemplo:

Dados dos triángulos equiláteros, encuentre un tercero, cuya área sea igual a la adición de las áreas de los otros dos. (Tomado de: Brown, Walter, 1988, p. 157).

Dentro del espíritu del problem posing, en cada intento por resolver el problema propuesto se cumple un análisis preliminar. Cada alumno tiene su propia reacción. Se puede notar que faltan datos y por lo tanto preguntar cuál es la naturaleza de la pregunta; ¿Cuál(es) de la(s) propiedad(es) de los triángulos entra(n) en juego?, ¿se espera una solución geométrica (un dibujo), o una numérica? Es claro que cada solucionador puede escoger la estrategia más adecuada de acuerdo con su propio “estilo”. Por ejemplo, un alumno puede decidir que va a estudiar un caso particular con los triángulos dados, uno de lado 3 y el otro de lado 7 y proceder de tal manera, haciendo un dibujo y recortando pedazos de cartulina (el cálculo sugerido por los autores no es, ciertamente, adecuado para niños de escuela primaria, pero quiero resaltar un espíritu independiente de estas contingencias) o usando un software geométrico a este propósito. Sin embargo, pero, aunque se haya encontrado una solución (aproximada), ¿qué sucede si se cambian los datos inventados, 3 y 7?

Lo que quiero subrayar aquí es que el problem posing es una forma de ubicarse dentro del problem solving y que, por ende, las dos problemáticas no son opuestas, sino bastante cercanas. “Plantear un problema” es solo una manera de comprenderlo mejor, de analizarlo mejor; hacerse preguntas que parecerían (…) rebotar la solicitud, puede significar entrar en mayor confianza con el problema.

Por tanto, si se llega a la resolución del problema, el problem posing tiene un efecto a posteriori, porque las preguntas sobre el problema y sobre la solución proporcionada no cesan: ¿se podría hacer de otra manera?, ¿se podría usar otro dato?, ¿hay una manera general de resolver esta cuestión?, ¿alguien ha inventado este método?, ¿cuándo y por qué se planteó este problema? (…) En una situación simétrica se plantea el efecto a priori que es sustancialmente el análisis de todos los detalles del problema antes de proceder con la solución.

En definitiva, el problem posing se ubica dentro de la amplia problemática del problem solving y no se limita a ser simplemente interpretado como un “hacer que los niños inventen problemas”, actividad que, entre otras cosas, es significativa si se conduce de manera motivada y prudente.

A mi modo de ver, dentro de los ejemplos dados por los Autores citados, es pertinente hablar del célebre caso del niño Gauss, muy famoso en las escuelas italianas:

Calcular la suma de los números naturales de 1 a 100.

Es bien sabido que el procedimiento usado por Gauss es el siguiente: se observa que 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, y así hasta la última adición 50+51=101. Por lo tanto, la suma buscada se puede expresar como 50 veces 101. Éste es un buen ejemplo del problem solving que utiliza una manera de entender el problem posing, según lo que se ha dicho antes. En cambio de hacer lo que parece sugerir el texto del problema (es decir una secuencia absurda de cálculos 1+2=3, 3+3=4, 4+4=8, 8+5=13, haciendo 99 adiciones), analizamos el problema con “y si (...)”: «Y si en lugar de adicionar en orden, sumo el primero y el último, ¿qué encuentro?».

Entonces: se descubre una regularidad.

Se obtiene una regularidad adicionando en escala ascendente/descendente: hemos descubierto una regla («Una trampa» como dicen los niños). Pero para hablar de una regla, o de un descubrimiento, y proporcionarle dignidad en el mundo de la Matemática, es preciso que ésta sea general: ¿es siempre válida?, ¿si en lugar de 100 fuera 167?, ¿si en lugar de 1 partiéramos de 34?, ¿si en lugar de un número par tuviéramos un número impar? Y así sucesivamente.

Con base en las preguntas planteadas, hay una actitud analítica (llamémosla fantasía o curiosidad activas) que necesariamente hace que la resolución sea un descubrimiento.

El problem solving como método de aprendizaje exige que el sujeto descubra una regla de orden superior sin ayuda específica. Presumiblemente, el sujeto construye una nueva regla a su manera, aunque no esté en capacidad de comunicarla después de haberla descubierto. Ver específicamente Gagné (1973, p. 268). Este autor, haciendo referencia a los experimentos de Worthen, afirma que el método del descubrimiento (descrito anteriormente) lleva a un transfer amplio de las reglas adquiridas.

También en este caso, es importante señalar cómo la idea de la didáctica del descubrimiento se ha desacreditado en la práctica didáctica.

Las pruebas sobre el uso de los descubrimientos en el problem solving proporcionadas por los experimentos han ciertamente demostrado que las reglas de orden superior deben ser obtenidas mediante el descubrimiento. Muchas veces, por ejemplo, en el aprendizaje de los adultos, una guía llena de descripciones verbales puede ser tan completa que la regla a ser aprendida se enuncia verbalmente durante el proceso mismo de aprendizaje. La clave de la adquisición de una regla de orden superior no radica solamente en el método del descubrimiento. No obstante, la evidencia sugiere fuertemente que la adquisición de una regla de orden superior mediante el problem solving produce una capacidad muy eficiente, que permanece durante un período de tiempo importante. (Ver específicamente Gagné, 1973, p. 269; aquí Gagné cita estudios de Worthen, Shulman y Keislar, Ausubel, Gagné y Bessler, Guthrie, que no retomo en su totalidad).

Por lo tanto, se ve el problem posing como elemento determinante del proceso del problem solving y de preludio al descubrimiento.

Sin embargo, me parece honesto y necesario señalar que el problem solving no puede ser siempre exitoso. Por ejemplo, si las reglas a encontrar son de una complejidad superior a aquella a la cual puede llegar el sujeto, no se podrá tener más que una solución parcial (en casos particulares). Pero sobre este tema regresaré más delante.

Nota bibliográfica

Para la redacción de esta sección, hice uso de (Brown, Walter, 1988; Gagné, 1973).

Sobre el transfer, ver (Barth, 1990; Roveda, 1979).

1.5. Tipos de aprendizaje

Ya que resolver problemas es aprender, no resulta inútil, en este ámbito, analizar los diferentes tipos de aprendizaje; muchos estudiosos han buscado clasificaciones a propósito de este tema: entre las cuales se encuentra la afortunada descripción de Gagné (1973), expuesta brevemente en esta sección.

Hay que decir, para evitar problemas, que el Gagné al quien me refiero en estos primeros capítulos, es aquel que publicó ediciones sucesivas desde 1970 (hasta la tercera en 1977) de su exitoso libro The Conditions of Learning, cuya primera edición apareció en 1965. Una sucesiva edición del mismo libro salió en 1985, con el mismo título, con una nueva editorial: Holt, Rinehart and Winston Inc. a Cbs College Publishing. El éxito de la primera versión del libro fue tal que aún hoy Gagné es recordado por su vieja posición, la cual presentaré en estos primeros capítulos. La utilizo como base, como trampolín, para poco a poco alejarme de ella de manera crítica. Por otro lado, es de resaltar que anteriormente hice referencia al Gagné más reciente (en la sección 1.3.).

• I tipo: aprendizaje de señales. Se trata del aprendizaje a través de un estímulo que produce efectos, repetido más de una vez; a tal punto que, aunque el estímulo no produzca más el efecto, se obtiene una respuesta. Se trata de la díada estímulo/respuesta, ampliamente estudiada por parte de los psicólogos, entre los cuales se destaca ciertamente el nombre de Pavlov. Hay que subrayar que las respuestas voluntarias no pueden ser aprendidas de esta manera.

• II tipo: aprendizaje estímulo/respuesta. Es la especialización del tipo precedente, típica tanto en el aprendizaje animal como en el humano. Se distingue del primer tipo por el resultado. La respuesta del sujeto, en este caso, es un acto preciso y delimitado, mientras que en el primer tipo se trata de una respuesta genérica y emotiva. Por ejemplo, el perro se entrena para “dar la pata” con la repetición de los siguientes dos estímulos: se le dice «¡Da la pata!» mientras, contemporáneamente, se le levanta la pata con la mano, reforzando el gesto con cumplidos, caricias o premios. Ferster y Skinner al final de los años 50 estudiaron precisamente este ejemplo con lujo de detalles. Si con S → R se indica el proceso estímulo/respuesta del tipo I, se propone usar Ss → R para indicar el tipo II, donde el símbolo Ss es el estímulo externo sumado al interno (propiocepción). La capacidad conseguida ha sido largamente estudiada por Skinner (experimentos sobre el aprendizaje de ratones en laberintos) y también ha sido propuesta para explicar varios aprendizajes en niños muy pequeños, por ejemplo, el aprendizaje de palabras. (Pero existen varias reservas al respecto).

• III tipo: concatenación. Se trata de una multiplicidad de aprendizajes del II tipo concatenados entre sí. Por ejemplo, a un perro se le puede enseñar primero a dar la pata a quien se lo pide e inmediatamente después a ladrar, como señal de saludo. Este tipo de aprendizaje fue estudiado ampliamente para tratar de comprender los procesos evolutivos en niños pequeños. Lo que se sugiere es que cada uno de los “eslabones” de la “cadena” debe ser estable (es decir cada Ss debe llevar su R de manera sólida) y que debe haber “continuidad” entre cada uno de los eslabones (en términos esencialmente, pero no solamente, de tiempo). Entonces, asegura Gagné, «cuando las dos condiciones precedentes se ven plenamente satisfechas, resulta que la adquisición de una cadena no es un proceso gradual, sino que sucede en un solo momento».

• IV tipo: asociación verbal. Se trata de una subespecie del tipo anterior, en la que la respuesta R es una palabra. Por ejemplo, se le muestra un fósforo a un niño diciéndole el nombre más de una vez (un caso particular es el del uso de una lengua que no sea la propia, la materna, del sujeto que aprende, por ejemplo, otro idioma). Esto parece estimular un espacio de “conexión codificante” (que luego se vuelve automática) en el sujeto. Según varios investigadores es precisamente en el IV tipo en el que se activa un mecanismo típicamente humano; mientras los tres tipos anteriores son procesos de aprendizaje que podrían resultar exitosos tanto para animales como para seres humanos, el cuarto tipo constituye una restricción.

• V tipo: aprendizaje de distinciones. Los aprendizajes de tipo II, aun siendo parte de una concatenación, son hechos aislados. Se trata, por lo tanto, de aprendizajes “simples”. Sin embargo, precisamente por este motivo, así como son fáciles de almacenar también son fáciles de olvidar (“sofocados”, por ejemplo, por otra actividad). Si alguien es sometido al aprendizaje de muchos ejemplos de tipo II, o de varias concatenaciones de tipo III, es fácil que se olvide de todo o se confunda. No obstante, se activa un aprendizaje diferente, llamado “por distinción”. Se trata de “vincular” objetos (o nombres) aprendidos mediante relaciones debidas a invenciones o estilos personales, que no siempre se pueden codificar o hacer explícitas. Esto parece permitir la interferencia entre diferentes concatenaciones, lo cual parece ser la causa principal por la cual se olvida lo aprendido. En este punto, aparece una discusión frecuentemente escuchada por los psicólogos: ¿La distinción puede ser un hecho “mecánico”? Dicho de otra forma, se puede aprender sin olvidar, si voluntariamente se asocia a cada concatenación una relación explícita entre objetos (o nombres) para hacer que el recuerdo sea más fácil. El estudio de esta cuestión (procesos de memorización) ha puesto el acento sobre otro tema que pasaré por alto: ¿Qué quiere decir “mecánico” en este ámbito?

• VI tipo: aprendizaje de conceptos. Hasta ahora hemos aprendido a hacer ciertos movimientos, a reconocer los objetos nominados, a dar nombres nuevos a objetos conocidos; pero lo que nos interesa es el aprendizaje de algo más elevado: los conceptos. Este tipo de aprendizaje está fuertemente relacionado con la capacidad de “representación interna”, es decir la capacidad de manipular simbólicamente el ambiente externo, sin intervenir en éste físicamente, simplemente imaginando tal manipulación. Un ejemplo banal: imaginar lo que le sucedería al ambiente en el que me encuentro (mi estudio, en Bogotá, en el que escribo rodeado de 10000 libros) si un espíritu maligno cortara asimétricamente las bases de las bibliotecas. Concretamente, no sucederá jamás (¡eso espero!) pero puedo muy bien imaginar las consecuencias. Ahora bien, parece que algunos primates superiores tienen destellos de este tipo de capacidad, pero es seguro que la consciencia y madurez plena de esto reside sólo en el complejo mecanismo del cerebro humano. Aprender un concepto significa aprender a clasificar las situaciones estimulantes en términos de propiedades abstractas como colores, formas, posiciones, números y similares. Por ejemplo, la generalización que hace un niño, incluso en edad preescolar, al llamar “cubo” o “dado” a tal forma independientemente de su dimensión, color o peso, pertenece a este tipo de aprendizaje. La definición matemática del cubo, con términos precisos, aunque pertenecientes al lenguaje común, no ayuda en el acto del aprendizaje puro; en el caso del aprendizaje se trata de un acto interno, intuitivo e interior. Me parece aún más estimulante el estudio psicológico de la manera como se da el aprendizaje de tipo abstracto; por ejemplo, el aprendizaje de lo que significa “estar en medio”, cuando no solo cambian las propiedades de los objetos (como en el caso de cubos diferentes), sino que cambian también los objetos mismos. Aquí y en los casos análogos resulta esencial la variedad de los estímulos, aún más si a este aprendizaje se asocia, como sucede muy frecuentemente, el uso de una terminología nueva. Un adulto, dada su vasta experiencia lingüística, supera la falta de información circunstancial (relativa al caso específico) haciendo uso de conocimientos análogos; sin embargo, este tipo de aprendizaje en el niño resulta sorprendente. Tanto es así que un adulto puede aprender fácilmente conceptos abstractos solo basándose en definiciones verbales, esto en cambio no puede suceder en un niño pequeño con poca experiencia en el uso del lenguaje.

• VII tipo: aprendizaje de reglas. Entre tanto se debe aclarar qué se entiende por “regla”. Se puede pasar de reglas sencillas a reglas muy complejas. Las primeras se pueden simplificar mediante frases en las que se den condiciones a respetar (por ejemplo: «En alemán el artículo determinativo “die” acompaña un sustantivo femenino»). En este caso, se trata de una asociación verbal que comunica una idea que se debe tener presente como regla. O sea: no basta con saber repetir la concatenación verbal para poder decir que se ha aprendido la regla; a lo sumo se sabrá expresar la regla. Ocurre saberla aplicar en un cierto número de ejemplos significativos. Por lo tanto, una regla es una cadena de dos o más conceptos. Ésta puede ser expresada por medio de formulaciones como «Si A entonces B» («Si hay un sustantivo femenino, entonces debo precederlo de “die”»). A propósito del estilo más eficaz para aprender reglas, hay quien afirma que consiste en dar la regla en modo explícito y luego pedir que se use en varios ejemplos; otros en cambio sugieren el procedimiento inductivo inverso: dar ejemplos a partir de los cuales se pueda obtener la regla (proceso de descubrimiento). Los segundos temen que se puedan utilizar formulaciones verbales como atajos y que en lugar de cadenas conceptuales se llegue a obtener solo cadenas verbales. (El ejemplo clásico es aquel del estudiante que sabe “decir” la regla con palabras, pero que no sabe aplicarla en un caso concreto).

• VIII tipo: problem solving. Adquiridas las reglas, ya hemos visto en que sentido el ser humano pude resolver problemas. Por lo tanto, aceptando esta escala, se trata del aprendizaje más elevado y significativo. La acción de resolver un problema se concluye, en estos casos, en un aprendizaje realmente sustancial. La mutación de las capacidades del individuo es tan claro y explícito como en cada uno de los otros tipos de aprendizaje. El aprendizaje mediante problem solving lleva a nuevas capacidades del pensamiento.

Los ocho tipos de aprendizaje van, en la escala proporcionada por Gagné (1973), del más simple al más complejo y completo; y cada uno es prerrequisito para el o los sucesivo/s (aunque se puede hacer directamente una distinción, V tipo, a través de estímulo/respuesta, I y II tipo). Los estudios al respecto son tan vastos y profundos que no me puedo ni limitarme a recordarlos (remito a los textos citados sucesivamente, que son ricos en bibliografía pertinente). Termino entonces confesando a los lectores que expuse, en esta sección, una teoría casi ingenua, básica, no la más moderna; lo que es suficiente para nuestro objetivo (actualmente, por ejemplo, no se acepta esta tipología lineal, sino que se prefiere una más ramificada). En las indicaciones bibliográficas aconsejaré lecturas mucho más actualizadas sobre estos fascinantes temas y volveré sobre este argumento más adelante.

En el caso particular de la Matemática, los tipos que más nos interesan siguiendo las mismas fuentes son:

• Tipos I y II: señales y S/R. Este tipo de aprendizaje parece ser la base de la adquisición de ideas y conceptos matemáticos sucesivos de gran importancia. Es sobre estos tipos de aprendizaje que nos debemos basar para entender el interesante fenómeno por el cual, aún en edad preescolar e incluso antes del kínder, el niño aprende Matemática, tanto así que hoy en día los programas de Matemática de la escuela primaria en todo el mundo sugieren no subestimar las competencias matemáticas precedentes de los niños, sino valorizarlas y basar en ellas las nuevas ideas que se busca formar. Un análisis de las “capacidades matemáticas básicas” (para caracterizarlas, en el pasado, sugerí un sustantivo bastante afortunado: “protomatemática”) es una actividad intelectual muy estimulante. Se pueden añadir los nombres de los números, los nombres de algunas figuras recurrentes en geometría, la actividad de imitar dibujos con el lápiz, la denominación de la sucesión de los números naturales, etc. Cabe precisar que ninguno de estos aprendizajes es “adulto”, completo o preciso. Por ejemplo, no es seguro que los nombres de los números correspondan exactamente a los números mostrados (un caso común es el del niño que muestra tres dedos y dice «Dos»); no es seguro que el nombre de una figura sea el que un adulto diría (un caso común : el bloque con forma de triángulo es llamado “techo” por la función que cumple en la construcción de las casitas); la sucesión de los números puede ser correcta en términos de ritmo pero avanzar saltuariamente en cuanto al nombre de los números (uno, dos, tres, seis, nueve, […]). Sin embargo, en la base de cada uno de estos aprendizajes, hay una respuesta de tipo matemático importante provocada por señales y estímulos. Por ejemplo, en la base de la sucesión de los números, aun siendo incompleta, hay una consciencia confusa que se está consolidando:

• cada número tiene su propio nombre;

• cada número tiene un sucesivo bien determinado;

• se empieza con uno;

Empezando con un número bien definido como primero, cada uno de los demás se obtiene adicionando una unidad.

• Tipo III: concatenación. Al contrario de lo que se piensa, el aprendizaje por concatenación no verbal está presente como fundamento de adquisiciones importantes en Matemática, relacionadas, por ejemplo, con la escritura al hacerse dueño de letras, símbolos y figuras geométricas.

• Tipo IV: asociación o secuencias verbales. En este caso, viene inmediatamente a la mente la secuencia de los números naturales de la que hablé anteriormente. Sin embargo, mientras precedentemente no hablé más que de un hecho fonético, aquí la interiorización es tal que se puede hablar del aprendizaje de la secuencia (nótese: aunque ésta sea incompleta). Esto juega un rol importante en el aprendizaje matemático del niño; por ejemplo, el momento en el que el niño ve 6 objetos y usa el número cardinal 6. Esto puede darse:

• a simple vista; en tal caso, parecen tener un rol una o más configuraciones particulares (estudiadas por la psicología de la forma, la Gestalt; retomaré este tema ampliamente más adelante);

• por conteo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, donde el último número ordinal es el número cardinal del conteo. En este caso, los niños tienen diferentes estilos. Hay quien dice el sustantivo 6 con un tono diferente, casi de descubrimiento. Hay quien cuenta hasta 6 y luego repite el número 6. El tipo IV no se limita solamente a los primeros años de vida del niño, por el contrario, permanece en el tiempo y lo acompaña durante su vida de (…) aprendiz de Matemática. Aprender los signos de las operaciones, las letras que representan elementos geométricos, los nombres de figuras jamás vistas, etc., todo lo que está relacionado con este mismo tipo de aprendizaje, no obstante más consciente.

• Tipo V: distinción y desambiguación. Se trata de otro tipo de aprendizaje que acompaña al alumno por un tiempo largo, iniciando muy temprano. Está presente, por ejemplo, en el campo numérico cuando se reconoce la diferencia entre un conjunto de 3 o de 5 canicas, más por percepción (el modo en el que las canicas están agrupadas, o la forma que toman los dos conjuntos) que por conteo explícito y, aunque aparentemente trivial, la distinción entre los signos gráficos que indican las letras (puede ser sorprendente, pero tal distinción se empieza a desarrollar en niños a partir de los 3 años y generalmente es mucho más sólida en niños de 5 años). En edades más avanzadas, las distinciones notables relacionadas con hechos formales son aquellas gráficas: la posición de los signos de las fracciones y de los exponentes con respecto a la base, la distinción entre los niveles de los paréntesis (redondos, angulares, corchetes), etc. Puede parecer superficial, pero en la base del aprendizaje de nuevos signos matemáticos y sus funciones específicas siempre hay una distinción: pasarla por alto, por considerarla obvia, puede ser (es) un grave error didáctico.

• Tipo VI: conceptos. Hay conceptos en la base de las adquisiciones matemáticas que son tan familiares y simples que pueden ser considerados obvios: similar, igual, diferente, agregar, quitar, etc. Si se piensa un poco, se descubre que tales conceptos se encuentran en los fundamentos de las operaciones aritméticas, de la descripción y el reconocimiento de las formas geométricas, etc., en fin, de los elementos sobre los cuales se cimienta el entero edificio matemático. Descubrir los conceptos básicos y verificar explícitamente su asimilación (teniendo como objetivo su aprendizaje) es una actividad didáctica de obligatorio cumplimiento. En el pasado, el concepto de conjuntos (y sus sinónimos) fue ampliamente impulsado y, junto con éste, el concepto de elemento. Hoy en día, cuando el entusiasmo excesivo por los conjuntos ha pasado, es aún fundamental, a mi modo de ver, la distinción entre términos colectivos y términos singulares (los cuadrados, aquel cuadrado; los números, el tres). También es obvio que la experiencia juega un papel fundamental en la adquisición de conceptos.

• Tipo VII: reglas. Se trata de un aprendizaje matemático primordial tan evidente que necesita poca explicación. Parece ser casi una peculiaridad de la Matemática, si se pone atención a lo que se dijo anteriormente sobre el término “regla”. Varios autores han contribuido al estudio psicológico del aprendizaje de reglas, entre los que recuerdo a Resnick (1967).

• Tipo VIII: problem solving. Aquí, no hay necesidad de decir otra cosa: todo el libro está dedicado a este tema. Al cual llegaremos paso a paso.

Nota bibliográfica

Para la redacción de esta sección se usaron (Gagné, 1965 [en la edición italiana, ver las pp. 55-96 y 281-324; ejemplos matemáticos (algunos por demás discutibles), pp. 292-302]; Resnick, 1967; AA. VV., 1983 [en particular los capítulos de P. Boscolo, de M. S. Veggetti y de C. Pontecorvo]; Aglì, Martini, 1995; De Zwart, 1983; Hughes, 1982; Pontecorvo, 1983, 1985; Pontecorvo, Pontecorvo, 1985; Sastre, Moreno, 1976).

Se puede encontrar una amplia panorámica de los diferentes modelos de aprendizaje, integrados a los respectivos esquemas de enseñanza que de ellos resultan, en (Ballanti, 1968). La autora dedica las cinco partes del libro al «Desarrollo», la «Adaptación evolutiva», la «Mente», el «Comportamiento y condicionamiento» y finalmente a los «Procesos y secuencias». A mi modo de ver, se trata de un proyecto sistemático de interpretación y lectura que cualquier estudioso de cuestiones didácticas debe conocer.

Asumiré como un emblema de mi punto de vista un fragmento de una célebre obra de R. A. Hinde de 1974 con el cual inicia el libro (Ballanti, 1968): «Es por demás inútil decir que el desarrollo de todas las características que conforman el comportamiento depende tanto de la naturaleza como del ambiente. Ningún carácter depende solamente de los genes o del ambiente».

Parecería de gran importancia disponer de una metodología objetiva capaz de evaluar la eficacia del trabajo desarrollado en la escuela o, en términos más generales, del esquema de enseñanza adoptado; ver (Mariani, 1991).

No se deben olvidar los aportes a los estudios sobre el aprendizaje adelantados por la ciencia cognitiva; para tal propósito, se puede leer la sección 5.4. de (Bara, 1990). Allí, se habla de aprendizaje de primer orden relacionado con el conocimiento tácito donde se sitúa la idea de aprender a aprender; ver también (Bateson, 1976); en esto se encuentra sobre todo la descripción de programas que estimulan el aprendizaje y su evolución histórica. Tendré la ocasión de volver en detalle sobre este tema en más de una oportunidad.

Con una posición muy diferente a la de Gagné, sobre la creación de los conceptos se sitúa (Aebli, 1961, pp. 228-255).

Ver también (Boscolo, 1986b), útil en términos generales y en los términos específicos aquí tratados en las pp. 8-10 (Gagné), 11-12 (Bruner), 13-22 (perspectiva cognitivista): una panorámica breve pero eficaz.

1.6. Aprendizaje operativo

Como dice un proverbio chino asumido como lema del Proyecto Nuffield en los años 70-80, es obvio que “si hago, aprendo”. Pero ese “hacer” puede ser concreto o abstracto y nadie ha dicho que el segundo (abstracto) sea menos productivo que el primero (concreto).

[Sin ir hasta la antigua China, el napolitano Giambattista Vico (1668-1744) afirmaba «verum ipsum factum» lo que esencialmente expresa la misma posición].

Dado que siempre he defendido los laboratorios de Matemática como un lugar para “hacer”, y dado que me parece una tesis evidente, evitaré entrar en detalles, por lo que me limitaré sobre este tema a las referencias bibliográficas al final de la sección.

En cambio, resaltaré un ejemplo de Vergnaud (1981a). Supongamos que hay unas barras incrustadas una sobre la otra, como se indica en la figura, y que haya que extraer la barra A.

¿Qué se debe hacer?

Dado que se pide un “hacer”, es decir una acción, es evidente que hacer varios intentos es un comportamiento espontáneo. «Intento sacar la A, pero no se mueve. Bien: dado que A está bloqueada por F, sacaré la F; pero la E está libre; podría sacarla; (…)» y así sucesivamente.

Claro que es un ejercicio útil dentro de lo que se podría llamar un cálculo de las relaciones: para sacar A, primero se debe extraer F; pero (…) Me parece que no se acentúa suficientemente lo que es inútil hacer: «Si quiero sacar A, es inútil extraer E». Me parece que este dualismo: “es necesario / es inútil”, acierta la dimensión exacta y significativa del sentido que tiene el orden de las operaciones a seguir.

Solo que, si se hace el estudio en forma concreta, a mi modo de ver, se pierde mucho. Una vez hecha una acción, ésta perdura a manera de efecto en la memoria solo durante el tiempo de la acción y por lo tanto no puede influenciar la consciencia profundamente. En casos de este tipo, parece muy fructífero resolver el problema de manera puramente mental, si acaso reforzando la resolución con expresiones verbales, orales o escritas: «Si quisiera sacar A, primero debo extraer F; en realidad, no lo hago, pero supongo que lo quiero hacer; si quisiera extraer F, antes debo (...)». Entonces, hay aprendizajes operativos que no pasan a través de una operación concreta, “realizada”, sino solo imaginada. Esta modalidad refuerza el aprendizaje, favorece la imaginación y obliga a tener una expresión verbal coherente y significativa.

También en la fase de ejecución de los problemas, es esencial que exista el hábito de hacer explícitas las diferentes fases de la resolución, lo que es una forma segura de estudiar significativamente las estrategias resolutivas reales y, niño por niño, el estilo de quien resuelve. (Sin embargo, el análisis crítico de los protocolos de observación y las entrevistas son también “formas” válidas).

Favorecer la imaginación operativa hace posible resolver problemas particularmente difíciles. Tomo prestado otra vez una idea de Vergnaud (1981): «Miguel tiene una vasija con dulces. Inés toma 15 para ella. José le da a Miguel otros 9 dulces. Ahora, Miguel tiene en total 63 dulces ¿Cuántos tenía al principio?».

Niños de tercero de primaria que no tienen el entrenamiento para imaginar la solución, en un porcentaje muy alto, no saben resolver el problema. Niños de la misma edad, entrenados para “ver la situación”, imaginan operativamente las diferentes escenas y hacen las cuentas a la inversa (aunque no formalizándolas): «Cuando José da los nuevos dulces a Miguel, Miguel tiene 63-9 o sea 54. Cuando Inés toma 15 dulces, Miguel tenía 54+15 o sea 69». Operativamente, paso a paso, imaginando las escenas, el porcentaje de solución aumenta notablemente.

Se puede tratar de ayudar a los niños dándoles un esquema gráfico como el siguiente:

¿Cuánto puede ayudar este esquema a la solución dada por los niños? Ayuda mucho en el caso de niños no entrenados a imaginar (el porcentaje de soluciones aceptables pasa, en nuestros experimentos, de casi cero al 60%); ayuda poco en el caso de niños entrenados para imaginar, en el sentido en el que estos niños ya eran buenos en la actividad de resolver este tipo de problemas y por lo tanto el esquema tiene sí una incidencia, pero ésta no es sustancial. De tal manera que el esquema ayuda sobre todo a quien no sabe ayudarse solo.

[También hemos intentado hacer el proceso inverso: dar el problema con el esquema sugerido; entonces, el porcentaje de respuestas correctas (siempre de niños de tercero) es inmediatamente más elevado. Al dar un problema análogo, sin esquema, muchos niños reutilizan uno parecido al entregado anteriormente (en este caso se ve una discreta transferencia de aprendizajes) resolviendo así el problema en un buen porcentaje. Solo que (…) Intentamos dar un tercer problema, para el cual el esquema anterior no tenía ningún sentido. Entonces, constatamos que los niños que siguen un programa de enseñanza usual, aún antes de analizar la solicitud del texto, dibujaban el esquema, adoptando una especie de regla: «Si el esquema gráfico funcionó dos veces, ¡funcionará siempre!». Detrás de este comportamiento está la idea del contrato didáctico en cuanto “el niño tiene la expectativa de modalidades repetitivas”].

Tendremos que volver largamente sobre estos temas, de manera más profunda y desde diferentes puntos de vista.

Sin embargo, antes de proceder, me gustaría resaltar que el problema de Miguel y los dulces parece involucrar con fuerza el concepto de incógnita; quien resuelve se debe hacer una imagen mental fuerte de esta idea: ¿qué debo encontrar exactamente? Y aquí hay dos incógnitas, una que resuelve el problema final y una intermedia, por decirlo así.

Es importante evaluar también este aspecto en el estudio específico de este problema (u otros análogos).

Nota bibliográfica

Para la redacción de esta sección, utilicé (Vergnaud, 1981a; D’Amore, 1988c; D’Amore, 1990-91; Caldelli, D’Amore, 1986).

Otros textos básicos (D’Amore, Marazzani, 2011; D’Amore, Persano, 1985; D’Amore, Sandri, 1991).

Para un fundamento pedagógico sobre el uso de los laboratorios, ver (De Bartolomeis, 1979)

1.7. Jerarquías de aprendizaje y problemas de “inmersión total”

En la sección 1.5. vimos como varios autores, en particular Gagné, proporcionan, por así decirlo, una jerarquía de los aprendizajes, distinguiéndolos desde los más simples (aquellos que se hallan también en los animales) hasta los más complejos. Si aprender a resolver problemas significa en gran medida utilizar conceptos aprendidos, entonces también la escala propuesta por L. E. Bourne (1966) nos puede proporcionar una reflexión útil sobre el tema; Bourne propone 4 tipos fundamentales de tareas conceptuales:

• aprendizaje de atributos: dando un estímulo y proponiendo posibles atributos, el sujeto distingue entre éstos; es un tipo de aprendizaje que está relacionado con la percepción (la individuación de las características típicas de un objeto, aquellas que lo hacen diferente de los demás) y la etiqueta (labeling) (se asocia un sustantivo a un objeto-estímulo);

• uso de los atributos: es la fase sucesiva; hay atributos que el sujeto ha individuado y que, por lo tanto, se encuentran a su disposición; ahora el sujeto escoge aquellos atributos que hacen que el objeto sea parte de un conjunto o categoría (esto sustancialmente es la “tarea de identificación del concepto de un determinado tipo” de Bruner, 1960);

• aprendizaje de reglas: mediante la experiencia, el sujeto aprende reglas comunes para ciertas clases de situaciones;

• uso de las reglas: a su vez, las reglas son un instrumento para adquirir un comportamiento conceptual; éste es el clásico caso de la resolución de problemas. Aún dentro de sus límites (señalados por Boscolo, 1986, pero también por el mismo Bourne), esta clasificación es útil aquí solo para ampliar el panorama de los estudios sobre el tema de las jerarquías del aprendizaje que han fascinado a los psicólogos.

Algunos de ellos han afrontado temas muy particulares; por ejemplo, Gagné, Mayor, Garstens y Paradise publicaron en 1962 una investigación sobre las jerarquías relacionada con la adición de los números naturales (ver Resnick y Ford, 1991, pp. 39-41); Gagné y Briggs (1974) estudiaron la sustracción de números naturales (ídem); etc.

Si bien muchos lectores críticos tienden a despreciar estos análisis (creo que lo hacen sobre todo los lectores matemáticos), es necesario reconocer que tienen al menos una función: hacer reflexionar sobre la complejidad de algo que, desde cierto punto en adelante, se podría pensar que posee el mismo nivel de dificultad, tanto como para sugerir que no hay diferencia entre los casos. En definitiva: ¿es la sustracción en sí la que presenta dificultades conceptuales o son los casos individuales, o son las modalidades en las cuales se presenta que plantean dificultades de diferente tipo? Parecería que la segunda posición no es del todo trivial. Las habilidades estudiadas son habilidades de desempeño es decir lo que el sujeto sabe hacer en casos particulares (dado que no se hacen preguntas abstractas o generales sobre la sustracción, por ejemplo, en sí, pero se proponen situaciones). Sin embargo, Gagné en particular, pero también otros autores, llegan incluso a sacar conclusiones sobre las habilidades intelectuales, las cuales nos interesan más. Además: la naturaleza de las jerarquías de aprendizaje es tal que se pueden distinguir tareas subordinadas a otras y que son componentes de actividades de orden superior; se tendría por lo tanto una especie de aprendizaje no solo en forma de espiral sino también en forma de escalera, en la cual cada peldaño es necesario para poder dar el paso sucesivo. Sobre este tema (denominémoslo “teoría de los prerrequisitos”) ha trabajado por ejemplo Flavell (1972); las capacidades iniciales se transforman en elementos fundamentales para capacidades sucesivas; algunos desempeños y comportamientos fundamentales en el pasado pueden desaparecer del comportamiento de un niño que, después de algún tiempo, ya no tiene necesidad de dar los mismos pasos. Flavell concibe esta jerarquía como una forma de conceptualizar la Matemática misma (más allá de su aprendizaje). También es cierto el hecho que, si una tarea ocupe una posición elevada en una jerarquía de aprendizaje, no significa que sea más difícil de aprender o que requiera más tiempo que tareas anteriores; sin embargo, su posición en la jerarquía de todas maneras indica la “riqueza” de sus componentes. Al contrario, puede muy bien suceder que las tareas de nivel inferior sean las más difíciles de realizar por motivos de edad, falta de hábito u otros. En un estudio de Carroll de 1973, se muestran ejemplos concretos de todo esto: si una tarea considerada muy difícil se descompone en todos sus elementos elementales y el sujeto posee estos elementos, el último “peldaño” se vuelve sencillo y el niño puede realizar la tarea solo y en tiempos breves. Es más, le quedaría fácil transferirlo de una red compleja de peldaños inferiores hasta llegar al último peldaño. Hay que decir que con frecuencia los peldaños inferiores de una jerarquía son los fundamentos de muchos otros aprendizajes y por lo tanto se prestan a transferencias sucesivas incluso en otros ambientes conceptuales: saltarlos para proponer inmediatamente actividades complejas podría ser un error, ya que se eliminarían las bases para otras escalas del aprendizaje. La palabra clave que emerge de estos estudios se puede resumir así: ir de lo simple a lo complejo, en la práctica didáctica.

Sin embargo ¿quién nos puede asegurar que todo esto sea correcto, que tenga sentido, que sea aceptable y funcional?

Muchos psicólogos han dedicado amplios estudios a verificar la validez de estas jerarquías de aprendizaje. Según la técnica usada, podemos distinguir estos estudios en dos categorías: estudios escalares (scaling study) y estudios de adestramiento (training study).

En un scaling study se somete a un grupo de estudiantes a test relativos a los prerrequisitos de una tarea que debe ser objeto de estudio; cada alumno recibe un puntaje + o – en cada “peldaño” (habilidades componentes). Entonces, los estudiantes se organizan del “mejor” (el que tuvo más +) al “peor” (el que obtuvo más –). De tal manera que se provee una tarea de orden jerárquico más elevado y se verifica la evolución del grupo de alumnos. Si la jerarquía de aprendizaje (en esa posición particular) es correcta, tendremos que poseer una escala de respuestas correctas que corresponda al orden de los estudiantes; es decir, el “mejor” es también aquel que resolverá el test de la mejor manera, el “peor” viceversa. Si esto no sucede, entonces la escala de aprendizaje no es la correcta. Guttman en los años 40 (1944) diseñó esta prueba, por lo que la disposición de los + y los – obtenidos por el grupo de estudiantes es llamada escala de Guttman. Otros estudios sobre esta cuestión fueron propuestos por muchos autores, cito el estudio de Wang, Resnick y Boozer (1971) porque se dedica a las diversas tareas básicas en Matemática. De este estudio resultó que no hay dependencia entre la capacidad que tienen los niños pequeños para contar y el saber proponer una correspondencia uno a uno entre los elementos de dos conjuntos; y no solo esto, sino que su posición en una jerarquía es totalmente intercambiable. Este resultado tuvo una gran incidencia sobre cierta legión de defensores a ultranza de lo que se ha denominado Matemática moderna (dada la delicadeza de la cuestión y la “polvareda” que levantó, Wang llevó a cabo otros estudios en 1973, también Gelman y Gallistel en 1978, entre otros, y todos encontraron el mismo resultado). El scaling study ha sido últimamente sometido a varias críticas, algunas obvias, que pasaré por alto (se pueden encontrar en Resnick y Ford, 1991, pp. 45-47).

En el training study se construyen ejercicios didácticos basados en jerarquías para ser usados en actividades didácticas efectivas; dicho brevemente, los estudiantes siguen un curso muy estructurado y programado detalladamente en el cual se analizan todos los peldaños inferiores de la escala, pero no se examinan las habilidades que constituyen el objetivo final. Después de esto, los alumnos son sometidos a un test sobre las tareas finales y a otro test sobre cada una de las habilidades básicas enseñadas en el programa. Entonces, los resultados de los test son analizados en forma particular: se examinan las relaciones entre todas las parejas de habilidades de la jerarquía, las cuales se encuentran unidas mediante flechas, es decir directamente por encima o por debajo.

De tal manera, se asignan puntajes + o – a las cuatro relaciones posibles:

• si hay dos +, uno en el nivel superior y otro en el inferior, significa que ha habido un transfer de la habilidad inferior a la habilidad superior, como preveía la jerarquía;

• si hay dos –, no ha habido transfer, como preveía la jerarquía;

• si hay + en el nivel superior, pero – en el inferior, la jerarquía está contradicha;

• si hay – el nivel superior y + en el inferior, aunque se mantenga cierta concordancia con la jerarquía, puede que haya un defecto en el programa de aprendizaje.

Gagné inició este tipo de training study y fue seguido por otros en los años 60. El training study fue modernizado paulatinamente hasta llegar a situaciones sofisticadas de adiestramiento que pasaré por alto, citando a Resnick y Ford (1991, pp. 47-49), entre otras por las infaltables y usuales críticas. Me gustaría señalar un resultado de Uprichard de 1973 que verificó un hecho al parecer curioso. Mediante el estudio del orden jerárquico de los aprendizajes de la comparación entre cardinales, Uprichard descubrió que, como es obvio, mientras la relación “[…] contiene tantos elementos cuantos contiene [...]” es la base tanto para la relación “[...] contiene más elementos que [...]”, como para la relación “[...] contiene menos elementos que [...]”. Entre estas últimas no existe identidad de nivel jerárquico, como podría aparecer obvio; sin embargo, la relación “menor que” ha demostrado ser más difícil de aprender y de poseer que la otra y por lo tanto parecería aconsejable, en un programa jerárquico, estudiar estas nociones en este orden: igualdad, mayoría, minoría. (En este punto cito un estudio de Donaldson y Balfour de 1968 que mostraba cómo el concepto “más” es más fácil de asimilar que el concepto “menos” y la prueba que se hizo en Palermo en 1974 con el mismo resultado).

Entonces, hay dos categorías de estudiosos: aquellos que creen en las jerarquías del aprendizaje y aquellos que las rechazan. Los que creen pueden usarlas como planos para la enseñanza; es más, hay quienes llegan a usarlas como planos “individuales”, dado que se pueden calibrar sobre las competencias reales de cada niño. A propósito de lo anterior, hago referencia a las pruebas hechas por Resnick, Wang y Kaplan en 1973, quienes idearon un currículo básico para la enseñanza de la aritmética, muy detallado y personalizado, alumno por alumno (se puede ver Resnick e Ford, 1991, pp. 50-54). En cierto sentido, nuestro proyecto Ma.S.E. fue también un tentativo con un vago carácter jerárquico; sin embargo, dada su difusión, no nació como un proyecto personalizado, aunque las aplicaciones concretas mostraron que podría convertirse en tal.

Pueden surgir muchas dudas sobre el concepto mismo de jerarquía, pero, al menos hasta cierto punto, me parece útil para indicar el modo de proceder de manera secuencial y lógica, en lugar de caótico e improvisado. La elección entre una u otra jerarquía está a discreción del profesor, dependiendo de su experiencia, sensibilidad y cultura. Este punto está estrechamente relacionado con la transposición didáctica del Saber hacia el “saber que se quiere enseñar” y el “saber enseñado”, más exactamente en el componente de la ingeniería didáctica (D’Amore, 1999a).

No obstante, no se excluye una elección diametralmente opuesta, la elección de la inmersión total. Tomemos el caso de la didáctica de los problemas que es el que más nos interesa. Se puede crear una escala de problemas matemáticos, del más simple al más complejo.

[¡Atención! ¿Qué quiere decir simple? No es una cuestión menor. En la sección 8.1. se muestra que un viejo criterio de clasificación muy difundido y aceptado en realidad no funciona; se trata del siguiente criterio: entre menos operaciones requiera la solución, más fácil es el problema – entre más operaciones se requieran, más difícil].

Entonces, el niño debe, con su propio ritmo, recorrer la escalera y mientras demuestra sus habilidades para resolver problemas de cierto nivel, accede a problemas de nivel superior. Por el contrario, se puede decidir “sumergir” al niño en un contexto problemático “difícil”, “complejo”, a propósito, por varios motivos: porque los estímulos más fuertes son seguidos por una motivación más activa; porque se quiere provocar la reelaboración de la situación, el desenredo de la madeja; porque se busca suscitar más consciencia, más involucramiento, más ganas; porque se busca una reelaboración a la “inversa” de las etapas de la solución (descubrir «Lo que debo saber antes de [...]») etc. Para ser franco, me parecen dos actitudes, dos “estilos” didácticos significativos y practicables. Tal vez, en el segundo se requiere una mayor competencia por parte del profesor, o quizá una mayor “vigilancia” matemática: en una situación compleja, las respuestas de los niños pueden ser muy diferentes. Me parecen tan significativas y practicables las dos propuestas, que no tendría objeción en practicarlas ambas: mientras la jerarquía se desarrolla gradualmente, a lo largo de la escalera, y aún mejor de manera individual, poco a poco llega la sacudida; una situación problemática compleja saca de lugar el tranquilo andar cotidiano y hace que todo sea puesto de nuevo en discusión, anima a los niños, hace que ellos den pasos de gigante hacia adelante, haciéndolos reflexionar a la “inversa”, precioso resultado en tanto ocasión para el meta conocimiento.

Esta posición “mixta” podría ser útil para responder a las objeciones hechas sobre el tema de las jerarquías, objeciones que afirman que la didáctica basada en jerarquías podría limitar a los estudiantes capaces. De hecho, es obvio que en cualquier grupo normal hay niños que yo defino como “de aprendizaje veloz” (mientras otros, por ejemplo, Terrassier, 1985, los llaman “superdotados”, lo cual, a veces, me parece excesivo). Estos estudiantes podrían muy bien saltarse diversos peldaños de la escalera, o toda la escalera de una vez, o unos aquí y allí, para alcanzar los peldaños superiores; esos alumnos son penalizados por la obligación de recorrer toda la escalera. Las inmersiones totales en problemas complejos podrían ser la ocasión para hacer que dichos estudiantes se sientan satisfechos y comprendidos (además del hecho que la didáctica jerárquica es, no digo totalmente pero sí bastante, personalizada, por lo que estos niños no se verían obligados a respetar los tiempos comunes).

Más allá de la confirmación de las bondades de la inmersión total, me gustaría recordar varias pruebas hechas a partir de los años 60, por Z. Dienes en 1963, por ejemplo. Con tales pruebas se comprobó que, en estos casos, al afrontar y resolver problemas complejos, los niños demostraron haberse apropiado de conceptos de nivel jerárquico inferior, sin haberlos practicado explícitamente con anterioridad. Es más, los mismos Dienes y Golden (1971) llegaron a la hipótesis didáctica conocida como enfoque profundo (deep end): es mejor ir directamente a cierto nivel de complejidad, antes que seguir toda la escala jerárquica. En últimas, si numeramos idealmente los peldaños del 1 al 10, por ejemplo, podemos:

• partir de 1 y luego, poco a poco, pasar al 2, luego al 3 etc., gradualmente pero siempre respetando los ritmos individuales; esto puede ser llamado “didáctica gradual absoluta”;

• partir de 6 y comprobando la adquisición desde el 1 hasta el 5, luego ir al 10 y comprobar desde el 7 hasta el 9; esto puede ser llamado “didáctica de la inmersión total”;

• partir del 1, ir al 2, saltar al 5, comprobar el 3 y el 4, ir al 6, saltar al 8, comprobar el 7, ir al 9 y luego al 10 (o un proceder análogo), respetando, en los pasajes graduales, los ritmos individuales; esto puede ser llamado “didáctica de profundidades mixtas”.

A mi modo de ver, la última elimina al menos algunos de los defectos de las otras dos posiciones extremas. Por ejemplo, las acusaciones que pesan sobre la didáctica de la inmersión total hechas por Resnick, Siegel y Kresh (1971) y por Caruso y Resnick (1972) luego de varios experimentos, podrían muy bien ser superadas por la didáctica mixta anteriormente propuesta. Entre otras, es de resaltar que una didáctica fuertemente estructurada beneficia a los estudiantes con capacidades menores, y que los estudiantes “fuertes” no tienen necesidad de tales estructuras (me refiero al ampliamente citado trabajo de Cronbach y Snow de 1977).

Lo que me asusta es que se llegue, dada la lucha que se presenta siempre entre los dos extremos, a concebir un “arte de la didáctica”: con todo el esfuerzo que ha costado llegar a la aceptación de la cientificidad de la didáctica de la Matemática por parte de unos matemáticos activos en esta, como disciplina autónoma, autosuficiente ¡La hipótesis que todo se reduzca a un arte es espantosa! Sin embargo, el peligro existe (ver Resnick y Ford, 1991, pp. 56-57).

Hay un amplio debate sobre el problema del significado que se puede atribuir a la idea de subdividir un problema complejo en una sucesión de ejercicios elementales.

Para resumir, no es que la subdivisión aumente el porcentaje positivo, sino que el meollo entorno al cual el problema está construido se pone en evidencia.

Veamos un ejemplo que tomo en su formulación original.

Sea A el siguiente texto:

Los 18 alumnos de noveno quieren hacer una excursión escolar de un día de duración de Bolonia a Verona. Para tal fin, deben tener en cuenta los siguientes datos:

1. dos de los alumnos no pueden pagar;

2. sería bueno “invitar” al profesor acompañante;

3. de Bolonia a Verona hay 120 km;

4. un autobús de 20 pasajeros cuesta 200.000 pesos diarios más 500 pesos por kilómetro (incluidos peajes).

¿Cuánto dinero gastaría cada alumno?

Aquí una subdivisión del problema en 3 componentes:

A1. Los 18 alumnos de noveno quieren hacer una excursión escolar de un día de duración de Bolonia a Verona. Ya que dos de los alumnos no pueden pagar y el profesor acompañante es invitado ¿entre cuántos se debe repartir el gasto?

A2. Los 18 alumnos de noveno quieren hacer una excursión escolar de un día de duración de Bolonia a Verona. El autobús de 20 pasajeros cuesta 200.000 pesos diarios más 500 pesos por kilómetro (incluidos peajes). De Bolonia a Verona hay 120 km. ¿Cuánto dinero gastará la clase?

A3. Como A.

La propuesta de A directamente o la sucesión A1, A2, A3 no produjo ninguna variación significativa en IV de primaria. Casi la totalidad de los niños a quienes se les propuso A cometieron el error de evaluar el gasto: 500×120+200000, sin calcular el gasto del regreso. Casi la totalidad de los niños a quienes se les propuso la sucesión Al, A2, A3, cometió el mismo error en la fase A2. De hecho, la gradualidad no aumentó en modo significativo la respuesta positiva. Entonces, se hizo la prueba fraccionando A2 en dos componentes, uno de los cuales preguntaba explícitamente cuántos km se recorrerían ese día. Tal forma explícita favoreció notablemente el porcentaje de respuestas positivas. El meollo conceptual se deshizo y, frente a la pregunta, explícita, muchos niños calcularon (120×2)×500. Por lo tanto, el fraccionamiento de un problema complejo produce una mejoría significativa en el porcentaje de solución solo cuando el meollo conceptual del problema es evidenciado de manera explícita; el fraccionamiento de por sí no produce mejoría de ningún tipo. Es preciso entonces reflexionar sobre la calidad de la elección de los componentes del problema y no solo, de manera acrítica, sobre el fraccionamiento en sí.

El problema anterior fue una oportunidad formidable para un estudio específico sobre el contrato didáctico; las fallas de cálculo de los gastos debidas al regreso, de hecho, fueron puestas en evidencia por parte de los estudiantes entrevistados por falta de una pregunta en ese sentido: «Si querías que calculáramos también el regreso, tenías que decirlo». En varios de mis trabajos sucesivos, he analizado detalladamente esta circunstancia desde el punto de vista de la teoría de las situaciones (por ejemplo, en D’Amore, 1999a, c).

Nota bibliográfica

Para la redacción de esta sección he empleado sobre todo (AA. VV., 1991) [aquí sugiero sobre todo la lectura de los textos de P. Boero, E. Scali, A. Rondini y C. Rubini]; (Bourne, 1966; Boscolo, 1986; Bruner, Goodnow, Austin, 1956; Carroll, 1973; Caruso, Resnick, 1972; Cronbach, Snow, 1977; D’Amore, 1986-93, 1988a, 1988b, 1989, 1991b, 1992a, 1999a, 1999c; D’Amore, Fandiño Pinilla, Sbaragli, 2011; D’Amore, Sbaragli, 2011; Dienes, 1963; Dienes, Golding, 1971; Donaldson, Balfour, 1968; Flavell, 1972; Gagné, 1962; Gagné, Briggs, 1974; Gagné, Mayor, Garstens, Paradise, 1962; Gagné, Paradise, 1961; Gelman, Gallistel, 1978; Guttman, 1944; Handjaras et al., 1983; Palermo, 1974; Resnick, 1973; Resnick, Ford, 1991; Resnick, Siegel, Kresh, 1971).

4 Por pura curiosidad histórica, se trata de una conjetura que el matemático alemán, que vivió en Rusia, Christian Goldbach, propuso a Leonhard Euler en 1742, ya que no lograba ni demostrarla ni refutarla; tampoco lo logró Euler; de hecho, ninguno lo ha logrado hasta ahora.

2. El papel fundamental de la motivación

2.1. La motivación

«Podría hacer más, pero es distraído y tiene pocas ganas». «No se interesa». «Está desmotivado».

Cuántas veces en nuestra vida como docentes hemos escuchado estas frases, quizá algunos de nosotros las hemos dicho también. El hecho es que a ningún niño se le dan alternativas: cada niño debe ir a la escuela, pero no es posible que cada niño muestre interés por todo, siempre. Hay una fuerte asimetría en la relación fundamental que rige la escuela, es decir la relación profesor/alumno: el profesor está en la escuela por elección personal, se le paga por educar, tiene poder de decisión (aunque limitado); el alumno está en la escuela por obligación, incluso cuando no tiene ganas (es razonable pensar que de los 200 días escolares haya más de un día en el que el estudiante prefiera hacer algo diferente).

«Está desmotivado» suena a acusación, una culpa. ¿De quién?

Por otro lado, ¿cuál es el mecanismo que hace nacer una “motivación para aprender”? Y ¿qué es esta motivación?

Haciendo uso de la infinita bibliografía sobre este tema, trataré de delinear una respuesta general, no solo relativa al mundo escolar, para disponer de más elementos.

Basándome de manera preliminar en los célebres y clásicos análisis de Azrin (1958) y de Goldiamond, Dyrud y Miller (1965), presentaré una selección de motivaciones operativas.

1. Motivación referida a las variables que hace eficaz el logro de un comportamiento inducido.

Un ejemplo banal: un niño fue privado toda la mañana de bebidas y estuvo bajo el sol; al final de la mañana, la mamá le dice: «No has bebido en toda la mañana y has estado siempre bajo el sol, debes tener sed».

2. Motivación basada en el comportamiento.

Un ejemplo banal: un niño está acostumbrado desde hace tiempo a tomar un chocolate cada vez que va a ver a una señora, pero la mamá le dice que evite este comportamiento por educación. El niño entra y no va directamente, como suele hacerlo, al tazón donde están los chocolates. La señora lo observa, espera y, después de un rato, le dice: «¿Cómo puedes privarte de esos chocolates tan ricos? ¡Vamos, toma uno!». La motivación para actuar está relacionada con un comportamiento precedente, repetido en el tiempo, por demanda.

3. Motivación basada en las consecuencias.

Un ejemplo banal relacionado nuevamente con la comida: la motivación es inherente a un hecho (o a una serie de hechos) que generalmente no está relacionado con la necesidad; un niño necio hizo un pacto con su mamá: organizar su habitación para así ser considerado educado y querido. Sin embargo, el niño no siempre respeta dicho pacto. Una mañana, la mamá le dice: «¿Quieres desayunar? Entonces tiende primero la cama y luego te doy el desayuno».

4. Motivación basada en estímulos discriminatorios.

Diferentes estímulos pueden crear la misma motivación e incluso reforzarla. Aquí se juega con gran parte de la motivación interna, la cual no es banal como en los casos anteriores. Diferentes estímulos pueden llevar a distinguir, de manera consciente o no, los diversos componentes involucrados. Tales estímulos pueden ser establecidos por parte del actuante de manera consciente o no (en nuestro caso por parte del alumno) o por parte del profesor. Por ejemplo, Holland e Skinner (1961) estudiaron el comportamiento animal, con base en el cual el animal escoge entre varios estímulos aquel que reconoce como un refuerzo (el famoso experimento de la elección del color rojo). De tal manera, la motivación de tipo 4 no es solo deliberada (por parte del sujeto) sino que puede ser inducida.

De todas formas, este apresurado análisis por sí mismo no permite estudiar, en mi opinión, el fenómeno académico que nos interesa: en Gagné (1973, pp. 330 e ss.) se entra más en lo específico. En esto me inspiraré para la siguiente sección.

Entre tanto, acepto inmediatamente la afirmación de Gagné según la cual el problema de monitorear, conocer, reforzar, desarrollar y utilizar la motivación es «la exigencia más seria que la escuela puede encontrar».

Por lo tanto, el problema es enorme: al menos psicológico, pedagógico y didáctico. “Tener motivación” se relaciona (en gran medida) con la esfera afectiva: una acción educativa que tenga en cuenta esto abarca problemáticas enormes, que ni siquiera sueño con afrontar aquí. Me limitaré a dos aspectos relacionados con esta cuestión:

• motivaciones para frecuentar la escuela;

• motivaciones para aprender.

Pasaré por alto un estudio profundo de las primeras motivaciones, lo cual no es rigurosamente banal. El niño, como decía anteriormente, tiene la obligación de ir a la escuela; tal obligación puede tener consecuencias negativas sobre su comportamiento, atención y disposición, si no hay motivación. A veces, al menos en lo que se refiere a la escuela primaria, la presión social (y familiar de manera particular), el placer de encontrar algo nuevo y la posibilidad de establecer relaciones con algunos o todos los compañeros de clase y con el ambiente son motivaciones suficientes. Sin embargo, hay estudios sobre la motivación negativa en cuanto a la frecuencia escolar, especialmente en lo referente a las clases menos favorecidas. No hay que olvidar que Huckleberry Finn considera que perder el tiempo yendo a la escuela es “cosa de nenitas”. Al parecer esta actitud no está del todo extinta hoy en día. Los estudios de Riessman y Wilson (en los años 60) (citados por Gagné, 1973) demostraron (especialmente para los niños de los Estados Unidos) que hay cierta diferencia entre la contrariedad provocada por la obligación escolar y la motivación de aprender una vez éstas se juntan. Sin entrar en detalles, me limitaré a exponer un comportamiento asumido por muchos estudiosos de la psicología del comportamiento escolar que haré mío: doy por descontada la presencia en el ambiente escolar motivada de modo positivo, de otra manera la complejidad de la problemática excedería mis posibilidades y competencias. Diré solamente que, si la familia del alumno estima la escuela y la apoya, se resuelven gran parte de los problemas; de esta forma, si la comunidad en la cual vive el niño acepta e impulsa la escuela, es plausible pensar en una motivación positiva para la frecuencia. Pero el caso contrario no es tan raro: la escuela obligatoria para los trashumantes, para jóvenes inmigrantes sin título de estudios reconocido (que se ven obligados a asistir a la primaria), para niños acostumbrados a estar en la calle sin control y sin atención, los cuales no son una minoría, sino que constituyen (en el mundo y también en Europa) un caso cuyo porcentaje hay que tener en cuenta hoy (y aún más mañana).

Y llegamos ahora a la motivación para aprender.

En primer lugar: ¿es ésta una motivación específica para algunos temas particulares del aprendizaje o es, por así decirlo, generalizada? En el primer caso, ¿es más eficaz el aprendizaje cuando hay motivación? Contrario a lo que se podría pensar, no hay mucha diferencia en los resultados de los dos tipos de aprendizaje, como se demostró a mediados de los años 60 gracias a las investigaciones de Postman (citadas por Gagné, 1973). Lo cual nos lleva a no considerar la motivación para aprender algo específico, sino una motivación general. Por otro lado, la confianza que el niño le tiene a su profesor hace parte de las generalidades del contrato didáctico: confío en ti, tú sabes qué debo aprender y por qué, y como tengo que contestar a tus preguntas, estoy en tus manos. Este hecho lleva inevitablemente a una situación que he llamado el “fenómeno de la escolarización” (D’Amore, 1999b). En estos términos, los impulsos que motivan al niño a aprender parecen ser:

• el deseo de aprobación (los compañeros, los profesores, los padres o la sociedad en general);

• evitar la desaprobación de los demás (lo cual es una consecuencia y un reforzamiento del deseo anteriormente expuesto);

• alcanzar una posición de estima entre los niños de la clase (estima social);

• el deseo más o menos inconsciente de dominar las habilidades intelectuales que lo estimulan.

Obviamente tales impulsos se interrelacionan y pueden reforzarse mediante estímulos oportunos (y aquí retomo lo que dije en la apertura de esta sección). Los refuerzos y estímulos son:

• las expresiones explícitas de aprobación;

• la falta de desaprobación;

• las demostraciones de estima social;

• la facilidad para dominar habilidades;

sin embargo, el refuerzo ocurre por medio de una cuidadosa elección de tareas que se proponen al niño, precisamente para darle la posibilidad de mostrar la idoneidad que posee y de merecer, por ende, aprobación y estima. Entre otras, como práctica escolar ya consolidada, más o menos velada, más o menos explícita, el profesor hace una declaración sobre el desempeño. Y es bien sabido que, aún en tiempos de evaluación por conceptos y no por notas, la sociedad y la familia tienden a cargar al niño de expresiones de motivación al respecto. (De todos modos, los papás y mamás de los niños que inician la escuela primaria hoy son los alumnos que en lugar de notas obtuvieron expresiones valorativas sobre su desempeño; y, aun así, estos padres se expresan en términos de notas sobre el desempeño de los hijos. Lo que, sin duda, quiere decir algo).

Seguramente la mejor motivación es la autosatisfacción de quien es consciente de haber alcanzado metas positivas y que, consecuentemente, tiene el deseo de mejorar. Si se alcanzara este nivel, ¡tendríamos sustancialmente autodidactas! Pero estamos lejos de lograr este tipo de motivación tanto en la normativa como en la práctica académica cotidiana.

J. G. Nicholls (1983) distingue tres tipos de comportamientos vinculantes en su teoría sobre la motivación:

• vínculo extrínseco: aprendo para obtener algo (consenso social, terminar la escuela, recibir premios o recompensas, […]);

• vínculo interior: deseo mostrar que soy juicioso e inteligente;

• vínculo en las tareas: estoy satisfecho con mis mejoras y con la facilidad con la que puedo realizar las tareas asignadas.

¿Cómo mejorar la motivación?

Se han tenido experiencias en este campo (Mager, 1962; Bereiter y Englemann, 1966; y otros en los Estados Unidos, especialmente después del asunto del Sputnik [...]):

• aumentar la recompensa en caso de comportamientos positivos;

• preguntar “sobre la marcha”, sin esperar que el estudiante haya terminado;

• hacer que el estudiante sea consciente por sí mismo de sus propios éxitos;

• crear una escala de recompensas y premios;

es obvio que, para ser críticos, ninguno de estos métodos es por sí solo la clave mágica; por ejemplo, el refuerzo positivo (estudiado por Skinner, 1968) es muy valioso, pero no es la solución.

Hay también dos tendencias opuestas que tal vez convenga conocer; hay quienes sostienen que la motivación más fuerte es la de las tareas, mientras que la del desempeño es apenas una consecuencia, especialmente Ausubel (1968), a quien cito:

La relación causal entre la motivación y el aprendizaje no es unidireccional, sino recíproca. Por este motivo, no es necesario postergar las actividades de aprendizaje en aras del desarrollo del interés y las motivaciones adecuadas; ya que la motivación no es una condición necesaria para el aprendizaje. Frecuentemente, la mejor manera de enseñar a un estudiante no motivado es indagar sobre el hecho y concentrarse en la manera más eficaz posible de enseñarle. Habrá en todo caso cierto grado de aprendizaje, a pesar de la falta de motivación, y se puede esperar que, de la satisfacción inicial de haber aprendido, el estudiante desarrolle la motivación para seguir aprendiendo. Por lo tanto, en algunos casos, el modo más apropiado para suscitar motivaciones para aprender y para focalizar los aspectos cognitivos del aprendizaje es confiar en que la motivación generada por el buen desempeño académico dé energías para el aprendizaje futuro.

Entonces, los estudios entorno a la motivación han arrasado con la llamada “teoría de los intereses”, poniendo en evidencia todos los procesos internos que influencian el empeño (en sus varios “tipos”) y las elecciones y los resultados consecuentes (en términos de éxito-fracaso). Los primeros pasos para intentar buscar una definición de la “motivación” nos llevan a hacer una distinción entre los investigadores que incluyen la disposición heredada o los que la excluyen, aceptando solo los aprendizajes explícitos; mientras que todos aceptan las disposiciones conscientes e inconscientes. En últimas, la motivación va hacia el estudio de las características del comportamiento (individual y social). Desde esta perspectiva, la familia y el profesor juegan roles centrales, ya que ellos son elementos insustituibles en la educación, en la estimulación y en la orientación, explícita o no, del niño. El profesor es un activador de comportamientos, positivos y no, y de alteraciones; es por esto que, una visión clínica lleva al profesor a autoanalizar sus propios comportamientos como base para analizar los del niño. Especialmente en el caso de los niños pequeños, pues la figura del profesor es un hecho nuevo, es la primera vez que un adulto, que está atento a las necesidades del niño, comparte el mismo comportamiento con otros sujetos extraños (y es esencialmente por esta razón que el preescolar puede desarrollar un rol socializador positivo).

Retomando a D. P. Ausubel, parecen relevantes tres “campos motivacionales” que caracterizan la interacción entre el profesor y el alumno; los cuales tomo de M. Groppo (1970):

• la motivación explorativa: en la familia reina una buena relación afectiva, por lo cual el niño tiene un buen nivel de estabilidad emocional e intenta establecer una relación explícita con el profesor basada en evidencia y problematización;

• la motivación incorporativa: el niño rechaza la figura del profesor porque tiene una experiencia familiar poco satisfactoria en el campo de las relaciones afectivas;

• la motivación conformista: el niño busca una relación afectiva con su profesor intentando recrear el ambiente familiar.

Es claro que tres estilos diferentes en el acercamiento con el profesor no pueden sino involucrar tres estilos didácticos diferentes; con este objetivo, el profesor debería, en su análisis de la clase, tener en cuenta estas características, distinguiendo y aislando los tipos y las diferencias y adoptando estilos individuales al menos en cuanto a la relación se refiere. Es por tanto así que P. Scilligo (1971) toma en consideración a la motivación no solo entre los factores que se deben tener en cuenta en los estudios sobre el aprendizaje, sino además en clave didáctica, poniéndola como instrumento y objetivo mismo de la educación. Siento que debo apropiarme de esta posición.

Skinner hace eco a Ausubel, diciendo que el problema de la motivación (en la escuela) no consiste en “impartir” motivaciones, sino en predisponer las condiciones para el estudio y el aprendizaje de manera tal que sean reforzadas. Llamaremos esta posición “motivación por las tareas”.

En cambio, la otra tendencia puede ser denominada “motivación por el desempeño”. La posición es inversa y por tanto no requiere muchas explicaciones. Entre los primeros en sustentar esta tesis se encuentra McClelland (1961) quien no estudió el caso particular de la escuela, sino el del grupo en general; para este estudioso, una motivación por el desempeño duradera es un motor y puede ser obtenida mediante una definición clara de las metas individuales, la percepción de mejoría individual, la disposición a asumir responsabilidades individuales en lo referente a las actividades propias, etc. Entonces, es necesario primero motivar para el desempeño; la motivación por las tareas es una consecuencia.

Otros autores prefieren, siempre en el ámbito de la motivación por el desempeño, ver como base de la motivación el aumento de las competencias o un “sentimiento de eficacia”, y esto puede y debe ser aprovechado en el ambiente educativo, hasta llegar a hacer que se “aprenda” la motivación misma.

Me parece que hay verdad en ambas posiciones, como sucede frecuentemente, sin tener que ser sectarios forzosamente.

Cuando no hay motivación, activar igualmente una tarea es también una forma de comunicación y, si el profesor es hábil, no se excluye que tal acción pueda crear motivación. Pero esto significa, al mismo tiempo, crear condiciones adecuadas para hacer que, mediante un desempeño positivo (que los estudiantes se vean a sí mismos incluidos positivamente en el contexto social de la clase), sea en sí un elemento de motivación. Me parece que hay un intercambio entre las dos posiciones.

Ni quisiera que se olvidase que nos estamos ocupando de la resolución de problemas de Matemática. Aquí no hay alternativa: ¿cómo se puede convencer a una persona que no tenga motivación a resolver un problema? En esta actividad, más que en otras, a mi modo de ver, la cuestión de la motivación es fuerte y hay que ponerla en evidencia con cuidado. Ignorar este hecho, empecinándonos en el desempeño, puede ser tiempo perdido y un modo para no poder recuperar en el ámbito personal.

Un sabio acuerdo motivacional relacionado no solo con la Matemática en general, sino de manera específica con la resolución de problemas matemáticos, pasa de manera forzosa por aquí.

No quiero olvidar el tema de la atención. «No está atento», no es una afirmación inteligente, ni puede ser una acusación significativa. No se trata de una afirmación circunstancial, sino genérica, si es cierto que los estudios de la Psicología de la educación han “sembrado” el tema de la atención en un set de componentes diversas.

No estar atento no es un hecho específico de por sí; puede querer decir mil cosas diferentes, desde la típica falta de atención (el profesor muestra algo en el tablero, mientras el niño mira sus propios dibujos) hasta la falta de respuesta (que puede tener a su vez causas muy diferentes), de la incapacidad para establecer un orden secuencial (lo cual hace que se den respuestas poco pertinentes) hasta la incapacidad para explorar el ambiente (lo cual, en cambio, el profesor da por descontado).

En el conjunto de las capacidades que se deben poner en juego para resolver un problema, también es fundamental la capacidad de estar atento. A mi modo de ver, en este caso juega un rol excepcional la motivación. Pero “motivar” de tal manera que el niño vea el texto del problema con atención y curiosidad, en cambio de ver sus propios dibujos, hace parte del profesionalismo del educador.

Aquí encontraría espacio una problemática sobre la cual me limito a dar la siguiente referencia: la importancia de la organización de la situación didáctica.

Nota bibliográfica

En la redacción de esta sección, hice uso de (Ausubel, 1968, sobre todo del cap. 10; Azrin, 1958; Bereiter, Englemann, 1966; Cobb, 1985; D’Amore, 1999b; Gagné, 1973, sobre todo el cap. 11; Goldiamond, Dyrud, Miller, 1965; Hewett, 1968; Holland, Skinner, 1961; Kleinmuntz, 1976; Mager, 1962; McClelland, 1961; Nicholls, 1983; Skinner, 1968).

En relación con la asimetría en las relaciones escolares específicamente, ver (Caroni, Iori, 1989; Groppo, 1970; Scilligo, 1971).

Consultar también (Barth, 1990, en particular desde la p. 181; Racle, 1983).

Según Racle la motivación no es un estado innato del receptor, ni una reacción voluntaria, más bien es un mecanismo fisiológico que se ejercita en dos planos: uno específico que conduce hacia un sujeto deseable y un plano no específico que asegura un estado de actividad general del organismo, adaptado y adecuado para reaccionar a estímulos externos. Por lo tanto, la motivación es un mecanismo de tipo acción/retroalimentación que puede ser manejado desde el exterior.

A propósito de la vasta e importante problemática de las relaciones afectivas con los profesores, consultar (Aspy, Roebuck, 1977). Me gusta traducir el muy significativo título del libro apenas citado: Kids don’t learn from people they don’t like, Los niños no aprenden de las personas que no les gustan. Hecho confirmado por (Tausch, 1978).

Sobre la capacidad del profesor de entender el desarrollo de las relaciones, ver (Abraham, 1984).

Evito cuidadosamente, para no perderme en caminos infinitos, toda cuestión inherente al Psicoanálisis, por confesada incompetencia. Sin embargo, en esta sección, podría muy bien encontrar lugar una mención relacionada con la problemática del así llamado “mecanismo del placer preliminar”.

Sobre la problemática general de la motivación para aprender, consultar también (Boscolo, 1986, especialmente las pp. 235-260).

Sobre las problemáticas del niño como elemento social, también ligadas a la capacidad o incapacidad de resolver problemas, ver el libro (Gardner, 1987, especialmente de la p. 270 en adelante).

2.2. Motivación y resolución de problemas

El modelo de escuela que los padres tienen en mente, incluidos los padres jóvenes, es muchas veces bastante diferente al modelo que la escuela en realidad ofrece al niño. Aún si los padres no estudiaron de memoria las tablas de multiplicar, han recuperado un modelo viejo consolidado en el tiempo, con niños que realizan operaciones continuamente y que resuelven “problemas” (que son sólo ejercicios) todo el día. A veces el profesor es consciente de esta diferencia de modelos, pero no siempre. Incluso el profesor más experto puede creer erróneamente que los padres (hasta los padres que aparentemente están de acuerdo) afianzarán en casa el trabajo educativo y didáctico. La realidad enseña que de hecho no es sí: los padres a veces critican, delante del niño, la labor del profesor. Esta discrepancia crea un ansia para nada irrelevante. Quedándonos en el tema de los problemas, el profesor puede estar convencido del hecho que a veces se entiende automáticamente que la tarea del niño es una cuestión de aplicación, otras veces en cambio es una deducción obtenida a partir de la observación y el razonamiento, a veces es la planificación de algo que requiere autonomía u otras veces puede ser una creación (o, para no exagerar, una demostración de autonomía). En fin, se puede pasar de una simple operación escrita (aplicación), al análisis de las propiedades particulares de una figura (observación, deducción de propiedades), a inventar una cosa hecha de tal o cual manera (idear, planear), hasta una creación autónoma (inventar un problema imposible). Esta escala de solicitudes, entre otras cosas muy razonables, no es banalmente reconocida por parte del niño, lo que le puede causar vergüenza. Parece preferible, entonces, crear una serie de acuerdos explícitos, haciendo que la calidad de la solicitud sea evidente para el estudiante, es decir hacer la solicitud de manera crítica. Tal vez los niños más “fuertes” pueden, basados en la experiencia, más o menos explícitamente “reconocer” la calidad del trabajo que se les pide. Pero, para los niños más “débiles” esta incerteza puede convertirse en una desventaja y por tanto puede ser contraproducente. Por lo anterior es que parece razonable fijar bien los criterios de evaluación (ver D’Amore, Zan, 1996b):

• se evalúa solo el “razonamiento seguido en la resolución de los problemas”; lo cual significa que no se podrá más adelante recriminar un eventual descuido en la ejecución de los cálculos;

• se evalúa con meticulosidad extrema la ejecución de los cálculos: viceversa.

Estos acuerdos explícitos deben ser respetados por ambas partes. Por lo tanto, es indispensable entrar en detalles sobre las fases de corrección de los trabajos escritos sobre la resolución de problemas, dando sugerencias, completando, y no solo señalando los errores (especialmente, de manera acumulativa, ya que esto no tiene ningún valor).

El lado afectivo hace siempre parte del gran capítulo sobre la motivación; un bloqueo que perdura y que es difícil de eliminar puede ser inducido en los niños que se equivocan frecuentemente si no hay una intervención tendiente al refuerzo afectivo. Para eliminar tales dificultades, Boero (1986) sugiere:

[…] elegir situaciones problemáticas bien contextualizadas, es decir problemas contextualizados en ámbitos culturales ricos y estimulantes para los niños: los “intercambios económicos”, las “producciones hechas en clase”, los “cambios estacionales”, el análisis del fenómeno de las “sombras”, las comparaciones históricas cuantitativas, la geografía económica, las “comparaciones de costo beneficio” entre diferentes tipos de carros (por ejemplo, en los medios de transporte).

Efectivamente, también las experiencias hechas o seguidas por mi muestran que los niños emotivamente o culturalmente más débiles pueden recuperarse (hablo de interés y de motivación, primero; de éxito y de capacidad, después), proponiendo temas de reflexión problemática más cercanos a su realidad. Sin embargo, debo decir que no siempre es así; si la realidad es adversa y cotidianamente difícil, en más de una oportunidad se ha demostrado la eficacia de una situación problemática ficticia, sobre la que se ha establecido un acuerdo. Por ejemplo, la planeación de un viaje de vacaciones a Zaire para una niña (R) que tiene graves dificultades familiares, conllevó al planteamiento de estrategias ficticias y reales sobre una problemática enteramente ficticia, consciente y agradablemente ficticia. Por otro lado, se trataba de un caso humano en el cual cualquier referencia a la realidad personal o familiar podría haber sido perjudicial: la niña necesitaba evadir la realidad y crear problemas atractivos. Lo anterior no tiene el ánimo de contrastar la propuesta de hacer referencia a situaciones reales en el caso de los niños más débiles, sino que tiene el ánimo de decir que no siempre el más débil (muchas veces por privación propiamente de la realidad) ama solo los contextos reales. (El discurso sobre los “más fuertes” es muy diferente: la motivación ya existe, generalmente, y la contextualización es casi del todo irrelevante).

El papel de los padres parece notable en lo concerniente con todo dicho en esta sección.

Nota bibliográfica

Para profundizar lo dicho en esta sección, sugiero (Boero, 1986) donde se puede encontrar una amplia bibliografía.

A propósito de la revelación de errores en los textos de Matemática por parte del profesor, especialmente en la actividad de resolución de problemas, encuentro muy pertinente (Baruk, 1985).

Ver también (D’Amore, Zan, 1996b).

2.3. Motivación, volición y afectividad

Que un elemento afectivo sea parte de cada descubrimiento o invención es bastante evidente, y muchos pensadores han insistido sobre esto: es claro que ningún descubrimiento o invención significativa puede realizarse sin la voluntad de descubrir.

Así se lee en Hadamard (1993). Claro, cuando el gran matemático Jacques Hadamard (1865-1963) habla de descubrimiento o invención, se refiere a ejemplos de descubrimiento o invención de alto nivel matemático.

¿Pero, ya que todo se relativiza (y a mi modo de ver cada descubrimiento o invención puede ser de alto nivel, según las bases de las cuales se parte), por qué no considerar la frase de Hadamard como una frase adaptable a una situación de clase en la cual la didáctica sea, por lo menos en parte, inspirada en las técnicas del aprendizaje por descubrimiento? Nos podemos referir al original discovery learning de Bruner (1961) o a una de sus tantas variantes sucesivas.

Por otra parte, dado que las emociones juegan un rol fundamental en la construcción personal del saber matemático, hecho que ha sido afirmado con fuerza también por parte de Kruteskii (1976) precisamente en el ambiente de clase y en los primeros niveles de escolaridad. Kruteskii habla de las emociones positivas experimentadas por los estudiantes que logran buenos resultados en Matemática, exactamente en los mismos términos en los cuales lo hacían Hadamard y otro gran matemático, Henri Poincaré (1854-1912),

[…] con la consecuencia que los aspectos relacionados con el conocimiento, tan evidentes en la investigación científica, aparecen profundamente conectados a aspectos emocionales» (Zan, 1995) [ver Poincaré (1906, 1914)].

El mismo Hadamard concluye: «Vemos nuevamente cómo la dirección del pensamiento implica elementos afectivos».

Lo cual, en una línea rápida, me gusta resumir de la siguiente manera: «Todo acto cognitivo presupone un ámbito afectivo» o sea: «No existe lo cognitivo sin lo afectivo».

La máxima gratificación posible para un profesor dispuesto a aceptar este tipo de consideraciones es, basándose en ellas, ver críticamente la didáctica propia. Lo cual se puede ejemplificar a partir de una frase con la que concluye Zan (1995), haciendo referencia a los que no lo logran resultados positivos en el campo de la Matemática:

El reto propuesto por quien “no lo logra” (más que un reto, es un llamado […]) no prevé caminos delineados a priori, ni admite soluciones técnicas. Pero si se tiene suficiente voluntad, paciencia y sobre todo fantasía para recoger tal reto —para escuchar el llamado— quizá se tenga la gran emoción de escuchar a nuestro alumno decir: «Una vez, en Matemática yo no lo lograba».

Pero: ¿qué se entiende por “afectividad” exactamente? Cito a Pellerey (1992):

Por afectividad se entiende en general un amplio espectro de sentimientos y estados de ánimo que se presentan con características diferentes respecto a la cognición pura. En este espectro se incluyen normalmente los valores, las creencias, las concesiones relacionadas con el sentido y el porqué de un área de estudio, las concesiones en sí relacionadas con tal área, los comportamientos, las motivaciones y las emociones. Las creencias o concesiones de referencia se constituyen a partir de un conjunto de apreciaciones y valoraciones subjetivas, relativas a la matemática, elaboradas bien sea por el alumno o por los profesores (…). En este caso prevalece el componente cognitivo, aunque tal conjunto constituya una parte importante del contexto personal en el que se desarrolla la dimensión afectiva.

Entre los múltiples componentes de esta “afectividad”, hay dos puntos que consideramos, dada nuestra experiencia, de extraordinaria importancia:

• la imagen de sí mismo en el quehacer matemático

• la motivación que tengan los alumnos al hacer Matemática.

Existe una amplísima bibliografía sobre cada uno de estos puntos. Por ejemplo, sugerimos la lectura de: Pellerey y Orio (1996) quienes hacen énfasis en este tipo de investigación (más de tres páginas de bibliografía en el contexto internacional); Cornoldi y Caponi (1997) y Zan (1997).

Indudablemente, el componente de la “motivación” tiene un peso relevante en los procesos de aprendizaje. Se puede advertir tal peso en modo epidérmico, hablando con los profesores, pero se advierte aún más como motivo recurrente en las investigaciones de carácter meta cognitivo.

Tal vez convenga, en primera instancia, distinguir entre motivación y volición:

En esta5 perspectiva, la motivación debe ser vista como el proceso mediante el cual se forman nuestras intenciones; es decir, la elaboración de las razones que nos llevan a hacer algo. Mientras que la voluntad es el proceso base en el cual nuestras intenciones se producen; en otras palabras, el querer conseguir concretamente el objetivo expresado por nuestras intenciones (Pellerey, 1993);

pero, refiriéndose a Heckhausen (1990), el mismo Pellerey (1993) afirma:

La motivación es concebida por Heckhausen según una perspectiva un poco restringida y precisa con respecto al concepto global tradicional. En este sentido, Heckhausen considera, de hecho, los procesos que incorporan la expectativa de resultados deseables o no deseables que se derivan de las acciones emprendidas y la percepción de la capacidad de lograr tales resultados por medio de éstas. El proceso se produce en el contexto de la relación entre persona y situación y constituye el primer paso del actuar, en cuanto elaboración cognitiva marcada por componentes afectivos, que insta más o menos fuertemente a una conclusión operativa (tendencia motivacional). El proceso motivacional, aun siendo el primer paso hacia la acción, no incluye la generación de la intención en sí. Es necesario que se desarrolle al menos un acto de consenso interno para transformar la finalidad de una acción en una intención de actuar explícita. Se trata del momento decisivo propiamente dicho, que no está relacionado tanto con el hacer o no algo, sino con hacer algo en este mismo momento, en este contexto preciso. Es entonces cuando se pasa del deseo a la elección.

Por lo tanto, aceptando la posición de Heckhausen, se pude decir que el paso del deseo a la acción no es tan banal e inmediato6: hablar de motivación en general, entonces, resulta un poco vago; se necesita por lo menos un acto decisivo y este acto parece estar fuertemente influenciado por:

• las decisiones personales previas del estudiante

• la capacidad por parte del profesor de crear el contexto propicio.

Solo que el contexto en el cual se desarrolla la Matemática parece estar a menudo ya confeccionado; las expectativas del estudiante y las decisiones previas (del profesor) en este sentido parecen cristalizadas por un modelo matemático ya pre constituido, ya decidido a priori por alguien más o, lo que es aún peor, por la naturaleza misma de la asignatura.

Nos podríamos limitar a pensar en una situación estándar en la que el profesor

• adopta una estrategia para reforzar la motivación intrínseca, haciéndola lo más extrínseca posible; por ejemplo, la estrategia del incentivo (o, en líneas más generales, técnicas para aumentar la autoconfianza)

y, por lo tanto

• favorezca la creación de una motivación interna [el límite de todo esto es que parece casi inevitable recaer en un modelo preconcebido; ver: Franta (1993)].

• O, y es aquí donde entra en juego nuestra experiencia (la cual describiremos más adelante), se necesitaría:

• por un lado, desplazar la expectativa preconcebida en relación con la Matemática (estándar: la de la escuela); se trata sustancialmente de poner en cuestión las viejas convicciones;

• por otro lado, convencer implícitamente (para evitar la demagogia; es decir, basándose en la tarea asignada y no en recomendaciones ni prédicas estériles) que cualquiera está capacitado para construir Matemática (e incluso que la Matemática son un producto construible de manera personal); se trata entonces de elaborar nuevas convicciones;

• en fin, incluir en la evaluación (que frecuentemente es un paso motivacional fuerte para el estudiante) precisamente el fruto de las tareas asignadas, sin dar a la Matemática escolar tradicional un tratamiento diferente, en el momento de la evaluación, al de la Matemática construida sobre la instancia no estándar (de manera que se dé dignidad tanto a la parte estándar como a la no estándar); sustancialmente se trata de una elección de tipo didáctico con el fin de llevar a cabo los primeros dos puntos.

Se trata de crear un contexto emocional positivo que debe ser estable a nivel cognitivo y relacional (ver la experiencia narrada en D’Amore, Giovannoni, 1997).

En resumen, es obvio que la emoción que no se relaciona con hechos contingentes y raros modifica el sistema mismo de convicciones y valores (sobre este punto, ver Pellerery y Orio, 1996): las reacciones emocionales repetidas llevan a asumir comportamientos; nos parece que un resultado positivo se puede obtener si el estudiante está dispuesto a modificar el modelo mismo de expectativa estándar de la Matemática por un modelo no estándar que el profesor le da como alternativa (repetimos: no de manera episódica, sino de manera estable en cuanto al tiempo y a la motivación).

Lo anterior nos lleva necesariamente a una reflexión sobre los comportamientos frente a la Matemática.

Recuerdo aquí los estudios pioneros de Aiken (1970, 1976), en los cuales se distinguieron los momentos cruciales del nacimiento de un comportamiento negativo en relación con la Matemática en la franja escolar que corresponden a los grados de 6 hasta 8 (es decir más o menos alumnos entre los 11 y los 14 años de edad). Aquí se trata de revertir el fenómeno buscando, en la medida de lo posible, comportamientos positivos. Ahora bien, existe un Inventario de comportamientos con relación a la matemática de Sandman (1980) que incluye seis escalas de medida:

• el placer de hacer Matemática

• el valor dado a la Matemática

• la percepción del profesor de Matemática

• la ansiedad con respecto a la Matemática

• el auto concepto en el quehacer matemático

• la motivación para hacer Matemática.

El hecho que los valores mínimos se alcancen en el paso de la primaria a la escuela sucesiva, e incluso que tales valores se vuelvan negativos propiamente entre los grados 6 y 8, además de ser evidente ante los ojos de cualquier profesor e investigador, es confirmado por algunos estudios, por ejemplo los de Anderman y Maehr (1994); lo anterior se adhiere al rechazo, a la aversión, a la motivación negativa, al negarse a creer que la construcción personal de la Matemática es una posibilidad: una especie de autodefensa de un “monstruo” que no se puede controlar de ninguna manera.

El interés investigativo e incluso el interés solo pedagógico en este sentido se debe centrar, más que en los procesos de la enseñanza, en los procesos del aprendizaje; mejor aún, debe centrarse en la relación enseñanza/aprendizaje partiendo de las siguientes convicciones, tal como se presentan en D’Amore y Frabboni (1996):

• el sujeto de la enseñanza de la Matemática no es la Matemática misma sino el alumno y, por lo tanto, la atención del profesor debe estar concentrada en los alumnos que están aprendiendo Matemática; de tal manera, se vuelve vital reconsiderar cada vez y tener siempre presentes todas las implicaciones incluidas en el triángulo de la Didáctica (Chevallard, 1985);

• el aprendizaje no se mide a través de una “cantidad de competencias adquiridas” vagas e indefinidas, se mide sobre todo a partir del placer, el deseo y la disposición a usarlas;

• la motivación intrínseca para aprender se debe mostrar como un objetivo didáctico, no como una condición de inicio (D’Amore, Sandri, 1994);

• en la enseñanza de la Matemática es necesario respetar al individuo; en este punto se sitúa la intención de no forzar aprendizajes vacíos o meramente formales, sino la necesidad de construir el pensamiento matemático, con la colaboración continua y cercana del alumno mismo, inclusive con la intención de dejar en él recuerdos positivos (no solo de orden cognitivo) de la materia (ver Furinghetti, 1993);

• en el proceso aprendizaje/enseñanza de la Matemática hay que considerar como algo prioritario que se debe tener siempre bajo observación la imagen que tanto el profesor como el alumno tienen de la Matemática, la imagen que tiene el alumno de sí mismo cuando hace Matemática y también la imagen que tiene el profesor de sí mismo en el desempeño de su rol.

Nota bibliográfica

Para la redacción de esta sección, hice uso de (Aiken, 1970, 1976; Anderman, Maehr, 1994; Boero, 1986; Bruner, 1961; Chevallard, 1985; Cornoldi, Caponi, 1997; D’Amore, 1994a, 1995a; D’Amore, Frabboni, 1996; D’Amore, Giovannoni, 1997; D’Amore, Martini, 1997b; D’Amore, Oliva, 1994; D’Amore, Sandri, 1994, 1996; Franta, 1993; Furinghetti, 1993; Hadamard, 1993; Hart, 1985; Heckhausen, 1990; Kruteskii, 1976; Kuhl, 1984; Laborde, 1982, 1995; Maier, 1993; Pellerey, 1992; Pellerey, Orio, 1996; Poincaré, 1906, 1914; Sandman, 1980; Zan, 1995, 1997).

De manera particular, sobre la distinción entre motivación y volición ver (D’Amore, 2003; D’Amore, Fandiño Pinilla, 2012; D’Amore, Godino, Arrigo, Fandiño Pinilla, 2003; Fandiño Pinilla, 2006; Pellerey, 1993).

A propósito de la motivación externa al aprendizaje de la Matemática, la educación de la intuición y la superación de los estereotipos escolares puede ser muy fructífero el estudio de las investigaciones de G. B. Saxe; quien, en efecto, hace mucho tiempo estudia situaciones de aprendizaje de la Matemática fuera del mundo escolar y, de tal manera, ha logrado comparar el aprendizaje escolarizado y el no escolarizado, obteniendo resultados interesantísimos. Sugiero (Saxe, 1977, 1979, 1982, 1985). Sobre todo, en lo relacionado con nuestro tema (Saxe, 1988). Para el lector poco familiarizado con las búsquedas bibliográficas (Saxe, 1991).

Un estudio critico – analítico del triángulo de la Didáctica en (D’Amore, Fandiño Pinilla, 2002.

2.4. El contrato didáctico en el laboratorio

Una sección breve para decir solo que: si al menos parte de la actividad escolar de la Matemática se desarrolla en el laboratorio, el contrato didáctico cambia porque cambian la motivación, el interés, el comportamiento y la volición.

Como lo dije anteriormente (con varios ejemplos de “casos”) la figura del profesor que da o promueve problemas es distinta solo si en cambio del ambiente de clase se trabaja en un ambiente distinto, un especifico ambiente de laboratorio, por varios motivos. Esto depende de varios factores, entre los que el “hacer” tiene un rol privilegiado, más que el “escribir” o el “hablar”. Las situaciones problemáticas que se delinean en el laboratorio se relacionan muchas veces con algo que se debe construir, hacer o manejar en la práctica, concretamente; para cuya realización se deben superar no solo obstáculos conceptuales sino también obstáculos prácticos y concretos. La ayuda del profesor (o del “técnico del laboratorio”, cuando existe) es esencial y significativa. La motivación que nace de esta actividad puede ser diferente y muy productiva: al final hay un producto funcional, un objeto que se puede mostrar; no solo un simple resultado o una simple aceptación social, existe la posibilidad de mostrar con orgullo un objeto, algo que funciona y que tiene un sentido.

Lo anterior me lleva consecuentemente al problema de la operatividad:

• en el laboratorio se puede pensar en un reto o en una simulación de la realidad en términos reales;

• en clase, la simulación del laboratorio no logra ser convincente (tan solo como modalidad ficticia); a lo cual yo llamo extrañamiento del ambiente o identificación artificial.

El origen de muchas de las molestias que produce el simple acercamiento a la Matemática es precisamente no querer distinguir lo real de lo ficticio. El mero acercamiento a la formalización de lo real puede generar un rechazo que, paradójicamente (valdría la pena reflexionar) es más acentuado en los estudiantes más “listos”. Cito aquí el caso de una niña de cuarto grado, J.; J. es muy lista en todas las asignaturas, sobre todo en idiomas y en dibujo; la niña demuestra creatividad, sabe hablar y contar historias, comprende los textos inmediatamente, es espontánea y activa; en Matemática es muy rápida, pero no participa activamente en la resolución de ejercicios ni en la ejecución de operaciones. Apenas se acerca a la descripción de una situación problemática, aún más si la situación es real, J. se cierra y no muestra disposición para escuchar, rechaza el contacto con la formalización y manifiesta incomodidad y poca tolerancia.

¿Qué se puede hacer en este caso? No se trata de una manifestación aislada, aún si en este caso se manifiesta de manera macroscópica; hay que “enmascarar” las situaciones problemáticas de carácter matemáticos, lo que puede pasar con:

• decir que se trata de otra cosa, no de Matemática;

• recurrir al laboratorio, donde el lenguaje puede no ser formal (puede estar relacionado con el dibujo u otra labor concreta).

Nota bibliográfica

Para la redacción de esta sección, utilicé (D’Amore, 1990-91; Fischbein, Vergnaud, 1992).

Las referencias bibliográficas generales para todo el capítulo son aquellas relativas al estudio de la relación comunicativa que pasé por alto para no hacer demasiado pesado el texto. Me limito a algunas referencias significativas: (Caroni, Iori, 1989; Argyle, 1974; Coffman, 1971; AA. VV., 1978).

Para el tema de la enseñanza vs. aprendizaje, una visión unitaria de proceso de interacción, ver (Postic, 1979).

Sobre el tema de las interacciones verbales profesor/alumno existen cientos de técnicas diversas, tal y como lo expone el clásico (Ballanti, 1984).

Entre las técnicas de interacción verbal, me parece aún interesante el modelo de Amidon-Hunter (el cual perfecciona sustancialmente el modelo precedente de Flanders), muy complejo y variado; ver (Amidon, Hunter, 1983).

Actualmente, en este campo, es indispensable poner atención a la llamada “interacción no verbal” (examinada en una fase especial por nosotros, la fase en la que los niños de una clase resuelven problemas dados por un experimentador, en presencia tanto de éste como del profesor); ver (Kaes, Anzieu, 1981; Kaes, 1983; AA. VV., 1974; AA. VV., 1985).

5 El autor de este pasaje (Pellerey, 1993) se refiere a los célebres trabajos de Kuhl (1983, 1984) sobre los procesos que preceden la realización de nuestras intenciones.

6 Ciertamente, hay que examinar si no es banal solo el “paso”, o también los dos “polos”: el deseo y la realización. Pero este punto debo pasarlo por alto, dejando en las manos de los más expertos la tarea de continuar.

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