Multivariate

Analysemethoden

Multivariate Statistik und

Datenanalyse mit SPSS

einfach erklärt

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Die Analyse fehlender Werte

Eine Einführung

Was sind fehlende Werte?

Wodurch entstehen fehlende Werte?

Warum sind fehlende Werte ein Problem?

Die Ursache fehlender Werte

Folgen und Konsequenzen fehlender Werte

Beeinflussung der Validität

Klassifikation der fehlenden Werte

Vorgehen bei der Analyse fehlender Werte

Kann man fehlende Werte ignorieren?

Das Ausmaß der fehlenden Werte analysieren

Die Löschung von unvollständigen Daten

Tests zur Analyse der Zufälligkeit

Auswahl der Methode

1.      Klassische Verfahren

2.      Imputationsbasierte Verfahren

Allgemeine Handlungsempfehlung

Die Clusteranalyse

Einführung

Vorbereitung der Daten

Voraussetzung für Clusteranalyse

Das Vorgehen bei der Clusteranalyse

1) Erstellung der Proximitätsmatrix

Binäre/ nominale Variablenstruktur

Ordinale Variablenstruktur

Metrische Variablenstruktur

Gemischt skalierte Variablenstruktur

2) Auswahl des Clusterverfahrens

Agglomerative Algorithmen (hierarchisch)

Partitionierende Verfahren (K-Means)

3) Festlegung Clusterzahl

4) Clusterdiagnose

Explorative Faktorenanalyse

Einleitung

Voraussetzungen der Faktorenanalyse

Ablauf der Faktorenanalyse

Variableneignung

Kommunalität & Faktorenextraktion

Kommunalität

Extraktionsmethoden

Die Zahl der Faktoren bestimmen

Faktorinterpretation

Die Rotation

Benennung der Faktoren

Faktorwerte bestimmen

Ablauf in SPSS

Die Entscheidungsbaumanalyse

Eine Einführung

Modellannahmen/ Voraussetzungen

Die Baumstruktur

Aufbaumethoden des Baums & Ablauf

Merging-Phase

Split-Phase

Vorgehen in SPSS

Interpretation der Ergebnisse

Der Baumeditor

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Multiple Regression

Einsatzbereich

Vorgehensweise

1. Modellformulierung

2. Schätzung der Regressionsfunktion

3. Prüfung der Regressionsfunktion

4. Prüfung der Regressionskoeffizienten

5. Prüfung der Modellprämissen

Analyse einflussreicher Beobachtungen

Ausreißer

Hebelwerte (eng. leverage)

Cook-Distanzen

Ergänzungen

Dummy Variablen

Methoden der Multiplen Regression

Korrespondenzanalyse

Allgemeines

Grundlagen der Korrespondenzanalyse

Einordnung

Fragestellung und Anspruch an die Daten

Zielsetzung

Anwendungsbereiche

Vorgehensweise

Erstellung der Zeilen- und Spaltenprofile

Festlegung der geometrischen Schwerpunkte der

Das geometrische Modell – Marken im Raum der Merkmale

Ermittlung der Streuungen (Distanzen)

Standardisierung der Daten

Extraktion der Dimensionen

Ermittlung der Koordinaten

Interpretation

Symmetrische Normalisierung

Asymmetrische Normalisierung

Übersicht

Fazit

Vorgehensweise in SPSS

Abkürzungen

Varianzanalyse

Problemstellung

Einfaktorielle ANOVA

Modellgleichung

Hypothesen

Streuungszerlegung (sum of squares)

F-Statistik

Modellannahmen

SPSS Durchführung

Interpretation der SPSS-Ergebnisse

Zweifaktorielle ANOVA

Modellgleichung

Hypothesen

Streuungszerlegung

F-Statistik

Modellannahmen

Wechselwirkungen

SPSS Durchführung

SPSS Interpretation

Einfaktorielle ANOVA mit Messwiederholung

Modellgleichung

Hypothesen

Streuungszerlegung

F-Statistik

Modellannahmen

SPSS Durchführung

SPSS Interpretation

Mehrfaktorielle ANOVA mit Messwiederholung (Mixed ANOVA)

Hypothesen

Streuungszerlegung

F-Statistik

Modellgüte

Modellannahmen

SPSS Durchführung

SPSS Interpretation

Quellenverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Übersicht Validität      21

Abbildung 2: Missing at completely random      23

Abbildung 3: Missing at random      24

Abbildung 4: Missing not at random      25

Abbildung 5: Univariate Statistik (Vorgehen in SPSS)      29

Abbildung 6: Kreisdiagramm über fehlende Werte      29

Abbildung 7: Variablenzusammenfassung (Output SPSS)      30

Abbildung 8: Ein Muster fehlender Werte (SPSS Output)      31

Abbildung 9: Muster fehlender Werte (SPSS Output)      32

Abbildung 10: Test der fehlenden Werte (Vorgehen in SPSS)      34

Abbildung 11: T- Tests bei unterschiedlicher Varianz      35

Abbildung 12: Kreuztabelle 1 (SPSS Output)      37

Abbildung 13: Kreuztabelle 2 (SPSS Output)      38

Abbildung 14: Betrachtung Muster (Vorgehen in SPSS)      39

Abbildung 15: Muster in Tabellen (Output in SPSS)      40

Abbildung 16: MCAR-Test nach Little      42

Abbildung 17: Listenweiser Fallausschluss (Vor- und Nachteile)      43

Abbildung 18: Paarweiser Fallausschluss (Vor- und Nachteile)      44

Abbildung 19: Mittelwert-Imputation (Vor- und Nachteile)      45

Abbildung 20: Regressions-Imputation (Vor- und Nachteile)      46

Abbildung 21: Hot und Cold Deck Verfahren (Vor- und Nachteile)      46

Abbildung 22: Multiple Imputation      47

Abbildung 23: Vorgehen der multiplen Imputation in SPSS      52

Abbildung 24: Interpretation SPSS Output multiple Imputation      56

Abbildung 25: Die Clusteranalyse      59

Abbildung 26: Abwägung Variablenzahl      60

Abbildung 27: Rohdatenmatrix in Ähnlichkeitsmatrix überführen      62

Abbildung 28: Ähnlichkeits- und Distanzmaß,      63

Abbildung 29: Proximitätsmaße in SPSS (Vorgehen)      65

Abbildung 30: Proximitätsmaße mit Skalenniveau      65

Abbildung 31: Binäre Option in SPSS      66

Abbildung 32: Kombinationsmöglichkeiten binäre Variablenstruktur      66

Abbildung 33: Näherungsmatrix nach Jaccard      67

Abbildung 34: Näherungsmatrix nach Russell und Rao      68

Abbildung 35: Näherungsmatrix nach M-Koeffizient      68

Abbildung 36: Beispiele Auswahl binär Koeffizienten      69

Abbildung 37: Näherungsmatrix nach Chi-Quadrat-Maß      71

Abbildung 38: Näherungsmatrix City-Block-Metrik (Distanzmaß)      73

Abbildung 39: Näherungsmatrix (quadrierte) euklidische Distanz      74

Abbildung 40: Näherungsmatrix Pearson-Korrelationskoeffizient      76

Abbildung 41: Übersicht Ähnlichkeits- und Distanzmaße      76

Abbildung 42: Ähnlichkeits- und Distanzmaße      77

Abbildung 43: genaues Vorgehen in SPSS (Distanz- und Ähnlichkeitsmaße)      79

Abbildung 44: Übersicht Clusterverfahren      81

Abbildung 45: Single Linkage Verfahren      82

Abbildung 46: Complete-Linkage-Verfahren      83

Abbildung 47: Average Linkage-Verfahren      83

Abbildung 48: Vorgehen Clusteranalyse in SPSS      89

Abbildung 49: Zuordnungsübersicht (SPSS-Output)      89

Abbildung 50: Eiszapfendiagramm (SPSS-Output)      90

Abbildung 51: Dendrogramm (SPSS-Output)      91

Abbildung 52: Vorgehen k-Means in SPSS      96

Abbildung 53: Interpretation SPSS-Output K-Means-Verfahren      99

Abbildung 54: Übersicht Clusterverfahren      100

Abbildung 55: Zielkonflikt der Clusterzahl      100

Abbildung 56: Zuordnungsübersicht      101

Abbildung 57: Das Elbow-Kriterium      102

Abbildung 58: Erstellung multivariate Profile      103

Abbildung 59: Clusteranalyse mit Hilfe multivariater Profile      104

Abbildung 60: explorative vs. konfirmatorische Faktorenanalyse      106

Abbildung 61: Bildung der Faktoren      107

Abbildung 62: Zielkonflikt der Faktorenanalyse      108

Abbildung 63: Das Fundamentaltheorem      109

Abbildung 64: Ablauf der Faktorenanalyse      112

Abbildung 65: Es sollten hohe und niedrige Korrelationen vorliegen      113

Abbildung 66: Signifikanz der Korrelationen      114

Abbildung 67: Inverse Korrelationsmatrix      114

Abbildung 68: Image vs. Anti-Image      115

Abbildung 69: Anti-Image-Matrix      115

Abbildung 70: Der Bartlett-Test      116

Abbildung 71: Interpretation der MSA Werte      117

Abbildung 72: MSA-Werte der einzelnen Variablen      118

Abbildung 73: Komponenten der Gesamtvarianz bei einer 1 Faktor      119

Abbildung 74: Grafische Darstellung (Vektor-Diagramm)      121

Abbildung 75: Übersetzung von Winkel in Korrelation      121

Abbildung 76: Totale Varianzaufklärung      122

Abbildung 77: Hauptkomponentenanalyse (SPSS Output)      123

Abbildung 78: Hauptachsenanalyse (SPSS Output)      124

Abbildung 79: Iterationsmaximum erreicht      125

Abbildung 80: Iterationen in SPSS manuell einstellen      126

Abbildung 81: Vergleich Hauptachsen- & Hauptkomponentenanalyse      126

Abbildung 82: Vergleich der Kommunalitäten      127

Abbildung 83: Berechnung Kaiser Kriterium      129

Abbildung 84: Berechnung der Kommunalität      130

Abbildung 85: Faktorauswahl nach Kaiser Kriterium      131

Abbildung 86: Zusammenhang Eigenwert und Kommunalität      131

Abbildung 87: Beispiel Scree-Plot      132

Abbildung 88: Faktorinterpretation      134

Abbildung 89: rotierte Lösung der orthogonalen Rotation      135

Abbildung 90: Unterschiede in der Faktorenmatrix nach Rotation      136

Abbildung 91: rotierte Lösung der oblique Rotation      137

Abbildung 92: SPSS Output Oblique Rotation      138

Abbildung 93: Vergleich der orthogonalen und obliquen Rotation      139

Abbildung 94: Beispiel Faktorenbezeichnung      140

Abbildung 95: Schätzverfahren zur Bestimmung der Faktorwerte      142

Abbildung 96: 3-Dimensionales-Ladungsdiagramm      143

Abbildung 97: Ein-Dimensionales-Ladungsdiagramm      144

Abbildung 98: Vorgang der Faktorenanalyse in SPSS      145

Abbildung 99: Einordung der Entscheidungsbaumanalyse      148

Abbildung 100: Zuordnung des richtigen Datenniveaus      149

Abbildung 101: Wertelabels vergeben.      150

Abbildung 102: Unterschied CHAID- & Exhaustive CHAID-Verfahren      152

Abbildung 103: Aufbaumethode Exhaustive CHAID (SPSS)      153

Abbildung 104: Übersicht Tests für Datenniveaus      154

Abbildung 105: mehrdimensionale Kontigenztabelle      155

Abbildung 106: Kreuztabellen Mergen Schritt 1 (Beispiel)      157

Abbildung 107: Kreuztabellen Mergen Schritt 2 (Beispiel)      158

Abbildung 108: Übersicht p-Wert der Unterteilungsebenen      158

Abbildung 109: Merging der Kategorie 1 und 2 (Beispiel)      159

Abbildung 110: „Siegervariante“ des Merging-Prozesses      160

Abbildung 111: Kreuztabelle Split-Phase      162

Abbildung 112: Vorgehen in SPSS (Entscheidungsbaumanalyse)      173

Abbildung 113: Interpretation der Ergebnisse      181

Abbildung 114: Der Baumeditor      182

Abbildung 115: Datenpunkte      190

Abbildung 116: SPSS Koeffizienten (einfach)      192

Abbildung 117: SPSS Koeffizienten      194

Abbildung 118: Streuung      195

Abbildung 119: SPSS ANOVA      197

Abbildung 120: t-Wert      199

Abbildung 121: t-Wert Konfidenzintervalle      200

Abbildung 122: kein linearer Zusammenhang erkennbar      202

Abbildung 123: linearer Zusammenhang erkennbar      202

Abbildung 124: standardisiertes Streudiagramm      203

Abbildung 125: Dreiecksmuster mit größer bzw. kleiner werdenden Varianz)      204

Abbildung 126: Rhombus Muster (ansteigende und kleiner werdende Varianz)      204

Abbildung 127: Residualwerte verändern sich systematisch      205

Abbildung 128: QQ-Diagramm      206

Abbildung 129: Histogramm      207

Abbildung 130: Positive Autokorrelation      208

Abbildung 131: Negative Autokorrelation      209

Abbildung 132: Autokorrelation (Durbin/Watson)      210

Abbildung 133: Venn-Diagramm, geringe Multikollinearität      211

Abbildung 134: Venn-Diagramm, keine Multikollinearität      212

Abbildung 135: Venn-Diagramm, hohe Multikollinearität (Katastrophe)      212

Abbildung 136: Korrelationsmatrix      213

Abbildung 137: Toleranz & VIF für das Fallbeispiel      214

Abbildung 138: Multivariate Analyseverfahren      219

Abbildung 139: Fallbeispiel Datensatz      220

Abbildung 140: Zeilenprofile      223

Abbildung 141: Spaltenprofile      223

Abbildung 142: Massen der Zeilen      224

Abbildung 143: Massen der Spalten      225

Abbildung 144: Geometrisches Modell      226

Abbildung 145: Grafische Darstellung      228

Abbildung 146: Kreuztabelle Marke*Merkmal      229

Abbildung 147: Chi-Quadrat-Tests      230

Abbildung 148: Totale Inertia      231

Abbildung 149: relative Häufigkeiten      233

Abbildung 150: Zentrierte Werte      234

Abbildung 151: Standardisierte Daten      236

Abbildung 152: SPSS Output      237

Abbildung 153: Übersicht Zeilenpunkte      239

Abbildung 154: Übersicht Spaltenpunkte      240

Abbildung 155: SPSS Zeilenpunkte      242

Abbildung 156: SPSS Spaltenpunkte      243

Abbildung 157: Zeilenpunkte für Marke      245

Abbildung 158: Zeilenpunkte für Merkmal      246

Abbildung 159: Zeilen- und Spaltenpunkte      247

Abbildung 160: Zeilen-Prinzipal-Normalisierung      249

Abbildung 161: Spalten-Prinzipal-Normalisierung      251

Abbildung 162: Vorgehensweise SPSS      258

Abbildung 163: Struktur der ANOVA      263

Abbildung 164: Streuungszerlegung      265

Abbildung 165: Streuungszerlegung      266

Abbildung 166: Effektstärke      268

Abbildung 167: Vorgehen in SPSS      273

Abbildung 168: SPSS Ausgaben      276

Abbildung 169: Odinal      281

Abbildung 170: Disordinal      282

Abbildung 171: Hybrid      283

Abbildung 172: Vorgehen in SPSS      289

Abbildung 173: SPSS Ausgaben      290

Abbildung 174: Vorgehen in SPSS      295

Abbildung 175: SPSS Ausgaben      297

Abbildung 176: Vorgehen in SPSS      305

Abbildung 177: SPSS Ausgaben      308

Die Analyse fehlender Werte

Eine Einführung

Was sind fehlende Werte?

„Missing data, where valid values on one or more variables are not available for analysis, are a fact of life in multivariate analysis.“ (Hair, Black, Babin, & Anderson, 2010, S. 42).

Missing Values sind fehlende Werte in den erhobenen Daten, die sich auf wenigen Variablen/ Fällen sammeln oder über den gesamten Datensatz verteilt vorhanden sein können. Sie bedrohen die Validitäten der durchgeführten Studie und können das Verständnis für Effekte beeinflussen. Besonders in der multivariaten Datenanalyse kommen fehlende Werte sehr häufig vor. Aus diesem Grund ist ihre Betrachtung von großer Bedeutung. (Bankhofer, 1995) & (Hair, 2010, S. 42-43)

Wodurch entstehen fehlende Werte?

Missing Values können aus drei folgenschweren Gründen fehlen. Ein erster Aspekt ist der Proband selbst, der das Vorkommen fehlender Werte verursacht. Das ist beispielsweise der Fall, wenn jemand eine Frage nicht beantworten möchte. Ein zweiter Grund ist das Studiendesign selbst, das z.B. durch seine Länge zu viel Zeit von den Probanden verlangt und aus diesem Grund zu fehlenden Werten führt. Ein letzter grundlegender Aspekt ist die Interaktion zwischen Probanden und dem Studiendesign/ Versuchsleiter. Probanden sind eventuell nicht fähig genug eine Frage zu beantworten. Es könnte auch sein, dass die Fragen zu intim sind und der Proband nicht antworten möchte. (Ausführliche Darbietung der Gründe siehe: die Ursache fehlender Werte) (Bankhofer, 1995, S. 5-12)

Warum sind fehlende Werte ein Problem?

Fehlende Werte haben einen Einfluss auf die Generalisierbarkeit der Daten. Beispielsweise ist die Verallgemeinerung der Ergebnisse nicht möglich, wenn die Mehrheit der Studienteilnehmer, denen es während des Experiments schlecht erging, abbricht und deswegen die Ergebnisse vor allem auf den Probanden beruhen, die positiv auf die Bedingung reagiert haben. Ebenfalls können falsche Schlussfolgerungen gezogen werden, wenn die fehlenden Daten die Beziehungen zwischen den Variablen beeinflussen. Außerdem können Missing Values (fehlende Werte) zu nichtrepräsentativen Stichproben führen, wenn als Verfahren z.B. der listenweise Fallausschluss (siehe Kapitel: Vorgehen) genutzt wird. Ebenfalls haben fehlende Werte einen Einfluss auf die unterschiedlichen Validitäten, was mit dem Problem der Generalisierbarkeit einhergeht. (Hair, 2010, S. 42-43) & (Bankhofer, 1995, S. 25-27)

Die Ursache fehlender Werte

Die Ursachen fehlender Werte sind in drei großen Bereichen der empirischen Forschung zu finden. Beginnend mit dem Untersuchungsdesign, über die Datenerhebung selbst und auch in der Datenauswertung können Gründe für das Entstehen fehlender Werte gefunden werden.

a) Untersuchungsdesign

Grundsätzlich gilt, dass das Untersuchungsdesign so umfangreich wie nötig und so knapp wie möglich sein sollte, um möglichst viele Informationen durch möglichst wenige Variablen und wenig (Zeit)Aufwand der Probanden zu generieren. Folgende Ursachen können Gründe für das Entstehen von fehlenden Werten sein: (Bankhofer, 1995, S. 8-12)

Fehlerhaftes Untersuchungsdesign:

Das Untersuchungsdesign wird so bestimmt, dass es sehr wahrscheinlich abzusehen ist, dass es zu fehlenden Werten kommt. Beispiel: Wenn in einer Studie das Merkmal „Alter des Ehepartners“ abgefragt wird und sich jedoch auch unverheiratete Personen unter den Probanden befinden, kommt es, soweit keine „Non-Option“ gibt, zu fehlenden Werten. Ein weiteres Beispiel wäre: Es wird nach dem Alter der Kinder gefragt, ohne angeben zu können, keine zu haben. Bei kinderlosen Personen kommt es hier zu fehlenden Werten. (Bankhofer, 1995, S. 8-12)

Mangelhaftes Untersuchungsdesign:

Das Design kann durch unübersichtliche Anordnungen, missverständliche Fragen, unbekannten Wörtern oder Redewendungen in den Fragestellungen fehlende Werte verursachen. (Bankhofer, 1995, S. 8-12)

b) Die Datenerhebung

Auch die Datenerhebung selbst kann für fehlende Werte verantwortlich sein. Folgende Gründe könnte es geben:

Übersehen von Fragen:

Bei schriftlichen Befragungen kann es sein, dass der Proband eine Frage übersieht. Das kann dem Interviewer auch bei einer mündlichen Untersuchung passieren. Gründe dafür sind zumeist Ablenkung oder technische Mängel in der Untersuchung. (Bankhofer, 1995, S. 8-12)

Mangelndes Wissen:

Der Proband ist selbst mit Mühe nicht in der Lage eine Frage zu beantworten. Das ist besonders dann der Fall, wenn die Fragen auf Ereignisse abzielen, die längere Zeit zurückliegen. (Bankhofer, 1995, S. 8-12)

Dieser Art der fehlenden Werte klammern Angaben, wie z.B. „Ich weiß nicht“ aus, da diese vor allem auf eine Unentschlossenheit oder Unentschiedenheit der Probanden zurückgehen. Solche unentschlossenen Angaben sind keine fehlenden Werte, sondern Informationen.

Antwortverweigerung:

Ein Proband verweigert die Antwort auf eine Frage, unabhängig ob diese schriftlich oder mündlich gestellt wurde. Insbesondere tritt diese Ursache fehlender Werte dann auf, wenn die befragten Personen eine Verletzung der Privatsphäre vermuten. Beispiel: Probanden beantworten Fragen nach dem eigenen Trink-, Rauch- oder Sexualverhalten bewusst nicht. (Bankhofer, 1995, S. 8-12)

Motivationsprobleme:

Geringe Motivation von dem Interviewer oder der Testperson sorgen ebenfalls für Missing Values. Die fehlende Motivation geht auf eine Abneigung gegen die Befragungssituation, den Interviewer, die Erhebung allgemein oder auf die Länge der Befragung zurück. Ein Mangel an Motivation kann, z.B. auf geringe Vergütung, zurückgeführt werden. (Bankhofer, 1995, S. 8-12)

Verständnisprobleme:

Der Befragte kann die ihm gestellte Frage nicht richtig verstehen und hat deswegen Probleme zu antworten. (Bankhofer, 1995, S. 8-12)

Meinungslosigkeit:

Der Proband gibt keine Antwort auf eine Frage nach seiner Meinung, weil er entweder keine Meinung zu dieser Thematik hat oder sie nicht formulieren kann. (Bankhofer, 1995, S. 8-12)

Zeitprobleme:

Eine befragte Person hat zur Beantwortung eines Fragebogens nur limitiert Zeit und ist nicht in der Lage, alle ihr gestellten Fragen in dieser Zeit zu beantworten. In solchen Fällen sammeln sich die fehlenden Werte am Ende der Befragung. (Bankhofer, 1995, S. 8-12)

Filterführung des Interviewers:

Während der Befragung überspringt der Interviewer absichtlich bestimmte Fragen. Beispiel: Die Befragten, die angeben Raucher zu sein, werden weitere Fragen zu diesem Thema gestellt. Andere, die angeben Nichtraucher zu sein, haben dadurch bei den Fragen über Rauchen fehlende Werte. (Bankhofer, 1995, S. 8-12)

Unaufmerksamkeit des Beobachters:

Werden in einer Studie auf Beobachtungen wert gelegt, erhält man fehlende Werte, wenn der Beobachter in der Zeit unaufmerksam ist und ihm deshalb der zu beobachtenden Sachverhalt entgeht. (Bankhofer, 1995, S. 8-12)

Technische Mängel:

Fehlende Werte können auf technische Defekte zurückgeführt werden. Beispiel: Bei Video- und Blickaufzeichnungen (z.B. Eye-Tracking-Studien) wird durch einen technischen Mangel der zu beobachtende Sachverhalt (die Blickrichtung) verpasst bzw. nicht erfasst. (Bankhofer, 1995, S. 8-12)

c) Die Datenauswertung

Auch in der Datenauswertung können einige Ursachen für fehlende Werte gefunden werden.

Codierungsfehler:

Fehlende Werte entstehen dann, wenn eigentlich vorhandene Werte irrtümlicherweise als fehlend codiert werden. (Bankhofer, 1995, S. 8-12)

Übertragungsfehler:

Wenn Daten beispielsweise von einem schriftlichen Fragebogen in SPSS überführt werden und dabei manuell eingetippt werden müssen, kann es zu fehlenden Werten kommen. Diese können auch durch Fehler beim elektronischen Einlesen von Daten und deren Abspeicherung hervorgerufen werden. (Bankhofer, 1995, S. 8-12)

Löschung von unmöglichen Daten:

Ein Wert wird aus dem Datensatz entfernt, weil er in diesem Kontext unmöglich sein kann, was bei der Überprüfung der Daten sichtbar wird. Beispiel: Alphanumerische Zeichen werden gelöscht, wenn sie bei einer Variablen auftreten, die eigentlich nur numerische Ausprägungen besitzen darf. (Bankhofer, 1995, S. 8-12)

Löschung von fehlerhaften Daten:

Daten werden bei der Überprüfung als fehlerhaft erkannt und vom Forscher oder der Forscherin entfernt, obwohl sie grundsätzlich realisierbar wären und eigentlich korrekt sind. (Bankhofer, 1995, S. 8-12)

Folgen und Konsequenzen fehlender Werte

Aus dem Problem der fehlenden Werte können konkrete Folgen für die Praxis abgeleitet werden. Diese sind unter anderem Fehler in den statistischen Daten, Biases (=systematische Fehler) in den Parameterschätzungen, fehlerhafte Interpretationen der Ergebnisse sowie das Begrenzen der Repräsentativität und der Stärke der Stichprobe. So kann es durch Missing Values zu fehlerhaften statistischen Ergebnissen kommen, die bei Beachtung der fehlenden Werte anders ausgefallen wären. Werden fehlende Werte in den Datensätzen von Forschern vernachlässigt, ist dieses Vorgehen nicht mit einer wissenschaftlichen Arbeitsweise vereinbar. Besonders die Validität einer Studie wird von Missing Values beeinflusst. (Bankhofer, 1995, S. 25-27) & (Hair, 2010, S. 42-43)

Beeinflussung der Validität

Abbildung 1: Übersicht Validität

Eigene Darstellung, Quelle: vgl. (Lüdtke & Trautwein, 2007)

a) Konstruktvalidität

Konstruktvalidität gibt an, wie gut die erfassten Variablen das vorgesehene Konstrukt messen und wie gut die Werte die relevanten Variablen voraussagen. Ist die Konstruktvalidität hoch, dann fallen die Testwerte so aus, wie es die Theorie und die Hypothese vorgibt. (Döring & Bortz, 2016)

Durch fehlende Werte in den Variablen ist es möglich, dass das zu erfassende Konstrukt (eine Fragestellung oder eine Hypothese) dahinter nicht vollständig oder fehlerhaft erschlossen wird. Besonders im Fall der mono-Operations sind fehlende Daten besonders nachteilig. Mono-Operations sind einzelne Messungen, die durch ein einzelnes Item oder multiple Items bestehen und zur Repräsentation des Konstrukts bzw. Konzepts dienen. Das ist z.B. dann der Fall, wenn das Rauchverhalten (als Konstrukt) durch die Anzahl konsumierter Zigaretten in den letzten 24 Stunden gemessen wird. Fehlt der Wert für die konsumierten Zigaretten, kann das Konstrukt Rauchen nicht erfasst werden. (Allison, 2002) & (McKnight, McKnight, Sidani, & Figueredo, 2007) & (Schafer & Graham, 2002)

Ein kleinerer Item-Pool führt ebenfalls mit fehlenden Werten zu einer größeren Fehlervarianz und diese dann wiederum zu geringerer Reliabilität in den Messungen. Der Informationsverlust, welcher mit Missing Values einhergeht, führt außerdem zu unvollständigen Repräsentationen des Konstrukts und damit automatisch zu einer kleineren Konstruktvalidität.

b) Interne Validität

Die interne Validität ist gegeben, wenn Unterschiede in der abhängigen Variablen mit Sicherheit auf Unterschiede in der unabhängigen Variablen zurückgeführt werden können.

Die interne und externe Validität beeinflussen sich gegenseitig. Durch die mit fehlenden Werten einhergehende Stichprobenselektion gibt es Unterschiede in den Gruppen, die wiederum zu einem systematischen Fehler führen. Dadurch entstehen nicht-repräsentative Stichproben, die neben der internen auch die externe Validität verkleinern. Durch Randomisierung, d.h. Probanden werden zufällig auf unterschiedliche und identische Gruppen aufgeteilt, kann es auch zu fehlenden Werten kommen. Wenn es teilnehmerbedingt zu fehlenden Werten kommt, verursacht dieser Grund der fehlenden Werte ungleiche Stichprobengrößen, was wiederum die statistischen Voraussetzungen für viele Vorgänge in SPSS verletzt, wodurch es zu einer kleineren Validität in den Ergebnissen der statistischen Auswertung kommt. (Allison, 2002) & (McKnight, McKnight, Sidani, & Figueredo, 2007) & (Schafer & Graham, 2002)

c) Externe Validität

Die externe Validität gibt an, inwieweit sich die Testergebnisse über die Untersuchungssituation verallgemeinern lassen (Döring & Bortz, 2016). Bei homogenen Stichproben (viele Probanden ähneln sich) ist die Streuung der Werte/ Antworten gering. Der Test wird also schneller signifikant, aber die Repräsentativität der Ergebnisse für eine heterogene Grundgesamtheit sinkt. Wenn fehlende Werte in den Daten auftreten, dann kann es zu Schwierigkeiten mit den Schlussfolgerungen und Interpretationen der Ergebnisse kommen. Dies kann falsche Rückschlüsse hervorrufen, die dann möglicherweise falsche Richtlinien verursachen. (Allison, 2002) & (McKnight, McKnight, Sidani, & Figueredo, 2007) & (Schafer & Graham, 2002)

Klassifikation der fehlenden Werte

Um die richtigen Methoden zur Behandlung fehlender Werte auswählen zu können, ist es von Bedeutung zu wissen, ob hinter den fehlenden Werten eine Systematik liegt. Die Klassifikation der fehlenden Werte erfolgt nach der Arbeit von Rubin in drei Arten (Rubin, 1976):

a) MCAR – Missing completely at random

Abbildung 2: Missing at completely random

Eigene Darstellung, Quelle: (IBM®, 2020)

Die Werte in den Daten fehlen vollständig zufällig. Das Auftreten der fehlenden Werte (sowohl X als auch Y) lassen sich weder auf Ausprägungen der betreffenden Variablen noch auf andere Variablen im Datensatz zurückzuführen. (IBM Corp., 2017, S. 2)

Beispiel: Bei der vorliegenden Studie wird das Haushaltseinkommen, das Alter und das Geschlecht erhoben. Bei dem Haushaltseinkommen treten fehlende Werte auf, die MCAR sind, wenn sie weder vom Einkommen selbst noch vom Alter oder Geschlecht abhängen. Man kann also keinen systematischen Ausfall im Datensatz feststellen. Hier sind die fehlenden Werte gleichmäßig (zufällig) verteilt. (Bankhofer, 1995, S. 14-16) & (Lüdtke & Trautwein, 2007)

b) MAR – Missing at random

Abbildung 3: Missing at random

Eigene Darstellung, Quelle: (IBM®, 2020)

Einige Daten fehlen „bedingt“ zufällig. Die fehlenden Werte von Y hängen von X ab, aber nicht von Y selbst. Bedeutet:

Das Auftreten von fehlenden Daten hängt von der Ausprägung einer anderen beobachteten Variablen ab, aber nicht von der Ausprägung der Variable selbst. Die Folge daraus ist eine eingeschränkte Generalisierbarkeit der Ergebnisse. (IBM Corp., 2017, S. 2)

Beispiel: In der Studie werden erneut Haushaltseinkommen, Alter und Geschlecht abgefragt. Bei den fehlenden Werten bei der Variable Einkommen fällt auf, dass die Werte häufiger fehlen, wenn die Variable „Alter“ hohe Werte aufweist. Kurz: Ältere Menschen haben häufiger als jüngere das Einkommen nicht angegeben. (Bankhofer, 1995, S. 14-21) & (Lüdtke & Trautwein, 2007)

c) MNAR – Missing not at random

Abbildung 4: Missing not at random

Eigene Darstellung, Quelle: (IBM®, 2020)

Die Daten fehlen nicht zufällig. Die fehlenden Werte in Y hängen von der Ausprägung in Y ab. Das Auftreten von fehlenden Werten hängt mit der Ausprägung der Variable selbst zusammen (und nicht mit Ausprägungen anderer Variablen im Datensatz, siehe MAR). Es gibt weder einen Test, der diese Verteilung testen kann, noch eine adäquate Methode zur Behandlung von MNAR-Daten. Man sollte MNAR nur ausschließen, wenn der Ausfallmechanismus bekannt ist (z.B. durch weitere empirische Studien). MNAR Daten sollten vermieden werden. (Lüdtke & Trautwein, 2007)

Beispiel: In der Studie mit den Erhebungen zu den Variablen Einkommen, Alter und Geschlecht treten fehlende Werte beim Einkommen auf. Wenn die fehlenden Werte MNAR sind, sind die Werte von der Höhe des Einkommens selbst abhängig. Kurz: Probanden mit einem höheren Einkommen geben dieses häufiger nicht an. Das Problem bei dieser Art fehlender Werte ist, dass sie nur dann sicher festgestellt werden können, wenn der Ausfallmechanismus bekannt ist. Somit muss der Forscher wissen, dass sich hinter den fehlenden Werten vermehrt hohe Werte im Haushaltseinkommen verbergen, was oftmals nicht so offensichtlich wie im Beispiel ist. (Bankhofer, 1995, S. 14-21) & (Lüdtke & Trautwein, 2007)

Vorgehen bei der Analyse fehlender Werte

Kann man fehlende Werte ignorieren?

Einige fehlende Werte können ignoriert werden und müssen demnach in der weiteren Analyse nicht beachtet werden.

Vernachlässigbar sind:

Die fehlenden Werte, die ignoriert werden können, sind erwartet oder Teil des Studiendesigns. (Hair, 2010, S. 44-47)

Sie entstehen vor allem auf zwei verschiedene Arten:

1. Wahrscheinlichkeitsstichproben

Wenn die fehlenden Werte erwartet werden, also zum Beispiel Teil des Untersuchungsdesigns sind, können sie vernachlässigt werden, unter der Voraussetzung, dass sie zufällig bzw. unsystematisch fehlen. (d.h. die beobachteten Werte sind eine zufällige Stichprobe der gesamten Menge von beobachteten und fehlenden Werten). (Hair, 2010, S. 44-47)

Beispiel: Nur eine Stichprobe, ein Teil der Grundgesamtheit, nimmt an einer Studie teil. Damit hat man fehlende Werte aller anderen Personen, die nicht teilgenommen haben. Diese fehlende Werte kann man im besten Fall ignorieren, da man eine Zufallsstichprobe gezogen hat.

2. Aufgrund des Studiendesigns

Bei einer beispielhaften Untersuchung über den Umgang mit Kundenbeschwerden entstehen fehlende Werte, wenn es keine Beschwerden eines Kunden gab. Der eine Fall (Kunde) produziert fehlende Werte, da er keine Beschwerde hat und die Frage überspringt. Diese Werte können ebenfalls ignoriert werden, da sie vom Design so vorgesehen sind. (Hair, 2010, S. 44-47)

Nicht vernachlässigbar sind:

Alle anderen Arten von Missing Values können nicht ignoriert, sondern müssen zwingend beachtet werden. Hier beginnt der Forscher dann mit der Analyse des Ausmaßes der fehlenden Werte. (Hair, 2010, S. 44-47)

Das Ausmaß der fehlenden Werte analysieren

Zentrale Frage: Ist der Umfang oder die Anzahl der fehlende Werte gering genug, um die Ergebnisse nicht zu beeinflussen, auch wenn sie unsystematisch sind?

Faustregeln (Hair, Black, Babin, & Anderson, 2010, S. 47):

Der Umfang ist gering genug, wenn unter 10% der Fälle oder Variablen fehlende Werte sind und diese unsystematisch sind.

Die Anzahl der Fälle ohne fehlende Werte muss für eine weitere Analyse ausreichend sein, wenn keine Daten imputiert (siehe Imputation) werden.

Ermittlung des allgemeinen Ausmaßes der fehlenden Werte bei SPSS mithilfe von univariaten Statistiken.

Visualisierung und erste Prüfung eines Musters hinter fehlenden Werten durch graphische Verfahren.

Univariate Statistik

Univariate Statistiken bieten sich zur Analyse des Ausmaßes fehlender Werte sehr gut an. Sie zeigen für jede Variable sowohl die

• Anzahl vorhandener Werte

• Anzahl und Prozentsatz fehlender Werte im Datensatz

Zusätzlich dazu werden für metrische Variablen auch

• Mittelwert

• Standardabweichung und

• Anzahl der Extremwerte von SPSS angezeigt.

(Bankhofer, 1995) & (Hair, 2010, S. 47-48)

Diese Ergebnisse können dann zum Feststellen des Ausmaßes der fehlenden Werte genutzt werden (siehe Faustregel).

Vorgehen in SPSS:

Multiple Imputation: Muster analysieren

Alle interessierenden Variablen hinzufügen

Gegebenenfalls minimalen Prozentsatz auf 1 setzen, um alle fehlenden Werte anzeigen zu lassen.

Abbildung 5: Univariate Statistik (Vorgehen in SPSS)

Eigene Darstellung, Quelle: (IBM®, 2020)

Das Kreisdiagramm (Abbildung 6) gibt an,

wie viele Variablen fehlende Werte haben.

wie viele Fälle (also Probanden) fehlende Werte haben.

wie hoch der prozentuale Anteil an fehlenden Werten im gesamten Datensatz ist.

Abbildung 6: Kreisdiagramm über fehlende Werte

Eigene Darstellung, Quelle: (IBM®, 2020)

In der Variablenzusammenfassung (siehe Abbildung 7) sieht man:

Wie viele Probanden die Variable (nicht) beantwortet haben.

Wie hoch der Anteil an fehlenden Werten bei jeder Variablen ist.

Den Mittelwert und die Standardabweichung bei metrischen Variablen.

Abbildung 7: Variablenzusammenfassung (Output SPSS)

Eigene Darstellung, Quelle: (IBM®, 2020)

Graphische Verfahren

Beim graphischen Verfahren gibt SPSS drei verschiedene Diagramme aus. Dabei sind diese Verfahren sehr gut geeignet, um die Verteilung der fehlenden Werte zu visualisieren. Dadurch können eventuell vorhandene Muster bzw. eine Systematik erkannt werden, die eine Zufälligkeit in den Prozessen hinter den fehlenden Werten ausschließen würde. (Bankhofer, 1995) & (Hair, 2010, S. 47-48)

Dabei wird besonders Folgendes beachtet:

Wo befinden sich die fehlenden Werte?

Tendiert ein Paar von Variablen dazu, fehlende Werte in Einzelfällen nachzuweisen?

Sind extreme Datenwerte vorhanden?

Abbildung 8: Ein Muster fehlender Werte (SPSS Output)

Eigene Darstellung, Quelle: (IBM®, 2020)

In dem Muster fehlender Werte bekommt man einen ersten Überblick darüber, ob eine Systematik in den fehlenden Werten vorliegt. Jedes Muster entspricht einer Gruppe von Fällen mit dem gleichen Muster unvollständiger und vollständiger Daten. (Bankhofer, 1995) & (Hair, 2010, S. 47-48)

Anordnung:

Variablen von links nach rechts aufsteigend nach der Anzahl fehlender Werte

Muster von rechts nach links (vorhandene Werte zuerst, dann fehlende Werte)

Bei monotonen Daten sind alle fehlenden Zellen und nicht fehlenden Zellen fortlaufend. Ansonsten sind „Inseln“ im unteren rechten Teil und oberen linken Teil des Diagramms (Abbildung 8) zu sehen.

Abbildung 9: Muster fehlender Werte (SPSS Output)

Eigene Darstellung, Quelle: (IBM®, 2020)

In der Abbildung 9 handelt es sich um die Darstellung der Häufigkeiten der Muster. Beim Beispieldatensatz kann man erkennen, dass am häufigsten Muster Eins auftritt:

In ca. 55% der Fälle sind die Daten vollständig. Muster Eins bedeutet, dass alle Werte in der Analyse vorhanden sind. Bei keinem anderen Muster sollte so ein hoher Balken auftreten. Das würde ansonsten ebenfalls auf eine Systematik hinter den fehlenden Werten hindeuten.

Die Löschung von unvollständigen Daten

Ein Zwischenschritt in der Abfolge der Analyse fehlender Werte ist die Möglichkeit Variablen bzw. Fälle, welche Missing Values beinhalten, zu löschen, um so einen vollständigen Datensatz zu schaffen.

Faustregeln (Hair, Black, Babin, & Anderson, 2010, S. 48):

Fälle oder Variablen mit einem Anteil von 50% (oder mehr) an fehlenden Werten

Variablen mit einem Anteil an fehlenden Werten ab 15% können gelöscht werden, allerdings können fehlende Werte auch von 20-30% noch behoben werden.

Der Rückgang an fehlenden Werten sollte groß genug sein, um das Löschen einer einzelnen Variablen oder eines Falles zu rechtfertigen.

Fälle mit fehlenden Daten für abhängige Variablen werden in der Regel gelöscht, um zu vermeiden, dass ein Zusammenhang stärker dargestellt wird, als er es möglicherweise wirklich ist.

Beim Löschen einer Variablen sollte sichergestellt sein, dass alternative Variablen vorhanden sind, die die Intention der Originalvariablen repräsentieren können.

Generell sollte eine Analyse sowohl ohne als auch mit der gelöschten Variablen durchgeführt werden, um Unterschiede feststellen zu können.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass beim Löschen von Variablen und/ oder Fällen die vorgesehene Analyse sowohl mit dem Originaldatensatz als auch mit dem gekürzten Datensatz durchgeführt werden sollte.

So können eventuell vorhandene Unterschiede in den Ergebnissen identifiziert werden. Wichtig ist hierbei, dass die Stichprobe nach der Löschung noch groß genug für die Analyse ist und nicht viel Repräsentativität verloren hat. Da diese Methode sehr einfach und schnell durchzuführen ist, wird sie auch häufig beim Umgang mit fehlenden Werten angewandt.

Tests zur Analyse der Zufälligkeit

Dieser Schritt bezieht sich auf die Klassifikation fehlender Werte nach Rubin (1976). Zur Erinnerung: Hier gibt es drei verschiedene Arten and fehlenden Daten MCAR (missing completely at random), MAR (missing at random) und MNAR (missing not at random). Die Art der fehlenden Werte kann mit Hilfe von SPSS auf drei verschiedene Weisen festgestellt werden, wobei immer nur auf MCAR-Daten getestet werden kann. MNAR können nur eindeutig als solche nachgewiesen werden, wenn der Ausfallmechanismus bekannt ist.

In SPSS:

Analysieren: Analyse fehlender Werte

Variablen zuordnen (quantitativ = metrisch, kategorial = nominal und ordinal)

Klicken Sie auf Deskriptive Statistik.

Haken bei Univariate Statistiken, T-Test für Gruppen, die durch Indikatorvariablen gebildet werden (und Wahrscheinlichkeiten in Tabelle einschließen) und Kreuztabellen kategorialer und Indikatorvariablen setzen.

Haken bei EM setzen. (siehe Imputation)

Abbildung 10: Test der fehlenden Werte (Vorgehen in SPSS)

Eigene Darstellung, Quelle: (IBM®, 2020)

T-Test bei unterschiedlicher Varianz

T-Tests mit unterschiedlichen Varianzen werden mit den metrischen Variablen gerechnet. Das geschieht mit Hilfe von Indikatorvariablen. Ist bei einer Variablen ein Wert vorhanden, wird er durch eine 1 ersetzt. Fehlt der Wert dagegen wird eine 0 eingetragen. Hierbei möchte man möglichst geringe Unterschiede in den Mittelwerten der entstehen Gruppen erzielen, damit man von einer Zufälligkeit in den Prozessen der fehlenden Werte ausgehen kann. (Bankhofer, 1995, S. 72-77)

Beispiel: Verändert sich der Mittelwert von Alter, wenn bei Einkommen fehlende Werte auftreten im Vergleich zu vollständigen Werten beim Einkommen? Durch die große Anzahl von T-Tests kann es dazu kommen, dass einige Tests durch den bloßen Zufall signifikant werden (kumulierendes Alpha). (Bankhofer, 1995, S. 72-77)

Darum sollte man bei der Auswertung beachten, dass es durchaus Signifikanzen geben darf, diese aber nur an wenigen Stellen und gut verteilt auftreten sollten. Ansonsten kann eine Systematik hinter den Daten vermutet werden.

H₀: Werte fehlen komplett zufällig (MCAR)

H₁: Werte fehlen nicht komplett zufällig (MAR)

Bei p < .05 → H₁ wird also angenommen: Mittelwerte unterscheiden sich signifikant und MCAR liegt nicht vor (man nimmt MAR an). Weitere Überprüfung: MCAR- Test nach Little (siehe Tests zur Analyse der Zufälligkeit). (Bankhofer, 1995, S. 72-77)

Abbildung 11: T- Tests bei unterschiedlicher Varianz

Eigene Darstellung, Quelle: (IBM®, 2020)

T- Tests bei unterschiedlicher Varianz geben die Mittelwertsunterschiede zwischen einzelnen Variablen in Abhängigkeit von dem Vorhandensein des Werts an. Ziel: Feststellen, ob Fehlwerte auf einer Variablen die Mittelwerte einer anderen Variablen beeinflussen. Das würde bedeuten, dass die Daten möglicherweise nicht zufällig fehlen. (IBM Corp., 2017, S. 5)

In der Abbildung 11 stellt man fest, dass das Einkommen scheinbar mehrere metrische Variablen beeinflusst, da z.B. der Mittelwert vom Alter erheblich schwankt, je nachdem ob der Wert vom Einkommen fehlt oder nicht. Die p-Werte zeigen (siehe Markierung), dass diese Mittelwertsunterschiede hoch signifikant sind. Das gibt einen Hinweis darauf, dass die Daten möglicherweise nicht vollständig zufällig fehlen.

Kreuztabellen

Die Kreuztabellen werden bei allen Variablen angewandt, die kein metrisches Datenniveau aufweisen. Auch hier werden – wie bei den T-Tests beschrieben – Indikatorvariablen gebildet. Bei der Auswertung der Kreuztabellen gilt, dass die fehlenden Werte möglichst gleich verteilt über die Tabellen hinweg auftreten sollten. Dann kann von einer Zufälligkeit hinter den fehlenden Werten ausgegangen werden. Sollte das nicht der Fall sein, kann es ein Hinweis auf MAR-Daten oder gar MNAR-Daten sein. (IBM Corp., 2017, S. 5)

Abbildung 12: Kreuztabelle 1 (SPSS Output)

Eigene Darstellung, Quelle: (IBM®, 2020)

Beispiel: Es sind deutliche Unterschiede bezüglich der Angabe des Einkommens in Abhängigkeit vom Ruhestand erkennbar. 53,7% der Probanden, die im Ruhestand sind, haben das Einkommen nicht angeben, wohingegen nur 16,3% der Beschäftigten fehlende Werte aufweisen.

Abbildung 13: Kreuztabelle 2 (SPSS Output)

Eigene Darstellung, Quelle: (IBM®, 2020)

Beispiel: Es sind deutliche Unterschiede zwischen den Geschlechtern bezüglich der Angabe der Jahre, die man an der Adresse verbracht hat, zu erkennen. 21,4% der Männer haben diese Angabe nicht gemacht, aber nur 8,1% der Frauen verweigerten eine Antwort. Beide Beispiele geben einen Hinweis darauf, dass die fehlende Werte nicht zufällig verteilt sind.

Betrachtung von Mustern

Es gibt drei verschiedene Arten, die Muster anzeigen zu lassen:

Fälle in Tabellen: Die Muster fehlender Daten in den Analysevariablen werden in Tabellenform dargestellt, wobei für jedes Muster auch die Häufigkeiten angegeben werden. Mit dem Muster der fehlenden Werte mit sortierten Variablen kann man angeben, ob Häufigkeiten (Anzahl) und Variablen nach der Ähnlichkeit der Muster sortiert werden sollen. (IBM Corp., 2017, S. 3-4)

Fälle mit fehlenden Werten: Für die einzelnen Analysevariablen werden jeweils die einzelnen Fälle mit einem fehlenden Wert oder einem Extremwert tabellarisch dargestellt. Mit Variablen sortieren nach dem Muster fehlender Werte kann man angeben, ob Häufigkeiten (Anzahl) und Variablen nach der Ähnlichkeit der Muster sortiert werden sollen. (IBM Corp., 2017, S. 3-4)

Alle Fälle: Die einzelnen Fälle werden tabellarisch dargestellt und fehlende Werte und Extremwerte werden für jede Variable angegeben. Die Fälle werden in der Reihenfolge aufgeführt, in der sie in der Datendatei auftreten, sofern unter „Sortieren nach:“ keine Variablen angegeben wurden. (IBM Corp., 2017, S. 3-4)

Vorgehen in SPSS: Analysieren: Analyse fehlender Werte. Auf Muster klicken. Je nach Wunsch Hacken bei Anzeige (siehe oben) setzen. Zusätzliche Informationen angeben lassen für: Einfügen von Variablen, für die man zusätzliche Information wünscht. Sinnvollerweise solche Variablen, bei denen man schon in der vorherigen Analysen Auffälligkeiten festgestellt hat.

Abbildung 14: Betrachtung Muster (Vorgehen in SPSS)

Eigene Darstellung, Quelle: (IBM®, 2020)

Abbildung 15: Muster in Tabellen (Output in SPSS)

Eigene Darstellung, Quelle: (IBM®, 2020)

„Das Muster in Tabellen“ zeigt:

Welche Variablen in mehr als 1% der Fälle zusammen fehlen.

Wie fehlende Werte bei den angegebenen Variablen verteilt sind.

Wie viele gültige Fälle man hat, wenn bestimmte Variablen rausgenommen werden würden.

MCAR-Test nach Little

Beim MCAR-Test nach Little werden die Beobachtungen mit den Erwartungen für die Werte verglichen. Außerdem wird untersucht, ob das Fehlen der Werte zufällig entstanden ist. Der MCAR-Test unterscheidet jedoch lediglich zwischen MCAR und MAR. Die MNAR-Daten können sowohl bei Ablehnung als auch bei Beibehaltung der Nullhypothese vorhanden sein. Darum helfen hier die T-Tests und Kreuztabellen, indem sie eine mögliche Systematik hinter den Werten erkennen lassen, um den Ausfallmechanismus zu erkennen. (Bankhofer, 1995, S. 82) & (Lüdtke & Trautwein, 2007)

Beim MCAR-Test nach Little lautet die Nullhypothese:

Die Daten sind MCAR.

Dementsprechend heißt die Alternativhypothese:

Die Daten sind MAR.

In diesem Fall ist ähnlich zu anderen Tests (z.B. KSA) die Forschungshypothese die Nullhypothese. Man kann dann von MCAR ausgehen, wenn der MCAR-Test nicht signifikant wird. Dieser Test wird außerdem auch als eine Alternative zu der großen Anzahl an T-Tests gesehen, da sich hierbei keine Problematik des kumulierenden Alphas ergibt. Der MCAR-Test ist bei SPSS leider nur unter dem Reiter EM zu finden und wird auch hier nur unter den übrigen Tabellen angezeigt.

(IBM Corp., 2017)

In SPSS: Hacken bei EM setzen. (siehe Abbildung 14)

Abbildung 16: MCAR-Test nach Little

Eigene Darstellung, Quelle: (IBM®, 2020)

Beispiel: Der Test wird signifikant (p < .001), womit eine Verteilung der Daten nach MAR, wie bereits durch die Tests und Muster vermutet, bestätigt wird. Allerdings ist auch dieser Test nur als Hinweis und nicht als Beweis zu deuten. Man kann aber davon ausgehen, dass die Daten nicht komplett zufällig fehlen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass all diese Tests auf eine mögliche Zufälligkeit, die den fehlenden Werten unterliegt, hinweisen, jedoch keine Festlegungen sind. Der exakte Grad der Zufälligkeit kann nur dann bestimmt werden, wenn der Ausfallmechanismus bekannt ist. Dies gilt insbesondere für MNAR-Daten, für die es keinen statistischen Test gibt.

(Bankhofer, 1995) & (Lüdtke & Trautwein, 2007)

Auswahl der Methode

In diesem Abschnitt soll geklärt werden, welche Methoden es gibt, um fehlende Werte zu ersetzen bzw. mit ihnen umzugehen.

Die Verfahren sind unterteilt in klassische Verfahren, modellbasierte Verfahren und imputationsbasierte Verfahren.

Generell gilt:

Klassische Verfahren werden häufig verwendet, weil sie z. B. bei SPSS voreingestellt sind. Die klassischen Verfahren sind aber in den meisten Fälle nicht zu empfehlen.

Die modellbasierten Verfahren wurden durch die Multiple Imputation weitestgehend abgelöst.

Es gibt keine feste Anleitung und der Umgang mit fehlenden Werten kann sehr subjektiv sein. In den meisten Fällen wird die Multiple Imputation empfohlen.

(Hair, 2010, S. 50-54) & (Bankhofer, 1995)

Klassische Verfahren

a) Listenweiser Fallausschluss

Nur vollständige Fälle werden in die Analyse miteinbezogen. Jeder Fall, der nur einen einzigen fehlenden Wert aufweist, wird ausgeschlossen. Der listenweise Fallausschluss wird häufig verwendet, da es die Voreinstellung bei SPSS ist. Diese Methode wird aber nicht empfohlen. (Lüdtke & Trautwein, 2007) & (IBM Corp., 2017) & (Hair, 2010, S. 50-54)

Voraussetzung: MCAR- Daten

Abbildung 17: Listenweiser Fallausschluss (Vor- und Nachteile)

Eigene Darstellung

b) Paarweiser Fallausschluss

Beim paarweisen Fallausschluss werden die Variablen paarweise betrachtet. Ihre Werte werden dann verwendet, wenn beide Variablen in diesem Fall keine fehlenden Werte aufweisen. Der Vorteil dieser Methode ist, dass es sich hier um das Ad-Hoc-Verfahren handelt, das die größtmögliche Stichprobengröße erreicht. Die Nachteile sind jedoch wiederum bei den variierenden Stichproben zu sehen, da so unterschiedliche Ergebnisse gar nicht wissenschaftlich fundiert verglichen werden können. Außerdem kann es bei einer solchen Vorgehensweise zu einem Bias in den Parameterschätzungen kommen, vor allem wenn es sich nicht um das vorausgesetzte MCAR-Datenniveau handelt.

Diese Art im Umgang fehlender Werte sollte darum nicht angewandt werden. Hier können insbesondere durch die unterschiedlich zusammengesetzten Stichproben ganz verschiedene Ergebnisse entstehen, die dann nicht mehr vergleichbar sind. (Lüdtke & Trautwein, 2007) & (IBM Corp., 2017) & (Hair, 2010, S. 50-54)

Abbildung 18: Paarweiser Fallausschluss (Vor- und Nachteile)

Eigene Darstellung

Imputationsbasierte Verfahren

Bei der Imputation werden die Werte für die fehlenden Daten geschätzt. Imputationsbasierte Verfahren zielen darauf ab, die fehlenden Werte durch möglichst „plausible“ Werte zu ergänzen.

a) Ersetzung durch den Stichprobenmittelwert

Bei der Mittelwert-Imputation werden die Missing Values durch die Mittelwerte der beobachteten Werte der jeweiligen Variablen ersetzt.

Der Einsatz dieses Verfahrens sollte allerdings nach Möglichkeit vermieden werden, da es zu Verzerrungen in den Ergebnissen kommt. Die Extremwerte werden unterrepräsentiert und die Varianz wird zudem künstlich verringert, wodurch es zu falschen Ergebnissen in den anschließenden Analysen kommen kann. (Lüdtke & Trautwein, 2007) & (IBM Corp., 2017) & (Hair, 2010, S. 50-54)

Abbildung 19: Mittelwert-Imputation (Vor- und Nachteile)

Eigene Darstellung

b) Ersetzung durch Regression

Voraussetzungen für die Regressions-Imputation ist MCAR-Daten und metrisches Datenniveau. Der Vorteil dieses Imputationsverfahrens ist, dass die Beziehungen zwischen den Variablen beachtet und so die fehlenden Werte geschätzt werden. Ein Nachteil dieser Methode ist aber, dass durch die Berücksichtigung der Beziehungen beobachtete Zusammenhänge verstärkt dargestellt werden können. Außerdem kann die Varianz unterschätzt werden und die Ergebnisse der Analyse sind möglicherweise verzerrt. Aus diesen Gründen ist die Regressions-Imputation heute von der Multiplen Imputation abgelöst und wird als solche nicht mehr verwendet. (Lüdtke & Trautwein, 2007) & (IBM Corp., 2017) & (Hair, 2010, S. 50-54)

Abbildung 20: Regressions-Imputation (Vor- und Nachteile)

Eigene Darstellung

c) Hot und Cold Deck Verfahren

Bei der Hot Deck Imputation wird ein zufällig ausgesuchter beobachteter Wert an Stelle des fehlenden Wertes eingesetzt. Voraussetzung ist allerdings die Ähnlichkeit der Fälle, aus denen dann zufällig der einzusetzende Wert ausgewählt wird. Es handelt sich beim eingesetzten Wert um einen anderen Wert aus dem gleichen Datenset. Neben den vergleichbaren Daten sind auch MCAR-Daten notwendig. Ein Nachteil dieses Verfahrens ist die Unterschätzung der Standardfehler. Die Cold Deck Imputation läuft nach dem gleichen Prinzip wie die Hot Deck Imputation ab. Allerdings wird hier der Wert aus einem vergleichbaren Fall eines anderen externen Datensatzes eingesetzt. (Lüdtke & Trautwein, 2007) & (IBM Corp., 2017) & (Hair, 2010, S. 50-54)

Abbildung 21: Hot und Cold Deck Verfahren (Vor- und Nachteile)

Eigene Darstellung

d) Multiple Imputation

Die Multiple Imputation ist das aktuell beste Verfahren zum Ersetzen fehlender Werte in einem Datensatz. Ihr größter Vorteil ist, dass sie sowohl für MCAR als auch MAR-Daten geeignet ist und die bestmöglichen Ergebnisse liefert. Ebenfalls muss man auch das Datenniveau der Variablen nicht beachten, da diese Imputation sowohl bei metrischen als auch bei nominalen oder ordinalen Daten durchgeführt werden kann. Wichtig ist aber vor Durchführung, den Variablen das richtige Datenniveau zuzuweisen. (Lüdtke & Trautwein, 2007) & (IBM Corp., 2017) & (Hair, 2010, S. 50-54)

Im Falle von metrischem Niveau wird eine lineare Regression zur Ermittlung der fehlenden Werte genutzt. Ist das Datenniveau nicht metrisch, wird die logistische Regression angewandt.

Abbildung 22: Multiple Imputation

Eigene Darstellung, Quelle: vgl. (Osman, Abu-Mahfouz, & Page, 2018)

Es werden mehreren (ca. 3- 10) komplettierten Datensätzen erstellt, die parallel ausgewertet werden, wobei für einen Parameter verschiedene Schätzwerte resultieren.

Fehler der einfachen Imputation: Ergänzte Werte werden wie beobachtete Werte behandelt. (zusätzliche Fehlervarianzquelle beim Schätzen der Analysemodellparameter) Bei der Berechnung gültiger Standardfehler durch die Multiple Imputation kann diese Unsicherheit berücksichtigt werden. (Lüdtke & Trautwein, 2007) & (IBM Corp., 2017) & (Hair, 2010, S. 50-54)

Theoretischer Ablauf

Imputation

Als erstes kommt es zur Imputation. Hier wird die Anzahl vorher festgelegter Imputationen (voreingestellt in SPSS: fünf) durchgeführt, wobei mindestens drei und maximal zehn Imputationen durchgeführt werden.

Es entsteht ein aufgeteilter neuer Datensatz. Hier werden mit Hilfe verschiedener Regressionsmodelle für jeden fehlenden Wert neue Werte (voreingestellt: fünf) im Datensatz geschätzt. (Lüdtke & Trautwein, 2007) & (IBM Corp., 2017) & (Hair, 2010, S. 50-54)

Analyse

Aus der Impuation erhält man fünf verschiedene vollständige
Datensätze, die nun analysiert werden. Für die Variablen, die vorher noch fehlende Werte aufwiesen, werden die Mittelwerte, Standardabweichungen und die Extremwerte berechnet.

Dies geschieht sowohl für die Originaldaten, die imputierten Werte (separat) und anschließend noch einmal für die vollständigen Datensätze nach den Imputationen. Zu beachten ist aber die eingeschränkt vorhandene Vergleichbarkeit zwischen unterschiedlichen Imputationen für denselben Datensatz. Da es sich um Schätzungen der Parameter handelt, welche auch zufällig ablaufen, werden mit jeder Imputation neue Werte generiert, die so nicht noch einmal vorkommen werden. (Lüdtke & Trautwein, 2007) & (IBM Corp., 2017) & (Hair, 2010, S. 50-54)

Pooling/ Zusammenfassung

Das ist eine sehr komplizierte Phase, da SPSS die geschätzten Parameter statistisch sehr anspruchsvoll verrechnet, sodass sie einen neuen Datensatz ergeben, der für die weiteren Analysen verwendet werden kann. Das Pooling wird von SPSS auch nicht in allen Analysen unterstützt. Dies verdeutlicht, wie kompliziert die Phase des Poolings ist. (Lüdtke & Trautwein, 2007) & (IBM Corp., 2017) & (Hair, 2010, S. 50-54)

Vorgehen der Multiplen Imputation in SPSS

„Analysieren: Multiple Imputation: Fehlende Werte imputieren.“

Reiter „Variablen“: (IBM Corp., 2017)

a) Alle Variablen mit fehlenden Werten sowie solche, die als Prädiktor dienen sollen, hinzufügen (in der Regel alle).

b) Anzahl der Imputationsdatensätze festlegen. Die Fünf als Standardeinstellung kann erhöht werden, wenn z.B. viele fehlende Werte vorhanden sind.

c) Einen Namen für den neu generierten Datensatz (mit den imputierten Werten) festlegen.

Reiter „Methode“: (IBM Corp., 2017)

Empfehlung: Die Imputationsmethode auf automatisch lassen, da SPSS anhand der vorliegenden Daten entscheidet, welche Methode am besten geeignet ist.

Reiter „Nebenbedingungen“: (IBM Corp., 2017)

Dient dazu, die Plausibilität der imputierten Werte sicherzustellen, indem beispielsweise Wertebereiche und Rundungen festgelegt werden können.

a) Daten durchsuchen: Dient der Erleichterung des Festlegens des Wertebereichs, da nun Minimum und Maximum der Originaldaten angezeigt wird.

b) Rolle der Variablen im Drop-Down-Menü festlegen:

b 1.) Imputieren und als Prädiktor verwenden, wenn bei dieser Variablen sowohl fehlende Werte ergänzt als auch durch diese die Vorhersage der anderen beeinflusst werden soll.

b 2.) Nur imputieren, wenn diese Variable die anderen Ergänzungen nicht beeinflussen soll.

b) 3. Nur Prädiktor, wenn keine Werte ergänzt werden müssen oder sollen.

c) Bei Bedarf Minimum, Maximum und Runden angeben (nur für metrische Variablen!). Die Angabe eines Minimums und Maximums ist besonders bei unmöglichen negativen Werten (z.B. Einkommen) nützlich. Die Rundung ist z.B. bei Personenzahl hilfreich.

d) Maximale Fallziehungen: Kann bei Bedarf erhöht werden, wenn die Standardeinstellung nicht ausreicht. Sollte die Standardeinstellung nicht ausreichen, gibt es in der Ausgabedatei einen Hinweis.

Abbildung 23: Vorgehen der multiplen Imputation in SPSS

Eigene Darstellungen, Quelle: (IBM®, 2020)

Reiter „Ausgabe“: (IBM Corp., 2017)

a) Haken bei Imputationsmodell (zur Prüfung des Vorgehens) setzen.

b) Haken bei Beschreibende Statistiken für Variablen mit imputierten Werten (zur Prüfung der imputierten Werte) setzen.

Interpretation der multiplen Imputation

Hier werden die Imputationsspezifikation und Imputationsergebnisse zur Kontrolle der Imputation angezeigt.

Alle angeforderten Variablen sollten angezeigt und imputiert werden. Die Reihenfolge der Variablen in der Imputationssequenz sollte mit der Reihenfolge der Variablen auf der x- Achse im Diagramm „Muster fehlender Werte“ übereinstimmen. (IBM Corp., 2017)

Die Imputationsbedingungen dienen zur Kontrolle der Nebenbedingungen. Man sollte überprüfen, ob die Rollen, das Minimum, das Maximum und die Rundungen stimmen. (IBM Corp., 2017)

Bei dem Imputationsmodell handelt es sich nur um einen Auszug der ursprünglichen Daten. Die Imputationsmodelle dienen ebenfalls zur Kontrolle des Imputationsvorgangs.

Die Variablen werden in der Reihenfolge der Imputations-sequenz aufgeführt. Die Lineare Regression wird üblicherweise als Modell für die metrische Variablen und die logistische Regression als Modell für kategoriale Variablen verwendet. Die Anzahl an imputierten Werten ergibt sich aus der Multiplikation von fehlenden Werten und der Anzahl der Imputationen. (IBM Corp., 2017)

In diesen Tabellen (Auszug) zur deskriptiven Statistik gibt es eine Zusammenfassung der einzelnen imputierten Werte für jede Variable. Der Tabellentyp ist abhängig davon, ob die Variable metrisch oder kategorial ist (hier metrisch):

Für metrische Variablen: Mittelwert, Standardabweichung und Extremwerte

Für kategoriale Variablen: Anzahl und Prozent nach Kategorie

(IBM Corp., 2017)

Die folgende Abbildung beschreibt den neuen Datensatz, der sich automatisch öffnet:

Abbildung 24: Interpretation SPSS Output multiple Imputation

Eigene Darstellung, Quelle: (IBM®, 2020)

Oben rechts im Drop-Down-Menü findet man die Originaldaten (mit fehlenden Werten) sowie die einzelnen Imputationen mit den markierten imputierten Werten. Nun kann man mit der eigentlichen Analyse der Daten beginnen. Zu beachten ist, dass die Ergebnisse der zukünftigen Analysen für die Originaldaten, jeden imputierten Datensatz und in einer Kombination aller angezeigt wird.

Allgemeine Handlungsempfehlung

✔ Variablen können gelöscht werden, wenn nur wenige Variablen fehlende Werte haben und diese Variablen für die weitere Analyse entbehrlich sind.

✔ Listenweiser Fallausschluss vornehmen, wenn große Stichprobe vorhanden ist, es wenig fehlende Werte gibt und die Daten nach MCAR fehlen.

✔ Bei MNAR: Aktuell ist keine adäquate Methode verfügbar (Multiple Imputation aber als beste Lösung).

✔ Multiple Imputation ist in den meisten Fällen die momentan beste Lösung zum Ergänzen der fehlenden Werte für alle Daten unabhängig von der Zufälligkeit (MCAR, MAR und MNAR).

Die Clusteranalyse

Einführung

Die Clusteranalyse ist ein exploratives Verfahren der multivariaten Analysemethoden. Das primäre Ziel besteht in der Entdeckung von Strukturen im Datensatz. Es werden Objekte (Personen, Merkmale, etc.) zu Clustern (Gruppen) klassifiziert. Somit schafft die Clusteranalyse eine vereinfachte Perspektive durch Gruppierung. (Backhaus, et al., 2008, S. 391) & (Bühl, 2014, S. 633-634)

Anstatt dass jede Beobachtung als einzigartig angesehen wird, können sie als Mitglieder einer Gruppe (Cluster) gesehen werden, die bestimmte Eigenschaften aufweist. Die Objekte in den Clustern sind möglichst homogen (ähnlich) und unterscheiden sich von anderen Gruppen deutlich (heterogen). Die Clusteranalyse kann bei der Formulierung von Hypothesen, die sich auf die Struktur von Objekten beziehen, verwendet werden. (Backhaus, et al., 2008, S. 391) & (Bühl, 2014, S. 633-634)

Die Clusteranalyse findet vor allem da Anwendung, wo die Frage nach der Ähnlichkeit von Objekten gestellt wird (z.B. Biologie). Auch im Marketing ist die Clusteranalyse, z.B. in der Erkennung von Kundengruppen, von Bedeutung. Im Unterschied zur Faktorenanalyse gruppiert die Clusteranalyse Objekte aufgrund von Distanz bzw. Ähnlichkeit. Bei der Faktorenanalyse wurden Variablen aufgrund der Korrelation reduziert und zusammengefasst (Backhaus, et al., 2008, S. 391). & (Bühl, 2014, S. 633-634)

Abbildung 25: Die Clusteranalyse

Eigene Darstellung, Quelle: vgl. (Kurdi, Al-Khafagi, & Elzein, 2018)

Vorbereitung der Daten

Bei der Frage: Wie viele Objekte Teil der Clusteranalyse sein sollen?, hängt die Antwort von der Untersuchungsfrage ab: Ist das Ziel der Untersuchung auch kleine Gruppen zu identifizieren oder sollen alle möglichen Gruppen erkannt werden, um ein möglichst repräsentatives Ergebnis zu erhalten?

Der Forscher muss sich ganz genau fragen, welche Variablen relevant sind, um die angemessene Zahl an Variablen zu finden. Gibt es zu viele mit der Clusteranalyse untersuchte Variablen, könnten einige Eigenschaften überrepräsentiert sein. Gibt es zu wenige Variablen, könnten relevante Merkmale fehlen, weil sie nicht untersucht wurden.

(Janssen & Laatz, 2017, S. 519)

Abbildung 26: Abwägung Variablenzahl

Eigene Darstellung

Der Forscher sollte vorsichtig sein bei Variablen, bei denen: (Janssen & Laatz, 2017, S. 519)

Werte fehlen (Lösung: siehe Analyse fehlender Werte),

die konstant sind (Lösung: ausschließen),

Ausreißer besitzen (Lösung: grafisch oder mittels Single-Linkage-Verfahren ermitteln),

untereinander korreliert (Lösung: ausschließen oder Faktorenanalyse vorschalten) und

nicht standardisiert sind (Lösung: z-standardisieren).

Voraussetzung für Clusteranalyse

Ausreichende Stichprobengröße:

Die Stichprobe muss ausreichend groß sein, um die Gruppen in der Grundgesamtheit und die Struktur in den Daten zu repräsentieren. Bei kleinen Stichproben ist die Differenzierung zwischen Ausreißer und Vertreter kleiner Gruppen schwerer zu erkennen.

Somit sind in großen Stichproben auch die Wahrscheinlichkeiten größer, dass kleine Gruppen auch genug Fälle aufweisen. Man sollte immer beachten, dass die Clusteranalyse sehr sensibel auf die Einbeziehung von irrelevanten Variablen und Ausreißern reagiert. (Hair J. , Black, Babin, & Anderson, 2010, S. 518-525)

Ausreißer identifizieren:

Ausreißer verzerren die Struktur in den Daten und machen die gebildeten Cluster nicht repräsentativ. Ausreißer lassen sich am besten mit einem Liniendiagramm und Single-Linkage Verfahren entdecken. Ausreißer sollten in jedem Fall auf ihre Repräsentativität geprüft werden und ggf. herausgenommen werden. Es sollte aber immer mit Vorsicht vorgegangen werden, wenn Ausreißer rausgenommen werden, da so die Struktur in den Daten verzerrt werden könnte. (Hair, 2010, S. 518-525)

Standardisierung vornehmen:

Viele Clusteranalysen mit Distanzmaßen (siehe Kapitel zu Ähnlichkeit/Distanz) sind sensitiv gegenüber unterschiedlichen Größenordnungen in den Variablen. Durch die z-Transformation wird es leichter, Variablen mit unterschiedlichen Größenordnungen zu unterscheiden, weil alle Werte, unabhängig von ihrer Verteilung und ursprünglichen Maßeinheit, einen Mittelwert von 0 und eine Standardabweichung von 1 aufweisen. Die Standardisierung ist eher nicht notwendig, wenn alle Variablen mit der gleichen Antwortskala gemessen werden. Die Standardisierung hat also große Bedeutung, wenn Variablen mit unterschiedlichen Messskalen gemessen werden. Die Entscheidung der Standardisierung sollte auf empirischen und konzeptuellen Problemen basieren, welche die Ziele des Forschers und die empirischen Eigenschaften der Daten reflektieren. (Hair, 2010, S. 518-525)

Das Vorgehen bei der Clusteranalyse

Erstellung der Proximitätsmatrix

(Bestimmung Ähnlichkeit/ Distanz zwischen Objekten)

Auswahl des Clusterverfahrens

Festlegung der Clusteranzahl

Clusterdiagnose

1) Erstellung der Proximitätsmatrix

Ausgangspunkt der Clusteranalyse ist die Rohdatenmatrix. Daraus erstellt man eine Proximitätsmatrix. Diese Quantifiziert die Ähnlichkeit zwischen den Objekten.

Abbildung 27: Rohdatenmatrix in Ähnlichkeitsmatrix überführen

Eigene Darstellung, Quelle: vgl. (Backhaus, Erichson, Plinke, & Weiber, 2008, S. 393)

Die Distanz- und Ähnlichkeitsmatrix enthält Ähnlichkeits- oder Unähnlichkeitswerte (Distanzwerte). Die Werte werde durch Proximitätsmaße bestimmt (Unterscheidung in Ähnlichkeits- und Distanzmaße). Je größer der Wert eines Ähnlichkeitsmaßes, desto ähnlicher sind sich zwei Objekte.

Sind zwei Objekte vollkommen identisch, ergibt sich eine Distanz von Null. (Backhaus, et al., 2008, S. 394) & (Hair, 2010, S. 520-521)

Wichtig!

Ähnlichkeitsmaß: misst die Ähnlichkeit zwischen zwei Objekten. Je größer der Wert eines Ähnlichkeitsmaßes, desto ähnlicher sind sich die Objekte.

Distanzmaß: misst die Unähnlichkeit/ Distanz zwischen zwei Objekten. Je größer der Wert eines Distanzmaßes, desto unähnlicher sind sich die Objekte. (Backhaus, et al., 2008, S. 394) & (Hair, 2010, S. 520-521)

Abbildung 28: Ähnlichkeits- und Distanzmaß,

Eigene Darstellung

Die Ähnlichkeitsmaße kann man in SPSS unterscheiden in:

Variablen mit binärer Ausprägung

(dichotome Merkmale)

Variablen mit nominalem Skalenniveau

(Häufigkeitsdaten)

Variablen mit metrischen Skalenniveau

SPSS Befehl: Analysieren