Axel Bruns

Geschichte der Mathematik

Woher die Mathematik kommt

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Inhaltsverzeichnis

Titel

Die Geschichte der Mathematik

Die Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Geschichte der Algebra

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Die Geschichte der Mathematik

Die Geschichte der Mathematik reicht zurück bis ins Altertum und den Anfängen des Zählens in der Jungsteinzeit. Nachweise erster Anfänge von Zählverfahren reichen ca. 50.000 Jahre zurück. Der vor über 4500 Jahren im Alten Ägypten einsetzende Pyramidenbau mit seinen exakt berechneten Formen ist ein deutliches Anzeichen für das Vorhandensein von bereits weitreichenden mathematischen Kenntnissen. Im Gegensatz zur Mathematik der Ägypter, von der wegen der empfindlichen Papyri nur wenige Quellen existieren, liegt von der babylonischen Mathematik in Mesopotamien ein Bestand von etwa 400 Tontafeln vor. Die beiden Kulturräume hatten zwar unterschiedliche Zahlensysteme, kannten aber beide die vier Grundrechenarten sowie Annäherungen für die Kreiszahl Pi.

Mathematische Belege aus China sind deutlich jüngeren Datums, da Dokumente durch Brände vernichtet wurden, ähnlich schlecht lässt sich die frühe indische Mathematik datieren. Im antiken Europa wurde die Mathematik von den Griechen als Wissenschaft im Rahmen der Philosophie betrieben. Aus dieser Zeit datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und der erste Ansatz einer Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Arabische Mathematiker griffen die von den Römern eher vernachlässigten griechischen, aber auch indische Erkenntnisse auf und begründeten die Algebra. Von Spanien und Italien aus verbreitete sich dieses Wissen in die europäischen Klosterschulen und Universitäten.

Die früheren Annahmen, dass sich die altägyptische Mathematik erst sehr spät entwickelte, sind heute nicht mehr haltbar. Nahezu gleichzeitig mit den ältesten Schriften in Mesopotamien und Vorderasien entstand etwa um 3000 v. Chr. in Ägypten die Hieroglyphenschrift aus der Notwendigkeit heraus, mit dem Entstehen des Zentralstaates den Anforderungen an das Festhalten von Vorgängen in Verwaltung und Wirtschaft durch Aufzeichnungen gerecht werden zu können. Damit entstanden auch die Zeichen für Zahlen und es begann sich die Mathematik zu entwickeln. Bereits im ausgehenden 4. Jt. v. Chr. besaßen die Ägypter mathematische Kenntnisse und Methoden zur Bewältigung täglicher Anforderungen, welche die quantitativen Verhältnisse und räumlichen Beziehungen in der objektiven Realität betrafen. So sind zugleich mit den ersten Belegen für die Benutzung der Hieroglyphenschrift auch die ersten Zahlenzeichen nachweisbar. Nach der Reichseinigung wurden etwa bis zur 3. Dynastie aufgrund der Anforderungen der Staatsverwaltung die für die ägyptische Mathematik erforderlichen Entdeckungen gemacht und die entsprechenden Rechenverfahren bildeten sich heraus.

Später erfolgten nur noch Verfeinerungen.Ohne mathematische Kenntnisse wäre der Pyramidenbau ab ca. 2650 v. Chr. nicht möglich gewesen. Die exakt berechneten Pyramiden sind ein deutliches Anzeichen für die weitreichenden mathematischen Kenntnisse im Alten Ägypten. Ägyptische Zahlen beruhten, wie römische Zahlen, auf einem additiven System, das für die Null kein eigenes Zeichen und keine Positionswertbeschreibung kannte. Neben Addition und Subtraktion waren auch Stammbrüche und das Lösen von Gleichungen mit einer Variablen bekannt. Auch für die Multiplikation und Division haben die alten Ägypter Verfahren gekannt, wie Rechenaufgaben des Papyrus Rhind zeigen.Im Gegensatz zu Funden derselben Epoche aus Mesopotamien sind aus Ägypten aus dem Alten Reich nur wenige mathematische Berechnungen belegt. So ist in einer Grabinschrift aus dem Grab des Metjen in Saqqara aus der Übergangszeit von der dritten zur vierten Dynastie die Berechnung der Fläche eines Rechtecks überliefert.

Gefundene Zahlen in Tempeln und auf Steindenkmälern geben jedoch wenig Einblick in die vorgenommenen Rechenarten. Gründe liegen in der umständlichen und mühsamen Schreibung von mathematischen Gleichungen auf nicht geeignetem Untergrund. Mit Einführung der Papyri erweitern sich ab der zweiten Hälfte des Mittleren Reiches die Befunde für mathematische Nachweise.Die Babylonische Mathematik wurde von den verschiedenen Bewohnern des Zweistromlandes (Mesopotamien, heute Irak) entwickelt. Ihr Beginn lag vermutlich in den Tagen der frühen Sumerer, und ihre Entwicklung setzte sich bis zur Eroberung von Babylon durch die Perser im Jahr 539 v. Chr. fort. Im Gegensatz zur Mathematik der Ägypter, von der wegen der empfindlichen Papyri nur wenige Quellen existieren, liegt von der babylonischen Mathematik ein Bestand von etwa 400 Tontafeln vor, der seit etwa 1850 ausgegraben wurde. Darauf beruht unser Wissen. Die Aufzeichnungen wurden mit Keilschrift in den noch weichen Ton geritzt und gebrannt oder in der Sonne getrocknet. Die Mehrzahl der gefundenen Tafeln stammen aus dem Zeitraum zwischen 1800 und 1600 v. Chr. und behandeln Themen wie Brüche, Algebra, quadratische und kubische Gleichungen, den Satz des Pythagoras und Pythagoreische Tripel. Auf der Tafel YBC 7289 findet sich eine Näherung für Wurzel 2 mit einer Genauigkeit von sechs Dezimalstellen.Die ältesten Zeugnisse schriftlich überlieferter Mathematik stammen von den Sumerern, die in Mesopotamien eine der frühesten bekannten Kulturen entwickelt haben. Aus dieser Zeit stammt ein leistungsfähiges Maßsystem.

Seit 2600 v.Chr. sind Multiplikationstabellen, geometrische und arithmetische Aufgaben nachgewiesen.Die chaldäische Periode ist diejenige des Neubabylonischen Reichs (626-539 v. Chr.). Dies war die zweite Blütezeit der Stadt Babylon. Die Stadt war Hauptstadt des Reichs und Zentrum der Wissenschaft. Die Quellenlage für diese Zeit ist jedoch ungünstiger.Seit der Wiederentdeckung der babylonischen Kultur ist offensichtlich geworden, dass die griechischen Astronomen, besonders Hipparchos, über Informationen aus chaldäischen Quellen verfügten.Franz Xaver Kugler wies in seinem Buch Die Babylonische Mondrechnung nach, dass Mondphasen schon in babylonischen Ephemeridentabellen auftauchen, die nach Ptolemäus (Almagest IV.2) von Hipparchos und ihm selbst unter Berücksichtigung älterer Beobachtungen der „Chaldäer“ verbessert wurden. Nach Kugler tauchen diese Werte in einer Tafelsammlung auf, die heute als „System B“ bekannt ist und die manchmal dem Astronomen Kiddinu zugeschrieben wird. Offensichtlich haben Ptolemäus und Hipparchos die älteren Werte lediglich durch aktuelle Beobachtungen überprüft.Wir wissen, dass Hipparchos und später Ptolemäus über im Wesentlichen vollständige Listen von Finsternissen über mehrere Jahrhunderte verfügt hatten. Diese Listen stammen wahrscheinlich von Tontafeln, die sämtliche relevanten Beobachtungen enthalten, die von den Chaldäern routinemäßig aufgezeichnet wurden. Erhaltene Tafeln sind zwischen 652 v. Chr. bis 130 n. Chr. datiert, aber die Aufzeichnungen gingen wahrscheinlich bis in die Regierungszeit des Königs Nabonassar von Babylon zurück. Bei Ptolemäus beginnt die Aufzeichnung am ersten Tag des ägyptischen Kalenders der ersten Regierungsjahre von Nabonassar, also am 26. Februar 747 v. Chr.Die Rohdaten waren wahrscheinlich schwer benutzbar, sodass Exzerpte hergestellt wurden. So hat man z. B. Tafeln mit allen Finsternisereignissen aufgefunden. Konkret gibt es eine Tafel mit allen Finsternissen eines Saroszyklus. Damit konnten periodische Wiederholungen astronomischer Ereignisse identifiziert werden. Im System B wurden folgende Perioden gefunden (Almagest IV.2):    223 synodische Monate = 239 anomalistische Monate = 242 drakonitische Monate. Diese Periode heißt heute der Saroszyklus und wird zur Vorhersage von Finsternissen benutzt.    251 synodische Monate = 269 anomalistische Monate    5458 synodische Monate = 5923 drakonitische Monate    1 synodischer Monat = 29;31:50:08:20 Tage (sexagesimal; Dezimalwert: 29,53059413… Tage = 29 Tage 12 Stunden 44 min 3? s)Von den Babyloniern wurden alle Perioden in synodischen Monaten ausgedrückt, da wahrscheinlich ein lunisolarer Kalender verwendet wurde. Verschiedene Beziehungen von Phänomenen im Jahresverlauf führten zu mehreren Werten der Jahreslänge.Auch für andere Planeten waren mehrere Messwerte für deren Umläufe um die Sonne bekannt. Die Werte, die Ptolemäus dem Astronomen Hipparchos im Almagest IX.3 zuschreibt, existierten schon auf älteren babylonischen Tafeln als Voraussagen.Unklar ist, wann, inwieweit und auf welchen Wegen Teile dieses Wissens den Griechen zugänglich wurden.

Dies war nur dadurch möglich, dass babylonische Gelehrte Werke in griechischer Sprache verfassten, denn die Griechen pflegten keine Fremdsprachen zu lernen und konnten keine Keilschrifttexte lesen.Nach einer aus der Antike stammenden, aber unter Wissenschaftshistorikern umstrittenen Überlieferung beginnt die Geschichte der Mathematik als Wissenschaft mit Pythagoras von Samos. Ihm wird – allerdings wohl zu Unrecht – der Grundsatz „Alles ist Zahl“ zugeschrieben. Er begründete die Schule der Pythagoreer, aus der später Mathematiker wie Hippasos von Metapont und Archytas von Tarent hervorgingen. Im Unterschied zu den Babyloniern und Ägyptern hatten die Griechen ein philosophisches Interesse an der Mathematik. Zu den Erkenntnissen der Pythagoreer zählt die Irrationalität von geometrischen Streckenverhältnissen, die von Hippasos entdeckt worden sein soll. Die früher verbreitete Ansicht, dass die Entdeckung der Irrationalität bei den Pythagoreern eine philosophische „Grundlagenkrise“ auslöste, da sie ihre früheren Überzeugungen erschütterte, wird jedoch von der heutigen Forschung verworfen. Die antike Legende, wonach Hippasos Geheimnisverrat beging, indem er seine Entdeckung veröffentlichte, soll aus einem Missverständnis entstanden sein.In der Platonischen Akademie in Athen stand die Mathematik hoch im Kurs. Platon schätzte sie sehr, da sie dazu diente, wahres Wissen erlangen zu können. Die griechische Mathematik entwickelte sich danach zu einer beweisenden Wissenschaft.Aristoteles formulierte die Grundlagen der Aussagenlogik. Eudoxos von Knidos schuf mit der Exhaustionsmethode zum ersten Mal eine rudimentäre Form der Infinitesimalrechnung. Wegen des Fehlens von reellen Zahlen und Grenzwerten war diese Methode allerdings recht unhandlich. Archimedes erweiterte diese und berechnete damit unter anderem eine Näherung für die Kreiszahl PI.Euklid fasste in seinem Lehrbuch Elemente einen Großteil der damals bekannten Mathematik (Geometrie und Zahlentheorie) zusammen.

Unter anderem wird darin bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dieses Werk gilt als Musterbeispiel für mathematisches Beweisen: aus wenigen Vorgaben werden alle Ergebnisse in einer Strenge hergeleitet, die es zuvor nicht gegeben haben soll. Euklids „Elemente“ wird auch noch heute nach über 2000 Jahren als Lehrbuch verwendet.Im Gegensatz zu den Griechen befassten sich die antiken Römer kaum mit Mathematik. Bis zur Spätantike blieb die Mathematik weitgehend eine Domäne der griechischsprachigen Bewohner des Reichs, der Schwerpunkt mathematischer Forschung lag in römischer Zeit auf Sizilien und in Nordafrika, dort vor allem in Alexandria. Die letzte, namentlich bekannte Mathematikerin in Alexandria war Hypatia, die 415 von einem christlichen Pöbel hingerichtet wurde.Das erste noch erhaltene Lehrbuch chinesischer Mathematik ist das Zhoubi suanjing. Es wurde während der Han-Dynastie, zwischen 206 v. Chr. bis 220 n. Chr., von Liu Hui ergänzt, da infolge der Bücher- und Urkundenverbrennungen während der Qin-Dynastie die meisten mathematischen Aufzeichnungen zerstört waren und aus dem Gedächtnis heraus wieder aufgeschrieben wurden. Die mathematischen Erkenntnisse werden bis in das 18. Jahrhundert v. Chr. datiert. Es folgten später bis 1270 n. Chr. weitere Ergänzungen. Es enthält außerdem einen Dialog über den Kalender zwischen Zhou Gong Dan, dem Herzog von Zhou, und dem Minister Shang Gao.Fast genauso alt ist „Jiuzhang Suanshu“ („Neun Kapitel über mathematische Kunst“), welches 246 Aufgaben über verschiedene Bereiche enthält; unter anderem ist darin auch der Satz des Pythagoras zu finden, jedoch ohne jegliche Beweisführung.Die Chinesen verwandten ein dezimales Stellenwertsystem aus waagerechten und senkrechten Strichen (Suan Zi, Rechnen mit Pfählen genannt)[4] geschrieben; um 300 n. Chr. errechnete Liu Hui über ein 3072-Eck die Zahl 3,14159 als Näherung für π.Den Höhepunkt erreichte die chinesische Mathematik im 13. Jahrhundert.

Der bedeutendste Mathematiker dieser Zeit war Zhu Shijie mit seinem Lehrbuch Siyuan Yujian („Kostbarer Spiegel der vier Elemente“), das algebraische Gleichungssysteme und algebraische Gleichungen vierzehnten Grades behandelte und diese durch eine Art Hornerverfahren löste. Nach dieser Periode kam es zu einem jähen Abbruch der Mathematik in China. Um 1600 griffen Japaner die Kenntnisse in der Wasan (Japanische Mathematik) auf. Ihr bedeutendster Mathematiker war Seki Takakazu (um 1700). Mathematik wird als geheime Tempelwissenschaft betrieben.Datierungen sind, dem Bonmot des Indologen W. D. Whitney zufolge, in der gesamten indischen Geschichte außerordentlich problematisch.[5]Die ältesten Andeutungen über geometrische Regeln zum Opferaltarbau finden sich bereits im Rig Veda. Doch erst mehrere Jahrhunderte später entstanden (d. h. wurden kanonisiert) die Sulbasutras („Seilregeln“, geometrische Methoden zur Konstruktion von Opferaltären) und weitere Lehrtexte wie beispielsweise die Silpa Sastras (Regeln zum Tempelbau) usw. Möglicherweise halbwegs verlässlich datiert auf etwa um 500 n. Chr. das Aryabhatiya und verschiedene weitere „Siddhantas“ („Systeme“, hauptsächlich astronomische Aufgaben).Doch waren es jedenfalls die Inder, die das uns vertraute dezimale Positionssystem, d. h. die Polynomschreibweise zur Basis 10 sowie dazugehörende Rechenregeln entwickelten. Schriftliches Multiplizieren etwa in babylonischer, ägyptischer oder römischer Zahlnotation ist außerordentlich kompliziert und arbeitet mittels Substitution; d. h. mit vielen auf die Notation bezogenen Zerlegungs- und Zusammenfassungsregeln, während sich in indischen Texten viele „elegante“ und einfache Verfahren beispielsweise auch schon zum schriftlichen Wurzelziehen finden.Unsere Zahlzeichen (Indische Ziffern) für die Dezimalziffern leiten sich direkt aus der indischen Devanagari ab. Die früheste Verwendung der Ziffer 0 wird vorsichtig auf etwa 400 n. Chr. datiert; Aryabhata um 500 und Bhaskara um 600 verwenden sie jedenfalls bereits ohne Scheu, sein Zeitgenosse Brahmagupta rechnet sogar mit ihr als Zahl und kennt negative Zahlen.Bezüglich der Benennung der Zahlzeichen herrscht etwas Konfusion: Die Araber nennen diese (adoptierten Devanagari-) Ziffern indische Zahlen, wir Europäer auf Grundlage der mittelalterlichen Rezeptionsgeschichte arabische Zahlen und die Japaner aus analogem Grund Romaji, d. h. lateinische oder römische Zeichen (zusammen mit dem lat. Alphabet). Doch unter 'römischen Zahlen' verstehen Europäer wiederum etwas ganz anderes…Mit der Ausbreitung des Islams nach Osten übernimmt um etwa 1000 bis spätestens 1200 die muslimische Welt viele der indischen Erkenntnisse, islamische Wissenschaftler übersetzen indische Werke ins Arabische, die über diesen Weg auch nach Europa gelangen. Ein Buch des persischen Mathematikers Muhammad ibn Musa Chwarizmi wird im 12. Jahrhundert in Spanien ins Lateinische übersetzt; erste Verwendung der indischen Ziffern („figurae Indorum“) von italienischen Kaufleuten; um 1500 bekannt in Deutschland.Andere bedeutende Mathematiker: Brahmagupta (um 600), Bhaskara II (Bhaskaracarya, um 1150, Buch „Lilavati“); ab 1200 n. Chr.In der islamischen Welt bildete für die Mathematik die Hauptstadt Bagdad das Zentrum der Wissenschaft.

Die muslimischen Mathematiker übernahmen die indische Positionsarithmetik und den Sinus und entwickelten die griechische und indische Trigonometrie weiter, ergänzten die griechische Geometrie und übersetzten und kommentierten die mathematischen Werke der Griechen. Die bedeutendste mathematische Leistung der Muslime ist die Begründung der heutigen Algebra.Diese Kenntnisse gelangten über Spanien, die Kreuzzüge und den italienischen Seehandel nach Europa, dort (z. B. in Toledo → „Übersetzerschule von Toledo“) wurden viele der arabischen Schriften ins Lateinische übertragen;    Frühzeit; Al-Chwarizmi (um 820 n. Chr.), Name steckt im Wort „Algorithmus“ (Rechnen nach Art des Algorismi), schreibt De numero indorum in dem das indische Positionssystem beschrieben ist und Al-dschabr wa'l muqabalah (Aufgabensammlung für Kaufleute und Beamte, steckt im Wort „Algebra“); andere Mathematiker: Thabit Ibn Qurra, Al-Battani (Albategnius), al-Jawhari, Abu'l Wafa    Hochblüte; um 1000 n. Chr.; Al-Karagi erweitert die Algebra; der persische Mediziner, Philosoph und Mathematiker Ibn Sina (Avicenna) betont die Bedeutung der Mathematik; Al-Biruni; Ibn al-Haitham (Alhazen);    Spätzeit; Der persische Dichter und Mathematiker Omar Khayy?m „der Zeltmacher“ (um 1100) verfasst ein Lehrbuch für Algebra; Nasir Al-din al-Tusi (um 1250); Al-Kashi (um 1400);Die einzige schriftliche Überlieferung der Mathematik der Maya stammt aus dem Dresdner Kodex. Das Zahlensystem der Maya beruht auf der Basis 20. Als Grund dafür wird vermutet, dass die Vorfahren der Maya mit Fingern und Zehen zählten. Die Maya kannten die Zahl 0, aber verwendeten keine Brüche. Für die Darstellung von Zahlen verwendeten sie Punkte, Striche und Kreise, die für die Ziffern 1, 5 und 0 standen. Die Mathematik der Maya war hochentwickelt, vergleichbar mit den Hochkulturen im Orient. Sie verwendeten sie zur Kalenderberechnung und für die Astronomie. Der Maya-Kalender war der genaueste seiner Zeit.Das Mittelalter als Epoche der europäischen Geschichte begann etwa mit dem Ende des römischen Reiches und dauerte bis zur Renaissance. Die Geschichte dieser Zeit war bestimmt durch die Völkerwanderung und den Aufstieg des Christentums in Westeuropa. Der Niedergang des römischen Reiches führte zu einem Vakuum, das in Westeuropa erst durch den Aufstieg des Frankenreiches kompensiert wurde. Im Zuge der Gestaltung einer neuen politischen Ordnung durch die Franken kam es zu der sogenannten karolingischen Renaissance. Das Wissen des Altertums wurde zunächst in Klöstern bewahrt. Klosterschulen wurden im späteren Mittelalter von Universitäten als Zentren der Gelehrsamkeit abgelöst. Eine wichtige Bereicherung der westeuropäischen Kultur erfolgte unter dem Einfluss der arabischen Tradition, indem die arabische Überlieferung und Weiterentwicklung griechischer Mathematik, Medizin und Philosophie sowie die arabische Adaption indischer Mathematik und Ziffernschreibung auf dem Weg von Übersetzungen ins Lateinische im Westen bekannt wurden.

Die Kontakte zu arabischen Gelehrten und deren Schriften ergaben sich einerseits als Folge der Kreuzzüge in den Vorderen Orient und andererseits durch die Kontakte mit den Arabern in Spanien und Sizilien, hinzu kamen Handelskontakte besonders der Italiener im Mittelmeerraum, denen zum Beispiel auch Leonardo da Pisa („Fibonacci“) einige seiner mathematischen Kenntnisse verdankte.An der Grenze zwischen dem römischen Reich und dem beginnenden Neuen steht Boëthius (ca. 480–524). Seine Einführung in die Arithmetik bildete die Grundlage für den Unterricht dieses Faches bis zum Ausgang des Mittelalters; ebenfalls einflussreich, wenn auch in geringerem Maße, war seine Einführung in die Geometrie. Im Jahre 781 berief Karl der Große den Gelehrten Alkuin von York (735–804) zum Leiter seiner Hofschule, der das Bildungswesen des Frankenreiches aufbauen sollte. Man nannte ihn auch den Lehrer der West-Franken. Im östlichen Frankenreich begründete ein Schüler Alkuins das Schulwesen, der aus Mainz stammende Rabanus Maurus. Mathematische Lehrinhalte wurden gemäß der Einteilung der Sieben Freien Künste in den vier Fächern des Quadriviums gelehrt:    Arithmetik: Die Eigenschaften und Arten der Zahlen (z. B. gerade, ungerade, Primzahlen, Flächen- und Körperzahlen) sowie Proportionen und Zahlenverhältnisse, jeweils nach Boëthius, außerdem Grundkenntnisse über griechische und lateinische Zahlschrift, Grundrechenarten, Fingerrechnen und im 11.–12. Jahrhundert Abakusrechnen, seit dem 13. Jahrhundert auch schriftliches Rechnen mit arabischen Ziffern    Geometrie: Elemente euklidischer Geometrie, Mess- und Vermessungswesen, Geographie und z. T. auch Geschichte    Astronomie: Grundkenntnisse der Ptolemäischen Astronomie und z. T. auch Astrologie, seit dem 10. Jahrhundert Benutzung des Astrolabs, außerdem Komputistik zur Berechnung des Ostertermins und der beweglichen Feste des Kirchenjahres   

Musik: Harmonielehre nach den Zahlenverhältnissen der antiken KirchentonartenBekannt sind folgende in Klöstern entstandenen Rechenbücher: Aufgaben zur Schärfung des Geistes Jugendlicher (um 800) (früher Alkuin von York zugeschrieben), die Aufgaben aus den Annales Stadenses (Kloster Stade) (um 1180) und die Practica des Algorismus Ratisbonensis (Kloster Emmeran Regensburg) (um 1450).Die Berechnung des Termins für das Osterfest, das wichtigste Fest des Christentums, spielte im Mittelalter eine große Rolle für die Weiterentwicklung der Mathematik. Karl der Große verfügte, dass sich in jedem Kloster ein Mönch mit der Komputistik befasste. Dadurch sollte das Wissen um die Berechnung des Osterdatums sichergestellt werden. Die genaue Berechnung des Termines und die Entwicklung des modernen Kalenders wurde durch diese Mönche weiterentwickelt, die Grundlagen übernahm das Mittelalter von Dionysius Exiguus (ca. 470 bis ca. 540) und Beda Venerabilis (ca. 673–735). Im Jahre 1171 publizierte Reinher von Paderborn eine verbesserte Methode zur Berechnung des Osterdatums.Die frühmittelalterlichen Klosterschulen wurden erst im weiteren Verlauf des Mittelalters ergänzt durch die Kathedralschulen, die Schulen der beiden Bettelorden und die Universitäten. Sie waren deshalb zunächst die einzigen Träger des antiken Kulturerbes, indem sie für die Abschrift und Verbreitung der antiken Werke sorgten. Die Abschrift, Kommentierung und kompilierende Aufbereitung des Lehrguts blieb lange Zeit die einzige Form der Auseinandersetzung mit den Themen der Mathematik. Erst im Hochmittelalter entwickelte sich die in Ansätzen kritischere Methode der Scholastik, mit der Lehrmeinungen in ihrem pro und contra auf Widersprüche überprüft und diese nach Möglichkeit in Übereinstimmung mit den als grundlegend erachteten Standpunkten der kirchlichen und antiken Autoritäten aufgelöst wurden.Diese Methode wird ab dem 12. Jahrhundert auf die Darstellungen der antiken Wissenschaft angewendet, insbesondere die des Aristoteles.Im 12. Jahrhundert werden die Universitäten Paris und Oxford zum europäischen Zentrum der wissenschaftlichen Aktivitäten. Robert Grosseteste (1168–1253) und sein Schüler Roger Bacon (1214–1292) entwerfen ein neues Wissenschaftsparadigma. Nicht die Berufung auf kirchliche oder antike Autoritäten, sondern das Experiment soll die Bewertung der Korrektheit maßgeblich bestimmen. Roger Bacon wurde von Papst Clemens IV. im Jahre 1266 aufgefordert, ihm seine Ansichten und Vorschläge zur Behebung der Missstände in der Wissenschaft mitzuteilen.

Bacon verfasste als Antwort mehrere Bücher, darunter sein Opus Maius. Bacon weist auf die Bedeutung der Mathematik als Schlüssel zur Wissenschaft hin; er befasste sich insbesondere mit der Geometrie angewendet auf die Optik. Unglücklicherweise starb der Papst, bevor ihn das Buch erreichte. Ein weiterer wichtiger Beitrag Bacons betrifft die Kalenderreform, die er einforderte, die allerdings dann erst im Jahre 1582 als Gregorianische Kalenderreform durchgeführt wurde.Eine wichtige methodische Entwicklung in der Wissenschaft war die Quantifizierung von Qualitäten als Schlüssel für die quantitative Beschreibung von Vorgängen. Nikolaus von Oresme (1323–1382) war einer der Ersten, die sich weitergehend auch mit der Veränderung der Intensitäten beschäftigten. Oresme untersuchte verschiedene Formen der Bewegung. Er entwickelte eine Art funktionale Beschreibung, indem er Geschwindigkeit gegen Zeit auftrug. Er klassifizierte die unterschiedlichen Formen der Bewegungen und suchte nach funktionalen Zusammenhängen.Nikolaus von Kues (Nikolaus Cusanus)Oresme, aber auch Thomas Bradwardine (1295–1349), Wilhelm von Ockham (1288–1348), Johannes Buridan (ca. 1300 bis ca. 1361) und andere Gelehrte des Merton College untersuchten die funktionale Beschreibung der Zusammenhänge von Geschwindigkeit, Kraft, Ort, kurzum: sie beschäftigten sich mit Kinetik. Es wurden auch methodisch wichtige Fortschritte erzielt. Grosseteste formulierte das Prinzip der Uniformität der Natur, demzufolge Körper gleicher Beschaffenheit sich unter gleichen Bedingungen auf gleiche Weise verhalten. Hier wird deutlich, dass schon damals den Gelehrten bewusst war, dass die Umstände, unter denen bestimmtes Verhalten betrachtet wird, zu kontrollieren sind, wenn Vergleiche angestellt werden sollen. Weiterhin formulierte er das Prinzip der Ökonomie der Beschreibung, nach dem unter gleichen Umständen diejenige Argumentation vorzuziehen ist, die zum vollständigen Beweis weniger Fragen zu beantworten oder weniger Annahmen erfordert.

William Ockham war einer der größten Logiker der damaligen Zeit, berühmt ist Ockhams Rasiermesser, ein Grundsatz, der besagt, dass eine Theorie immer so wenig Annahmen und Begrifflichkeiten wie möglich enthalten soll.Man darf nicht vergessen, dass die Gelehrten der damaligen Zeit oft auch Theologen waren. Die Beschäftigung mit religiösen Fragen wie z. B. der Allmacht Gottes führte sie zu Fragen des Unendlichen. In diesem Zusammenhang ist Nikolaus von Kues (Nikolaus Cusanus) (1401–1464) zu nennen, der als einer der ersten, noch vor Galilei oder Giordano Bruno, die Unendlichkeit der Welt beschrieben hat. Sein Prinzip der coincidentia oppositorum zeugt von einer tiefgehenden philosophischen Beschäftigung mit dem Thema Unendlichkeit.Gegen Ende des Mittelalters entstanden die Kathedralen Europas, deren Bau ganz neue Anforderungen an die Beherrschung der Statik stellte und zu technologischen Höchstleistungen auf diesem Gebiet herausforderte. In diesem Zusammenhang wurden auch immer wieder geometrische Probleme behandelt. Ein wichtiges Lehrbuch, das die Architektur behandelt, ist das Bauhüttenbuch von Villard de Honnecourt. In späterer Zeit befasste sich auch Albrecht Dürer mit dieser Thematik.Im Bereich der Vermessungsgeometrie wurden während des gesamten Mittelalters stetige Fortschritte erzielt, besonders zu nennen sind hier im 11. Jahrhundert die Geometrie der Geodäten zurückgehend auf ein Buch des Boëthius, im 12. Jahrhundert die eher konventionelle Geometria practica von Hugo von St. Victor (1096–1141). Im 13. Jahrhundert wurde von Levi ben Gershon (1288–1344) ein neues Vermessungsgerät beschrieben, der sogenannte Jakobsstab.Mit dem Beginn einer Wirtschaft, die nicht auf Warentausch, sondern auf Geld basiert, entstanden neue Anwendungsgebiete der Mathematik. Dies gilt insbesondere für Italien, das zur damaligen Zeit ein Umschlagplatz für Waren von und nach Europa war, und dessen damals führende Rolle im Finanz- und Bankwesen sich noch heute in der Verwendung von Wörtern wie „Konto“, „brutto“ und „netto“ auswirkt. In diesem Zusammenhang ist besonders Leonardo da Pisa, genannt Fibonacci, und sein Liber abbaci zu nennen, der nichts mit dem Abacus als Rechenbrett zu tun hat, sondern gemäß einem zu dieser Zeit in Italien aufkommenden Sprachgebrauch das Wort abacus oder „abbacco“ als Synonym für Mathematik und Rechnen verwendet. In der Mathematik Fibonaccis vollzog sich eine für das Mittelalter singuläre Synthese aus kaufmännischem Rechnen, traditioneller griechisch-lateinischer Mathematik und neuen Methoden der arabischen und (arabisch vermittelten) indischen Mathematik. Mathematisch weniger anspruchsvoll, dafür mehr an den praktischen Erfordernissen von Bank- und Kaufleuten ausgerichtet, waren die zahlreichen Rechenbücher, die als Lehrbücher zur praktischen und merkantilen Arithmetik seit dem 14. Jahrhundert in italienischer Sprache verfasst wurden.Im Zuge der Reconquista werden die Mauren aus Europa vertrieben.

Ihre Mathematik lassen sie zurück und sie beeinflusst in der Folge die europäische Mathematik grundlegend. Begriffe wie Algebra, Algorithmus sowie die arabischen Ziffern gehen darauf zurück.In Deutschland erklärte der sprichwörtliche Adam Ries(e) seinen Landsleuten in der Landessprache das Rechnen, und die Verwendung der indischen Ziffern statt der unpraktischen römischen wurde populär.In Frankreich entdeckte René Descartes, dass man Geometrie, die bis dahin nach Euklid gelehrt wurde, auch mit Zahlen beschreiben kann. Alles, was dazu nötig ist, sind zwei Linien, die einen rechten Winkel miteinander bilden sowie eine Länge „1“ (Normierung) und eine allgemeine Länge „a“. Dann kann man bei affinen Abbildungen, z. B. zentrischen Streckungen, alle Größen algebraisch, also wie mit Zahlen, berechnen. Das kartesische Koordinatensystem stammt in seiner heutigen Form von Leonhard Euler.Eine damals neue Idee im Briefwechsel zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat im Jahr 1654 führte zur Lösung eines alten Problems, für das es schon andere, allerdings umstrittene Lösungsvorschläge gab. Der Briefwechsel wird als Geburt der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung angesehen. Die neuen Ideen und Verfahren erobern viele Bereiche. Aber über Jahrhunderte hinweg kommt es zur Aufspaltung der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie in separate Schulen. Versuche, den Begriff "Wahrscheinlichkeit" explizit zu definieren, gelingen nur für Spezialfälle. Erst das Erscheinen von Andrei Kolmogorows Lehrbuch Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Jahr 1933 schließt die Entwicklung der Fundamente moderner Wahrscheinlichkeitstheorie ab.Vieta verwendete als erster Mathematiker Variablen. Damit wurde die Algebra weiter formalisiert. Pierre de Fermat fand neben seinem Beruf als Richter wichtige Resultate in der Zahlentheorie, insbesondere den „kleinen Fermatschen Satz“ und formulierte den „großen Fermatschen Satz“. Er behauptete, dass die Gleichung x^n + y^n = z^n keine positiven ganzzahligen Lösungen hat, falls n größer als 3 ist. Am Rand seiner Ausgabe der „Arithmetica“ von Diophant von Alexandrien schrieb er dazu den Satz: „Ich habe einen wunderbaren Beweis gefunden, doch leider ist dafür der Rand zu schmal“. 400 Jahre suchten Mathematiker vergeblich nach diesem angeblichen Beweis.

Erst im Jahre 1995 gelang dem britischen Mathematiker Andrew Wiles nach jahrelanger geheimer Arbeit der Beweis für das Fermat-Problem (Fermats letzter Satz). Man nimmt heute an, Fermat habe einen Beweis für einen Spezialfall gefunden, von dem er glaubte, ihn verallgemeinern zu können. In Italien fanden Cardano und Tartaglia die Formel für die Lösungen der kubischen algebraischen Gleichung. Galileo Galilei entdeckte, dass sich Kräfte wie Vektoren verhalten; damit wurde die Vektorrechnung zusammen mit den kartesischen Koordinaten ein wichtiger Teil der Physik.Unabhängig voneinander entwickelten Isaac Newton und Leibniz eine der weitreichendsten Entdeckungen der Mathematik, die Infinitesimalrechnung und damit den Begriff der Ableitung. Newton beschrieb damit in seinem Hauptwerk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica seine grundlegenden Gleichungen der Physik. Um der Problematik der unendlich kleinen Größen beizukommen, argumentierte er dabei hauptsächlich über Geschwindigkeiten. Leibniz ging einen philosophischeren Weg, er postulierte seine Monaden und kam damit zur Differentialrechnung. Er erfand auch den eigentlichen Infinitesimalkalkül und die Bezeichnungen Differenzierung nach dx und das Zeichen für das Integral. Zwischen den beiden und ihren Schülern kam es später zu einem langwierigen Prioritätsstreit. Letztendlich erwies sich die Leibnizsche Symbolik