Grundlagen der Elektrotechnik

Gleichstromtechnik

von

Prof. Dr.-Ing. Michael Koch

Prof. Dr.-Ing. Joachim Patzke

Version 3.0

Grundlagen der Elektrotechnik – Gleichstromtechnik

Michael Koch, Joachim Patzke

Copyright: © 2014 M. Koch;J. Patzke

Published by: epubli GmbH, Berlin

ISBN 978-3-8442-9272-5

Vorwort

Dieses Dokument basiert inhaltlich auf dem gleichnamigen Studienskript an der Hochschule Hannover. Es wurde verfasst, um den Stoff den Studierenden und anderen Interessenten auf möglichst vielfältige elektronische und konventionelle Weise zugänglich zu machen. Auf eine besonders ausgefeilte bzw. verschachtelte Formatierung von Texten, Bildern, Formeln, etc. wurde dabei bewusst zu Gunsten der Konvertierbarkeit in die verschiedenen Ausgabeformate verzichtet. Damit soll der zunehmenden Verbreitung elektronischer Lesegeräte im Studienalltag Rechnung getragen werden, ohne auf die Nutzung von Papiermedien verzichten zu müssen.

Sarstedt im April 2014                  Joachim Patzke

Benutzungshinweise zum eBook

Aktuelle eBook-Formate sind für die Darstellung naturwissenschaftlicher Inhalte nicht optimal geeignet, da Sie auf einer Fließtextstruktur basieren. Bilder, Grafiken und Formeln werden in der Regel mit einer festen Größe dargestellt. Der Text ist hingegen skalierbar, sodass eine feste Zuordnung zwischen Text- und Bildgröße nicht erzwungen werden kann. Es bleibt daher dem Benutzer überlassen, beim Lesen eine sinnvolle Textgröße zu wählen, die in einer guten Relation zu Bildern und Formeln steht und darüber hinaus zu einer übersichtlichen Formatierung der enthaltenen Tabellen führt.

Inhalt

1       Einführung. 1

1.1     Physikalische Größen und Einheitensysteme. 1

1.1.1         Größengleichungen. 1

1.1.2         SI-Einheitensystem.. 1

1.2     Aufbau der Materie. 3

1.2.1         Elementarteilchen. 3

1.2.2         Wechselwirkungen. 3

1.2.3         Elementarladungen. 3

1.2.4         Atome. 4

1.2.5         Leiter und Dielektrika. 5

1.3     Coulombkraft 6

1.3.1         Kraftwirkung auf die Ladung. 6

1.4     Elektrisches Feld. 8

1.5     Spannung und Potential im homogenen Feld. 10

1.5.1         Spannung. 10

1.5.2         Potential 10

1.5.3         Spannungsquellen. 12

2       Elektrischer Stromkreis. 13

2.1     Stromdichte und Strom.. 13

2.1.1         Elektrischer Leiter 13

2.1.2         Technische Stromrichtung. 14

2.1.3         Strom und Strömungsfeld. 15

2.2     Widerstand und Leitwert 18

2.2.1         Spezifischer Leitwert 18

2.2.2         Ohmsches Gesetz. 19

2.2.3         Widerstand eines Leiters. 19

2.3     Zusammenfassung der Größen eines Leitungsgebietes. 20

2.3.1         Aufgaben. 22

2.4     Temperaturabhängigkeit von Widerständen. 26

2.4.1         Lineare Näherung der Temperaturabhängigkeit 27

2.4.2         Quadratische Näherung der Temperaturabhängigkeit 28

2.4.3         Kennwerte und Bauformen. 29

2.4.4         Aufgaben. 33

2.5     Bauelemente und Schematische Darstellung. 34

2.5.1         Bauelemente im linearen Gleichstromkreis. 34

2.5.2         Schaltbilder 35

2.6     Elektrische Leistung und Zählpfeilsysteme. 36

2.6.1         Leistung. 36

2.6.2         Zählpfeilsysteme. 36

2.6.3         Ohmscher Widerstand. 38

2.6.4         Aufgaben. 38

3       Netzwerktheorie. 39

3.1     Grundbegriffe der Netzwerktheorie. 39

3.2     Allgemeine Berechnung von Netzwerken. 41

3.2.1         Erster Kirchhoffscher Satz (Knotenregel) 41

3.2.2         Zweiter Kirchhoffscher Satz (Maschenregel) 41

3.2.3         Anzahl der Maschen- und Knotengleichungen. 42

3.2.4         Beispielaufgabe. 43

3.2.5         Aufgaben. 47

3.3     Reale Spannungs- und Stromquellen. 48

3.3.1         Spannungsquelle. 48

3.3.2         Stromquelle. 49

3.4     Zweipoltheorie. 51

3.4.1         Passive Zweipole. 52

3.4.2         Aufgaben. 55

3.4.3         Aktive Zweipole. 58

3.5     Überlagerungssatz. 63

3.5.1         Beispielaufgabe. 64

3.5.2         Aufgaben. 67

3.6     Knotenpotentialverfahren. 69

3.6.1         Prinzip des Knotenpotentialverfahrens. 69

3.6.2         Beispielaufgabe. 69

3.6.3         Allgemeine Matrixstruktur 72

3.6.4         Aufgaben. 73

3.6.5         Behandlung einer idealen Spannungsquelle. 73

3.6.6         Aufgaben. 77

3.7     Leistungsanpassung und Wirkungsgrad. 78

3.7.1         Aufgaben. 81

4       Netze mit nichtlinearen Elementen. 83

4.1     Nichtlineare Widerstände. 83

4.1.1         Aufgaben. 85

4.2     Nichtlineare Widerstände in Netzwerken. 86

4.2.1         Netze mit nur einem nichtlinearen Element 86

4.2.2         Aufgaben. 87

5       Stern- Dreieck Umwandlung. 91

5.1     Aufgaben. 93

5.1.1         Aufgabe 27. 93

6       Anhang. 95

6.1     Verwendete Formelzeichen. 95

6.2     Abbildungsverzeichnis. 97

6.3     Tabellenverzeichnis. 100

6.4     Weiterführende Literatur 101

1      Einführung

1.1   Physikalische Größen und Einheitensysteme

Da die Notation mathematischer und physikalischer Zusammenhänge die Grundlage für die Vermittlung naturwissenschaftlicher Inhalte ist, werden die wichtigsten Begriffe im Folgenden kurz dargestellt. Dieses ist lediglich im Sinne einer knappen Wiederholung eines als bekannt vorausgesetzten Stoffs zu verstehen. Für weitergehende Betrachtungen sei z.B. auf [ 1 ] verwiesen.

Eine physikalische Größe, dargestellt durch ihr Formelzeichen, setzt sich aus Zahlenwert und Einheit zusammen.

Beispiele:

Kraft:          F = 50 N

Fläche:      A = 50 m²

1.1.1  Größengleichungen

Setzt man physikalische Größen in Formeln zueinander in Beziehung, so erhält man sog. Größengleichungen, deren Bedeutung unabhängig von den verwendeten Einheiten ist. Bei der Auswertung werden die Größen durch das Produkt von Zahlenwert und Einheit ersetzt und das Ergebnis wird ggf. auf praktikablere Einheiten umgerechnet.

Beispiel für die phys. Größe „Druck“:

( 1.1 )

1.1.2  SI-Einheitensystem

Es wird hier immer das genormte SI-System (Système International d’Unités) benutzt, das aus den in Tabelle 1.1 dargestellten 7 Basiseinheiten besteht. Alle anderen Einheiten sind aus den Basiseinheiten abgeleitet bzw. durch diese darstellbar.

Teil des SI-Systems ist das MKSA – System (Meter, Kilogramm, Sekunde, Ampere).

Tabelle 1.1 SI-Basiseinheiten

Basisgröße

Formelzeichen

Einheit

Einheitenzeichen

Kommentar

Länge

l

Meter

m

MKSA-System

Masse

m

Kilogramm

kg

Zeit

t

Sekunde

s

Stromstärke

I oder i

Ampere

A

Temperatur

T

Kelvin

K

Stoffmenge

n

Mol

mol

Lichtstärke

lV

Candela

cd

1.2   Aufbau der Materie

1.2.1  Elementarteilchen

Jede Materie ist aus 3 Elementarteilchen aufgebaut:

Protonen, Elektronen und Neutronen

Jedes Elementarteilchen zeichnet sich durch einige charakteristische Eigenschaften aus. Die wichtigsten sind die Ruhemasse m und die Ladung q.

1.2.2  Wechselwirkungen

Die Elementarteilchen üben Kräfte aufeinander aus. Nach heutigem Kenntnisstand lassen sich alle Erscheinungen im Universum auf 4 Grundkräfte zurückführen.

a)   Gravitationskraft. An die Eigenschaft „Masse“ gebunden. Zwei massebehaftete Teilchen ziehen sich über die Gravitationskraft an. Die Kraft hat eine große Reichweite.

b)   Elektromagnetische Kraft. An die Eigenschaft „elektrische Ladung“ gebunden. Einfachste Form ist die elektrostatische Kraft (Coulombkraft). Kann anziehend oder abstoßend sein. Es gibt 2 verschiedene Ladungsarten, positive und negative. Zwei Teilchen mit gleicher Ladungsart stoßen sich ab, zwei Teilchen mit unterschiedlicher Ladungsart ziehen sich an. Die Kraft hat eine große Reichweite.

c)   Starke Kraft. Bewirkt Anziehung zwischen Protonen und Neutronen die sehr nahe beieinander sind so, dass der Atomkern stabil bleibt. Kraft hat eine geringe Reichweite.

d)   Schwache Wechselwirkung. Spielt eine Rolle beim radioaktiven Zerfall und hat eine geringe Reichweite.

Für den Ingenieur sind starke Kraft und schwache Wechselwirkung auf Grund der geringen Reichweite nicht von Bedeutung. Alle Beobachtungen lassen sich durch Gravitation und elektromagnetische Kraft erklären.

1.2.3  Elementarladungen

Elektronen und Protonen haben die kleinstmögliche Ladung:

( 1.2 )

Man ordnet dem Elektron die negative und dem Proton die positive Ladung zu. Das Neutron trägt keine Ladung.

1.2.4  Atome

Atome sind aus Protonen, Neutronen und Elektronen aufgebaut. Elektronen bilden die Atomhülle, Protonen und Neutronen bilden den Atomkern.

Tabelle 1.2 Masse und Ladung der Elementarteilchen

Teilchen

Masse in kg

Ladung in C

Proton

Neutron

Elektron

Größenordnungen:

Durchmesser des Kerns:   

Durchmesser des Atoms:  

Normalzustand: Die Anzahl der Protonen Z im Kern ist gleich der Anzahl der Elektronen in der Hülle, d.h. das Atom ist elektrisch neutral. Z heißt die Ordnungszahl.

Atome eines Elements haben die gleich Ordnungszahl, können sich aber in der Neutronenzahl unterscheiden. Die Elektronen der Hülle sind in Schalen organisiert. Die äußere Schale ist für das elektrische Verhalten des Atoms bestimmend und heißt Valenzschale. Deren Elektronen heißen Valenzelektronen.

Abbildung 1.1 Aufbau der Atome

Nimmt ein Atom zusätzlich Elektronen auf, heißt es negatives Ion, gibt es Elektronen ab, heißt es positives Ion.

1.2.5  Leiter und Dielektrika

Leiter: Leiter sind Materialien, bei denen die Elektronen der äußeren Hülle nicht fest an die Atome gebunden sind. Sie können sich leicht lösen und bilden ein sogenanntes Elektronengas zwischen den Atomen. Wirkt eine äußere Kraft auf diese Elektronen setzen sie sich in Bewegung. Das führt zu einer Leitungsstromdichte, die als „Strömungsfeld“ bezeichnet wird. Der Bewegung entgegen wirkt eine „Reibungskraft“ die Ursache des ohmschen Widerstands ist. Die Bewegung kommt erst dann zum Stillstand, wenn keine Kraft mehr wirkt.

Dielektrika: In dielektrischen Materialien sind die Elektronen elastisch an die Atome gebunden. Unter Einfluss einer äußeren Kraft können sie sich nur wenig gegen den Atomkern verschieben. Die Bewegung endet nach kurzer Zeit, auch wenn die Kraft bestehen bleibt. Die Verschiebung gegen den Atomkern wird als Polarisation bezeichnet.

1.3   Coulombkraft

Von Natur aus ist Materie elektrisch neutral, positive und negative Ladungen kompensieren sich. Dieses Gleichgewicht kann aber z.B. durch Reibung gestört werden. Es entstehen dann geladene Körper. In der Elektrostatik ist die Ladung eines geschlossenen Systems aber immer gleich groß, sie kann sich nur anders verteilen. 

Abbildung 1.2 Kraftwirkung auf elektrisch geladene Körper

Wenn die Abmessungen der geladenen Körper klein gegen ihren Abstand sind, kann man sie als punktförmige Ladungen betrachten. Experimentell bestimmt man den Betrag der Kraft zwischen zwei Punktladungen zu:

( 1.3 )

Abbildung 1.3 Richtung der Kraftwirkung

1.3.1  Kraftwirkung auf die Ladung

Die vorzeichenrichtige Beschreibung des Kraftvektors erhält man durch Festlegung des Abstandvektors zwischen den Ladungen:

Abbildung 1.4 Richtung des Kraftvektors

( 1.4 )

Die Proportionalitätskonstante k schreibt man gewöhnlich in der Form

( 1.5 )

Die Dielektrizitätskonstante für den freien Raum

( 1.6 )

kann dabei nur experimentell bestimmt werden.

Die Proportionalitätskonstante ist auch von dem Isolierstoff abhängig, in dem das Experiment durchgeführt wird. Man führt deswegen die relative Dielektrizitätskonstante εr ein, die das Material beschreibt. Insgesamt ergibt sich damit für die Coulombkraft

( 1.7 )

1.4   Elektrisches Feld

Man kann die Kraftwirkung auf eine Ladung auch anders interpretieren. Es gibt eine felderzeugende Quellladung und eine Probeladung. Die Kraft auf die Probeladung ist die Wirkung eines elektrischen Feldes am Ort der Probeladung, welches von der Quellladung hervorgerufen wird.

Da der Betrag der Kraft bei konstantem Abstand nicht von der Richtung abhängig ist, handelt es sich um ein radiales Feld. Der Abstandsvektor ist dabei von der Quellladung zur Probeladung festgelegt. 

Zur Veranschaulichung des Feldverlaufs skizziert man sog. Feldlinienbilder, die eine qualitative Vorstellung von der Richtung und, anhand der Liniendichte, auch von der Stärke des Feldes liefern sollen (Abbildung 1.5). Definitionsgemäß gehen die Feldlinien von positiven Ladungen aus und enden in negativen Ladungen.

Abbildung 1.5 Probeladung im elektrischen Feld

Die von der Quellladung hervorgerufene elektrische Feldstärke ergibt sich aus der Formel für die Kraftwirkung

( 1.8 )

zu

( 1.9 )

Das Feld mehrerer Quellladungen erhält man durch Überlagerung

der Einzelfelder (Abbildung 1.6).

Abbildung 1.6 Feldlinienbilder von Punktladungen

Befindet sich eine große Zahl positiver und negativer Ladungen auf parallelen Flächen (Plattenkondensator) so ergibt sich ein besonders einfacher Feldverlauf, bei dem die elektrische Feldstärke an jedem Ort die gleiche Richtung und den gleichen Betrag hat. Man spricht in diesem Fall von einem homogenen Feld (Abbildung 1.7).

 Abbildung 1.7 Homogenes Feld eines Plattenkondensators

Für die im Folgenden hergeleiteten Größen wird das Vorhandensein eines homogenen elektrischen Feldes vorausgesetzt. Die vektorielle Darstellung kann im homogenen Feld entfallen, da das Feld in nur einer Raumdimension ausgerichtet ist. Integrale bzw. Ableitungen vereinfachen sich wegen der Konstanz des Feldes i.A. zu Produkten bzw. Quotienten.

1.5   Spannung und Potential im homogenen Feld

1.5.1  Spannung

Bewegt sich eine Probeladung q in einem zeitlich konstanten, homogenen elektrostatischen Feld um die Wegstrecke ℓ von Punkt A zu Punkt B in Richtung des Feldes, so wird der Probeladung gemäß des Zusammenhangs „Energie (Arbeit) = Kraft mal Weg“ die Energie

( 1.10 )

zugeführt.

Die elektrische Spannung zwischen den Punkten A und B ist die zugeführte Energie bezogen auf Ladung:

( 1.11 )

Im homogenen Feld ist demnach die Spannung gleich dem Produkt aus Feldstärke und Weg in Richtung des Feldes.

Die Einheit der Spannung ist:

( 1.12 )

1.5.2  Potential

Das elektrische Potential  ist die Spannung gegenüber einem (willkürlich) festgelegten Bezugspunkt mit dem Potential 0.

Abbildung 1.8 Definition des Potentials

In Abbildung 1.8 liegt der Bezugspunkt an der Stelle x = ℓ. An einer beliebigen Stelle xB gilt:

( 1.13 )

Das Potential hat demnach im homogenen Feld über der Wegstrecke x einen linearen Verlauf (Abbildung 1.9).

Abbildung 1.9 Verlauf des Potentials über dem Weg

Legt man das Bezugspotential an eine andere Stelle, z.B. in die Mitte des Bereichs bei x = ℓ/2 (Abbildung 1.10), dann ergibt sich ein parallelverschobener Potentialverlauf mit gleicher Steigung (Abbildung 1.11).

Abbildung 1.10 Geändertes Bezugspotential

Abbildung 1.11 Parallelverschobener Verlauf des Potentials

Für das Potential an der Stelle xB gilt nun:

( 1.14 )

Unabhängig von der Wahl des Bezugspotentials ist jedoch die Spannung zwischen zwei Punkten immer gleich der Differenz der Potentiale dieser beiden Punkte.

( 1.15 )

1.5.3  Spannungsquellen

In einer Spannungsquelle (Abbildung 1.12) bewirkt die Kraft Fi, dass positive Ladungen von Minus nach Plus (negative von Plus nach Minus) transportiert werden. Diese Ladungstrennung wird durch die Umwandlung mechanischer oder chemischer Energie erreicht. Die Ladungstrennung führt dazu, dass zwischen den Klemmen ein elektrisches Feld entsteht und die Klemmenspannung

( 1.16 )

gemessen wird.

Abbildung 1.12 Spannungsquelle

2      Elektrischer Stromkreis

2.1   Stromdichte und Strom

2.1.1  Elektrischer Leiter

Wenn die Klemmen einer Quelle mit einem elektrischen Leiter verbunden werden, bewegen sich Elektronen vom Minus- zum Pluspol der Quelle (Abbildung 2.1). Die zur Beschleunigung der Elektronen nötige Kraft liefert ein elektrisches Feld im Leiter, das von der Quelle hervorgerufen wird.

Abbildung 2.1 Elektronenbewegung durch Kraftwirkung

Eigentlich müssten die Elektronen bei konstantem äußerem Feld durch die Beschleunigung immer schneller werden. Dies passiert jedoch nicht, da sie ständig mit den Atomrümpfen zusammenstoßen (Abbildung 2.2).

Abbildung 2.2 Mikroskopische Elektronenbewegung im Leiter

Während der Stoßvorgänge wird Bewegungsenergie an die Gitteratome abgegeben. Dies sind die ohmschen Verluste, die zu einer Erwärmung des Leiters führen. Gemittelt über viele Stöße haben die Elektronen die konstante Endgeschwindigkeit

( 2.1 )

Da es sich um negative Ladungsträger handelt, ist die Geschwindigkeit dem Feld entgegen gerichtet. Die Proportionalitätskonstante μe heißt Beweglichkeit der Elektronen.

Typische Werte:

( 2.2 )

( 2.3 )

Schließt man einen Stromkreis, so setzen sich alle Ladungsträger nahezu gleichzeitig mit der entsprechenden Geschwindigkeit in Bewegung, d.h. die Wirkung des Stroms breitet sich annähernd mit Lichtgeschwindigkeit im Leiter aus.

2.1.2  Technische Stromrichtung

In der Technik wird nicht die Bewegungsrichtung der Elektronen betrachtet, sondern es wird so getan, als ob sich positive Ladungen bewegen würden (Abbildung 2.3).

Abbildung 2.3 Technische Stromrichtung

Daraus ergibt sich die Definition der technischen Stromrichtung als Stromfluss außerhalb der Quelle von Plus nach Minus.

2.1.3  Strom und Strömungsfeld

Die sich in einem Leiter im Mittel gleichmäßig bewegenden (angenommenen positiven) Ladungen werden auch als Driftladung QD bezeichnet. Als Strom bezeichnet man den Durchsatz von Driftladung durch eine Kontrollfläche A pro Zeit.

( 2.4 )

Betrachtet man als Fläche die Querschnittsfläche des Leiters, dann erfasst man den Gesamtstrom durch den Leiter.

Abbildung 2.4 Definition des Stroms

In einen Abschnitt des Leiters bewegen sich zu jeder Zeit genauso viele Ladungsträger hinein wie heraus, es können darin keine Ladungen dazukommen oder verschwinden. Daraus folgt, dass in einem unverzweigten Stromkreis überall der gleiche Strom fließt. 

Für den Ingenieur ist die Bewegung einzelner Ladungsträger von geringem Interesse. Um zu einem kontinuierlichen Modell zu kommen, definiert man zunächst die Ladungsträgerdichte n als Anzahl der Ladungsträger N pro Volumen V – unter der Annahme homogener Verteilung – zu:

( 2.5 )

Die Driftladungsdichte η (eta) ist das Produkt aus Ladungsträgerdichte und Ladung q eines Teilchens.

( 2.6 )

Die Driftladung bewegt sich mit der mittleren Geschwindigkeit  der Ladungsträger. Das Produkt aus Driftladungsdichte und Geschwindigkeit ist die Stromdichte  („Ladungsdichtetransportgeschwindigkeit“)

( 2.7 )

Für die Stromdichte werden auch häufig die Formelzeichen  oder  verwendet.

Die makroskopische, im Mittel gleichförmige Bewegung der Ladungsträger bezeichnet man als Strömungsfeld, dessen Feldgröße die Stromdichte  ist. Ebenso wie beim elektrischen Feld nutzt man zur Darstellung des Strömungsfeldes Feldlinienbilder, die die Richtung und die Stärke des Feldes charakterisieren (Abbildung 2.5).

Abbildung 2.5 Inhomogenes und homogenes Strömungsfeld

Unter der Annahme homogener Verhältnisse lässt sich auf einfache Weise aus der Definition des Stroms gemäß Gl. ( 2.4 ) der Zusammenhang zwischen Strom und Stromdichte herleiten.

Abbildung 2.6 Zusammenhang zwischen Stromdichte und Strom

Die Driftladungen, die in der Zeit Δt bei der Geschwindigkeit v durch die Fläche A treten, befinden sich gemäß Abbildung 2.6 in dem Volumen V mit

( 2.8 )

Die Driftladungsmenge QD in dem Volumen V ist das Produkt aus Driftladungsdichte und Volumen

( 2.9 )

Demzufolge ist der Strom:

( 2.10 )

Umgestellt nach S ergibt sich die Formel für die Stromdichte im homogenen Strömungsfeld:

( 2.11 )

2.2   Widerstand und Leitwert

2.2.1  Spezifischer Leitwert

Die positiven Ladungsträger werden durch das von der Quelle hervorgerufene E-Feld gemäß Gl. ( 2.1 ) mit der Geschwindigkeit

durch den Leiter getrieben. Es entsteht entsprechend Gl. ( 2.7 ) die Stromdichte

Das Produkt aus Driftladungsdichte und Beweglichkeit bildet eine Proportionalitätskonstante zwischen elektrischer Feldstärke und Stromdichte, die man als spezifischen Leitwert κ (kappa) bezeichnet.

( 2.12 )

Der Kehrwert von κ heißt spezifischer Widerstand ρ (rho).

( 2.13 )

Für den Zusammenhang zwischen elektrischer Feldstärke und Stromdichte lässt sich demnach schreiben

( 2.14 )

( 2.15 )

Aus praktischen Gründen erfolgt die Angabe der Einheiten von κ und ρ oft in der Form:

( 2.16 )

( 2.17 )

2.2.2  Ohmsches Gesetz

Liegt an einem Leiterstück der Länge ℓ die Spannung U, so fließt darin