Alexander Schaile

ZAHLEN, BUCHSTABEN UND FORME(L)N

Alexander Schaile, geboren 1977, ist Gründer und Inhaber der freien Unterrichtseinrichtung Schoolcoaching in Welzheim. Er unterrichtet seit seinem 17. Lebensjahr Schüler aller Klassen- und Altersstufen im Fach Mathematik bis zum Abitur. Dazu zählen neben tausenden von individuellen Unterrichtsstunden zahlreiche Vorbereitungskurse für sämtliche Schulabschlüsse in Baden-Württemberg. Aufgrund dieser Erfahrungen ist dieses Buch entstanden, in dem der Leser wie im Einzelunterricht direkt angesprochen wird.

Alexander Schaile

ZAHLEN,

BUCHSTABEN

UND

FORME(L)N

Mathematik lesen und verstehen

von den Grundlagen bis zum Abitur

1. Auflage

Impressum
Copyright: © 2014 Alexander Schaile
Druck und Verlag: epubli GmbH, Berlin, www.epubli.de
ISBN ISBN 978-3-8442-9392-0

Inhalt

Handhabung des Buches

Teil A: Arithmetik

1 Was wir im Teil A lernen

2 Zählen

Eins; Bedeutung der Zahlen; Assoziation mit der Zahl Eins; Zwei; Assoziation mit der Zahl Zwei; Drei; Vier; Fünf; Sechs; Sieben; Acht; Neun; Null und Zehn; Merkfähigkeit; Eins bis Zwanzig (natürliche Zahlen)

3 Plus

Ähnliches zusammenfassen; Auswendig lernen: Einspluseins-Tafel; Gerade und ungerade; Fingerrechnen bei der Addition; Kleiner Fünf; Größer Fünf; Kleiner und größer Fünf; Zahlenverständnis; Zusammenfassung der Addition; Subtraktion; Zahlenstrahl; Rechnen am Zahlenstrahl; Vertauschungsgesetz; Ordnen; Ganze Zahlen; Ein Rechenverfahren der Addition; Siebzehn und vier; Zahlenraum bis zu einer Million; Rechenverfahren der Subtraktion; Entbündeln; Ergänzen; Mehrere Lösungswege

4 Mal

Ordnen und vertauschen; Zerlegen; Fingerrechnen bei der Multiplikation; Kleiner Fünf; Kleiner und größer Fünf; Größer Fünf; Punkt vor Strich; Kopfrechnen; Kombinieren; Halbschriftliche Multiplikation; Schriftliche Multiplikation; Übungsaufgabe; pision; Brüche; Umkehrung der Multiplikation; Halbschriftliche pision; Schriftliche pision; Übungsaufgabe; Mehrstellige Zahlen pidieren; Runden; Übungsaufgabe; Bruchrechnen; Hauptnenner bei Addition und Subtraktion; Brüche malnehmen; Rationale Zahlen; Prozentrechnen; Kürzen mit Primfaktoren; Größter gemeinsamer Teiler

5 Hoch

Zehnerpotenzen; Wissenschaftliche Schreibweise; Potenzen verknüpfen; Erstes Potenzgesetz; Zweites Potenzgesetz; Drittes Potenzgesetz; Weitere Vereinfachungen; Potenz vor Punkt vor Strich; Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich; Vorzeichen beachten; Vorzeichen getrennt berechnen; Brüche als Hochzahlen; Wurzelziehen; Quadratzahlen; Schematisches Rechnen; Besonderheiten; Intervallschachtelung; Reelle Zahlen; Höhere Wurzeln; Übungsaufgabe mit verschiedenen Lösungswegen; Kontrolle; Operieren: zerlegen und zusammensetzen; Logarithmus; Rückführung auf einfachere Rechenoperationen; Logarithmentafeln und Taschenrechner; Einfache Übungsaufgabe; Komplexe Übungsaufgabe; Kopfrechnen

6 Zahlenreihen

Wörtlich ausformulierte Formeln; Symbolfolgen; Regelmäßige Strukturen im Alltag; Muster erkennen; Primzahlfolge; Sieb des Erathostenes; Verschlüsselung von Daten; RSA-Verschlüsselung; ASCII-Code; Weitere Verschlüsselungsverfahren; Einteilung der Folgen nach Abständen; Monotonie; Grenzwert als Näherungswert; Konvergenz; pergenz; Ausblick

7 Wahrscheinlichkeit

Absolute Häufigkeit; Relative Häufigkeit; Darstellung mit einer Tabelle; Beschreibende Statistik; Darstellung mit Diagrammen; Zusammenhang von Statistik und Wahrscheinlichkeit; Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit; Gesetz der großen Zahl; Prognosen; Günstige durch Mögliche; Erster Wurf; Zweiter Wurf; Baumdiagramm; Vertauschungen beachten; Darstellung mithilfe von Urnen und Kugeln; Berechnung mit Brüchen; Ohne Zurücklegen; Vergleich zum Ziehen mit Zurücklegen; Bestimmung der Anzahl an Möglichkeiten; Anzahl der Vertauschungen bei fester Reihenfolge; Anzahl der Vertauschungen ohne feste Reihenfolge; Pascalsches Dreieck; Besondere Eigenschaften; Pascal-Sierpinski-Dreieck; Kleiner Fermatscher Satz; Binomische Formeln; Binomialkoeffizienten; Weitere Beispiele; Kombinatorik; (Nicht-)Treffer; Bernoulli-Experimente; Übungsaufgabe; Zufallsvariable; Erwartungswert; Glücksspiele; Zusammenhang zwischen zwei Größen (Beispiel A); Vierfeldertafel; Spezieller Multiplikationssatz; Inverses Baumdiagramm; Zusammenhang zwischen zwei Größen (Beispiel B); Verknüpfungen mit UND/ODER; Bedingte Wahrscheinlichkeit; Vergleich der Beispiele A und B; Ratekunst

Teil B: Algebra

1 Was wir in Teil B lernen

2 Platzhalter

Terme; Ausmultiplizieren und Ausklammern; Grundlegende Gesetze der Algebra; Multiplikation von Klammerausdrücken; Binomische Formeln; Kopfrechnen; Binome höherer Art; Abstrakte Formeln mit Variablen; Potenzen und Logarithmen; Zahlenreihen; Explizite und rekursive Darstellung; Umwandlung arithmetischer und geometrischer Folgen; Darstellung von komplexen alternierenden Folgen; Darstellung von einfachen alternierenden Folgen; Muster bei Symbolfolgen; Monotonie; Grenzwerte; Beschränktheit; Wahrscheinlichkeitsformeln; Pfadregeln und Gegenereignis; Bedingte Wahrscheinlichkeit; Formeln der Kombinatorik; Bernoulli-Formel und Summenformel; Eine schöpferische Pause; Eine kleine Formelsammlung (Teil 1)

3 Gleichung

Drei Mal dasselbe; Veranschaulichung mit der Balkenwaage; Immer beide Seiten beachten; Gleichwertige Umformungen; Definitionsmenge; Beispiel; Zielführung; Eine Unbekannte; Wurzelgleichung; Verschiedene Gleichungsformen; Quadratische Gleichung; Quadratische Ergänzung; Mitternachtsformel (quadratische Lösungsformel); Exaktes Rechnen; Vergleich der Verfahren; Bruchgleichung; Nenner beseitigen; Eine neue Herausforderung; Lösungsformen; Intervallschreibweise; Satz von Vieta; Prozentrechnen; Dreisatz; Übungsaufgaben; Proportionen; Größenvergleich; Gewicht Geld; Währungsumrechnung; Verschiedene Zahlungsmittel; Geldstücke und Scheine; Optimal bezahlen; Zeit; Ein (Schalt-)Jahr; Umwandlung ins Zehnersystem; Schreibweisen; Uhrzeit; Verschiedene Sprechweisen; Räderuhr; Proportionale Zuordnungen; Umgekehrt proportionale Zuordnungen; Weitere Beispiele; Mehrere Größen; Eine Kombination aus Beidem; Antwortsatz; Eine kleine Formelsammlung (Teil 2)

4 System

Annahmen; Mehrere Variablen, mehrere Bedingungen; Einsetzungsverfahren; Gleichsetzungsverfahren; Additionsverfahren; Ein System; Lösbarkeit von Gleichungssystemen; Erste Stufe; Zweite Stufe; Von der Treppe zur Lösung; Allgemeingültige Gleichungssysteme; Allgemeine, eindeutige und unlösbare Gleichungssysteme; Unlösbare Gleichungssysteme; Systematische Vorgehensweise; Eigenständig und kreativ

5 Anwendung

Vektor und Matrix; Rechengesetze; Multiplikation von Matrizen; Falk-Schema; Kein Vertauschen möglich; Quadratische Matrizen; Inverse Matrizen; Transponierte Matrizen; Grundlegende Rechengesetze; Matrixgleichung; Wirtschaftliche Anwendungen; Leontief-Modell; Materialverflechtungen; Kosten und Preise; Lineare Optimierung; Eckpunktberechnungsmethode; Übungsaufgabe; Simplexverfahren

Teil C: Geometrie

1 Was wir im Teil C lernen

Eine kleine Formelsammlung (Teil 3)

2 Punkt

Ortsbestimmung am Zahlenstrahl; Zweidimensionales Koordinatensystem; Dreidimensionales Koordinatensystem; Begrifflichkeiten; Schrägperspektive; Exakte Ortsangaben; Spiegelungen; Theoretische Überprüfung; Verschiebung

3 Linie

Vektor; Gerade; Hauptform: Achsenabschnitt und Steigung; Eine Gerade geht durch zwei Punkte; Punktsteigungsform; Darstellung der Steigung; Gegenseitige Lage; (Schnitt-)Winkel; Verschiedene Schreibweisen; Verschiedene Winkel; Ableitbare Winkel; Bildhafte Darstellung; Parallelität; Grundlegende Konstruktionsmethoden; Kreislinie und Zahl Pi; Parallele Geraden; Senkrechte Geraden; Eine Strecke vervielfachen und teilen; Einen Winkel halbieren; Winkeldrittelung; Einen Winkel vervielfachen; Ein Geodreieck vereinfacht viele Konstruktionen

4 Fläche

Begrenzte Flächen; Mathematik und Philosophie; Kreisberechnungen; Übungsaufgabe; Erster Lösungsansatz; Zweiter Lösungsansatz; Rechteck; Quadrat; Raute, Parallelogramm und Drachen; Trapez und allgemeine Vierecke; Weitere Formeln für Umfang und Inhalt; Vom Allgemeinen zum Speziellen; Einteilung von Dreiecken; Konstruktion von Dreiecken; Kongruenzsatz sss; Planfigur; Eine unmögliche Konstruktion; Kongruenzsatz sws; Kongruenzsatz wsw und Winkelsumme; Kongruenzsatz Ssw; Satz des Thales; Besondere Punkte im Dreieck; Umfang und Fläche; Satz des Pythagoras; Allgemeine Formulierung; Berechnung am gleichseitigen Dreieck; Pythagoräisches Zahlentripel; Allgemeine Formel; Pythagoras mit Dreiecken statt Quadraten; Konstruktion der Länge Wurzel Zwei; Trigonometrie; Spezielle Werte; Sinuskurve; Einheitskreis und Kosinuskurve; Ablesen spezieller Werte; Geometrische Berechnungen; Sinussatz; Kosinussatz; Übungsaufgabe; Berechnung im rechtwinkligen Dreieck; Zerlegung in Teilflächen; Maßstab; Ähnlichkeit; Strahlensatz; Flächenvergrößerung; Praktische Beispiele

5 Raum

Körper; Spezialfall Würfel; Quader; Prisma; Zylinder; Spitze Körper: Pyramide und Kegel; Regelmäßige Stümpfe; Kugel; Ein Vergleich: Kegel, Halbkugel und Zylinder; Volumen als Hohlmaß; Platonische Körper; Tetraeder; Hexaeder; Oktaeder; Dodekaeder und Ikosaeder; Ähnliche Körper; Mittelpunktswinkel; Räumliche Darstellung; Dreitafelprojektion; Weitere Perspektiven; Eine kleine Formelsammlung (Teil 4)

6 Vektoren

Punkt und Vektor; Länge eines Vektors; Gerade und Vektor; Mehrere Darstellungsarten; Punktprobe; Lineare (Un-)Abhängigkeit; Nachweis mit einem linearem Gleichungssystem (LGS); Lagebeziehungen von Geraden; Beispielaufgabe; Parallelverschiebung; Schnittwinkel zweier Geraden; Graphische Darstellung; Ebenen; Skalarprodukt; Normalenvektor; Kreuzprodukt; Von der Normalenform zur Koordinatenform; Spurpunkte; Parallelität mit den Koordinatenachsen und Ebenen; Lagebeziehungen von zwei Ebenen; Weitere Lagebeziehungen; Schnittwinkel mit Ebenen; Abstände; Abstand zwischen Punkt und Gerade; Abstand zwischen Punkt und Ebene; Übungsaufgabe; Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden; Mathematisch exakte Beschreibung eines Hauses; Vektorbasierte Programme; Eine kleine Formelsammlung (Teil 5)

Analysis

1 Was wir in Teil D lernen

2 Funktion

Eine eindeutige Zuordnung; Eine Relation; Umkehrfunktion; Quadratische Funktion; Darstellung im zweidimensionalen Koordinatensystem; Verschiebung, Streckung und Spiegelung; Von der Hauptform zur Scheitelform; Weitere Funktionsarten; Ganzrationale Funktion; Symmetrieeigenschaften; Verhalten für plus oder minus unendlich; Schnittpunkte mit den Achsen; Nullstellen; Polynompision; Horner-Schema; Substitution; Gebrochene Funktion; Beispielaufgabe; Skizze des Schaubildes; Weitere Asymptoten; Exponentialfunktion; Verschieben, strecken und spiegeln; Konfuzius; Zahl e (Eulersche Zahl); e-Funktion; Exponentielles Wachstum; Exponentielles Wachstum mit e; Beschränktes und logistisches Wachstum; Trigonometrische Funktion; Sinuskurve; Kosinus- und Tangenskurve; Nullstelle, Hochpunkt, Tiefpunkt und Wendepunkt; Funktionen gestalten; Kombinationsmöglichkeiten; Eine kleine Formelsammlung (Teil 6)

3 Differentialrechnung

Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit; Konstante Beschleunigung; Sekantensteigung; Tangentensteigung; Ableitung; Betragsfunktion; Differenzierbarkeit und Stetigkeit; Ableitungsregeln; Produktregel; Kettenregel; Quotientenregel; Ableiten mit dem natürlichen Logarithmus; Anwendungen; Extrempunkte; Wendepunkt und Sattelpunkt; Notwendige und hinreichende Bedingung; Differenzialgleichungen beim Wachstum; Charakterisierung

4 Integralrechnung

Integral als Fläche unter dem Schaubild; Stammfunktionen bilden; Kettenregel; Flächen zwischen zwei Kurven; Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung; Übungsaufgabe; Keplersche Fassregel; Uneigentliches Integral; Rotationskörper; Mittelwert; Besondere Rotationskörper; Eine kleine Formelsammlung (Teil 7)

Handhabung des Buches

Jetzt hast du es selbst in der Hand, Mathe zu verstehen. Genauer gesagt, die Schulmathematik von Klasse eins bis dreizehn. Von der Grundschule bis zum Abitur habe ich einen roten Faden gezogen, der alle relevanten Themengebiete miteinander verbindet: Bei der Arithmetik angefangen, über die Algebra und Geometrie bis hin zur Analysis zeige ich dir alle mathematischen Grundlagen auf einfache Art und Weise.

Es ist wichtig, den logischen Aufbau der Rechengesetze und die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Themen zu erfassen. Das kannst du nur, wenn du von Anfang an die Themen nachvollziehen und eigenständig nacharbeiten kannst. Am besten nimmst du dir immer einen Bleistift und ein Blatt Papier zur Hand und schreibst die Beispiele mit, rechnest sie nach und erfindest selbst welche. Das fördert deine Kreativität und vertieft dein Verständnis für jedes einzelne Themengebiet. Ich verzichte absichtlich auf viele Grafiken, Bilder und weitere Beispielaufgaben, weil du es selbst in der Hand hast, passende Grafiken, Bilder und Beispielaufgaben zu kreieren oder einfach nur, meine Beispiele eigenhändig nachzuarbeiten.

Das Schöne an diesem Buch ist, dass du die einfachen Themen und die Themen, die du schon verstehst, nicht mehr nacharbeiten musst, sie dienen dir aber als Stütze für andere Themen. Dein Gehirn besteht aus einem riesigen Netzwerk von Nervenzellen, die die Informationen speichern und verarbeiten. Jede Info ist mit etlichen anderen verknüpft, je öfter, desto besser kannst du sie behalten. Deshalb versuchen wir gemeinsam, ein Netzwerk zu knüpfen, das alle relevanten Informationen der Schulmathematik enthält und miteinander verbindet. Als Gedankenstütze dienen dir die wenigen, aber wichtigen Abbildungen im Buch. Diese solltest du auswendig lernen wie Vokabeln in einer Sprache, damit du auch die Sprache der Mathematik verstehst.

Wenn du das Buch zu Ende gelesen hast, ist es vielleicht sinnvoll, zunächst alles Gelesene und Gelernte niederzuschreiben (wir nennen es „Brainstorming“) und anschließend eine Mindmap zu erstellen, in der du alle Infos in einen großen Gesamtzusammenhang stellst. Theoretisch hast du dafür zwölf oder dreizehn Jahre Zeit, aber du kannst das Buch auch schon mit sechs Lebensjahren in deinen Händen halten und zusammen mit deinen Eltern die ersten Abschnitte lesen und begreifen. Das Buch begleitet dich durch deine gesamte Schulzeit und ist dir immer dann eine Hilfe, wenn du den roten Faden nicht mehr findest und den Überblick verloren hast.

Es dient dir auch als Nachschlagewerk und Formelsammlung im Unterricht oder bei Hausarbeiten. Das Inhaltsverzeichnis soll dir von Anfang an eine Orientierungshilfe sein, weil es systematisch aufgebaut ist: Teil A erklärt die Verwendung und Verknüpfung von Zahlen (das Rechnen), Teil B das Rechnen mit Buchstaben, Teil C das Rechnen mit Figuren und Ihren Dimensionen und Teil D die Zusammenhänge von verschiedenen Größen. Da jeder Abschnitt auf dem vorherigen aufbaut, empfehle ich jedem die Lektüre von Anfang an. Die Formelsammlung ist auch in mehrere Teile zerlegt und kann somit häppchenweise verdaut werden.

Vielleicht gibt es Themen, die ich dir nicht so erkläre, dass du sie sofort verstehst. Dann verzweifel bitte nicht und lies einfach weiter, es ergibt sich manchmal erst im Nachhinein ein vollständiges Bild des gesamten Themenkomplexes. Lies manche Abschnitte einfach zwei oder drei Mal, mach nach den Abschnitten auch mal Denkpausen und leg das Buch öfters zur Seite, so dass sich das Gelernte im Gehirn festsetzen kann. Wenn du dann weiterliest, solltest du wieder beim vorherigen Abschnitt beginnen, damit du einordnen kannst, was du Neues lernst. Selbst als gut vorbereiteter Abiturient wirst du noch Neues entdecken und Parallelen erkennen, die dir bisher verborgen blieben.

Teil A: Arithmetik

„Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik.“ Carl Friedrich Gauß

1 Was wir im Teil A lernen

Arithmetik bedeutet wörtlich die „zahlenmäßige Kunst“, ist also das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Zahlen und dem Rechnen mit Zahlen beschäftigt. Für die Arithmetik wird oft als Synonym (anderes Wort mit gleicher Bedeutung) für die Zahlentheorie gebraucht. Für die Kleinen ist die Arithmetik mit der Mathematik gleichzusetzen. Und das noch lange, wenn sie in der Grundschule die Grundrechenarten lernen und der Zahlenraum nicht über eine Million reicht. In den folgenden sechs Abschnitten lernen wir gemeinsam Zählen, Plus-, Mal- und Hochrechnen und alles, was daraus entstanden ist. Dazu kommen noch die Zahlenreihen und die Wahrscheinlichkeitsrechnung mit ihren eigenen Rechenoperationen (Rechenvorgängen).

Wir wissen (noch) nicht, wie sich das menschliche Gehirn so entwickeln konnte, dass es Zahlen, also abstrakte (von der Natur losgelöste) Zeichen für bestimmte Mengen und Anzahlen, erfinden konnte. Diese Erfindung macht uns den Tieren überlegen, die zwar auch einen Sinn für Zahlen besitzen, diese  aber nicht selbstständig mit Symbolen (Zeichen) darstellen können. Der Mensch hat durch sein Abstraktionsvermögen einen Weg gefunden, die Natur zu beschreiben und auf eigene Weise zu verstehen.

Und alles hat mit der Verwendung von Zeichen und Symbolen angefangen, mit dem Hintereinanderschreiben von Strichen, um Dinge abzuzählen. Zusätzlich dienten Symbole auch der Kommunikation (der Mitteilung) und Sprachentwicklung. Durch das Aneinanderreihen von bestimmten Buchstaben und Silben entstanden Laute, die wiederum zu Worten mit bestimmten Bedeutungen wurden. So ähnlich funktioniert das auch in der Mathematik. Wir erfinden Symbole für bestimmte Anzahlen und ketten sie so aneinander, dass es sinnvoll erscheint. Dazu gehört unser Zahlensystem, das Stellenwertsystem, die Grundrechenarten und vor allem: das Zählen selbst!

2 Zählen

Um zählen zu können, müssen wir erst mal die Zahlen kennen lernen. Die wichtigste Zahl ist die Zahl Eins. Alles ist eins, von allem gibt es eins, alles ist einzigartig, wir müssen nur ganz genau hinschauen. Sehen wir alles als großes Ganzes, ist es wiederum eins, nämlich „ein“ großes Ganzes. Wenn du dich umschaust, siehst du vielleicht einen Tisch, ein Buch, eine Tasche, eine Tür, einen Menschen und etliche andere Dinge, die einmal vorhanden sind. Wir verwenden die Zahl Eins für eine Grundmenge, die beschreibt, dass etwas vorhanden ist oder nicht.

Der Computer macht das nicht anders: Er kennt nur Einsen und Nullen und kann damit alles errechnen und darstellen, was du auf deinem Bildschirm (Monitor) siehst. Welche Sachverhalte und Programmierkünste dahinterstehen, ist im Moment egal, aber das wichtige Prinzip (Grundregel), das dahintersteckt, solltest du dir merken: Die Eins steht für vorhanden, die Null für nicht vorhanden. Auf die Null gehen wir am Ende des Abschnitts näher ein.

Eins

Die Zahl Eins kann auch ohne Buchstaben geschrieben werden und sieht folgendermaßen aus: 1. Das ist das Symbol und Zeichen, das im Laufe der Geschichte für die Menge Eins entstanden ist. Wir haben für alle Zahlen eine Symbolschreibweise, die uns Rechenvorgänge erst ermöglicht. Müssten wir die Zahlen ausschreiben und damit rechnen, hätten wir schon bald enorme Probleme, vor allem mit dem Platz, der uns auf unserem Papier zur Verfügung steht. Aber haben wir wirklich für alle Zahlen ein Symbol?

Die Römer machten für die Eins ein I, für die Zwei II und für die Drei III. Das sind nicht wirklich neue Symbole, das erste Symbol wurde einfach vervielfacht und das ist das, was wir zählen nennen: Wir fügen immer ein weiteres Zeichen, in diesem Fall I, dazu und damit wird die Menge um eins größer. Die Römer haben erst wieder für die Fünf ein neues Symbol verwendet, weil die Unterscheidung von IIII zu IIIII nicht auf Anhieb gelingt. Das Symbol für die Fünf lautet übrigens V, für die Zehn X und es gibt noch etliche mehr, aber das wollen wir später aufgreifen. Wir sind noch am Anfang und lernen die Zahl Eins kennen.

Bedeutung der Zahlen

Eins steht nicht nur für eine Menge, sondern auch für eine Stelle oder einen Platz, wenn wir etwas nach der Reihenfolge ordnen. Der Erste ist derjenige, der an vorderster Stelle oder am Anfang steht. Er ist der Gewinner eines Wettkampfes, er ist der Beste in einer Disziplin (einem Teilgebiet) oder er ist einfach derjenige, bei dem man zu zählen beginnt. Du siehst, dass Zahlen nicht nur Mengen ausdrücken, sondern auch Reihenfolgen geschickt darstellen können. Das Symbol der Zahl Eins hat also mehrere Bedeutungen. Fallen dir noch welche ein?

Die Eins kann auch einfach nur als Symbol für etwas stehen, ohne damit die Menge oder Reihenfolge zu meinen. Beispielsweise sind Buchstaben auch nur Symbole und stehen nicht für Mengen, aber manchmal für eine bestimmte Reihenfolge, wenn wir das Alphabet (ABC) zugrunde legen, z.B. bei vielen Aufgaben auf einem Aufgabenblatt oder bei mehreren Kapiteln in Büchern. Buchstaben stehen vor allem für Laute, die wir aussprechen, damit wir uns verständigen können. So wie wir einen Buchstaben mit einem Gegenstand in Verbindung bringen können, z.B. den Buchstaben A mit einem Apfel, können wir auch die Zahl Eins mit einer Fahne gleichsetzen oder mit irgendeinem beliebigen Gegenstand, der der Zahl Eins nicht ähnlich ist. Genauso können wir auch den Apfel mit einem B gleichsetzen, wenn wir ohne Hinweise an den Gegenstand, der durch ein Symbol ersetzt werden soll, arbeiten wollen. Besser zu merken sind natürlich Gegenstände oder Begriffe, die an eine Eins erinnern, z.B. eine Fahne oder der erste Mensch, Adam.

Wir lernen, dass wir für alles, das wir aus der Wirklichkeit darstellen wollen, beliebige Symbole verwenden können, dazu zählen auch das A oder die Eins. In der Algebra (Teil B) wird das Prinzip des Ersetzens oder Übersetzens genauer besprochen.

Assoziation mit der Zahl Eins

Hinweise helfen uns, Dinge miteinander zu verknüpfen und uns Neues besser zu merken. Wenn wir die Gestalt des Symbols der Zahl Eins betrachten, können wir uns einen Fahnenmast denken, an dem eine Fahne weht. Eine andere Art der Assoziation (Verbindung, Verknüpfung) ist, sich Dinge aus der Natur vorzustellen, für die die Menge Eins typisch ist. Nur bei der Eins selbst gibt es so unendlich viele Beispiele, weil alles für sich genommen einzigartig ist, wenn man es nur detailliert (genau) genug betrachtet. Die Mengenangabe unendlich soll in diesem Zusammenhang für nichtabzählbare Mengen gelten.

Als geeignete Verknüpfung für die Zahl Eins verwenden wir die eigene Person, weil wir unser selbst bewusst sind und uns als erste Person (ich) und als eine Person wahrnehmen. Bei einem Apfel sehen wir sofort Ähnlichkeiten zu anderen Äpfeln, so dass wir zu zählen beginnen und größere Mengen als die Menge Eins erkennen, auch wenn die Äpfel in Form und Farbe etwas unterschiedlich sind. Wir ordnen uns selbst den Menschen zu, die zählbar sind, aber wir nehmen uns als eine Person wahr und grenzen unser Ich von der Umwelt ab. Merke: Du bist Eins!

Zwei

Bei der Zahl Zwei verhält es sich ein bisschen anders. Es gibt in der Natur viele Gegenstände, die paarweise auftreten: Zwillinge jeglicher Art (Hanni und Nanni, Kirschen, die Twin Towers) haben große Ähnlichkeiten vorzuweisen. Es gibt aber auch Paare, für die Gegensätzlichkeit zum bestimmenden Merkmal wird, wie bei Mann und Frau oder bei bekannten Literatur- und Filmpaarungen (Dick und Doof, Bonnie und Clyde). Die Identifikation (Hineinversetzung) mit der Zwei ist nicht möglich, weil man nicht aus zwei Personen gleichzeitig bestehen kann.

Zur menschlichen Fortpflanzung gehören immer zwei Individuen (Einzelne) unterschiedlichen Geschlechts, bei der Befruchtung wird aus Samenzelle und Eizelle ein Mensch. Die Paarbildung ist notwendig, um neues Leben entstehen zu lassen: unterschiedliche Informationen müssen vermischt werden, um neue Informationen zu erschaffen. Die Rekombination (Vermischung, Sex) ist ein notwendiges biologisches Prinzip, um die Evolution (Weiterentwicklung) schneller voranzubringen.

Es gibt Gegensatz- und Ähnlichkeitspaare, bei beidem spricht man von Paarbildung. Bei Menschen bilden Mann und Frau ein Paar, aber auch zwei Männer oder zwei Frauen zählen als Paar. Das mathematische Prinzip heißt hier einerseits Gegensätzlichkeit, andererseits Ähnlichkeit.

Allerdings kennzeichnet nur das Prinzip der Gegensätzlichkeit die Paarbildung eindeutig, weil Ähnlichkeiten auch bei größerer Anzahl möglich sind. Das haben wir schon bei den römischen Zahlen kennen gelernt und entspricht dem Zählprinzip: Wir fügen einem Gegenstand einen weiteren, ähnlichen Gegenstand zu und bilden damit eine größere Menge an Dingen mit gleichen Eigenschaften. Damit erhalten wir die Menge Zwei. Setzen wir diese Gegenstände in eine Reihenfolge, haben wir einen ersten Gegenstand am Anfang und einen zweiten am Ende. Die Zahl Zwei hat das Symbol 2.

Assoziation mit der Zahl Zwei

Bisher haben wir die Zahl Zwei nur als Menge besprochen, jetzt versuchen wir zur Gestalt eine Assoziation zu bilden. Ein Schwan mit gebogenem Hals ähnelt der Schreibweise der Zwei. Schwäne haben auch zwei Seiten, wenn du sie von vorne betrachtest: Zwei Augen, zwei Flügel und zwei Beine sind symmetrisch (spiegelbildlich) angeordnet, was wiederum an die Zahl Zwei erinnert.

Die Symmetrie ist ein weiteres mathematisches Prinzip, das wir anwenden und in der Natur vielfach vertreten ist: Fast alle Lebewesen haben eine oder mehrere Symmetrieachsen, selbst wir erschaffen viele technischen Gegenstände nach symmetrischen Eigenschaften. Symmetrie heißt, dass rechts und links einer gedachten Symmetrieachse dasselbe zu sehen ist und die Dinge rechts und links davon denselben Abstand zu dieser Achse haben.

Du siehst, wir denken und handeln oft mit Gegensatzpaaren wie rechts/links, oben/unten und hinten/vorne. Diese drei Richtungen bilden die von uns wahrgenommenen Dimensionen, auf die wir in Teil C genauer eingehen werden. Bisher denken wir nur in eine Richtung: vom Anfang bis zum Ende (wieder ein Gegensatzpaar).

Drei

Mit Einführung der Zahl Drei haben wir jetzt die Möglichkeit, ein mittleres Element (Einzelteil) zu bilden, nämlich das zweite. Am Anfang steht das erste und am Ende das dritte Element, wenn wir eine Reihenfolge (Rangliste) bilden. Die Menge Drei wird natürlich wieder durch Aneinanderreihung ähnlicher Gegenstände geschaffen. Ab der Menge Drei spricht man von einer Gruppe. Es gibt auch Gegenstände oder Sachverhalte, bei denen die Menge Drei typisch ist: Wir kennen drei Dimensionen (drei Richtungen), drei Grundfarben im Farbkreis (Rot, Blau und Gelb), Dreiräder, drei Musketiere (Athos, Porthos und Aramis), einen Dreizack (eine typische Gabel mit drei Zacken), Dreiecke (werden in der Geometrie ausführlich behandelt) und vieles andere, das aber auch an eine Aneinanderreihung ähnlicher Gegenstände erinnert.

So spezielle Eigenschaften wie bei der Eins oder Zwei finden wir ab der Zahl Drei nicht mehr. Die spezielle Eigenschaft ist hier, dass sie die erste Zahl ohne solche Eigenschaften ist. Wir zählen ab der Zahl Drei nur noch, das heißt, wir vervielfältigen die Element mit gleichen Eigenschaften und erhalten größere Zahlen. Das Symbol: 3.

Vier

Die Menge Vier kann durch zwei Paare gebildet werden, ist damit in zwei gleich große Teile (Hälften) zu zerlegen und ist gerade (wie die Zwei). Das Symbol lautet: 4. Viele Tiere haben vier Beine, wir Menschen haben auch vier Gliedmaßen (zwei Arme und Beine), wir spielen Quartett (es sind immer vier ähnliche Karten vorhanden), in der Geometrie behandeln wir Vierecke und es gibt vier Jahreszeiten (Frühling, Sommer, Herbst und Winter).

Fünf

Die Menge Fünf kann nicht halbiert (in Hälften zerlegt) werden und ist damit ungerade (genauso wie die Eins und Drei). Die Fünf wird ganz gut repräsentiert durch die Anzahl der wegstehenden Körperteile beim Menschen und anderen Säugetieren: zu den vier Gliedmaßen gesellt sich noch der Kopf (4 und 1). Das Symbol lautet: 5. Die Römer schrieben dafür ein V. Auch eine Hand hat fünf wegstehende Körperteile, sprich Finger. Das ist das beste Beispiel, um sich die Menge Fünf vorzustellen. Wir kennen vielleicht noch ein Pentagramm (penta ist griechisch und heißt fünf), einen Stern mit fünf Zacken, oder die Olympischen Ringe, die die fünf Kontinente repräsentieren (darstellen).

Sechs

Die Menge Sechs kannst du wieder halbieren und ist deshalb gerade. Das Symbol: 6. Wieder greifen wir auf die Natur zurück, um die Anzahl zu veranschaulichen. Alle Insekten haben sechs Beine. Schneeflocken und Bienenwaben haben eine gleichmäßige sechseckige Form, weil dadurch eine gute flächige Stabilität (Festigkeit) entsteht und Sechsecke in der Fläche wie Karos unendlich oft und ohne Lücke aneinander zu setzen sind. Das darfst du gerne mit Bleistift und Papier ausprobieren (Teil B), schau dir aber zuerst Bilder von Bienenwaben an.

Sieben

Schreibweise des Symbols: 7. Die Menge Sieben ist wieder ungerade. Du siehst, dass sich gerade und ungerade Zahlen abwechseln, das liegt an den Teilbarkeiten (wir halbieren bisher die Zahlenmengen mit Hilfe von Symmetrieachsen), die wir im weiteren Verlauf noch besprechen werden. Wo taucht den die Zahl Sieben in eurem Alltag auf? Denk an einen Kalender, der in Monate, Wochen und Tage eingeteilt ist.

Eine Woche hat sieben Tage: Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Samstag und Sonntag. Das ist ein gutes Beispiel, um das Zählen zu üben. Bei Montag fangen wir an und vergeben die Zahl Eins, Dienstag entspricht der Zwei, Mittwoch der Drei, Donnerstag der Vier, Freitag der Fünf, Samstag der Sechs und Sonntag der Sieben. Deshalb sprechen wir und auch die Bibel vom siebenten Tag. Das heißt, dass wir eine Reihenfolge gebildet, den Anfang mit Montag bestimmt und das Ende am Sonntag haben. Danach beginnt der Zyklus (Kreislauf) erneut. Durch die Wiederholung legen wir die Anzahl verschiedener Wochentage fest, die eine vordefinierte (vorher festgelegte) Menge bilden. Die Zahl des letzten Wochentags legt sowohl die Platzierung des Tages fest als auch die Gesamtmenge aller gezählten Tage. Du erkennst wieder, dass Zahlen verschiedene Aussagen enthalten.

Acht

Die Menge Acht lässt sich sogar drei Mal halbieren und ist gerade. Um dir das besser klarzumachen, musst du acht Punkte auf das Papier zeichnen und immer bei der Hälfte der Anzahl einen Trennstrich ziehen bis du am Ende (nach drei Trennstrichen) einen einzelnen Punkt abgetrennt hast.

Weil wir bisher fast immer Lebewesen als Beispiele bestimmter Mengen herangezogen haben, möchte ich von dir wissen, welches Tier acht Beine hat? Genau, die Spinne. Du willst jetzt vielleicht einwenden, dass Insekten schon bei der Zahl sechs erwähnt wurden, aber die Spinne ist kein Insekt. Welche Assoziationen fallen dir zur Acht noch ein?

Ich denke sofort an eine Achterbahn, die so heißt, weil die Loopings an das Symbol der Acht erinnern: 8. Das war seit der Zwei wieder eine Verknüpfung zur Schreibweise der Zahl. Du kannst dir übrigens selbst Assoziationen zu den Symbolen der anderen Zahlen überlegen!

Neun

Das Symbol der Neun: 9. Die Menge Neun ist wieder ungerade, aber sie lässt sich in drei gleich große Mengen teilen, man nennt die Teile Drittel (behandeln wir noch). Hast du schon einmal Sudoku gespielt und das Aussehen im Kopf? Ein Sudoku hat drei Zeilen und drei Spalten und ist quadratisch (eine Fläche mit gleich langen Seiten), besteht folglich aus neun Feldern. Jetzt wird es schwierig, weil viele neue Begriffe auftauchen, die ich kurz erläutern werde.

Eine Zeile kennst du vielleicht schon, weil du beim Lesen auch Zeile für Zeile durchgehst, am besten mit dem Finger oder Lineal, damit du die Zeilen nicht verwechselst. Zeilen verlaufen für uns immer von links nach rechts, Spalten verlaufen von oben nach unten. Die japanische Schrift wird beispielsweise in Spalten geschrieben.

Sudoku enthält auch nicht nur neun Felder, sondern in jedem der neun Felder nochmal neun Felder. Das Ziel des Spiels ist, in jedem der neun kleinen Felder alle neun Symbole (jede Ziffer) einzutragen, so dass in keiner Zeile oder Spalte der großen neun Felder kein Symbol (eine Zahl) doppelt auftritt. Das ist noch sehr kompliziert, aber bald wirst du das Prinzip des Sudokus besser verstehen. Du kannst im Laden nach Sudoku fragen oder im Internet danach suchen, um dir die Gestalt und Funktionsweise (Wie geht es?) genauer zu betrachten.

Genauso darfst du mal zum Kegeln fahren und ausprobieren, ob du „Alle Neune“ triffst. Vielleicht schaust du mal nach, wie die Kegel (s. Abb.) räumlich angeordnet sind.

Null und Zehn

Welches Symbol kommt nach der Neun? Ist es das X, wie bei den Römern oder wird das Symbol für die nächstgrößere Menge anders gebildet? Den Namen der nächsten Zahl habe ich schon erwähnt: das X steht für die Zehn. Aber wir haben dazu ein System entwickelt, das größere Anzahlen einfacher darstellen kann: das Stellenwertsystem. Dadurch müssen wir nicht unendlich viele Symbole lernen, um unendlich große Zahlen darzustellen. Mit Hilfe der bekannten Symbole können wir viele Zahlen schreiben, wenn wir nur die Anzahl der Stellen erhöhen.

Für die Zehn rücken wir die erste bekannte Zahl, die Eins, eins nach links und fügen einen Platzhalter (Teil B) ein, der den Wert um das Zehnfache erhöht und damit eins größer macht als die Neun. Diesen Platzhalter nennen wir Null (Symbol: 0).

Eine Null hat für sich stehend keinen Wert. Die Null steht für „nicht vorhanden“, die Eins im Gegensatz dazu für „vorhanden“. Das haben wir bei der Erklärung der Eins schon vorgestellt. Dieses Prinzip verwendet jeder digitale Rechner, der Daten nur mit Null und Eins codiert (ersetzt und verarbeitet). Ein Rechner arbeitet mit einem Stellenwertsystem, dass nur aus diesen zwei Symbolen besteht. Die Menge Zwei wird entsprechend der Menge Zehn (10) im Dezimalsystem (Zehnersystem) gebildet: die Eins rückt eins nach links, die Null wird dahinter gesetzt. Die Menge Drei wird durch Erhöhung der zweiten Stelle um eins dargestellt: 11. Die Menge Vier im Dualsystem (so wird das Zweiersystem noch genannt) hat wieder eine Stelle mehr und die hinteren Stellen werden von Nullen besetzt (100).

Die Null gibt es noch nicht so lange wie es das Stellenwertsystem gibt. Da die Null auf den ersten Blick keine Bedeutung außer der des Platzhalters hat, haben die Menschen lange ohne die Null gerechnet. Doch irgendwann hatten wohl die Araber als Erster die Einsicht, dass die Null bei unterschiedlichen Rechenoperationen unterschiedliche Bedeutung erlangt und sie neben der Eins die wichtigste Zahl in der Mathematik ist.

Die Kombination aus eins und null ergibt die Zehn, die für uns die Grundlage des Rechnens ist, weil wir genau zehn Zahlsymbole verwenden. Die Zehn wird beim Mensch durch die Anzahl seiner Finger bestimmt, die sehr gut als Zählhilfe taugen und in einem kleinen Zahlenraum die Anzahlen durch Einziehen und Ausstrecken der Finger verdeutlicht. Damit ersparen wir uns andere Assoziationen. Das ist ein Grund, warum wir genau mit zehn Symbolen arbeiten und nicht mit zwei (Dualsystem). Jede erdenkliche Anzahl an Symbolen ist möglich, um ein Stellenwertsystem zu erschaffen, mit dem wir rechnen können, aber wir rechnen mit den gelernten zehn Symbolen.

Merkfähigkeit

Es gibt viele Gedächtnistrainer, die ihrem Publikum das Merken von Zahlen mithilfe von Assoziationen beibringen. Wir nehmen unsere Beispiele für die Ziffern 1 bis 9 und für die Null steht einfach das Nichts (Nirwana). Es geht darum, sich absurde Geschichten für irgendwelche Zahlenfolgen (z.B. bei Pin-Nummern) auszudenken, damit sie bildhaft im Gehirn erhalten bleiben.

Meine Handy-Pin ist beispielsweise 4258, wie kann die passende Geschichte lauten? Ein langweiliger Vorschlag vorweg: Ein Pferd knabbert an einer Kirsche, während wir mit der Hand nach einer Spinne greifen. Sei einfach kreativ und überleg dir verrücktere Dinge, die besser im Gehirn haften bleiben!

Eins bis Zwanzig (natürliche Zahlen)

Jetzt kennen wir alle Symbole des Zehnersystems: Zu zählen beginnen wir immer bei der Eins, dann kommt die Zwei, Drei, Vier, Fünf, Sechs, Sieben, Acht und Neun. Jetzt benötigen wir die Null als Platzhalter: 10, dann 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 und welche Zahl folgt? Richtig, wir müssen jetzt die Zwei an die vorderste Stelle tun und die Null hinten anstellen, dann erhalten wir die Zwanzig (20). Wie heißen die Zahlen zwischen zehn und zwanzig?

Ich zähle sie in der entsprechenden Reihenfolge auf und beginne mit der Elf, dann kommt die Zwölf, die Dreizehn, die Vierzehn, die Fünfzehn, die Sechzehn, die Siebzehn, die Achtzehn und die Neunzehn. Wie du vielleicht sehen kannst, werden ab der Dreizehn die Worte ähnlich den vorhandenen Symbolen gebraucht, nur dass die Zahlen vertauscht sind. Die vordere Eins steht für die Zehnerstelle Z, die hintere Drei steht für die Einerstelle E. Ab der Dreizehn werden die Zahlen nicht mehr als Worte, sondern offiziell als Zahlsymbole (13) geschrieben.

In anderen Sprachen werden Zahlworte in „richtiger“ Reihenfolge genannt, wieder in anderen Sprachen werden Zahlworte durch Zusammenzählen gebildet. Und diese Rechenoperation lernen wir im nächsten Abschnitt kennen. Alle Zahlen, die in diesem Abschnitt besprochen wurden und die durch die zehn Symbole im Stellenwertsystem darstellbar sind, nennt man natürliche Zahlen (N), weil sie zum Zählen sinnvoll benutzt werden können. Die Zahlen beschreiben positive, ganze Mengen, die in der Natur vorkommen.

3 Plus

Der bisher bekannte Zahlenraum von eins bis zwanzig reicht aus, um die Gesetze der Addition (des Plusrechnens) zu verstehen. Das Rechenzeichen heißt Plus und sieht folgendermaßen aus: +. Addieren heißt hinzuzählen. Das kommt uns doch bekannt vor, weil wir das Zählen schon gelernt haben. Genau genommen haben wir die einfachste Art des Plusrechnens schon begriffen, wenn wir zählen. Wir beginnen bei der Eins und rechnen eins dazu. Was kommt heraus? Zwei. Jetzt rechnen wir wieder eins dazu (Schreibweise: +1), das Ergebnis lautet drei. Und so weiter.

Ähnliches zusammenfassen

Da wir beim Zählen immer ähnliche Gegenstände verwendet haben, greife ich einen Gegenstand heraus, mit dem wir Mengen plausibel machen: den Apfel. Du kannst dir auch jeden beliebigen anderen Gegenstand denken, aber ich rechne gern mit Äpfeln, weil man die auch schön halbieren kann. Zunächst verwenden wir nur ganze Äpfel.

Ein Apfel plus einen Apfel (1+1) ergibt (=) zwei Äpfel oder: die Summe aus Eins und Eins ist Zwei. Im Deutschen beginnt die Mehrzahl (mehr als eins) bei der Menge Zwei; statt Apfel sagen wir Äpfel. Zwei Äpfel plus einen Apfel ergeben drei Äpfel (2+1 = 3). Das haben wir beim Zählen schon auswendig gelernt.

Was ergeben zwei Äpfel plus zwei Äpfel (2+2)? In diesem Fall wäre es schön, wenn wir zwei Äpfel und nochmal zwei Äpfel zur Verfügung hätten. Dann könnten wir die Äpfel nebeneinander legen und die Menge abzählen: Eins, zwei, drei und vier. Eine weitere Taktik wäre, bei der bekannten Zahl Zwei zu beginnen und zwei Elemente weiterzuzählen. Die beste Taktik auf Dauer ist aber, bei der einen Menge (2) zu beginnen und die Summe beim Hinzuzählen der anderen Menge (2) auswendig zu kennen. Das heißt zu wissen, bei welcher Zahl du nach dem Weiterzählen landest. Zwei plus zwei ergibt vier (2+2 = 4). Deshalb ist es ganz wichtig, ein Gespür für Mengen zu entwickeln.

Wir sollten die Größe der Zahlenmengen ungefähr abschätzen können und wissen, welche Menge kleiner, größer oder gleich ist (mathematisch dargestellt durch <, > oder =). Bei eng aneinander liegenden Zahlen, z.B. 5 und 6, fällt uns das schwerer als bei weit auseinander liegenden, z.B. 2 und 9, weil wir gedanklich die Zahlen wie auf einem Strahl von links nach rechts ordnen und dadurch länger „hinschauen“ müssen, ob die eine oder andere Zahl weiter rechts steht (Abb. Zahlenstrahl).

Wir haben im Abschnitt 2 viele Assoziationen zu den Grundsymbolen hergestellt, um immer eine bildliche Vorstellung aus der Alltagswelt zu haben. In vielen alten Völkern gab es nur eins, zwei oder viele. Heutzutage sollten wir bestimmte Vorstellungen von Vielen haben und kleine Mengen relativ genau abschätzen, für große Mengen sollten wir im Rahmen des Stellenwertsystems Vielfache voneinander unterscheiden können (Abschnitt 4 und 5).

Zahlensinn

Aus wissenschaftlichen Untersuchungen wissen wir, dass der Mensch und auch einige Tiere einen Sinn für Zahlen besitzen und Mengen bis zur Vier auf Anhieb erfassen und unterscheiden können. Das sehen wir am römischen Zahlensystem und bei den Mayas, die für die ersten vier Anzahlen einfach Punkte in Reihe aufmalten und für die Fünf einen waagrechten Strich mit entsprechender Länge zogen. Zum Weiterzählen machten sie weitere Punkte über dem Strich:

Das erinnert an unsere Strichlisten, wenn wir Mengen abzählen: Über vier gezählte Striche machen wir einen Querstrich und bilden Fünferpakete, die wir dann wiederum zu Zehnerpaketen zusammenfassen, die wir entsprechend dem Zehnersystem einfach hochzählen können.

Für uns ist und war es immer wichtig, die Größenordnung und ungefähre Anzahlen abschätzen zu können und nicht, genaue Anzahlen zu bestimmen. Ob wir nun 47 oder 53 Partygäste haben oder unser Einkauf 28 oder 31 Euro kostet, ist in erster Linie egal. Aber auf den zweiten Blick und für die Genauigkeit müssen wir rechnen lernen.

Auswendig lernen: Einspluseins-Tafel

Und wir lernen auswendig! Das zwei und zwei vier ist, sollten wir nicht mehr abzählen, aber das Zählen soll uns ein Hilfsmittel sein, das Einspluseins auswendig zu kennen. Das Einspluseins beinhaltet alle Plusaufgaben im Zahlenraum bis zwanzig, der uns vorerst auch genügt. An ein paar Beispielaufgaben möchte ich dir zeigen, wie wir das Plusrechnen begreifen können. Eine Tafel zum Nachschauen gibt es am Ende des Abschnitts.

Gerade und ungerade

Wie rechnen wir zwei plus drei (2+3), wenn wir die Lösung von zwei plus zwei schon kennen? Wir zählen eins weiter und da kennen wir das Ergebnis (4+1=5) schon. Eine gerade Zahl plus eine ungerade Zahl ergibt auch immer eine ungerade Zahl. Eine gerade Zahl plus eine gerade Zahl ergibt wieder gerade. Was ergibt ungerade plus ungerade?

Wieder gerade. Jetzt könnte man meinen, dass es mehr gerade wie ungerade Zahlen gibt, aber dem ist nicht so, weil wir den Fall „ungerade plus gerade ergibt ungerade“ unterschlagen haben. Dieses Prinzip der Vertauschung werden wir in Abschnitt 7 bei der Rechnung mit Wahrscheinlichkeiten näher kennen lernen.

Gerade Zahlen und ungerade Zahlen wechseln sich ab, wenn wir zählen. Und sie helfen uns beim Rechnen, wenn wir sie auswendig lernen, weil wir uns nicht mehr um eins verrechnen (verzählen) können. So nähern wir uns Schritt für Schritt den Lösungen des Einspluseins. Alle ungeraden Zahlen bis zwanzig: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19. Alle geraden Zahlen bis zwanzig: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 und 20. Du siehst, dass die Ungeraden immer auf 1, 3, 5, 7 oder 9 enden und die Geraden immer auf 0, 2, 4, 6 und 8. Hierbei ist es egal, wie viele Stellen die Zahl letztendlich hat, zum Beispiel ist 324 gerade und 537 ungerade.

Fingerrechnen bei der Addition

Unsere zehn Finger helfen bei der Vorstellung dieser Mengen und sind als Hilfsmittel beim Erlernen sehr gut geeignet. Jede Hand hat fünf Finger, die eingezogen oder ausgestreckt für bestimmte Mengen stehen. Beim Addieren steht eingezogen für „nicht vorhanden“ und ausgestreckt für „vorhanden“. Beim Multiplizieren (Vervielfältigen, Abschnitt 4) wird die Rechentechnik etwas abgeändert.

Die einzelnen Entwicklungsschritte zum Begreifen dieser Mengen gehen wir gemeinsam durch. Zunächst müssen wir eine Vorstellung für jede einzelne Zahlenmenge bis zehn entwickeln, die wir im ersten Abschnitt genauer behandelt haben und jetzt mit Fingern darstellen. Die Fingerbilder von eins bis fünf sind grundlegend für die Bilder von sechs bis zehn, die durch Addition entstehen. Für uns muss klar sein, dass eine Hand aus null und fünf (0+5), aus einem und vier (1+4), aus zwei und drei (2+3) und umgekehrt (5+0, 4+1, 3+2) bestehen kann. Die Verknüpfungen von eins und sechs (5+1 = 6), zwei und sieben (5+2 = 7), drei und acht (5+3 = 8), vier und neun (5+4 = 9) und fünf und zehn (5+5 = 10) müssen wir verinnerlichen, bevor wir dann tatsächlich zum Fingerrechnen übergehen.

Kleiner Fünf

Wenn wir zwei Mengen kleiner oder gleich fünf zusammenzählen, reicht es aus, die kleinere Menge in der linken Hand (das machen wir zukünftig immer so, weil wir uns dadurch die Vertauschungsaufgaben bei Plus und Mal sparen) mit der größeren (oder gleich großen) Menge der rechten Hand zu verbinden. Wir füllen dann die kleinere Menge mit Fingern aus der rechten Hand auf, die wir dort einziehen, bis die Hand voll ist. Jetzt haben wir das Endergebnis, das entweder nur aus Fingern der linken Hand oder auch aus Fingern der rechten Hand besteht. Da uns die Mengendarstellungen von eins bis zehn klar sind, können wir das Ergebnis ablesen: 3+4 = 3+2+2 = 5+2 = 7.

Größer Fünf

Wenn wir zwei Mengen größer oder gleich fünf zusammenzählen, nehmen wir für jede Hand nur die Menge, die über die volle Hand hinausgeht und zeigen sie (wieder sortiert nach obigem Verfahren) an: Für die Sechs zeigen wir links einen Finger und rechts für die Acht drei Finger. Zu diesen vier Fingern addieren wir noch die zwei Hände (5+5), die wir weggelassen haben: 6+8 = 5+1+5+3 = 10+4 = 14.

Kleiner und größer Fünf

Schwieriger wird es, wenn die kleinere Zahl unter fünf und die größere Zahl über fünf liegt und sie zusammen mehr als zehn geben, weil dann ein direktes Verbinden nicht mehr möglich ist. Aber wir kombinieren beide Verfahren, indem wir bei der größeren Zahl rechts die erste Hand wieder weglassen und sie mit den ausgetreckten Fingern der linken Hand auffüllen. Jetzt haben wir entsprechend des zweiten Verfahrens das Ergebnis plus zehn vor Augen: 4+9 = 4+4+5 = 5+3+5 = 3+10 = 13.

Zahlenverständnis

Mit der Zeit und nach einigem Üben wissen wir dann jede Plusaufgabe von Null bis Zwanzig auswendig, wenn wir jeden Entwicklungsschritt beim Erlernen sorgfältig üben und uns die Mengen vor Augen führen und das im wörtlichen Sinne. Denn nur durch die Verbindung der tatsächlichen Mengen mit den Symbolen (siehe Abschnitt 1) entsteht ein gesundes Zahlenverständnis in unserem Kopf. Wir sehen das Rechnen, das im ursprünglichen Gebrauch für Ordnen steht, nicht nur als abstrakten Vorgang, sondern auch als etwas Natürliches an. Wir ordnen durch die abstrakten Symbole (Zahlen und Rechenzeichen) die Vorgänge in der Natur, die zunächst nur aus Mengen ähnlicher Gegenstände besteht.

Zusammenfassung der Addition

Bei Anwendung dieser Rechenverfahren müssen wir immer die Mengen im Blick behalten und dürfen uns nicht auf das mechanische Abzählen der Finger beschränken. Das Zählen soll nach gewisser Zeit übrigens nicht mehr angewandt werden, wenn wir die Mengen hundertprozentig (vollständig, diese Ausdrucksweise lernen wir in Abschnitt 4) im Kopf haben. Durch das Üben der Fingerrechnung im Additionsbereich lernen wir anfangs die Ergebnisse bis zur Zehn, dann lernen wir die Kombinationen, die zusammen zehn ergeben (0+10, 1+9, 2+8, 3+7, 4+6, 5+5 und umgekehrt) und schließlich lernen wir die Zehnerübergänge (Ergebnisse über zehn beim Einspluseins) auswendig, so dass wir jetzt alle Additionsaufgaben im Zahlenraum bis zwanzig auswendig im Kopf haben.

Wenn das der Fall ist, lassen wir die Finger von der Fingerrechnung im Plusbereich, weil wir die Mengen verinnerlicht haben, die Symbole richtig gebrauchen und uns nicht mit Hilfsmitteln aufhalten wollen, die in diesem Stadium des Zahlenverständnisses nicht mehr gebräuchlich sind. Wir merken uns, dass die Finger zum Erlernen der Grundmengen und ihrer Addition sehr hilfreich sind, aber sich bei größeren Rechnungen als ungeeignet erweisen. Ähnlich verhält es sich bei der Multiplikation im nächsten Abschnitt.

Subtraktion

Aber irgendetwas haben wir in diesem Abschnitt noch gar nicht angesprochen, was unbedingt zur Addition dazugehört. Weißt du es? Es ist das Gegenteil, die Subtraktion. Und die ist nach dem Erlernen der Addition überhaupt nicht mehr schwierig, weil wir die Aufgaben der Addition bis zwanzig schon auswendig kennen. Wenn drei plus zwei fünf ergibt (3+2 = 5), dann können wir auch logisch erschließen, dass fünf weniger zwei drei ergibt (5−2 = 3), oder?

Oder fünf weniger drei ergibt zwei (5−3 = 2), die Vertauschung passt auch hier. Weniger steht für das Rechenzeichen Minus (−) und heißt, dass wir eine bestimmte Anzahl von einer gegebenen Menge abziehen müssen. Mehr Schwierigkeiten bekommen wir, wenn wir von einer gegebenen Menge eine größere Menge abziehen sollen, was mathematisch kein Problem ist, weil wir dann einfach einen neuen Zahlenbereich erschaffen: die negativen Zahlen.

Zahlenstrahl

Um sich negative Zahlen besser vorstellen zu können, zeichnen wir einen Zahlenstrahl. Das ist ein unendlich langer Strich, von dem wir nur einen kleinen Ausschnitt mit der Null in der Mitte zeichnen. Die wird mit einem kleinen senkrechten Strich markiert und links und rechts davon machen wir noch weitere Striche mit demselben Abstand voneinander. Die Striche rechts von der Null benennen wir mit den bisher gelernten positiven ganzen Zahlen, beginnend mit der Eins. Die Striche links von der Null benennen wir ebenso, nur von rechts bei der Null beginnend.

Jetzt haben wir einen Spiegel mit der Null als Spiegelachse vor uns. Da wir gewöhnlich von links nach rechts lesen, stehen links auch die kleineren Zahlen und zwar die negativen Zahlen, weshalb wir vor jede Zahl links der Null ein Minuszeichen machen. Wenn du das jetzt kapiert hast, dann muss dir klar sein, dass minus drei (−3) kleiner ist als minus eins (−1) oder null oder alle positiven Zahlen. Die Vorstellung am Zahlenstrahl hilft dir dabei.

Rechnen am Zahlenstrahl

Jetzt über wir mal das Rechnen am Zahlenstrahl mit Abziehaufgaben. Im positiven Bereich haben wir schon ein Beispiel gerechnet, nämlich fünf minus zwei ergibt drei (5−2 = 3). Oder fünf minus drei ergibt zwei (5−3 = 2). Das wissen wir, weil zwei plus drei fünf ergibt (2+3 = 5) und die Summanden (so heißen die zwei Teile einer Summe) vertauschbar sind. Was passiert jetzt bei zwei minus fünf (2−5)?

Wir sind gewohnt, die kleinere von der größeren Zahl abzuziehen und das machen wir jetzt auch: ergibt drei. Und weil wir es falsch herum gemacht haben, drehen wir das Vorzeichen (das Rechenzeichen vor der Zahl) einfach herum und damit ist das Ergebnis minus drei. Ein Beispiel aus dem Alltag wäre ein Temperatursturz um fünf Grad bei zwei Grad Anfangstemperatur. Danach hätten wir drei Grad minus. Wie rechnen wir weiter, wenn die Temperatur nochmals um fünf Grad fallen wird? Da wir uns ausschließlich im negativen Bereich befinden, dürfen wir entsprechend den Rechnungen im positiven Bereich handeln und zählen drei und fünf zusammen, was acht ergibt. Das Zeichen für den negativen Bereich müssen wir nur noch davor setzen und wir erkennen, dass wir acht Grad minus haben werden.

Sollte in den nächsten Tagen eine Warmfront das Wetter bestimmen und die Temperatur wieder um zehn Grad ansteigen, rechnen wir minus acht plus zehn und landen wieder im positiven Bereich, weil die Pluszahl größer ist als die Minuszahl. Folglich haben wir wieder eine gewöhnliche Aufgabe vor uns, die wir auswendig kennen: Zehn minus acht ergibt zwei (10−8 = 2), weil acht plus zwei zehn ergibt (8+2 = 10). Wenn wir das Rechenzeichen immer vor der Zahl belassen, quasi der Zahl zugehörig machen, können wir die Rechenelemente (Zahlen mit Vorzeichen) immer vertauschen und aus der Aufgabe minus acht plus zehn (−8+10) einfach (plus) zehn minus acht (+10−8) machen, damit lässt es sich einfacher rechnen.

Vertauschungsgesetz

Das haben wir schon bei der Fingerrechnung so gemacht, dass wir die Zahlen nach Größen sortiert haben; das nennen wir schon Rechnen nach der ursprünglichen Wortbedeutung. Das Gesetz zum Vertauschen nennen wir Kommutativgesetz. Es besagt, dass wir gleichrangige Rechenvorgänge in beliebiger Reihenfolge ausführen dürfen. Eine reine Subtraktionsaufgabe wie acht minus fünf (8−5 = 3) ist bei Vertauschung der Zahlen (5−8 = −3) nicht kommutativ, aber wenn wir das Vorzeichen bei der Zahl belassen, haben wir mit der Vertauschung kein Problem: +8−5 = −5+8 = +3.

Ordnen

Ordnen ist wichtig, wenn wir Rechenvorgänge durchführen, weil wir dadurch komplexe oder chaotische Sachverhalte besser zurechtlegen und auf grundlegende Gesetze zurückführen. Schauen wir uns mal ein unaufgeräumtes Kinderzimmer an: Die Kleider liegen verstreut auf dem Boden, dem Bett und hängen teilweise über dem Stuhl oder noch im Schrank. Die Bauklötze verteilen sich über dem Teppich, die Schulsachen liegen teils auf dem Schreibtisch, teils im Bett, weil dort noch Vokabeln gelernt wurden. Was müssen wir tun, damit wir uns wieder zurechtfinden?

Wir müssen die Dinge nach ihrer Ähnlichkeit sortieren: Die Kleider kommen in den Schrank, die Bauklötze in die dafür vorgesehene Kiste und die Schulsachen in die Schultasche. Nichts anderes machen wir prinzipiell beim Rechnen: Wir ordnen.

Ganze Zahlen

Wir ordnen in positive Zahlen und in negative Zahlen, die Null ist das neutrale Element. Zusammen bilden sie die ganzen Zahlen, symbolisiert durch Z. Die Zahlenmengen sind dieselben auf der linken wie auf der rechten Seite, nur das Vorzeichen kennzeichnet den Wert. Es macht einen Unterschied, ob wir fünf Euro plus (+5) oder minus (−5) auf dem Konto haben. Wie groß ist der?

Genau, zehn. Instinktiv hast du beide Fünfer zusammengerechnet, weil der Betrag von links bis zur Null genau derselbe ist wie von rechts bis zur Null. Wir nennen die Menge ohne Vorzeichen immer Betrag, das ist der mathematische Begriff dazu. Die Rechnung dazu lautet: fünf minus (Subtraktion) minus (Vorzeichen) fünf ergibt zehn (5−(−5) = 5+5). Warum? Weil aus dem doppelten Verneinen (zwei Mal minus hintereinander) wieder eine Zustimmung wird, also plus. Vielleicht hast du schon bemerkt, dass wir für eine positive Zahl am Anfang der Rechnung kein Vorzeichen machen müssen.

Bei der Addition zweier gleicher Werte wie hier lassen sich neue Rechenregeln ableiten. Wir sprechen bei fünf plus fünf auch von zwei mal fünf, weil wir zwei gleich große Mengen einer Gruppe zuordnen. Dazu im Abschnitt 4 mehr.

Ein Rechenverfahren der Addition

Jetzt üben wir das Stellenwertsystem beim angewandten Rechnen ohne (!) Finger. Als Beispielaufgabe eignet sich vierzehn plus sieben (14+7). Die Vierzehn (14) besteht aus einer Einerziffer (4) und einer Zehnerziffer (1), die Sieben nur aus der Einerziffer (7). Diese Zahlen schreiben wir entsprechend untereinander, so dass wir zunächst die Einer (E) zusammenzählen: elf (11). Davon schreiben wir die Einerziffer (1) in die Einerspalte und die Zehnerziffer (1) in der Zehnerspalte (Z) dazu. Eins plus eins ergibt zwei (1+1 = 2). Jetzt steht in der Zehnerspalte die Zwei und in der Einerspalte die Eins: 21. Welche zwei Zahlen ergeben addiert noch einundzwanzig?

Siebzehn und Vier

Es gibt etliche Beispiele, aber ich will das schönste herausgreifen: Diese Summe ist sehr bekannt durch ein Kartenspiel, das man auch Siebzehn und Vier nennt. Bei diesem Spiel werden immer die Zahlenwerte der ausgespielten Karten aufaddiert. Du darfst immer wählen, ob du noch eine Karte möchtest oder nicht. Die Summe der Werte sollte möglichst nahe an die Einundzwanzig heranreichen, um zu gewinnen. Ist die Summe allerdings größer als einundzwanzig (>21), hast du verloren.

Der Kartengeber muss bis zur Siebzehn noch weitere Karten nehmen und darf danach keine mehr ziehen. Das ist statistisch (Abschnitt 7) gesehen am besten und dem emotional geprägten menschlichen Spieler überlegen; übrigens auch, weil der Kartengeber bei Gleichstand gewinnt. Der Mitspieler geht dadurch mehr Risiko ein und verliert auf Dauer.

Zahlenraum bis zu einer Million

Zurück zur Addition im Stellenwertsystem. Mit der eben gelernten Methode lassen sich theoretisch unendlich viele und beliebig lange Zahlen addieren. Wir müssen nur das Schema beherzigen und immer bei den Einern beginnen. Du magst jetzt vielleicht protestieren, weil bei der Addition mehrerer einstelliger Zahlen bei den Einerziffern größere Summen wie zwanzig herauskommen, aber das sollte kein Problem mehr sein. Die Zahlen sind im Kopf immer aufzuaddieren, weil maximal Zehnerübergange stattfinden.

Wir rechnen sieben plus acht ergibt fünfzehn (7+8 = 15), plus neun ergibt vierundzwanzig (15+9 = 24): Fünf und neun ergibt vierzehn (5+9 = 14) und die Zehnerziffer der Fünfzehn (14+10 = 24), also vierundzwanzig. Nach der Zwanzig (20) kommt die Dreißig (30), dann Vierzig (40), Fünfzig (50), Sechzig (60), Siebzig (70), Achtzig (80), Neunzig (90) und Hundert (100).

Eine neue Stelle entsteht (siehe Abschnitt 2): die Hunderter (H). Einhundert (100), Zweihundert (200), Dreihundert (300), Vierhundert (400), usw. bis zur Tausend (1.000, immer nach drei Stellen macht man einen Punkt, um die Zahl besser zu erfassen), die für zehn Hunderter steht. Bei den Tausendern (T) funktioniert das entsprechend, die weiteren Vielfachen ergeben sich durch einfaches Hochzählen. So auch die Zehntausender (ZT), Hunderttausender (HT) und Millionen (M), das sind Tausend Tausender! Größere Zahlen behandeln wir dann bei den Potenzen (Abschnitt 5), weil wir mit deren Hilfe diese Zahlen noch einfacher darstellen können (zumindest ungefähr).

Rechenverfahren der Subtraktion

Wir sollten uns noch die Subtraktion mit dem Stellenwertsystem anschauen. Wenn wir viele Zahlen addieren und subtrahieren, empfiehlt es sich immer, die Zahlen links von der Null (die Negativen) und rechts von der Null (die Positiven) getrennt zu addieren. Am Schluss müssen wir dann nur noch die Summe der negativen Zahlen von der Summe der positiven Zahlen abziehen und das machen wir dann auch im Stellenwertsystem. Dafür gibt es zwei Methoden.

Entbündeln

Methode A nennt man Entbündeln. Wir rechnen einundzwanzig minus sieben (21−7). Die Sieben steht unter der Eins in der Einerspalte und wir müssen die Differenz von sieben und elf bilden (11−7 = 4), weil die Eins kleiner als die Sieben ist und wir deshalb die Eins um einen Zehner zur Elf ergänzen. Den Zehner haben wir der Zwei in der Zehnerspalte geklaut (2−1 = 1), so dass wir stattdessen eine Eins schreiben. Das Ergebnis in der Einerspalte beträgt vier, in der Zehnerspalte rechnen wir eins minus null ergibt eins (1−0 = 1). Das Gesamtergebnis heißt vierzehn (14), wie wir schon auswendig wussten, weil vierzehn plus sieben einundzwanzig ergibt (14+7 = 21).

Ergänzen

Was machen wir anders beim Ergänzungsverfahren? Zunächst machen wir alles genau gleich: Wir schreiben die entsprechenden Stellen untereinander und schauen, wie viel von der unteren zur oberen Zahl fehlt. Ist die obere Zahl kleiner, setzen wir eine Eins davor und rechnen entsprechend die Differenz aus (11−7 = 4), tragen sie in der Einerspalte ein (4) und rutschen weiter zur Zehnerstelle. Aber jetzt streichen wir nicht die obere Zwei durch, sondern schreiben in die untere Zeile die Eins, die wir oben ergänzt haben und rechnen zwei minus eins ergibt eins (2−1 = 1); Endergebnis auch vierzehn (14).

Mehrere Lösungswege

Das Grundprinzip beider Verfahren ist dasselbe, aber die Vorgehensweise beim Zehnerübergang unterscheidet sich dahingehend, dass beim Entbündeln die überflüssige Zehn oben subtrahiert und beim Ergänzen unten addiert wird. Wir sehen, dass die Methode beim Rechnen für das Ergebnis (die Differenz) keine Rolle spielt und dass wir oft mehrere Lösungswege haben, die uns zum Ergebnis verhelfen. So auch bei der Multiplikation, die wir jetzt näher betrachten.

4 Mal

Wie beim Zählen fügen wir gleiche Mengen durch das Rechenzeichen Plus aneinander. Nur, dass wir jetzt nicht 1+1+1 usw. rechnen, sondern größere Mengen wie z.B. 5+5 aneinanderreihen. Hier haben wir zwei Mal (so heißt auch das neue Rechenzeichen) die Fünf addiert und wie im Abschnitt zuvor die Menge Zehn als Ergebnis erhalten, weil wir das Einspluseins auswendig gelernt haben und somit immer das Doppelte einer Zahl durch Addition bestimmen können. Die Rechnung 2∙5 = 10 müssen wir uns auch bald auswendig merken, weil es jetzt aufwendiger und schwieriger wird, die Lösungen durch abzählen zu erhalten.

Zählen heißt jetzt, dieselben Zahlenmengen immer aufzuaddieren: 7∙3 ist dasselbe wie 3+3+3+3+3+3. Fertig? Hast du nachgezählt? Es fehlt noch ein +3, weil wir diese Menge nicht sechs Mal, sondern sieben Mal brauchen. Um umständliches Zählen zu vermeiden und damit auch Fehler zu minimieren, gebrauchen wir die Multiplikation (Vervielfältigung) und ihre Regeln.

Ordnen und vertauschen

Können wir diese Aufgabe auch einfacher nachrechnen? Ja, mit der Vertauschung der Zahlen beim Rechenvorgang. Ob ich sieben Mal die Menge Drei aufaddiere (3+3+3+3+3+3+3 = 7∙3 = 21) oder drei Mal die Menge Sieben (7+7+7 = 3∙7 = 21), macht keinen Unterschied. Wir gebrauchen das Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz) auch bei reinen Malaufgaben, weil die Reihenfolge der Berechnung keine Rolle für das Endergebnis spielt.

Was ergibt 4∙7? Wir rechnen 3∙7 (weil wir das Ergebnis schon kennen) plus 1∙7 und erhalten 28. Wissen wir das Teilergebnis nicht auswendig, müssen wir die Sieben vier Mal aufaddieren (7+7+7+7) und erhalten 28. Oder wir wissen, dass 4∙7 das Doppelte von 2∙7 ist und 14 miteinander addiert auch 28 ergibt. Viele Wege führen nach Rom, auch ohne römische Zahlen. Übrigens sind römische Zahlen nicht im Stellenwertsystem aufgebaut, weshalb die bisher gelernten Verfahren der Addition und Multiplikation bei römischen Zahlen fast ausgeschlossen sind.

Zerlegen

Wir erkennen mit der Zeit, dass sich die verschiedenen Rechenverfahren immer aufeinander beziehen und aufeinander aufbauen. Durch Zerlegung der gestellten Aufgaben in einzelne Elemente werden die Rechnungen einfacher und durch Kombination der Teilergebnisse gelangen wir zum Endergebnis.

Wie schon beim Zählen und bei der Addition hilft es uns auf Dauer aber nicht weiter, nur die Grundelemente zu kennen. Es ist wichtig, gewisse Teilergebnisse wie die Größe der Menge oder die Ergebnisse des Einspluseins zu kennen, um größere Aufgaben zu bewältigen. Mit diesen Hilfsmitteln lernen wir nämlich jetzt das Einmaleins auswendig.

Fingerrechnen bei der Multiplikation

Das beste Hilfsmittel zum Erlernen waren schon vorher unsere eigenen Finger, die wir jetzt wieder gebrauchen. Ein Finger steht für die Menge 1, zwei Finger für 2, drei Finger für 3, vier Finger für 4 und fünf Finger für 5. Anders als beim Plusrechnen nehmen wir für die Menge 6 nicht einen Finger (plus die gedachte Hand mit fünf Fingern), sondern wir strecken vier Finger aus, weil wir auf zwei volle Hände (zehn Finger) ergänzen. Für die Menge 7 stehen drei Finger, für 8 zwei Finger, für 9 ein Finger und für 10 keiner. Dabei wiederholen und lernen wir zusätzlich die Ergänzung zum Zehner.

Durch diesen Trick lassen sich alle Malaufgaben des Einmaleins mit den Fingern ermitteln. Der Trick besteht darin, dass wir mithilfe der angezeigten Mengen (Anzahl der ausgestreckten und eingezogenen Finger) immer ein System anwenden können, das uns das gewünschte Ergebnis liefert.

Wie beim Plusrechnen nehmen wir zunächst den kleineren Malpartner (erster Faktor) und zeigen ihn mit der linken Hand an. Anschließend strecken wir an der rechten Hand die entsprechende Zahl Finger aus. Eine Beispielaufgabe: Bei 3·4 strecken wir links drei Finger und rechts vier Finger aus. Jetzt ziehen wir rechts jeweils einen Finger ein, weil eine 3 schon angezeigt wird (1·3 = 3) und zählen links jeweils 3 Finger dazu, indem wir einfach hochzählen und uns die Fünfer- und Zehnerübergänge merken. So erhalten wir am Ende der Rechnung zwei verbleibende Finger der linken Hand, die zusammen mit zwei abgezählten Händen für die Menge 12 stehen.

Kleiner Fünf

Diese Art der Malrechnung erinnert noch sehr ans Zählen und Addieren. Wir verwenden dieses einfache Verfahren auch zur Multiplikation mit zwei Faktoren bis einschließlich der Zahl 5. Das sind nicht so viele Aufgaben, weil wir die Ergebnisse bis zum Faktor 2 schon kennen: Alle Zahlen mal 0 ergeben immer 0. Wird eine Zahl mit 1 multipliziert, bleibt der Wert erhalten. Nehmen wir die Zahlen mal 2, könnten wir genauso eine Plusrechnung im Zahlenraum bis 10 mit zwei Summanden durchführen, was wir schon auswendig gelernt haben. 2·4 ist dasselbe wie 4+4. Folglich müssen wir nur die Aufgaben 3·3 = 9, 3·4 = 12, 3·5 = 15, 4·4 = 16, 4·5 = 20 und 5·5 = 25 üben und auswendig lernen.

Kleiner und größer Fünf

Wenn das (ich nenne es das Mini-Einmaleins) sitzt, können wir den nächsten Schritt wagen und Zahlen größer als 5 multiplizieren. Wir rechnen nun unsere bekannte Aufgabe (3∙7) mit dem neuen System: Die linke Hand hat drei ausgestreckte Finger und zwei eingezogene, die rechte Hand genauso, weil die Ergänzung der 7 zur 10 drei beträgt. An der Linken zeigen die ausgestreckten Finger den Zehner an, von dem das Produkt (so nennen wir das Ergebnis bei Mal) der ausgestreckten Finger beider Hände abgezogen wird. Der Zehner heißt 30, wir ziehen 9 ab (3∙3 = 9) und erhalten 21.

Du siehst, dass wir Plus- und Minusrechnen können sollten, bevor wir Malrechnen üben! Dieses Verfahren funktioniert immer, wenn eine Zahl größer als 5 (>5) und eine kleiner als 5 (<5) oder gleich 5 (=5) ist.

Größer Fünf

Bei zwei Zahlen größer (oder gleich) 5 ändern wir das Verfahren leicht ab. Als Beispiel nehmen wir 7∙8: die linke Hand zeigt drei ausgestreckte und zwei eingezogenen Finger, die rechte Hand zeigt zwei ausgestreckte und drei eingezogene Finger. Die Gesamtheit der eingezogenen Finger gibt uns nun den Zehner (50) an, den wir dann mit dem Produkt der ausgestreckten Finger (3∙2) addieren. Also rechnen wir die Aufgabe 50+3∙2 = 56.

Punkt vor Strich

Hier könnte dir auffallen, dass 50+3∙2 bedeuten könnte: 50+3 = 53 und das mal 2? 53+53 können wir mit unserem Vorwissen rechnen (untereinander mit Stellenwertsystem), aber das Ergebnis ist nicht 56, sondern 106. Was läuft hier falsch?

Bei unserer ursprünglichen Aufgabe multiplizieren wir zuerst und rechnen 3∙2, erst anschließend wird addiert. So haben wir auch bei 3∙7 gerechnet und gebrauchen eine feste Regel, die in der Mathematik immer Gültigkeit hat, solange keine weiteren Zeichen größere Priorität besitzen: Wir rechnen „Punkt vor Strich“, d.h. Mal oder Geteilt (Geduld, das lernst du auch bald kennen) geht Plus oder Minus vor. Für die Zukunft wissen wir, wie solche Kombinationen von Rechenzeichen handzuhaben sind.

Wir rechnen noch ein weiteres Beispiel mit Zahlenwerten über 5, weil ich euch zeigen will, dass das Mini-Einmaleins Voraussetzung für das Einmaleins mit Fingern ist. Wir nehmen das Beispiel 6∙7: Vier ausgestreckte Finger links und drei ausgestreckte Finger rechts führen zu folgender Rechnung: Drei eingezogene Finger, also 30, plus 3∙4 (Produkt der ausgestreckten Finger, das wir beim Mini-Einmaleins gelernt haben) ergibt 42.

Im Verlauf der Zeit und mit Übung verfestigen wir nicht nur das Verfahren, sondern lernen die Ergebnisse jeder Malaufgabe auswendig.

Kopfrechnen

Wenn wir alle Ergebnisse des Einmaleins kennen, ohne unsere Finger zur Hilfe zu nehmen, dann sind wir soweit, dass wir Kopfrechnen können oder was die Allgemeinheit unter Kopfrechnen versteht, nämlich die Grundaufgaben der Plus- und Malrechnung auswendig zu kennen. Ist das dann noch Rechnen?

Wir haben Rechnen mit Ordnen erklärt, was wir beim Erlernen des Einspluseins oder des Einmaleins auch gemacht haben, wenn komplexe Aufgaben in kleinere Aufgaben zerlegt wurden, die wir bis dahin rechnen konnten und damit zum Gesamtergebnis gelangten. Aber jetzt kennen wir die Ergebnisse der scheinbar komplexen Aufgaben und müssen nicht mehr ordnen oder rechnen.

Kombinieren

Wenn wir größere (mehrstellige) Zahlen addieren, gebrauchen wir erneut unser Grundwissen und rechnen mit System (d.h. durch Ordnen) das Ergebnis aus. Erledigen wir diese Aufgabe mit Bleistift auf Papier, nennt man es aber nicht Kopfrechnen, sondern handschriftliches Rechnen. Wir rechnen mit dem Kopf, wenn wir uns die Zwischenergebnisse merken und am Ende wieder zusammenfügen können. Das erfordert erhöhte Konzentration und gute Merkfähigkeit. Übung macht auch hier den Meister, weil dadurch immer mehr Zwischenergebnisse ins Langzeitgedächtnis wandern und die einzelnen Kombinationsmöglichkeiten zunehmen.

Ein Beispiel soll zeigen, wie wir Plusaufgaben rechnen können: 25+47 =? 5+7 ergibt 12, schreibe 2, behalte 1. 2+4 ergibt 6, +1 = 7, Endergebnis 72. Wir könnten auch 20+40 = 60 und 5+7 = 12 zusammenzählen und 72 (60+12 = 72) erhalten. Oder 25+45 = 70 und noch 2 dazu ist 72. Das wäre eine dritte Möglichkeit. Findest du noch mehr?

Halbschriftliche Multiplikation

Ich will dir jetzt ein System zeigen, mit dem man größere Malaufgaben rechnen kann. Man nennt es halbschriftlich multiplizieren. Das Verfahren funktioniert nur bei einem einstelligen Faktor gut. Wir rechnen beispielsweise 5∙47, indem wir zunächst den Einer der 47, also die 7, mit der 5 multiplizieren (=35) und anschließend 5∙40 = 200 rechnen, was addiert 235 ergibt.

Auf dem Papier schreiben wir die ursprüngliche Malaufgabe in die erste Zeile und ziehen einen Strich darunter. In Zeile 2 rechnen wir 5∙7 = 35 und in Zeile 3 5∙40 = 200 und schreiben die Zahlen entsprechend ihrer Stellen untereinander, so dass wir die 35 mit der 200 im Stellenwertverfahren addieren können.

Schriftliche Multiplikation

Das ist die Vorstufe zum schriftlichen Multiplizieren, das auch mit mehrstelligen Faktoren funktioniert. Dazu nehmen wir dieselben Zahlen wie vorhin beim Addieren. 25∙47 schreiben wir nebeneinander in eine Reihe und unterstreichen diese. Unter der 7 markieren wir eine Leerstelle mit einer 0 und beginnen mit der 4, um die 25 zu multiplizieren. Zunächst rechnen wir 4∙5 = 20, schreiben die Einerstelle (0) vor die andere 0 und merken uns die Zehnerstelle (2). Dann rechnen wir 4∙2 = 8 und addieren die gemerkte 2, so dass wir 10 erhalten, die wir vor die Nullen schreiben. In der Zeile unter dem Strich steht jetzt die Zahl 1.000, die Rechnung war schließlich 40∙25. In der nächsten Zeile rechnen wir 7∙25 nach demselben Prinzip. Wir haben keine Leerstelle mehr, weshalb wir bei 7∙5 = 35 die 5 unter die letzte 0 schreiben und uns die 3 merken. 7∙2 = 14 plus 3 gleich 17, die wir vor der 5 notieren (175).

Die Zahlen werden größer, die Rechnungen länger und du darfst beim handschriftlichen Rechnen die Symbole verwenden. Der letzte Schritt zum Endergebnis führt über die Addition der Zwischenergebnisse 1.000 und 175, was ausgeschrieben Eintausendeinhundertfünfundsiebzig (1.175) ergibt. Du siehst, dass bei Zusammensetzung der Worte auch die Eins dazugeschrieben werden muss.

Übungsaufgabe

Jetzt multiplizieren wir dieses Ergebnis mit 3, um noch ein bisschen zu üben. 3∙5 ergibt 15, schreibe 5, behalte 1. 3∙7+1 ergibt 22, schreibe 2, behalte 2. 3∙1+2 ergibt 5, schreibe 5, behalte 0. 3∙1 ergibt 3. Wir ordnen die Ergebnisse von hinten nach vorn und das Ergebnis lautet 3.525.

Das Stellenwertsystem ist für das handschriftliche Rechnen sehr geschickt, weil wir beliebig große Zahlen durch ein und dasselbe Prinzip berechnen können.

Division

Das Gegenteil der Multiplikation, die Division, haben wir noch nicht besprochen und ist eigentlich nichts anderes als die Multiplikation, weil wir beim Finden der Lösung einer Geteiltaufgabe (das Rechenzeichen ist ein Doppelpunkt und/oder ein Bruchstrich) immer die Malaufgabe kennen müssen. Ich gebe dir ein Beispiel: 21÷7 =? Genau richtig, 3, weil 7∙3 = 21. Wenn wir eine Klasse mit 21 Schülern in 7 Gruppen aufteilen, gibt es in jeder Gruppe 3 Schüler. Andersherum geht es genauso: Wenn wir 3 Gruppen bilden, befinden sich in jeder Gruppe 7 Schüler. Nur andersherum teilen dürfen wir nicht (7÷21), weil das Kommutativgesetz bei Geteilt nicht gilt und wir den Kehrwert (siehe Bruchrechnen) erhalten würden.

Wir haben auch ein Problem, wenn wir dieselbe Klasse in vier Gruppen einteilen sollen. Wir gehen vor wie im Sportunterricht, wenn wir Mannschaften bilden. Einer von vier Auserwählten beginnt zu wählen und reihum gesellt sich immer ein weiterer Schüler hinzu, bis am Ende in jeder Gruppe fünf Schüler sind (5∙4 = 20) und einer übrig bleibt. Den bezeichnen wir als Rest, weil er nicht mehr aufgeteilt werden kann, so dass gleich viel Spieler in jeder Mannschaft spielen. Das Ergebnis lautet 5 Rest 1.

Wir haben bei der Geteiltrechnung immer ein Problem, wenn es keine Umkehraufgabe gibt, so wie hier. Den letzten Schüler können wir nicht in vier Teile zerreißen und mit den gleichen Anteilen an die Mannschaften verteilen. Deshalb ist die Rechnung mit Rest sinnvoll. Vielleicht ist er  Auswechselspieler einer Mannschaft.

Brüche

Es gibt auch Beispiele, bei denen man zerteilen darf. Angenommen wir sind fünf Leute und bestellen zwei Pizzen, die wir gerecht verteilen wollen. Dann müssen wir 2 geteilt durch 5 rechnen, was nach bisherigen Kenntnissen undenkbar ist, weil dann keiner eine Pizza bekommt und die zwei Pizzen übrig bleiben. Das ist für uns unsinnig, weshalb wir uns der Bruchrechnung annähern.

2÷5 dürfen wir auch untereinander schreiben, indem wir einen Bruchstrich dazwischen ziehen, der die Zahlen in Zähler (oben) und Nenner (unten) teilt. Bei zwei Fünftel (2/5) zählen wir mit der 2 die genannten Fünftel. Jeder von uns erhält dann 2/5 einer Pizza. Diese Zahl liegt zwischen der 0 und der 1 und ist die erste Bruchzahl, die wir kennenlernen. Bisher haben wir nur mit ganzen Zahlen gerechnet, jetzt begegnen uns die Bruchzahlen bzw. Brüche, die bei Geteiltaufgaben entstehen, die nicht aufgehen bzw. keine Umkehraufgabe haben.

Umkehrung der Multiplikation

Jetzt üben wir das Geteiltrechnen weiter. 56÷7 =? 8, weil 8∙7 = 56. 84÷7 =? Das wird schwieriger, weil wir beim Einmaleins nur die Ergebnisse bis zum Faktor 10 auswendig kennen, deshalb nennen wir es auch kleines Einmaleins. Das große Einmaleins geht bis zum Faktor 20 und muss aus meiner Sicht nicht gelernt werden, weil wir die schriftliche Multiplikation gelernt haben und diese Schritte auch im Kopf durchführen können. Für viele Aufgaben gibt es auch besondere Rechenmöglichkeiten, die schnell und einfach zum Ergebnis führen. Dazu im Teil B (Algebra) mehr.

Halbschriftliche Division

Bei 84÷7 können wir uns folgendermaßen an das Ergebnis annähern: 10∙7 ergibt 70, es fehlen noch 14, was 2∙7 entspricht und damit passt die 7 zwölf Mal in die 84. Dieses Verfahren nennt man halbschriftlich dividieren (teilen). Wir zerlegen die zu große Zahl in mehrere Summanden, die wir alle durch 7 teilen und diese Ergebnisse am Ende addieren können. Für das Kopfrechnen ist diese Methode sehr gut, weil wir jede Zahl in immer kleinere, leicht auszurechnende Einheiten zerlegen können.

Was ergibt 6.461÷7? Wir zerlegen: 6.300÷7 = 900, weil 63÷7 = 9 und zwei Nullen übrig bleiben, die wir der 9 anhängen müssen. 140÷7 ergibt 20. 21÷7 = 3. Wir rechnen die Teilergebnisse, die wir uns natürlich im Kopf gemerkt haben, zusammen und erhalten 923. Wie wir erkennen, ist Rechnen wiederum nichts anderes als logisches Zusammensetzen und Ordnen und hilft uns, komplexe Sachverhalte zu erfassen und zu lösen.

Schriftliche Division

Wir wissen nun, dass halbschriftlich Rechnen nur bei einstelligen Faktoren geschickt ist. Nach dem halbschriftlichen folgt das schriftliche Dividieren, das zum Kopfrechnen weniger geeignet ist, dafür aber mit Papier und Bleistift unschlagbar gut funktioniert. Wir nehmen nochmal die Aufgabe 84÷7 und rechnen schriftlich.

Zunächst überlegen wir, wie oft die 7 in die 8 passt? Ein Mal, deshalb schreiben wir die 1 hinter das Gleichheitszeichen, rechnen dann nochmal nach (1∙7 = 7) und schreiben das Ergebnis unter die 8. Jetzt subtrahieren wir die 7 von der 8, indem wir einen Strich ziehen und das Ergebnis (1) genau darunter schreiben. Die obige 4 holen wir herunter und schreiben sie hinter die 1, so dass wir die 14 unterm Strich haben. Wie oft passt die 7 in die 14? Genau zwei Mal, diese 2 wird hinter der 1 notiert, die Rechnung rückwärts wieder durchgeführt (2∙7 = 14), die 14 wird unter die vorhandene 14 geschrieben und davon subtrahiert, was 0 ergibt. Diese Aufgabe geht auf, es gibt keinen Rest oder Bruch, das Endergebnis lautet 12.

Übungsaufgabe

Wir üben das Verfahren mit unserer langen, halbschriftlichen Beispielaufgabe: 6.461÷7 schreiben wir in eine Zeile und setzen ein Gleichheitszeichen dahinter und erkennen sofort, dass die 7 nicht in die 6 passt, weshalb wir die 4 zur 6 gesellen und überlegen, wie oft die 7 in die 64 passt? Wir schreiben das Ergebnis 9 hinter das Gleich, rechnen nach (9∙7 = 63) und notieren die 63 unter der 64 und subtrahieren sie davon. Diese 1 ergänzen wir mit der 6 (Z) aus der ersten Zeile und stellen fest, dass die 7 zwei Mal in die 16 passt. Wir notieren die 2 hinter der 9, rechnen nach (2∙7 = 14) und schreiben die 14 unter die 16, ziehen einen Strich, subtrahieren und erhalten die 2, die durch die obige 1 (E) ergänzt wird. 21÷7 ergibt 3. Wir notieren die 3 hinter der 9 und 2, rechnen nach (3∙7 = 21), schreiben die 21 unter die 21 und erkennen nach der Subtraktion, dass das Ergebnis aufgeht und 923 lautet. Bei Aufgaben mit Rest bleibt unter der letzten Subtraktion eine Zahl größer als 0 stehen, die gleichbedeutend mit dem Rest ist.

Mehrstellige Zahlen dividieren

Bei der Division mit mehrstelligen Zahlen auf beiden Seiten (die erste Zahl nennt man Dividend, die zweite Divisor) wird es schwieriger, d.h. dann müssen wir uns wieder mit kleineren Aufgaben den größeren nähern, das grundsätzliche Verfahren bleibt dasselbe. Wenn wir 195÷13 rechnen, kennen wir leider die Dreizehnerreihe nicht auswendig und müssen bei jeder einzelnen Stelle probieren. Die 13 passt in 1 nicht, dafür ein Mal in die 19. Der Rest beträgt 6, zusammen mit der 5 ergibt sich 65. Wir müssen jetzt raten, wie oft die 13 in die 65 passt: 4∙13 wäre 52, 5∙13 ergibt 65. Prima, dann ist das Endergebnis 15 ohne Rest. Bei noch größeren Zahlen müssen wir mithilfe von Nebenrechnungen (schriftliche Multiplikation) abschätzen und herausfinden, wie oft der Divisor in den Dividend passt.

Runden

Beim Abschätzen großer Zahlen helfen uns Überschlagsrechnungen. Und dazu müssen wir lernen, Zahlengrößen zu überschlagen oder zu runden. Wenn wir eine Zahl wie Sechshundertfünfundvierzig auf Hunderter (H) runden sollen, müssen wir die Zehnerstelle (4) anschauen und ab 5 aufrunden, bei 4 bleibt der Hunderter bestehen, so dass hier die gerundete Zahl 600 beträgt. Wenn wir auf den Zehner (Z) runden, müssen wir die Einerstelle (5) anschauen und auf 650 aufrunden. Beim Runden auf Tausender ist der Hunderter (6) aussagekräftig, wobei auf 1.000 gerundet wird. Folglich musst du beim Überschlagen auf bestimmte Größen nur die nachfolgende Stelle beurteilen.

Übungsaufgabe

Wir rechnen 161.051 geteilt durch 121. In 161 passt die 121 ein Mal, es bleiben 40 übrig, die mit der 0 zu 400 ergänzt werden. Nun schätzen wir grob, dass die gerundete 120 ca. drei Mal in die 400 geht, was der genauen Überprüfung (3∙121 = 363) standhält. Weil die 363 kleiner als die 400 ist, bleibt ein Rest von 37, der mit 5 ergänzt zu 375 wird. Wir wissen schon, dass die 121 wieder drei Mal hineinpasst und ziehen die 363 von der 375 ab, was 12 ergibt. Mit der letzten 1 ergibt sich 121, folglich geht es genau auf, die Lösung lautet 1.331.

Vorläufiges Schätzen und kontrollierendes Nachrechnen ermöglicht das Berechnen sehr großer Aufgaben, die wir mit Übung und größerer Erfahrung immer schneller lösen können, die Anzahl unserer Proberechnungen nimmt schließlich enorm ab.

Bruchrechnen

Am Anfang haben wir auch Aufgaben besprochen, die nicht aufgehen und einen Rest aufweisen, wir haben auch zwei Pizzen unter fünf Leuten aufgeteilt und dabei festgestellt, dass jeder zwei Fünftel einer Pizza bekommt. Dieser Art zu rechnen wollen wir uns jetzt zuwenden.

Der einfachste Bruch ist ein Halbes. Wenn wir eine Menge halbieren, also durch 2 teilen, erhalten wir die Hälfte davon, die wir mit umgekehrter Addition auch herausfinden können, indem wir uns überlegen, welche zwei Zahlen mit sich selbst addiert diese Menge ergeben. Halbieren wir eine gerade Zahl, erhalten wir eine ganzzahlige Lösung, bei einer ungeraden Zahl erhalten wir einen Bruch, der mit Bruchstrich statt Geteiltzeichen geschrieben wird und im Nenner eine 2 stehen hat. Die Hälfte von 3 sind drei Halbe (3/2).

Mit dieser einfachen Darstellungsmöglichkeit von auszurechnenden Zahlenwerten lassen sich Rechengesetze formulieren, die uns wiederum ermöglichen, Brüche zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren und sogar zu dividieren. Hast du noch Lust zu üben?

Wenn ja, dann lass uns weitermachen, ansonsten klappst du das Buch zu und genießt ein wenig Abwechslung, um deinen Kopf zu entlasten. Es ist anstrengend, so viele neue Dinge zu erlernen. Deshalb solltest du dir immer Pausen gönnen, damit sich das Gelernte auch festigen kann. Und wenn du wieder etwas nicht mehr so richtig weißt, kannst du einfach wieder weiter vorne beginnen zu lesen. Wiederholungen sind sehr wichtig, um Neues im Langzeitgedächtnis zu speichern.

Hauptnenner bei Addition und Subtraktion

Beim Addieren und Subtrahieren müssen wir darauf achten, dass wir immer denselben Nenner haben. Wenn wir 1/2 plus 1/3 rechnen, müssen wir einen Hauptnenner von 2 und 3 bilden. Das ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) dieser beiden Zahlen. Da wir die Zweier- und die Dreierreihe auswendig kennen, wissen wir, dass 6 der erste gemeinsame Wert ist. Das Halbe müssen wir dann mit 3 multiplizieren; unten und oben, weil sich der Gesamtwert nicht verändern darf (Ergebnis: 3/6). Das Drittel multiplizieren wir mit 2 im Zähler und Nenner, was 2/6 ergibt. Nun zählen wir die Zähler zusammen und lassen den gemeinsamen Nenner stehen und erhalten 5/6 als Endergebnis. Bei der Subtraktion ist das Verfahren dasselbe, nur dass wir am Ende die Zähler subtrahieren, der Hauptnenner bleibt auch hier bestehen.

Brüche malnehmen

Beim Multiplizieren rechnen wir einfach „Zähler mal Zähler“ und „Nenner mal Nenner“ und lassen sie auf der entsprechenden Seite des Bruchstriches stehen. Beim Dividieren drehen wir einfach den zweiten Bruch herum, d.h. wir vertauschen den Zähler und den Nenner und rechnen wie beim Multiplizieren, weil aus doppeltem Teilen wieder Multiplizieren wird. Die Rechengesetze, die wir schon bei den ganzen Zahlen gelernt haben, gelten auch bei den rationalen Zahlen, die auch Brüche und Kommazahlen enthalten. Was sind Kommazahlen?

Rationale Zahlen

Kommazahlen und Brüche sind austauschbar, nur die Darstellungsform ist eine andere. Ein Halbes lässt sich beispielsweise auch als null Komma fünf schreiben (0,5), bedeutet aber genau dasselbe. Auf Kommazahlen kommen wir, wenn wir das schriftliche Dividieren ausweiten und keinen Rest zulassen.

Wir betrachten ein Beispiel, das wir schon behandelt haben: 21÷4 ergibt 5, wir schreiben sie hinter das Gleichheitszeichen und rechnen 5∙4 = 20, die wir unter der 21 notieren und davon abziehen. Die 1 bleibt übrig, die wir jetzt mit der 0 ergänzen, um weiterrechnen zu können. Dazu machen wir hinter die 5 das Komma und prüfen, wie oft 4 in 10 passt. Die 2 schreiben wir hinter das Komma, multiplizieren sie mit 4 und ziehen 8 von 10 ab, so dass 2 übrig bleibt und um eine weitere 0 ergänzt wird. Die 5 passt genau vier Mal in die 20, weshalb die Rechnung beendet ist: 21÷5 = 5,25.

Die Zahlen nach dem Komma werden von links nach rechts einzeln vorgelesen. Die erste Stelle danach nennt man Zehntel, die zweite Hundertstel, die dritte Tausendstel und so weiter, Eintel gibt es in diesem Zusammenhang nicht. Problematisch wird es beim Teilen, wenn die Zahlen hinterm Komma nicht aufhören, z.B. bei ein Drittel (1/3 = 0,333…), dann sprechen wir von einer periodischen Zahl, die hier nach einer Stelle periodisch wird und wir markieren diese mit einem Querstrich über der Drei. Bei ein Sechstel (1/6 = 0,166…) machen wir den Querstrich erst über der Sechs, weil die 1 sich nicht mehr wiederholt.

Prozentrechnen

Es gibt noch eine dritte Darstellungsform von Bruch- und Kommazahlen, die wir menschlichen Vorstellungsvermögen verdanken: das Prozentrechnen. Dabei werden alle Größen im Verhältnis zu einer Grundmenge (100) gesehen, die wir uns als Mensch noch vor Augen führen können. Wenn wir Prozentangaben machen, sagen wir immer, wie viel „vom Hundert“ (so ist Sprache im Bürgerlichen Gesetzbuch) wir zum Beispiel Strafe oder Zinsen bezahlen sollen, wenn wir uns auf eine bestimmte Grundgröße wie das monatliche Gehalt oder den Kreditbetrag beziehen.

Prozent (Zeichen: %) kommt von „pro centum“ und heißt „durch hundert“. Folglich rechnen wir immer auf Hundertstel um, um die Prozentangabe machen zu können. 0,5 entspricht übrigens 50%. Wie kommen wir darauf? Rückwärts gerechnet wären 50 Prozent dasselbe wie 50/100, die wir schriftlich mit 50÷100 berechnen oder einfach kürzen könnten.

Kürzen mit Primfaktoren

Kürzen dürfen wir, wenn Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben, d.h. durch dieselbe Zahl teilbar sind. Dann dürfen wir beides genau durch diese Zahl teilen. Wir können jede natürliche Zahl in ihre grundlegenden Teiler zerlegen. Das sind die Teiler, die nicht mehr teilbar sind. Sie nennt man Primfaktoren, weil sie nur durch 1 und durch sich selbst teilbar sind.

Jede positive ganze Zahl größer eins lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Wenn wir 30 in Primfaktoren zerlegen, erkennen wir die grundlegenden Teiler 1∙2∙3∙5 = 30 und könnten die 1 eigentlich weglassen, weil sich dadurch der Wert nicht verändert. Die 1 ist übrigens keine Primzahl. Wir brauchen sie nur, wenn wir jede Zahl als Produkt zweier Faktoren darstellen. Die Zahl 30 ist z.B. mehrfach darstellbar (1∙30, 2∙15, 3∙10 und 5∙6). Dadurch finden wir alle Teiler (nicht nur die grundlegenden) einer Zahl. Die Teiler von 30 lauten: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Mit diesen Zahlen können wir die 30 teilen, ohne einen Rest zu erhalten. Kannst du mir die Teiler von 50 und 100 nennen? 50 lässt sich auch mehrfach darstellen (1∙50, 2∙25, 5∙10), also sind die Teiler 1, 2, 5, 10, 25, 50. 100 hat noch mehr Darstellungsmöglichkeiten (1∙100, 2∙50, 4∙25, 5∙20, 10∙10), also heißen die Teiler 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. Auf die Primzahlen kommen wir im Abschnitt 6 noch zu sprechen.

Größter gemeinsamer Teiler

Wir kürzen hier mit 50, das ist der größte gemeinsame Teiler (ggT) und erhalten 1/2 = 0,5 = 50% = 50/100. Du siehst, dass es sehr viele Darstellungsformen von ein und demselben Wert gibt und die Prozentdarstellung eigentlich überflüssig ist. Wir könnten jede Größe auch zur Grundmenge 1 ins Verhältnis setzen, so dass wir nicht immer die Prozentdarstellung durch Verschieben des Kommas um zwei Stellen umrechnen müssten. Das typische Prozentrechnen, das uns nach wie vor im Alltag verfolgt, lernen wir im Teil B kennen.

5 Hoch

Im Abschnitt 4 haben wir zwei Zahlen mit sich selbst addiert und sind damit zur Malrechnung gekommen, indem wir aus „fünf plus fünf“ „zweimal fünf“ (5+5 = 2∙5) geformt haben. Vom Prinzip her machen wir beim Übergang von der Mal- zur Hochrechnung (Potenzieren) nichts anderes. Wir multiplizieren zwei Zahlen mit sich selbst und erhalten zur Vereinfachung die Potenzschreibweise: 5∙5 ist dasselbe wie 5 hoch 2 (5²), weil die 5 zweimal mit sich selbst multipliziert wird. 5 hoch 3 (5³) entspricht 5∙5∙5.

Bei Hoch wird die Hochzahl (Exponent) hinter die Grundzahl (Basis) etwas erhöht und kleiner geschrieben (5³). Diese Zahl ist so etwas wie ein Steuerungsbefehl, der angibt, wie oft wir die Grundzahl mit sich selbst multiplizieren sollen. Wie lautet nun das Ergebnis von 5³?

5∙5 ist 25, mal 5 ist 125. Das geht noch im Kopf, weil wir einen einstelligen Faktor haben und 5∙5+5∙20 rechnen können. Bei höheren Potenzen wird es schnell schwierig, die Lösung zu berechnen, weil die Zahlen so riesig werden.

Zehnerpotenzen

Genau deshalb nehmen wir die Potenzen zur vereinfachten Darstellung von sehr großen Zahlen. Und das machen wir vor allem mithilfe von Zehnerpotenzen, die leicht handzuhaben sind. 10¹ hat eine 0, 10² hat zwei Nullen und 10⁶ hat sechs Nullen mit jeweils einer 1 davor. Du siehst, dass 10⁶ eine geschickte Darstellung für eine Million (1.000.000) ist. Bei einer Milliarde (10⁹), einer Billion (10¹²), einer Billiarde (10¹⁵), einer Trillion (10¹⁸) und einer Trilliarde (10²¹) wird es immer praktischer, weil die Zahlen immer länger werden. Diese Zahlennamen solltest du dir merken, größere Zahlen kannst du bei Interesse im Lexikon oder Internet nachschlagen.

Wissenschaftliche Schreibweise

Wenn du nun fünf Trilliarden schreiben möchtest, setzt du einfach fünf Mal vor 10²¹ (5∙10²¹). Bei sehr großen Zahlen wie bei der Anzahl der Erdenbürger, runden wir die exakte Zahl so, dass bei der Darstellung mit Zehnerpotenzen die multiplizierte Zahl immer auf eine Stelle nach dem Komma (auf Zehntel) gerundet wird. Die Anzahl der Erdenbürger betrug im Jahr 2010 ca. 6,9∙10⁹ (sechs Milliarden neunhundert Millionen).

Das ist die wissenschaftliche Schreibweise, die wir auch bei ganz kleinen Zahlen gebrauchen, die eine 0 vor dem Komma haben. 10⁰ ist die Schnittstelle bei den Zehnerpotenzen und ergibt 1 (10⁰ = 1). Jede Zahl hoch null ergibt eins, das solltest du dir merken. Genauso wie zehn hoch minus eins, das null Komma eins ergibt (10⁻¹ = 0,1). Entsprechend den Plushochzahlen zählen wir die Nullen auch bei den Minushochzahlen, nur umgekehrt. 10⁻² ergibt 0,01. Umgekehrt gelesen ist das auch 100, nur mit einem Komma. 10⁻⁶ ist dann 0,000001 (insgesamt sechs Nullen). Rückwärts gelesen haben wir die Million. Wenn wir diese zwei Potenzen, also 10⁶ und 10⁻⁶ multiplizieren, kommt 1 heraus. Warum? Es gibt mehrere Erklärungsmöglichkeiten.

Potenzen verknüpfen

Möglichkeit 1: Wir multiplizieren die ausgeschriebenen Zahlen 1.000.000 und 0,00001 schriftlich und erhalten die 1. Möglichkeit 2: Wir schreiben 10⁻⁶ als Bruch (1/10⁶⁾. Das dürfen wir bei negativen Hochzahlen immer tun. Den Bruch herumdrehen (Zähler und Nenner tauschen) und die Hochzahl positiv machen. Übrigens darf man das auch andersherum: Eine positive Hochzahl negativ machen, indem man den Bruch herumdreht, nur bringt das beim Vereinfachen meistens nichts. Hier haben wir dann die Aufgabe 10⁶∙1/10⁶ und können 10⁶ wegkürzen, was 1/1, also 1, ergibt.

Als aufmerksamer Leser wirst du dich jetzt bestimmt beschweren und mir vorwerfen, dass es nach meiner Aussage in Abschnitt 4 kein Eintel gibt. In diesem Zusammenhang der Darstellung mit Kommazahlen und Stellenwertsystem macht es auch keinen Sinn, von Eintel zu sprechen, weil das entsprechend der Einerstelle wäre und Verwirrungen hier nicht angebracht wären. 1/1 ist 1, 2/1 sind 2 und so weiter; das Eintel brauchen wir, um ganze Zahlen zu Brüchen zu formen, damit wir systematisch rechnen können. Hier ist das Eintel sinnvoll zu gebrauchen. Diese Regelung des Herumdrehens ist genaugenommen schon eine der Potenzregeln, die wir jetzt lernen.

Erstes Potenzgesetz

Unsere dritte Möglichkeit, diese Aufgabe zu lösen, betrifft das erste Potenzgesetz: „Zahlen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert“. Wenn wir die Hochzahlen 6 und −6 addieren, erhalten wir 0. 10⁰ = 1. Eine andere Aufgabe: 5⁴∙5⁻²∙5⁻¹ = 5¹ = 5, weil 4−2−1 = 1 und 5¹ = 5. Bei hoch 1 bleibt die Grundzahl als Lösung stehen. Die Anzahl der Faktoren ist bei dieser Regel egal, Vertauschungen sind möglich.

Bruchzahlen können auch mit ganzen Grundzahlen dargestellt werden. 5⁻² ist nichts anderes wie 1/25 und kann dank der Potenzschreibweise mit ganzer Grundzahl dargestellt werden und somit z.B. mit 5⁴ = 625 und 5⁻¹ = 1/5 einfach verrechnet werden. Das Ziel bei der Vereinfachung ist hier, die gleiche Grundzahl zu suchen und dann mit dem ersten Potenzgesetz zu rechnen. Wenn wir jeden Faktor als Bruch darstellen und mit der Bruchrechnung fortfahren, erhalten wir im Zähler den Ausdruck 1∙1∙625 und im Nenner 1∙25∙5, was ausmultipliziert dem unechten Bruch (der Zähler ist größer als der Nenner, echte Brüche haben größere Nenner) 625/125 entspricht. Wir kürzen mit 125 und erhalten die 5 als Lösung. Du siehst, dass es auch so geht und dasselbe herauskommt, aber mit Potenzen rechnen ist oft einfacher.

Zweites Potenzgesetz

Das zweite Potenzgesetz ähnelt dem ersten stark und besagt, dass „Potenzen mit gleicher Basis dividiert werden, indem man die Exponenten subtrahiert“. Wenn wir jetzt an das Umschreiben der Potenzen mit negativen Hochzahlen denken, erkennen wir, dass dieses Gesetz eigentlich überflüssig ist, doch das Umschreiben allein verwendet dieses Gesetz. 10⁻⁶ = 1/10⁶  und zwar deshalb, weil eins (10⁰) geteilt durch 10⁶ folgendermaßen berechnet wird: 0−6 = −6 als Exponent, die Basis bleibt 10.

Warum habe ich es als überflüssig bezeichnet? Weil das Prinzip dem ersten Potenzgesetz entspricht und Subtrahieren umgekehrtes Addieren und Dividieren umgekehrtes Multiplizieren ist. Und somit lernen wir im Grunde nichts Neues.

Drittes Potenzgesetz

Das dritte Potenzgesetz bringt eine alte Art zu rechnen in einen neuen Zusammenhang. Wenn wir eine Zahl zweimal potenzieren, müssen wir die Hochzahlen multiplizieren und die Grundzahl stehen lassen, weil durch das doppelte Potenzieren die Anzahl der Faktoren genau dem Produkt der Steuerungsbefehle zur Multiplikation entspricht. Zwei hoch zwei hoch drei ((2²)³) entspricht daher 2⁶, da die erste 2 zweimal mit sich multipliziert wird und das dann dreimal, weshalb die 2 insgesamt sechsmal (2∙3) mit sich multipliziert wird.

Vorsicht, 2⁶ ist nicht dasselbe wie 6∙2! Bei 6∙2 wird die 2 sechsmal mit sich addiert (ergibt 12), bei 2⁶ wird die 2 sechsmal mit sich multipliziert (ergibt 64). Du erkennst hier vielleicht die Stufen des Rechnens und seiner Verknüpfungen, den Rechenzeichen: Aus Zählen wird Addieren, aus Addieren wird Multiplizieren, aus Multiplizieren wird Potenzieren. Das Potenzieren kann nicht mehr in eine höhere Rechenform gebracht werden, weil aus dem doppelten Potenzieren von eben wieder einfaches Potenzieren wird, wenn wir das dritte Potenzgesetz anwenden. Oder hast du eine wirklich grandiose Idee, einen Schritt weiter zu gehen? Dann lass es mich wissen.

Weitere Vereinfachungen

Ein weiteres Beispiel zur Vereinfachung von Potenzen will ich dir noch kurz zeigen. Ich würde es nicht unbedingt zu den grundlegenden Potenzgesetzen zählen, da wir nur Potenzen mit gleichen Exponenten in eine Klammer schreiben und in dieser berechnen können (4³∙5³ = (4∙5)³ = 20³ und 2³/3³ = (2/3)³). Dieses Gesetz ermöglicht uns das Zusammenfassen der Grundzahlen mit gleichen Hochzahlen.

Potenz vor Punkt vor Strich

Wir rechnen nun mit Potenzen, das ist übrigens der Ausdruck für Basis und Exponent zusammen. Bei der Potenzrechnung müssen wir natürlich alle vorherigen Rechengesetze beherzigen („Punkt vor Strich“) und fügen hinzu, dass „Potenz vor Punkt vor Strich“ gerechnet wird.

Ab hier werde ich dir die längeren Aufgaben in Symbolschreibweise (in Rechenzeichen, Zahlen und Buchstaben) präsentieren, damit du nicht zu verwirrt von der Darstellungsform bist. Bei kleineren Rechenausdrücken (einen Rechenausdruck nennt man in der Mathematik Term, siehe Teil B), verwende ich teilweise noch Worte.

Rechnet mir bitte 2³−4⁰∙7² aus. Ich helfe dir, indem wir die Teilaufgaben einzeln lösen. Die Potenzen zuerst: 2³ = 8, 4⁰ = 1 und 7² = 49. Anschließend müssen wir die Teilergebnisse multiplizieren und dann subtrahieren: 1∙49 = 49 und 8−49 = −41, das Endergebnis.

Was passiert, wenn wir der Reihe nach rechnen und 8−1 = 7 mit 7² multiplizieren? Dann erhalten wir als elegante Lösung 7³ (= 7∙7∙7 = 243). Nach unseren Rechengesetzen dürfen wir das aber nicht, so elegant die Lösung auch sein mag.

Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich

Dafür gebe ich dir jetzt ein schönes mathematisches Hilfsmittel an die Hand, mit dem du Terme in der Reihenfolge rechnen darfst, die dir beliebt: Die Klammer. Wir können die Differenz 2³−4⁰ einklammern, das sieht folgendermaßen aus: (2³−4⁰)∙7². Dann gilt die neue Reihenfolge der Rechenvorgänge („Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich“), die du dir unbedingt merken musst. Normalerweise setzt nicht du die Klammern in der Aufgabe, sondern sie werden dir vorgegeben.

Wir üben weiter: (2³−2⁴)² =? Klammer zuerst, d.h. 2³ = 8 minus 2⁴ = 16 ergibt −8. Bitte wende hier keine Potenzgesetze an, weil die Potenzen nicht multipliziert, sondern addiert werden. Diese −8 wird noch quadriert (spezieller Ausdruck für hoch 2), was +64 ergibt. Warum plus? Weil das Minus in der Klammer steht und damit auch potenziert wird; stünde keine Klammer um −8, würde nur die 8 für sich potenziert. Minus hoch 2 ergibt plus; überhaupt minus hoch eine gerade Zahl ergibt immer plus, minus hoch eine ungerade Zahl ergibt immer minus.

Beim Potenzieren müssen wir immer darauf achten, ob die Vorzeichen auch potenziert werden oder nicht, d.h. wir müssen unbedingt die Klammersetzung beachten. Nicht nur beim Potenzieren, sondern auch bei Plus- und Malaufgaben verhelfen uns Klammern zu besserer Übersichtlichkeit. Damit ordnen wir die Aufgaben sinnvoll, um schneller zu sein: 4+(2+8) ist einfacher als (4+2)+8 oder 7∙(2∙5) ist einfacher als (7∙2)∙5 zu berechnen. Dieses Verbindungsgesetz von Plus und Mal (Assoziativgesetz) gilt bei gleichrangigen Rechenvorgängen.

Das Verteilungsgesetz (Distributivgesetz) hilft uns, Klammern getrennt aufzulösen: 3∙(4+5) = 3∙4+3∙5 oder (3+4)∙5 = 3∙5+4∙5, was bei nackten Zahlen kaum angewendet wird. Das machen wir normalerweise nur dann, wenn Variablen auftreten (Teil B).

Vorzeichen beachten

Was passiert, wenn wir mit Minuszahlen potenzieren, z.B. bei (−3²)⁻³? Jetzt wird es komplizierter, weshalb wir wieder Schritt für Schritt zur Lösung schreiten. Da wir die Klammer zuerst betrachten, lassen wir das dritte Potenzgesetz außer Acht und rechnen −3² ergibt −9, weil das Minus nicht potenziert wird. Der neue Exponent −3 ist ungerade (das Vorzeichen ist zunächst unbedeutend), weshalb das Minus stehen bleibt. Das Minus im Exponent sagt uns, dass wir den Kehrbruch von 9³ bilden sollen: 1/9³ = 1/729. Für das Endergebnis setzen wir noch das Minus davor und erhalten: −1/729. Das ist die Bruchdarstellung. Da wir uns aber beim Potenzrechnen befinden, sollten wir die Lösung auch in Potenzschreibweise angeben: −1/729 = −1/9³ = −9⁻³, das ist eleganter.

Vorzeichen getrennt berechnen

Ein anderer Lösungsansatz (mit drittem Potenzgesetz) beschert uns viel schneller ein Ergebnis: Wir berechnen das Vorzeichen getrennt und erhalten minus, die Zahlen ergeben 3⁻⁶, was uns zum Endergebnis −3⁻⁶ führt. Ist das jetzt falsch, weil etwas anderes da steht? Nein, denn −3⁻⁶ ist dasselbe wie −9⁻³, aber nicht dasselbe wie (−3)⁻⁶, weil hier das Minus auch potenziert wird und das Vorzeichen plus wird. Ich beweise dir, warum −3⁻⁶ = −9⁻³ ist: Über die Vorzeichen müssen wir hier nicht diskutieren (minus), dafür über die Gleichheit (Äquivalenz) von 3⁶ und 9³. Da wir die 9 als 3² schreiben können, rechnen wir (3²)³ und erhalten 3⁶, „was zu beweisen war“ (wzbw).

Das schreibt man am Ende eines Beweises, der elementar für die Mathematik ist. Jedes mathematische Axiom (Aussage) muss mit Hilfe anderer Axiome beweisbar sein. Mathematiker müssen in der Lage sein, diese Beweise zu führen, denn ohne Beweis haben mathematische Aussagen keine allgemeine Gültigkeit. Das war hier ein sehr kleiner Beweis, der mithilfe von Rechengesetzen bzw. Äquivalenzumformungen vollzogen wurde. Solche Umformungen verändern nie den Wert eines Terms.

Brüche als Hochzahlen

Jetzt kommen wir zu Rechenzeichen, die beim Umformen Schwierigkeiten bereiten, aber erst im Teil B, so dass wir uns darüber noch keine Gedanken machen müssen. Bisher haben wir nur ganze Zahlen als Hochzahlen eingesetzt, was passiert, wenn wir 41/2 rechnen? Geht das überhaupt? Würden wir nach den herkömmlichen Verfahren rechnen, müssten wir die 4 ein halbes Mal mit sich selbst multiplizieren. Anders gedacht würde das bedeuten, dass sich die 4 aus zwei Faktoren zusammensetzt, weil 41/2∙41/2 nach dem ersten Potenzgesetz 4¹, also 4, ergibt und damit wird zweimal derselbe Faktor multipliziert. Welcher Faktor ergibt mit sich selbst multipliziert 4? Genau, die 2. 2∙2 = 4, d.h. 41/2 = 2. Gibt es noch eine weitere Lösung?

Wurzel ziehen

Denk mal an die negativen Zahlen, wenn du −2 quadrierst, erhältst du auch +4 und das ist die zweite Lösung für 41/2. Für hoch 1/2 gibt es auch ein eigenes Rechenzeichen, die Quadratwurzel (²√ oder vereinfacht √). Wie beim Addieren oder Multiplizieren gibt es auch beim Potenzieren das Gegenteil, die Wurzelrechnung. Hoch 1/2 ist genau das Gegenteil von hoch 2. Wir müssen uns beim Wurzelziehen immer überlegen, welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt die vorgegebene Zahl unter der Wurzel (der Radikand steht bei der Potenzdarstellung in der Basis)? Das ist schwierig, weil es dazu keine eindeutige Methode gibt und wir durch Probieren oder Auswendiglernen auf die Lösung kommen müssen.

Quadratzahlen

Da das Gegenteil des Wurzelziehens das Quadrieren ist, lernen wir die Quadratzahlen bis 25² auswendig. Dazu nimmst du ein Blatt Papier und berechnest alle Quadratzahlen der Reihe nach: 0² = 0, 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16 und so weiter bis 25² = 625. Das ist gut, wenn du sie auswendig kennst.

Bis 10² kennst du sie schon und von 10² bis 15² kannst du mal wieder deine Finger als Hilfsmittel benutzen. Streck an beiden Händen einfach die Finger für die Einerstelle aus und multipliziere diese, addiere das Ergebnis zur Anzahl der ausgestreckten Finger mal 10 und addiere 100. Schließlich hast du das Ergebnis, das du dir bitte merken sollst, die Finger sollten nach der Übungsphase nicht mehr gebraucht werden.

Für 15² bis 20² streckst du entsprechend dem Finger-Einmaleins die Fehlenden bis zur 20 aus und multiplizierst sie, addierst das Ergebnis mit dem Doppelten der eingezogenen Finger mal 10 und addierst am Ende 200 (das Doppelte von 100). Diese beiden Methoden funktionieren übrigens nicht nur bei den Quadratzahlen, sondern auch bei den anderen Aufgaben des großen Einmaleins.

Für den sehr ambitionierten Leser habe ich jetzt die Aufgabe, das Fingerrechnen für die restlichen Zahlenbereiche des großen Einmaleins zu vervollständigen. Es fehlen die Aufgaben „kleiner 10“ mal „größer 10“, die allerdings in Fünferschritte aufgeteilt werden sollten. Über Lösungsvorschläge freue ich mich!

Schematisches Rechnen

Wie rechnen wir jetzt die Quadratzahlen von 20² bis 25²? Ähnlich wie die Zahlen von 10² bis 15², nur das wir die Zehner und den Hunderter verdoppeln. Folglich übernehmen wir auch das Verdopplungsprinzip der Aufgaben 15² bis 20². Es ist sehr interessant, das Fingerrechnen auf Faktoren bis 100 zu erweitern, denn es ist eine sehr gute Übung, mathematische Verfahren miteinander zu kombinieren und genau das sollen wir lernen, wenn wir Mathematik betreiben.

Besonderheiten

Es gibt noch weitere Merkhilfen, die dir beim Quadrieren helfen: Die Endziffern sind bei 1 und 9 die 1, bei 2 und 8 die 4, bei 3 und 7 die 9 und bei 4 und 6 die 6; bei 0 und 5 bleibt die Endziffer bestehen.

Der Abstand zwischen zwei Quadratzahlen ist genau die Summe dieser beiden Zahlen (13²−12² = 12+13); das hilft dir, wenn du eine Nachbarquadratzahl kennst. Quadratzahlen lassen sich natürlich auch mit schriftlicher Multiplikation oder mit binomischen Formeln (Teil B) relativ schnell berechnen. Wenn wir schließlich die Quadratzahlen bis 25² auswendig kennen, können wir die Quadratzahlen bis 50² leicht herleiten, weil 25² als Spiegelachse fungiert: 24² endet auf den letzten beiden Stellen gleich wie 26² (576 und 676), 23² wie 27² (529 und 729), der Abstand der Hunderter (H) entspricht dem Abstand der Quadratzahl zu 25 (27−25 = 2H).

Was ist 32²? Schritt für Schritt: 18² = 324, 25−18 = 7H, 700+324 = 1.024 (Endergebnis). Dasselbe Prinzip funktioniert auch mit den Quadratzahlen über 50 bis 100, wenn wir sie bis zur 50 schon kennen und die 50 als Spiegelachse verwenden, nur der Abstand der Hunderter verdoppelt sich.

Wir erkennen erneut, dass aus einfachen Grundprinzipien komplexe Weiterentwicklungen möglich sind, die uns allgemeingültige Rechengesetze (Axiome) erlauben.

Intervallschachtelung

Schwieriger wird es, wenn wir die Wurzel aus einer Zahl ziehen sollen, die keine natürliche Lösung hat. Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt 2? 1 ist zu klein (1² = 1) und 2 (2² = 4) ist zu groß, die Lösung muss irgendwo dazwischen liegen. Wir versuchen, durch eine immer bessere Annäherung das Ergebnis zu finden.

Dieses Verfahren nennt man Intervallschachtelung, weil wir immer kleinere Intervalle (Abstände) finden, in denen die tatsächliche Lösung liegt. Wir machen das in systematischer Weise in Zehnerpotenzschritten wegen dem Zehnersystem, das wir beim Rechnen verwenden. Deshalb suchen wir jetzt die beiden Kommazahlen, die quadriert knapp kleiner und knapp größer wie die 2 sind: 1,4² = 1,96 (erinnert übrigens an 14² = 196, das Komma muss nur um die doppelte Anzahl der Nachkommastellen verschoben werden) und 1,5² = 2,25. Wir nähern weiter an: 1,41² = 1,9881 und 1,42² = 2,064.

Folglich liegt die Lösung bei 1,41 und noch weiteren Stellen, aber es wird mit der Zeit sehr mühsam, die richtige Kommastelle durch Abschätzen herauszufinden, weil die Aufgaben immer länger werden und wir die Quadratzahlen nicht mehr auswendig kennen. Ich darf dir verraten, dass wir bei dieser Aufgabe nie zum Ende kommen werden, die Lösung von Wurzel 2 hat unendlich viele Stellen, ohne periodisch zu werden, d.h. keine Zahlensequenz (Zahlenfolge) wiederholt sich irgendwann.

Reelle Zahlen

Welche periodischen Zahlen kennst du? Richtig, 1/3 = 0,333… (sprich: null Komma Periode drei) haben wir schon angesprochen. Periodische Zahlen sind alle auch als Bruch darstellbar, Wurzel 2 nicht! Diese Art der Zahlen nennt man irrationale Zahlen, die im Gegensatz zu den rationalen Zahlen stehen. Ratio steht hier für Verhältnis, nämlich für das Verhältnis von zwei ganzen Zahlen,  das als Bruch oder periodische Dezimalzahl dargestellt werden kann. Selbst 1/2 ist eine periodische Dezimalzahl, weil sich die 0 hinter der 5 unendlich oft wiederholt (1/2 = 0,5000…).

Irrationale Zahlen sind folglich nicht als Bruch oder periodische Dezimalzahl darstellbar. Zusammen bilden die rationalen und irrationalen Zahlen die Menge der reellen Zahlen. Das sind alle Zahlen, die du in diesem Buch brauchst. Mehr lernen wir nicht, ich kann dir nur einen kleinen Ausblick geben, welche Zahlenmengen es noch gibt: Soeben haben wir das Wurzelrechnen kennengelernt und festgestellt, dass wir nur Wurzeln aus positiven Zahlen ziehen können, weil plus mal plus und minus mal minus positiv werden, d.h. wir können keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, was wir theoretisch in einer neuen Zahlenmengen erlauben könnten. Diese Zahlenmenge heißt komplexe Zahlen und ist für unseren Gebrauch nicht notwendig.

Höhere Wurzeln

Es gibt nicht nur die Quadratwurzel, sondern auch andere Wurzeln z.B. die Kubikwurzel, die uns die Frage stellt, welche Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert ergibt den Radikand (die Zahl unter der Wurzel)? Wie groß ist dann die dritte Wurzel aus 8 (³√8)? 2∙2∙2 ergibt 8, deshalb ist die dritte Wurzel aus 8 die 2.

Was ist ³√(−8)? Eigentlich dürften wir doch keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, doch bei ungeraden Wurzeln ist das möglich, weil minus hoch ungerade wieder minus ergibt: (−2)∙(−2)∙(−2) = −8, deshalb ist die Lösung −2.

Wenn wir zwei Rechenzeichen wie hier (mal minus) verbinden, empfiehlt es sich, die Minuszahlen zur besseren Übersichtlichkeit einzuklammern. Statt der dritten Wurzel dürfen wir entsprechend auch hoch 1/3 schreiben. Dadurch lassen sich alle möglichen Wurzeln mit Hochzahlen darstellen, was rechentechnisch praktischer ist. Selbst Kombinationen aus Wurzeln und Potenzen lassen sich durch einen Bruch im Exponenten elegant darstellen. Die fünfte Wurzel aus 3 zum Quadrat lässt sich auf zwei Arten schreiben: ⁵√3² und 32/5, wobei die zweite Möglichkeit zur Vereinfachung geeigneter ist, weil sich dann die Potenzgesetze leichter verwenden lassen. Wir müssen nur auf das Vorzeichen achten und dürfen aus einer Minuszahl dann keine gerade Wurzel ziehen, wenn das Minus in der Klammer steht und mitgerechnet werden muss: (−4)1/2 ist nicht definiert, aber −41/2 ergibt −2.

Übungsaufgabe mit verschiedenen Lösungswegen

Du darfst jetzt alle Rechengesetze und Zahlenmengen verwenden, die du bis hierher gelernt hast. Ich stelle dir jetzt eine Rechenaufgabe mit verschiedenen Lösungsmöglichkeiten: ³√(5²)∙25 ergibt? Wir schreiben die Faktoren in 52/3 und 5² um und addieren danach die Hochzahlen mit Hauptnenner. 2/3 plus 6/3 (= 2) ergibt 8/3 und die Lösung beträgt 58/3. Eine zweite Möglichkeit ist, die 5 zu quadrieren, anschließend