Chris Waring
Bir Nefeste Matematik

Yazarın diğer kitapları:

I Used to Know That: Maths

(Eskiden Matematiği Böyle Bilirdik)

Sıfırdan Sonsuza Matematiğin Öyküsü

GİRİŞ

Bu kitaba, matematiğin her yerde olmasına rağmen öneminin yeteri kadar anlaşılmadığı hakkında sızlanarak başlayabilirdim. Bu doğru, ancak bana kalırsa bunu zaten daha önce de duymuşsunuzdur ve bu kitabı seçme nedeniniz de muhtemelen bu değildir.

Ya da matematikten anlamanın veyahut matematikte iyi olmanın, özellikle de teknoloji hayatlarımızda her geçen gün daha baskın bir rol oynadığı için, iş piyasasında müthiş bir avantaj sağladığından da bahsederek söze başlayabilirdim. Matematiğe kafası basan insanlar için harikulade mesleklerin olduğu doğrudur, ancak dürüst olmak gerekirse bu kitap size bunlardan birini sağlamayacaktır.

Bunun yerine, sizlere matematik alanındaki becerinin öğrenilebileceğinden bahsederek başlamak istiyorum. Çoğumuzda bir matematik korkusu vardır. Bu bir hastalık gibidir ve bu korkuyu daha önce kendilerine bulaşmış diğer insanlardan kapmaktayız. Ebeveynimiz, arkadaşlarımız ve hatta öğretmenlerimiz bile olası taşıyıcılar olup matematiğin sadece şanslı ve bu işe yatkın bir beyinle doğmuş bir grup seçkin insan için anlaşılabilir bir şey olduğunu düşünmemize neden olmaktalar. Bu seçkin bireyler hiçbir çaba sarf etmeden matematiksel işlemleri yapabilirler ve genellikle de bizim kendimizi aptalmış gibi hissetmemize neden olurlar.

İşte bu doğru değil.

Eğer isterse, herkes matematik öğrenebilir. Evet, doğru, bu iş herhangi bir beceri gibi biraz zaman ve çaba gerektirir. Evet, bazıları diğerlerine göre daha hızlıdır, ancak bu durum öğrenmeye değer çoğu şey için de geçerlidir. Meşgul olduğunuzu biliyorum, bu yüzden de kitabın önceliği size kolayca yutulur lokmalar sunmak. Konuları kademeli olarak öğrenebilir, her birini bir öncekinin üzerine inşa edebilir ve böylece de etrafımızı çevreleyen dünyayı gerçekten de izah eden kavramları çok çaba sarf etmeden belleğinize yerleştirebilirsiniz.

Kitabı birkaç bölüme ayırdım. Temel konuların birçoğunu zaten okulda eğitim aldığınız dönemlerden hatırlayacaksınız, ancak asıl amacım matematiğin muhtemelen daha önce görmediğiniz gerçek anlamda lezzetli parçacıklarının tadına hızlı lokmalarla varmanızı sağlamak. Kitabı en başından başlayıp sonuna dek okuyup bitirebilir ya da dilediğiniz zaman, belki de canınız çektikçe arada bir göz atabilirsiniz. Yani kısacası kitabı aynı zamanda hem altı çeşitlik bir yemek hem de açık büfe bir öğün olarak görebilirsiniz.

Ayrıca arada yemeğinizin tadı tuzu olsun diye ile keşiflerin nasıl ve kimler tarafından yapıldığına, bu sırada nelerin ters gittiğine dair kısa hikâyeler de ekledim. İlginç ve eğlenceli olmasının yanı sıra bu hikâyeler, bize matematiğin atalarımızın hayata nasıl yaklaştıkları konusunda birçok şey anlatan hayat dolu bir alan olduğunu anımsatmaktadır. Kitap ayrıca meşhur ve dâhi matematikçilerin ulaştıkları yere varabilmek için tıpkı bizler gibi çok çalışmak zorunda kaldıklarını göstermektedir.

Ziyafete hazırlanın. Umarım acıkmışsınızdır.

1
SAYI KAVRAMI

1. Bölüm
SAYI TÜRLERİ

İnsanların yüzde altmış dördü bir süper bilgisayara erişim sağlayabiliyor.

2017 yılında toplam insan nüfusunun 7,5 milyara ulaşmasıyla birlikte cep telefonu olan insanların sayısının da tahminen 4,8 milyara ulaştığı hesaplanmıştır. Japon asıllı Amerikalı fizikçi Michio Kaku’nun (doğumu 1947) belirttiği üzere “Bugün elinizdeki cep telefonlarının programlama gücü 1969 yılında Ay’a iki astronot indiren NASA’ dan çok daha fazladır. ”

İhtiyaç duyduğumuz herhangi bir aritmetik işlemi parmağımızı ekranda hafifçe gezdirerek cep telefonlarımız üzerinden yapabiliriz. O halde neden aritmetik öğrenmeyi dert edinelim ki?

Çünkü herhangi bir aritmetik işlemi yapabilirseniz sayıların nasıl işlediğini anlamaya başlarsınız. Matematiğin, sayıların nasıl işlediğini inceleyen dalına aritmetik denirdi ancak günümüzde bu sözcüğün hesaplama yapmak anlamında kullanıldığını görüyoruz. Sayıların doğasını inceleyen matematikçilere ise sayı kuramcıları ismi veriliyor ve onlar da evrenimizin matematiksel temelleriyle sonsuzluğun doğasını anlamaya çalışıyorlar.

Çok büyük iş.

Başlarken sizi bir hayvanat bahçesi gezisine götürmek istiyorum.

İnsanlar nesneleri saymaya ilk önce tek bir şeyle başlayıp sonrasında tüm sayıları (ya da tam sayılar) üst üste eklediler. Bu sayılara doğal sayılar denir. Şayet bu sayıları sonsuz sayıda parmaklığı olan bir matematik hayvanat bahçesine koyacak olsaydım her bir sayı için bir parmaklığa ihtiyaç duyardık:

1, 2, 3, 4, 5, 6…

Antik Yunanlar sıfır elmadan oluşan bir kümeye sahip olamayacağımız için sıfırın doğal olmadığını düşündüler ancak biz negatif tam sayılar, yani eksi sayılarla pozitif olanlar arasındaki boşluğu doldurduğu için sıfırın doğal sayılar arasına girmesine izin veriyoruz. Şayet sıfır ile negatif tam sayıları da hayvanat bahçeme dahil edersem, şu şekilde görünecektir:

…-6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

Artık hayvanat bahçem tüm negatif tam sayıları da içermektedir ve bu da doğal sayılarla birleştiğinde tam sayı olarak isimlendirilen, hayali bir sayı grubunu oluşturmaktadır. Her bir pozitif tam sayıya karşılık negatif bir tam sayı bulunduğundan hayvanat bahçemin öncekine göre iki kat fazla parmaklığa bir de sıfır için ekstra yere ihtiyacı olacaktır. Bununla birlikte sonsuz matematiksel hayvanat bahçemin daha fazla büyümesine gerek yoktur çünkü zaten sonsuz büyüklüktedir. Bu durum daha önce bahsettiğim çok büyük iş için basit bir örnektir.

Tam sayı olmayan diğer sayı türleri de vardır. Elma kümeleri Yunanlara yetiyordu ancak biz bir elmanın bölünüp belirli bir sayıdaki insan grubu arasında paylaşılabileceğini biliyoruz. Bu gruptaki her bir birey elmanın bir bölümünü alacaktır; ben de hayvanat bahçeme her bir bölümden (kesir) örnek almak istiyorum.

Şayet sıfır ile bir arasındaki bütün kesirleri listelemek istersem yarımlar, üçte birler, sonra çeyrekler vs. ile başlamak mantıklı olacaktır. Bu sistemli yaklaşım hiçbirini kaçırmadan bütün kesirleri elde etmemi sağlayacaktır. Bu sebeple bütün doğal sayıları payda olarak (kesir çizgisinin altındaki sayılar) kullanmak zorunda kalacağımı kabul edebilirsiniz. Her bir farklı payda için de sıfırdan başlayıp paydanın değerine ulaşana dek artacak olan sayıda farklı paya (kesir çizgisinin üstündeki sayı) ihtiyaç duyacağım.

Kesirler

Kesirler, tam sayıların arasındaki sayıları belirtir; bir kesir çizgisinin üstünde bir sayı (pay) ve altında bir sayı (payda) olacak biçimde yazılırlar. Örneğin “yarım” ifadesi şu şekilde gösterilir:

Burada “1” pay, “2” ise paydadır. Bu biçimde yazılmasının nedeni, değerinin birin ikiye bölünmesi ile elde edilen değere eşit olmasıdır. Bir şeyi iki kişi arasında paylaştırırsanız size o şeyden elde edeceğiniz kesri göstermektedir. ise üç şeyin dört kişi arasında bölüştürülmesidir. Yani her bir birey üç tane çeyrek bölüm elde etmektedir.

Sıfır ile bir arasındaki tüm kesirleri hallettikten sonra tüm doğal sayılar arasındaki tüm kesirleri yazmak için bunu kullanabilirim. Şayet sıfır ile bir arasındaki tüm kesirlere bir eklersem bu bana bir ile iki arasındaki tüm kesirleri verecektir. Şayet onlara da bir eklersem bu sefer iki ile üç arasındaki tüm kesirlere ulaşırım. Bunu tüm doğal sayılar arasındaki kesirleri tamamlamak için yapabilirim ve negatif tam sayılar arasındaki kesirlerin tümünü tamamlamak için de birer tane çıkarabilirim.

Böylece sonsuz sayıda tam sayım olur ve artık kesirler için her birinin arasında sonsuz sayıda parmaklığa ihtiyacım var. Bu da toplamda sonsuz çarpı sonsuz sayıda parmaklığa ihtiyacım var demektir. Çok büyük bir iş gibi görünüyor ancak neyse ki hâlâ yeterli sayıda parmaklığım var.

Kesirleri oran olarak da yazmak mümkündür, dolayısıyla kesirler ayrıca orantısal (rasyonel) sayılar olarak da nitelendirilebilir. Artık doğal sayıların da içinde bulunduğu tam sayıları (tam sayılar bire bölünerek kesirler olarak da yazıldığı için) içeren tüm rasyonel sayıları hayvanat bahçeme koymuş durumdayım. Bitti.

Bir saniye! Bundan 2500 yıl önce Hindistan’da bazı matematikçiler, kesir olarak yazılamayan bazı sayıların varlığından bahsetmektelerdi ve tabii ki “bazı” sayılar derken aslında sonsuz sayıda olduklarını kastediyorlardı. Karesi (kendisiyle çarpımı) iki olan bir sayı olmadığını keşfettiler, böylece ikinin karekökünün rasyonel bir sayı olmadığı anlaşıldı. Aslında ikinin karesini yuvarlamadan bir sayı olarak yazamıyoruz, bu sebeple de ikiye yaptığımız şeyi kök sembolünü kullanarak gösterebiliriz:√2. Yazılamayan bir sayıyı yazmaya çalışmak biraz beyhude bir iş olduğundan bunun yerine sembol kullandığımız gerçekten önemli diğer sayılar da mevcuttur: π, e, φ gibi sayılar daha sonra bakacağımız bu tip sayılara verilebilecek üç örnektir. Bu tip sayılara irrasyonel sayılar deriz ve bunları da hayvanat bahçeme koymam gerekir. Peki, ardışık rasyonel sayılar arasında kaç tane irrasyonel sayı olduğunu tahmin edebilir misiniz? Doğrusu, sonsuz sayıda! Her ne kadar bu konuda Cantor’un (bkz. sayfa 17) söyleyecek birkaç şeyi olsa da ekstra parmaklık inşa etmek zorunda kalmadan bu sayıları da sonsuz hayvanat bahçeme sıkıştırabilirim.

Kareler ve Karekökler

Bir sayıyı kendisiyle çarptığımızda bu sayının karesini elde etmiş oluruz. Bu durumu üst ya da kök üssü olarak adlandırılan küçük bir iki ile gösteririz.

Üçün karesi dokuzdur. Bu da üçü, dokuzun karekökü yapar. Karekök almak bir sayının karesinin alınmasının tam tersidir. On altının karekökü dörttür, çünkü dördün karesi on altıdır.

Dokuz ve on altı gibi sayılar tam karedirler çünkü bu gibi sayıların karekökü bir tamsayıdır. Kesirler ve ondalık sayılar dahil olmak üzere her sayının karesi alınabilir. Her pozitif sayının da karekökü alınabilir.

(Bu konu hakkında daha fazla bilgi için bkz. sayfa 58)

İrrasyonel sayılar ile rasyonel sayıları bir araya getirdiğimizde matematikçilerin gerçek (reel) sayılar olarak nitelendirdiği sayıları elde ederiz. Daha önce bahsettiğimiz sayıların bir örüntü oluşturduğunu (rasyonel-irrasyonel) fark ettiyseniz gerçek olmayan sayıların da var olabileceğinden şüphelenebilirsiniz ve haklısınız da. Ancak burada durup hayvanat bahçeme “Sonsuz Gerçek Sayılar Hayvanat Bahçesi” ismini vereceğim. Çoğu hayvanat bahçesi hayvanlarını türlerine göre ayırır, bu yüzden de kendi bahçemi örtüşen sayı türlerine göre organize edebilirim. Haritası şu şekilde görünebilir ve hayvanat bahçesinde geçireceğiniz gününüzü planlamanıza yardımcı olması için mutlaka görülmesi gereken birkaç yer de ekledim:

Sonsuz Gerçek Sayılar Hayvanat Bahçesi

Hayvanat bahçemin Alman matematikçi David Hilbert’e (1862-1943) çok şey borçlu olduğu gerçeğini kabul etmem gerekir. Matematiğe çok büyük katkısı olmuştur ancak en çok da bu konunun lideri ve savunucusu olmasıyla bilinir. 1900 yılında Uluslararası Matematik Kongresi için – günümüzde Hilbert problemleri olarak bilinen – yirmi üç çözülmemiş problemden oluşan bir liste çıkarmıştır ve bu problemlerden üçü hâlâ çözülememiştir. Hayvanat bahçemin kaynağını oluşturan Hilbert Oteli düşünce deneyi, Hilbert’in sonsuz sayıda misafirin doldurduğu sonsuz sayıda odası bulunan bir otel hakkındaki derin düşünceleriyle ilgilidir. Hilbert’e göre otelin ilk müşterilerini oda numaralarını ikiyle çarpıp elde ettiğimiz yeni numarayı taşıyan odaya yerleşmeye ikna edersek, otele sonsuz sayıda müşteriyi yerleştirebiliriz. Mevcut müşteriler artık çift sayılı odalarda kalacaktır ve tek sayılı odalar da (bunların sayısı da sonsuz olacaktır) yeni gelenlere kalacaktır.

2. Bölüm
CANTOR İLE SAYMAK

Galileo Galilei (1564-1642), gezegenimizin Güneş’in etrafında döndüğüne dair kâfir inancından dolayı İtalya’da ev hapsindeyken Galileo paradoksu olarak bilinen hoş bir bulmaca ortaya atmıştır.

Bulmacaya göre bazı doğal sayılar mükemmel kareyken (bkz. Sayfa 15) çoğu değildir ve bu yüzden de kare olmayanların sayısı karelerden daha fazla olmalıdır. Ancak her doğal sayının mükemmel bir kare oluşturmak üzere karesi alınabilir. Dolayısıyla karelerin sayısı, doğal sayıların sayısına eşit olmalıdır. Bu da bir paradokstur; yani aynı anda ikisinin birden doğru olamayacağı iki mantıklı önerme sözkonusudur.

Daha önce de belirttiğim gibi sayı kuramcıları sonsuzluğun doğası ve onun tuhaf aritmetiğini ele alırlar. Sonsuz Matematik Hayvanat Bahçesi’ni gözden geçirirken kullandığımız şey olan kümeler kuramı Alman matematikçi Georg Cantor (1845-1918) tarafından icat edilmiştir. Aslında farklı türlerde sonsuzluk olduğunu bulmuştur. Kümelerin niceliği üzerinde çalışmıştır. Bu da kümenin kaç tane üyesi olduğu anlamına gelir. Örneğin, A kümesini Güneş sisteminin gezegenleri olarak tanımlarsam A kümesinin niceliği sekiz olur (Plüton’un neden artık bir gezegen olmadığına dair daha fazla bilgi için bkz. sayfa 132).

Cantor, sonsuz kümeleri de incelemiştir. Doğal sayılar sonsuzdur ancak Cantor bunların sayılabilir sonsuz olduğunu söyler; çünkü birden yukarı doğru saydıkça sonsuza doğru hareket eder ve ilerleme kaydederiz. Asla sonsuzluğa varamayız ancak ona yaklaşabiliriz. Cantor doğal sayılar kümesinin bir alef sıfır ya da (alef, İbrani alfabesinin ilk harfidir) niceliğine sahip olduğunu belirtmiştir. İlerleme kaydettiğiniz diğer her sayı kümesinin niceliği de olur. Bu sebeple doğal sayılara negatif tam sayıları eklersem, onları da sayarak ilerleme kaydedeceğimden tam sayılar kümesi de niceliğine sahip olur.

Şayet kümem sıfırdan bire kadar tüm rasyonel sayılar olsaydı sıfırdan başlayabilir ve bire kadar giden bütün kesirleri ele almaya çalışabilirdim. Bu kesirler için tüm olası paydaları ele alırsam yine doğal sayıları elde ederim. Kesirlerin payları da ayrıca doğal sayıların çeşitli kısımları olacaktı ve sıfırdan bire kadar olan rasyonel sayılar bile niceliğine sahip olurdu. Bu durum bütün rasyonel sayılar kümesinin de niceliğine sahip olduğunu gösterecek biçimde genişletilebilir.

Galileo’nun paradoksuna geri dönecek olursak doğal sayılar kümesi ile mükemmel kare sayılar kümesinin her ikisinin de niceliğine sahip olduğunu ve bu yüzden de aslında aynı büyüklükte olduklarını anlayabiliriz. Artık durum bir paradoks değildir. Teşekkürler Cantor!

Gerçekte niceliğine sahip kümeler, her ne kadar bu liste sonsuz derecede uzun olsa da, düzenli biçimde listelenebilir. Cantor, irrasyonel sayıları incelediğinde düzenli olarak listelenemeyen kümelerin olduğunu akıl edebildi. Onun köşegen argümanı şayet tüm irrasyonel sayıları ondalık sayı olarak yazarsanız, yazdığınız sayılardan yeni bir irrasyonel sayı yaratabileceğinizi göstermektedir. Bunu kümeye eklediğinizde yeni kümeden yeni bir irrasyonel yaratabilirsiniz. Bu döngü asla tüm irrasyonel sayıları düzenli biçimde listeleyemeyeceğiniz anlamına gelir çünkü sürekli hariç bırakılanlar olduğunu keşfedersiniz. Cantor bu gibi kümelerin sayılamayacak derecede sonsuz olduklarını ve niceliklerinin de olduğunu belirtmiştir.

Cantor ve onu takip eden çoğu matematikçi ile arasındaki bağıntıyı anlamak için çok vakit harcamışlardır. Cantor, ile arasında bir niceliğe sahip hiçbir kümenin var olmadığını belirten süreklilik hipotezini ileri sürmüştür; yani sayılabilen ve sayılamayan kümeler arasında hiçbir şey yoktur. Bu durum o zamandan beri süreklilik hipotezinin kümeler teorisi ile kanıtlanamadığını ya da çürütülemediğini göstermektedir.

Burada ispatlanabilen şey ise Cantor’un o zamana dek sadece düşünürler ve tanrıbilimciler tarafından ciddiye alınan bir kavramı (sonsuzluk) böylesi bir noktaya taşıdığı ve matematiğin yegâne temeli hakkında yeni bir düşünceyi harekete geçirmiş olmasıdır. Ne var ki düşüncelerinin yol açtığı anlaşmazlıklar ve tartışmalar Cantor’a büyük sıkıntılar vermiş ve hayatının ikinci yarısında başına bela olan bunalım krizlerine neden olmuştur. Süreklilik hipotezinin Hilbert problemlerinin arasına dahil edilmesi (bkz. sayfa 16), umuyoruz ki ne kadar büyük bir başarı elde ettiğini görmesini sağlamıştır. Sonsuzlukların farklı olabilecekleri düşüncesi bile hayret uyandırıcı bir şeydir doğrusu.

3. Bölüm
ARİTMETİK

Saymayı bildiğinizi düşünerek devam edeceğim. Hayatım boyunca sayı saymayı bilmeyen bir yetişkinle hiç karşılaşmadım. Matematiğin ilk kısmını çoğunlukla daha okula gitmeden önce öğreniriz. Küçük yaştaki pek çok çocuk, daha sayıların ne anlama geldiğini öğrenmeden önce papağan gibi birden ona kadar saymayı öğrenir.

Matematiği inceleme yollarından birinin hedeflenen sonuçlara ulaşmak için kullanılabilecek belli başlı ilkeleri anlamaya dayandığı söylenebilir. Önce anlamak sonra da öğrenme süreci gelir. Buna rağmen çoğumuz anlama kısmına neredeyse hiç ulaşamaz (ya da böyle bir fırsatımız olmaz) ve sadece öğrenme süreciyle baş başa kalırız. Bu durumda ortaya çıkan asıl sorun, herhangi bir beceride olduğu gibi, ihmal ettikçe bilgilerin unutulmasıdır. İhmalle birlikte anlama süreci de zayıflar. Matematik hakkında sevdiğim şey, kuzey yarımkürede küçük bir adada yaşayan sıradan bir insan olarak benim, kökeni binlerce yıl, halk ve kültür öncesine dayanan bir akıl piramidinin tepesinde bulunuyor olmamdır. Matematik piramidinin benden çok daha yükseklerinde bulunan birçok insan var; ancak ben kariyerimi diğer insanların kendi piramitlerini kurmasına yardım etmekle geçirmeyi seçtim. Deneyimlerimden hareketle gerçekleri, algoritmaları ve işlemleri ezberlemede ne kadar iyi olduğunuzun önemli olmadığını biliyorum. Gerçek manada anlamadığınız sürece, bir noktada piramidiniz yıkılmaya mahkûmdur.

Aritmetiğin akademik yöntemlerine girmeden önce + ve – sembollerinin iki yönlü doğasına kısaca bir göz atmak istiyorum. Bu semboller Batı dünyasına ilk kez Almanya’da, 1400’lerin sonlarından itibaren takdim edilmiştir. Johannes Widmann (yaklaşık 1460-98) 1489 yılında bu sembollerin kullanıldığı en eski İngilizce yazılı kaynak olan Neat and Nimble Calculation in All Trades (Tüm Ticaret İşlerindeki Zekice ve Hünerli Hesaplamalar) başlıklı kitabı yazdı.

En başından itibaren sembollerin her birinin insanların birbirinden ayırmakta zorlandığı iki anlamı vardı. Sembollerin ikisi de toplamak ya da çıkarmak üzere bir işlemi belirtebilir veyahut pozitif ile negatifi göstermek adına bir işaret olabilir. Semboller bir yandan komut ve tanımlama işlevi görürken bir yandan da bir eylemi ve ismi belirtir. Örneğin +3, hem “3 ekleyin,” hem de “pozitif 3” anlamına gelebilir. O halde hangi anlamda kullanıldığını nereden bileceğiz?

Matematik eğitiminde zihin aritmetiği yapmaya ya da “büyüktür” ve “küçüktür” kavramlarını anlamaya yardımcı olmak üzere sayı doğrusu kavramını kullanmak oldukça yaygındır. Sık sık öğrencilerime sayı doğrularını yatay mı yoksa dikey mi gördüklerini ve sayıların hangi doğrultuda sıralandıklarını sorarım. Eminim bu konu üzerine de çok ilginç araştırmalar yapılabilir. Yaptığım benzetme adına burada kullanacağımız sayı doğrusu tıpkı bir termometre gibi dikey olacaktır.

Burada + ve – işaretlerinin bize yanındaki sayının pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu gösterecek biçimde tanımlayıcı olarak kullanıldıklarını görebiliriz. Genellikle pozitif sayıların başında tanımlayıcı olarak + işaretini kullanmayız ancak burada sayı doğrusunun pozitif kısmını vurgulamak üzere kullandım. Sıfır ise görebileceğimiz üzere doğrunun tam ortasındadır ve ne pozitif ne de negatiftir.

Şimdi matematiksel bir sıcak hava balonunun pilotu olduğunuzu hayal edin. Balonun irtifasını değiştirmenin iki yolu vardır: balondaki ısının miktarını değiştirmek ve balondaki kum torbalarının miktarını değiştirmek. Balonun yukarıya doğru çıkmasını sağladığı için ısıyı pozitif olarak ele alacağız. Balondaki ısı miktarını da iki biçimde değiştirebilirsiniz. Brülörü kullanarak daha fazla ısı ekleyebilir ya da balonun tepesine bir delik açıp sıcak havanın dışarı çıkmasına izin vererek ısıyı azaltabilirsiniz. Balonun aşağı doğru inmesine neden olduğu için kum torbalarını da negatif olarak ele alacağız. Kum torbalarının miktarını da birazını balonun kenarından aşağı atarak ya da arkadaşınızın bir drone ile sepetinize biraz daha eklemesiyle değiştirebilirsiniz. Bu dört önerinin her birini matematiksel bir işlemle ifade edebiliriz:

Hint-Arap Rakamları

Sayıları yazma biçimimiz Hint-Arap sistemi olarak adlandırılır çünkü bu iki kültürden de birkaç önemli buluşu birleştirmektedir. Her bir basamağın bir öncekine göre on katı değerde olduğu ondalık bir sisteme dayanan sayma sistemini MS 500 yılında ilk kez kullananlar arasında Aryabhata (475-550) isimli Hintli bir gökbilimci bulunuyordu. Bir başka Hintli gökbilimci Brahmagupta ise sayılar için dokuz sembol ve boş basamağı temsil etmek için de bir nokta kullanarak (ki daha sonra bu sembol sıfır için kullandığımız 0’a dönüşmüştür) bu sistemi güzelleştirmiştir.

Yeni sistemin hesaplamada sağladığı verimlilik, sistemi popüler kılmış ve dünyanın her yerine yayılmasına neden olmuştur. Dokuzuncu yüzyıla varmadan sistem, “algoritma” sözcüğünü borçlu olduğumuz ve bu konu üzerine ilmi bir eser yazan Muhammed el Hârizmî (yaklaşık 780-850) isimli bir Arap matematikçiye ulaştı. Çalışma daha sonra Latinceye çevrildi ve bu da Batı dünyasının ilk kez bu sayılara erişmesine imkân sağladı.

Ne yazık ki sistem Avrupa’da çok fazla ilgi görmedi. Arap dünyasında eğitim gören ve ayrıca Fibonacci olarak da bilinen Pisa’lı Leonardo (yaklaşık 1175-1240) bu konuyu 1202 yılında kitabı Liber abaci’de kullandı. Kitap, esnaf ve matematikçileri abaküs kullanmayı bırakıp Hint-Arap sisteminin potansiyel gücünü kabul etmeye ikna etme konusunda etkili oldu. Ancak o da Latince yazılmış olduğundan birçok kişi anlamıyordu. 1522 yılında, Adam Ries (1492-1559) bu rakamların nasıl kullanılacağını izah ettiği bir kitabı anadilinde (Almanca) kaleme aldı. Bu da sonunda okuryazar olan ancak klasik eğitim almamış halkın sistemden yararlanmasını mümkün kıldı.

Tablonun son sırası çoğu insanın kabul ettiği (ya da ezbere öğrendiği) ancak nedenini gerçekten anlamadığı kısımdır. Neyse ki balon benzetmesinin biraz yardımı dokunacaktır.

Artık balonumuzun yukarı ve aşağı nasıl hareket ettirildiğini, yani matematikçilerin işlem dediği şeyi aydınlığa kavuşturmuş oluyoruz. Şayet irtifamızı, yani sayı doğrusunda konumumuzu, hesaplamak istiyorsak bir hesaplama yapmamız gerekir. Hesaplamadaki ilk sayı mevcut irtifamızı ve hesaplamanın geri kalanı ise hangi eylemin yerine getirileceğini göstermektedir. Örneğin, – 4 +3’ü şu şekilde yorumlayabiliriz:

Burada balon sayı doğrusunda üç sıra yükselip – 4’ten – 1’e çıkacaktır¹. Bu yüzden – 4 + 3 = – 1 olur.

İçinde bir sürü negatifin bulunduğu birazcık daha hileli bir örnek – 1 – – 6 olacaktır ve şu şekilde yorumlayabiliriz:

Altı kum torbasının sepetin kenarından atılması balonun altı basamak yükselmesine neden olur, böylece – 1 – – 6 = 5.

Mademki balonumuzun ne zaman yükselip ne zaman alçalacağını biliyoruz artık daha karmaşık aritmetik hesaplara ve dört işlemin geri kalanına bakabiliriz.

4. Bölüm
TOPLAMA VE ÇARPMA

Konu daha büyük sayıları kâğıt üstünde toplama işlemi olduğunda kullandığımız yöntemlerin hepsi basamak değeri ile sayıya kodlanan bilgiye dayanmaktadır. Bildiğimiz üzere 1234 rakamları ile bin iki yüz otuz dört sayısı temsil edilmektedir. Bunun nedeni ise sayıdaki her bir basamağın buna karşılık gelen bir değeri olmasıdır. Bunlar sağdan başlayarak birler (genellikle bu şekilde isimlendirilir), onlar, yüzler, binler, on binler vs. biçimindedir ve sola doğru ilerledikçe her basamakta on kat büyürler. Bu sebeple 1234 sayısı dört tane bir (4), üç tane on (30), iki tane yüz (200) ve bir tane bin (1000) içerir. Yani 1234’ü şu şekilde yazabilirim;

Buna matematik öğretmenleri tarafından “uzatılmış biçim” adı verilmektedir ve toplamaların nasıl işlediğini anlamakta gerçekten işe yaramaktadır. Örneğin 1234 + 5678’i düşünün. Şayet her bir sayıyı uzatılmış biçimde yazarsam:

Her bir eşleşen basamak değerini kolayca birlikte toplayabilirim:

Buradan 1234 + 5678 = 12 + 100 + 800 + 6000 = 6912 olduğunu anlayabilirim.

Okulda bize öğretilen yöntem ise bu sürecin kısaltılmış biçimiydi. Birbirine karşılık gelen basamakları alt alta yazıp sağdan sola doğru topluyoruz:

İlk toplama işlemi 4 + 8 = 12 olur. Tek basamaklı yanıt kutusuna 12 yazamayız ancak 12 = 10 + 2’dir bu yüzden 2’yi bu kutuda bırakıp 10’u bir sonraki hesaplamaya taşırız.

Teknik olarak bir sonraki basamağın toplamı 10 + 30 + 70 = 110’ dur, ancak burada onlar basamağında işlem yaptığımız için kaç tane onumuz olduğuna bakmalıyız; toplamda 1 + 3 + 7 = 11 tane onumuz vardır. Bu yüzden yine bu basamağa sığamayacak kadar rakamımız bulunmaktadır. 11 = 10 + 1, yani onlar basamağına bir tane 1 yazıp diğer 1’i yüzler basamağına taşırız:

100 + 200 + 600 = 900:

Ve son olarak da 1000 + 5000 = 6000:

Çarpma işlemi ise tekrarlayarak toplama işlemi yapmanın hızlı bir yoludur. 12 × 17 sorusu aslında “On iki çarpı on yedi kaç eder?” diye sormaktadır. Yanıtı on iki tane on yediyi ya da on yedi tane on ikiyi toplayarak bulabilirim; ancak çarpım tablosunu önceden öğrenmişseniz çarpma işlemi çok daha hızlıdır.

Elimde birçok marka olduğunu düşünün. 12 × 17 problemini her biri on yedi tane marka içeren on iki sıra oluşturarak ve sonra da bunları toplayarak çözebilirim:

Bununla birlikte şayet 12’yi 10 + 2 ve 17’yi de 10 + 7 olarak düşünürsem, o halde markaları şu şekilde gruplandırabilirim:

Çarpım tablosunu bildiğim için her bir alt bölümde kaç tane markanın olması gerektiğini biliyorum:

Dolayısıyla 12 × 17 = 100 + 70 + 20 + 14 = 204 olduğunu artık biliyorum. Bu yönteme (204 markayı çıkarma) “ızgara yöntemi” adı verilir. Şimdi ise 293 × 157 problemini çözmek için biraz daha gelişmiş bir modeli görelim:

Muhtemelen bütün bu çarpma işlemlerini, özellikle çarpım tablomuzdaki sayılardan çok büyük olan bu sayılar için nasıl kafamdan yaptığımı merak ediyorsunuzdur. Aslında çok havalı bir hilesi var. Herhangi bir tam sayıyı on ile çarptığım zaman sayının sonuna bir sıfır ekliyorum. Yani 100 × 200 için 100’ün 1 × 10 × 10 ve 200’ün de 2 × 10 × 10 olması gerektiğini biliyorum. Bunların hepsini bir araya getirirsem:

Ondalık Sistem

Basamak değerinin tasarımının her iki yönde de genişletilebileceğine dikkat etmek gerekir. Birler basamağından sağa doğru ilerledikçe her adımda basamak değeri on kat düşer ve onlar, yüzler, binler vs. basamağı elde ederim. Artık en sağdaki basamağın birler olmadığını göstermek adına bir ondalık virgülü kullanıyorum. Bu da ondalık sayıları veriyor. Burada, örneğin 45,3 + 27,15’i toplamak için yukarıdakiyle aynı kuralları kullanabilirim:

45,3’ün sonuna basamakları eşleştirip toplamayı daha belirgin bir şekilde yapmak üzere bir sıfır eklediğime dikkat ediniz (bu durum, özellikle çıkarma işlemi için önemlidir). Bunu 45,3 ile 45,30 aynı olduğu için yapabiliyorum: üç tane ona, sıfır tane yüz eklediğimizde sonuç hâlâ üç tane ondur. Bu yüzden matematikçiler 45,30 için kırk beş virgül otuz yerine kırk beş virgül üç sıfır ifadesini kullanırlar.

Her bir × 10’un, 2’den sonra bir sıfır anlamına geldiğini hatırlayacak olursam 100 × 200 = 20000 sonucunu elde ederim. Ne zaman bir ızgara çarpımı yapsam bu sürecin tamamını gerçekleştirmiyorum. Sadece ilk basamakları çarpıp daha sonra hesaplamada ne kadar çok sıfır varsa bunun sağına ekliyorum. Bu yüzden 50 × 200 için düşünce yöntemime göre 5 × 2 = 10 ve daha sonra üç tane sıfır eklemeliyim. Böylece 50 × 200 = 10000. Tam isabet!

Izgarama geri dönecek olursam, her bir basamağı topladığımı görebilirsiniz. Nihai yanıtım 31400 + 14130 + 471 olacaktır ki bunu da toplayacak olursak:

Son olarak cevap: 293 × 157 = 46001 olur.

Uzun çarpım yöntemi dahil olmak üzere başka yöntemleri de vardır ancak işe yarar bir yönteminiz varsa bırakmayın sakın. Şimdi toplama ve çarpmanın çok yakın dostları çıkarma ve bölmeye geçelim.

Napier’in Kemikleri

John Napier (1550-1617), çarpma işlemi için Napier’in kemikleri olarak bilinen bir dizi çubuk icat eden İskoçyalı bir matematikçi, gökbilimci ve simyacıydı. Bu sistem her bir çarpım tablosu için bir çubuk içeriyordu. Örneğin 3 için çarpım tablosu çubuğu şu şekilde olacaktır:

Örneğin, şayet 9 × 371’i hesaplamak istiyorsanız üç, yedi ve bir için çarpım tablosu çubuklarını yan yana koyup dokuzuncu sıraya kadar okuyorsunuz ki bu da şu şekilde görünür:

Daha sonra sağdan başlayarak her bir çapraz çizgideki sayıları topluyorsunuz. Şayet toplam dokuzdan büyükse bir sonraki çizgiye devam ediyorum:

Böylece 9 × 371 = 3339 eder.

Napier’in sihirbazlığa merak saldığı üzerine söylentiler vardı. Belirli aralıklarla hizmetçilerine, içinde bir kuş bulunan bir odaya yalnız başına girmelerini ve kuşu okşamalarını emredermiş. Kuşun onların sadakatini hissettiğini de söylermiş. Aslında Napier kuşun tüylerine is sürermiş. Vicdanen suçluluk hissedenler kuşu okşamazlar ve ellerine is bulaşmadan dışarı çıkarlarmış. Böylece de kurnaz Napier tarafından suçlu bulunurlarmış.

5. Bölüm
ÇIKARMA VE BÖLME

Çıkarma işlemi toplama ile çok benzer biçimde gerçekleştirilir. Örneğin 6543 – 5678 şöyle hesaplanır:

Buradan ise – 5 + – 30 + – 100 + 1000 = – 135 + 1000 = 865 sonucuna ulaşırım. Yine basamak yöntemimizi kullanabilirsiniz ancak toplamada bir basamakta çok fazla sayı olmasını önlemek için kullandığımız diğer basamağa taşıma sisteminin tersine ihtiyacımız var. Daha önce yaptığım gibi devam edecek olursam:

Pek de mantıklı görünmüyor, değil mi? Burada ödünç almaya ihtiyaç duyuyorum. Aslında öğrencilerimden birinin işaret ettiği üzere ödünç alınan miktar asla geri dönmediği için bu işlem için çalmak çok daha doğru bir kelime olacaktır.

3 – 8’in bir negatif sayı verdiğini fark ettiğimde bir sonraki basamaktan ödünç alarak 3’ü artırıyorum. Soldaki basamaktaki 4’ün üstünü çizip onun değerini bir düşürüyorum. Ödünç almış olduğum “bir” aslında on değerinde olduğu için birler basamağındaki 3 aslında 13’e yükselir. Böylece 13 – 8 =5 olur:

Bir sonraki basamak da 3 – 7 = – 4 şeklinde negatif bir sonuç verecektir. Yine kapı komşusu yüzler basamağından bir ödünç alırım. Yüzün değeri on tane on olduğu için elimdeki 3 tane onu 13 tane ona yükseltir böylece şu şekilde devam edebilirim:

Ancak devam etmeden önce yüzler basamağı için de bir başka ödünç alma işlemine ihtiyacım var ve görünüşe bakılırsa binler basamağımın değeri sıfıra düşecektir:

Böylece 6543 – 5678 = 865 olduğunu anlayabiliriz.

Önceki bölümde toplama ile çarpmanın birbiriyle yakından bağıntılı olduğunu görmüştük. Benzeri, çıkarma ve bölme için de geçerlidir. 3780 ÷ 15 işlemi bize aslında “3780’de kaç tane on beşin olduğunu” yani “3780’den kaç kez on beşin çıkarılabileceğini” sormaktadır. Aslında bu düşünce biçimi yığma adı verilen bir bölme yönteminin anahtarıdır. Bu yöntemde sıfıra ulaşana dek bölenin katlarını çıkarmayı sürdürüyorum.

2 × 15 = 30 olduğunu buradan da 200 × 15’in de 3000 olması gerektiğini biliyorum. Bunu 3780’den çıkararak başlıyorum:

Buradan elimde 780 kalır. 4 × 15 = 60 yani 40 × 15 = 600 eder. Daha sonra bunu da çıkarırım:

Son olarak on iki tane daha on beşi iki işlemle çıkarırım:

Artık 200 + 40 + 10 + 2 = 252 tane 15 çıkardığımı biliyorum. Yani 3780 ÷ 15 = 252 olur. Çarpmada ne kadar iyiyseniz burada o kadar az sayıda yığın alma basamağından geçebileceğinizi anlayabilirsiniz.

Çok korkulan uzun bölme (kalanlı bölme) yöntemi de çok benzer ilkelerle çalışmaktadır. Burada problemi otobüs durağı ismini verdiğim bir düzende kurguluyorum:

Soldan başlıyorum. 15 sayısı iki haneli olduğu için 3 ve 7’ye bakıyorum – 37 sayısında kaç tane 15 vardır? İki kez. Bu da bize 30’u verir ve sonra geriye kalanı çıkarma işlemini kullanarak hesaplıyorum:

Dikkatimi şimdi elde ettiğim 7’ye ve bu 7’nin yanına yazacağım 8’e çeviriyorum. 78’de kaç tane on beş var? Bildiğim kadarıyla beş tane on beş 75 eder:

Son olarak sıfırı elde ettiğim sayının yanına indiriyorum ve 30 sayısında kaç tane on beşin bulunduğuna dikkat ediyorum:

Kısa bölme işlemi de tıpkı uzun bölme gibidir ancak tek farkı kalanları kafamızdan hesaplayıp bunları elde sayıları olarak yazarız. Kısa bölme işlemi kesirleri ondalık sayılara çevirmekte kullanışlıdır. Şayet ’in bir ondalık sayı olarak ne olduğunu öğrenmek istiyorsam 5 ÷ 8’ i hesaplayabilirim:

Sekiz sayısı 5’in içinde sıfır kez vardır ve geriye 5 kalır. Bu geriye kalanı bir ondalık virgülü ve bir başka sıfır yazana dek koyabileceğim herhangi bir yer yoktur. Bunu yapabiliyorum çünkü 5 = 5,0 ve buna karşılık gelen bir sıfırı yukarı yazıyorum:

50 içinde 8 ise 6 kez vardır ve kalan da 2’dir (ondalık virgülden sonra gerektiği kadar sıfır ekleyebilirim):

20 içinde 8 ise iki kez vardır ve geriye 4 kalır:

Ve 40 sayısında ise tam olarak beş tane sekiz vardır:

Yani artık = 5 ÷ 8 = 0,625 olduğunu biliyoruz. Her ne kadar daha zor olanları için uzun bölmeyi kullanmayı tercih edebilirseniz de bu yöntem her bayağı kesir için işe yarayacaktır. Bir sonraki bölümde bu kadar kolay hesaplanamayan bazı bayağı kesirleri inceleyeceğiz.

6. Bölüm
BAYAĞI KESİRLER VE ASAL SAYILAR

Bir bayağı kesrin nasıl ondalık sayı olarak ifade edildiğini az önce öğrendik. Şimdi ’e bir bakalım çünkü burada ilginç bir şeyler oluyor:

Hemen bir döngünün gerçekleştiğini fark ediyoruz; on sayısında üç, üç kere vardır ve geriye bir kalır ve bu durum sonsuza dek tekrarlanır. Bu durumun görüldüğü ondalık sayılara tekrarlanan denir ve tekrar eden hanenin üstüne bir devir çizgisi ekleriz:

Durum yedide bir için çok daha ilginç bir hal alır:

Burada elimde tekrarlanan bir haneler dizisi bulunmaktadır. Bunu tüm dizinin üstüne bir devir çizgisi ekleyerek gösterebilirim:

Dahası paydası 7 olan diğer kesirler de benzer diziyi kullanır, yalnızca farklı başlangıç ve bitiş noktalarına sahiptir.

Canınız biraz daha zorlu bir şey çektiyse dokuzları bir deneyin!

Bir bayağı kesrin paydasına bakarak tekrarlayıp tekrarlanmayacağını söyleyebilirim. Paydayı alıp onun katlarını (10, 100, 100 vs.) elde etmek üzere herhangi bir şeyle çarpabilirim. Şayet yapabiliyorsam dönüştürdüğümde ondalık sütunlarda sorunsuzca yerleşmesini sağlayabilirim.

Bunu yapmadan önce denk kesirler adı verilen çok önemli bir matematiksel kavrama göz atmamız iyi olur. Buna göre aynı değere sahip farklı bayağı kesirler elde edebiliriz. Bunu anlamanın bir yolu konuyu pizza üzerinden somutlaştırmaktan geçer. Bir pizzayı iki kişi arasında yarıya bölerek paylaşabilir ve her birimiz de kendi yarımızı farklı sayıda dilimlere bölebilir ve yine de aynı miktarda pizzayı yiyebiliriz. Benzer biçimde hepimiz daha okul hayatımızın erken dönemlerinde bir yarımın iki çeyrek ve ayrıca üç bölü altı vesaire gibi kesirlerden oluştuğu düşüncesini kavramışızdır:

Bir matematik öğretmeni size, “Kesir çizgisinin üzerinde ne yapıyorsan altında da aynısını yap,” demiştir muhtemelen. Ancak yüksek ihtimalle söylemedikleri şey, bunun denkliği koruduğudur.

Bu, bana bayağı kesirleri ondalıklara çevirmek için bir başka yöntem sunar. Örneğin gibi bir kesir, pek de bölmek için can atacağım bir şey değildir. Ancak pay ile paydayı dörtle çarparsam, şöyle bir şey elde ederim:

İşlem tamam. Kafa yoracağım bir sonraki şey ise paydayı, onun kuvvetini elde edebilecek şekilde çarpıp çarpamayacağımı nereden anlayacağımdır.

Bunu sınamak için asal sayılar kavramını anlamanız gerekir. Bu sayılar çok uzun bir zamandır matematikçileri büyülemiştir. Kısa ve öz bir şekilde ifade etmek gerekirse bir asal sayı tam olarak iki çarpanı olan bir doğal sayıdır. Örneğin sekiz sayısı sırasıyla bir, iki, dört ve sekizin kendisine bölünebilir ve dolayısıyla dört çarpanı olduğundan asal bir sayı değildir. Beş ise iki çarpana sahiptir, bir ve beş; bu yüzden de bir asal sayıdır. Bir ise tek bir çarpana sahiptir, o da birin kendisidir; bu sebeple de asal sayı değildir. Bu yüzden de “sadece kendisine ve bire bölünen sayı” diye açıklanan saçmalığı unutun gitsin. En baştan başlayarak asal sayıların birkaçını şöyle sıralayabiliriz; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…

Asal sayıların bu denli müthiş olmasının nedenlerinden biri aritmetiğin asal çarpanlara ayırma olarak adlandırılan kuramıdır. Bu kurama göre her bir doğal sayı asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir, ancak sadece bir şekilde. Örneğin:

Asal sayıların 30’u elde etmek üzere çarpımının bundan başka hiçbir birleşimi yoktur. İki, üç ve beş sayıları otuzun asal çarpanlarıdır. Bana göre bu durum asal sayıları matematiksel DNA yapar; her sayı eşsizdir ve sayılar arasında endişelenmemizi gerektiren ikizler ya da klonlar bulunmaz! Hatta 223.092.870 gibi çok büyük bir sayı bile asal sayılar ile sadece bir şekilde yazılabilir (bu da aslında 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23’e eşittir).

Peki, bu durumun bayağı kesirlerde bana nasıl bir faydası olur? Aslında daha önce bir bayağı kesrin sonlandırılması için paydasını on sayısının bir katına dönüştürebilmem gerektiğinden bahsetmiştim. On sayısının asal çarpanları şöyledir:

Yüz sayısının asal çarpanlarını elde etmek için ise şunu hatırlamak yeterlidir:

Böylece on sayısının asal çarpanları iki ile beş olur ve aynı şey yüz sayısı için de geçerlidir (sadece biraz fazla sayıda iki ve beş gerekir). Buradan on sayısının herhangi bir katının asal çarpanlarının sadece iki ve beş olduğunu anlayabiliriz. Bu yüzden şayet paydamın asal çarpanları herhangi bir şekilde ikiler ya da beşlerin birleşiminden oluşuyorsa o halde bunu on sayısının katını elde edebilecek şekilde çarpmanın da bir yolu vardır demektir. Yukarıda verdiğim bayağı kesir 250 gibi bir paydaya sahipti ve bu da şu şekilde yazılabilir:

Bu birleşim sadece ikiler ve beşlerden oluşmaktadır. Yukarıda bu sayıyı 1000’i elde edecek şekilde 2 × 2 olan dört ile çarpmıştım. Şayet payda 240 olsaydı:

olurdu. Bu sefer çarpım birleşiminde bir tane üç var. Yani en basit haliyle paydası 240 olan herhangi bir bayağı kesir tekrarlanacaktır. Örneğin:

Diğer yandan ise:

Bu bayağı kesir en basit haliyle artık iki ya da beşten başka bir paydaya sahip olamaz ve bu yüzden de sonlanır.

Bayağı Kesirleri Toplama ve Çıkarma

Hazır bayağı kesirler konusundayken aritmetik hesaplamalarını yeniden özetlemek yerinde olacaktır. Toplama ya da çıkarma yapmak için bayağı kesirleri aynı paydaya sahip olacak şekilde dönüştürmek gerekir. Bunu en etkili biçimde yapmak için de her iki paydanın da çarpanı olduğu en düşük sayıyı aramamız gerekir: en küçük ortak çarpan. Örneğin sekizde beş ile on ikide yediyi toplamak istersem, sekiz ile on ikinin her ikisinin birden çarpanı olduğu en küçük sayıyı belirlemem gerekir. Çarpım tablosundan hemen hem sekiz hem de on ikinin içinde bulunduğu yirmi dördü belirleriz:

Buna payı paydasından büyük olduğu için en ağır ya da bileşik kesir denir. Bu, matematikte lise seviyesine ya da eşdeğerine ulaşana dek kabul edilmez bir durumdur nedense. Bence bunun nedeni her ne kadar bileşik kesirlerle hesaplamalar yapmak daha kolay olsa da ilk bakışta tam sayılı kesirleri anlamanın daha kolay olmasıdır. Bileşik bir kesri karma kesre çevirmek için olduğunu fark etmem gerekir. Bu da şu anlama gelir:

Çıkarma işlemi de benzer biçimde gerçekleştirilir:

En küçük ortak çarpan 36’dır. Denkliği, paydası 36 olan kesirlere dönüştürmek üzere kullanın.

Bayağı Kesirleri Çarpma ve Bölme

Çarpma işlemi çok kolaydır; payları ve paydaları birbirleriyle çarparım. Örneğin:

Bir bayağı kesir ile çarpım yaptığınızda toplam değerin küçüldüğünü belirtmekte yarar vardır. Ayrıca burada bir yarım değeri (1/2) bayağı kesirleri bölmede bize yardımcı olacak bir şeyi vurgulamak üzere özellikle seçtim. Yukarıda bir yarım değer ile çarpımın aslında ikiye bölmeye eşdeğer olduğunu görebiliyoruz. Ve benzer biçimde üçte bir değerle çarpım da aslında üçe bölmeye eş olacaktır. Bu ilişkiye bir sayının tersi denir. İki ile yarım (1/2) birbirlerinin tersidir ve şayet iki sayısını bayağı bir kesir olarak yazacak olursam bu durumun nasıl işlediği açıklığa kavuşur:

Herhangi bir sayıya bölmek, onun tersi ile çarpmanın aynısı olmasından dolayı aslında bu oldukça kullanışlıdır.

Bu bilgiyi bayağı kesirleri bölmek için kullanabilirim:

On beşin asal çarpanları üç ile beştir ve bu yüzden bir ondalık sayı olarak devirli sayı olacaktır.

Asal Sayıların Bulunması

Asal sayıların matematikçiler tarafından bu denli ilgi odağı olmasının nedenlerinden biri de şimdiye dek hiç kimsenin asal sayılar için belirli bir model ya da formülü keşfetmemiş olmasıdır. Birçok kişi denemiş ancak başarıya henüz ulaşamamıştır. Örneğin Fransız rahip Marin Mersenne (1588-1648) şu formülü kullanarak bir dizi sayıyı hesaplamıştır:

İlk sayıyı belirlemek için n’yi bir olarak alırsınız, ikinci sayı için de n’yi iki olarak alırsınız ve bu şekilde devam eder. Buradan hareketle şöyle bir dizi oluşur:

Mersenne bu formülle elde edilen sayıların bazılarının 3, 7, 31 ve 127 gibi asal sayılar olduklarını fark etmiştir. Bu sayılar da dizideki ikinci, üçüncü, beşinci ve yedinci sayılardır. İki, üç, beş ve yedinin kendisi de ayrıca asal sayılardır. Dolayısıyla görünüşe göre n yerine bir asal sayı koyduğumuzda formülden bir asal sayı elde edersiniz. Ancak yediden sonraki asal sayı on birdir ve formüle göre M11 = 2047 eder. Ne var ki 2047 bir asal sayı değildir çünkü 2047 = 23 x 89 eder.

Büyük asal sayıları makine yardımı olmaksızın belirlemek zordur. Örneğin, M107 ile 33 haneli bir sayı elde edilir ve herhangi bir sayının bunun böleni olup olmadığını ve bu sebeple de bu sayının bir çarpan olup olmadığını kontrol etmek oldukça zaman alıcı bir uğraş olur.

Kusursuzca ve hiç usanmadan hesaplamalar yapabilen bilgisayarların bulunduğu dijital çağa buyurun. 1950’li yıllardaki ilk bilgisayarlar yüzlerce haneleri olan ve bilindikleri ismiyle Mersenne asal sayılarını bulabiliyorlardı. 1999 yılına gelindiğinde ise ilk milyon haneli Mersenne asal sayısı keşfedildi. Günümüzdeki rekor ise M74,207,281 için belirlenen 22 milyondan fazla basamağı olan bir sayıdır.

Uzuuun Çarpım

Amerikalı matematikçi Frank Nelson Cole (1861-1926), 1903 yılında, bir dersi esnasında asal sayı olduğu düşünülen M₆₇ hakkında aşağıdaki çarpımı yazmıştı:

147.573.952.589.676.412.927 = 193.707.721x761.838.257.287

Daha sonra sonucun doğruluğunu ispatlamak için bu çarpım işlemini elle yapmaya koyulmuştu. Bunu yapması bir saatini almış ve çarpım işlemini tam bir sessizlik içinde gerçekleştirmişti. Cole, “dersinin” sonunda yerine tek kelime etmeden geçmiş ve bu sırada meslektaşları tarafından ayakta alkışlanmıştı.

Ne gerek vardı? Aslında matematikçiler oldum olası mesleklerine duydukları katıksız sevgiden dolayı hemen her şeyi araştırırlar. Öte yandan asal sayılar modern zamanın şifreleme yöntemlerinin omurgasını oluştururlar. Örneğin kredi kartımın detayları gibi bir sayıyı internet aracılığı ile iletmek istersem ne yaptıklarını bilen insanlar için bu sayıyı yakalayıp paramı harcamak çok kolaydır.

Buna engel olmak adına internet, iletilmekte olan sayıyı değiştirmek için bir ortak anahtarın kullanıldığı şifreleme yönteminden yararlanır. Bu anahtar ise aslında çok büyük asal sayılardan yaratılmış olan çok büyük ve açıkçası rasgele bir araya getirilmiş sayıların birleşimidir. Sadece özel anahtara sahip olan planlanan alıcı bu süreci belirli bir zaman dilimi içerisinde geriye çevirebilir.

Ağ adresinin başındaki “https”, bu ağ sitesinin bilgisayarınıza gelen ve ondan giden bilgiyi şifrelemek üzere Hypertext Transfer Protocol with Transport Layer Security (Güvenli Bağlantılı Metin Aktarım Protokolü) kullandığı anlamına gelir. Böylece bazı çok akıllı matematikçiler sayesinde çevrimiçi olarak istediklerinizi güvenle sipariş edebilirsiniz.

7. Bölüm
İKİLİ SİSTEM

İlk bölümde bilgisayarlardan ve kolayca gerçekleştirdikleri aritmetik işlemlerden nasıl faydalanabileceğimizden bahsetmiştim. Bununla nirlikte bilgisayarlar çoğunlukla insan zekâsının ürünüdür. En nihayetinde elektronik bilimden yararlanıp ikili sistemle hesaplama yapabilen makineler meydana getiren, yani bilgisayarları dijitalleştiren de insan zekâsıdır. Bu, her basamak değerinin on sayısının katı olduğu (1, 10, 100, 1000 vs.) bizim kullandığımız ondalık sistemin aksine basamak değerlerinin iki sayısının katları olduğu (1, 2, 4, 8, 16 vs.) bir sayı sistemidir.

Bunun nedeni ise, elektronik bakış açısıyla, elektrik gerilimlerini ya sıfır ya da sıfır-değil (sıfır-değiller bir olarak sayılır) olarak görmenin daha kolay olmasıdır. Şayet sıfır volt değerindeki gerilimler için sıfır, bir volt için bir ve benzeri biçiminde bir analog ondalık sistem kurmaya çalışsaydık bilgisayar içindeki bileşenler arasındaki kablonun uzunluğuna bağlı olarak gerilim değerlerinin düşmesinin yanı sıra bilgisayar ısındıkça içindeki bileşenlerin de direnci değişeceğinden bazı sorunlarla karşılaşırdık.

Modern bilgisayarların hesaplama sisteminden dolayı ikili sistemin oldukça modern bir icat olduğunu düşünebilirsiniz. Ancak öyle değil. Dünyanın çeşitli yerlerindeki farklı kültürler, hemen hemen her türden farklı durumda ikili sistemi kullanmışlardır. Çin’de MÖ sekizinci yüzyıldan beri kehanetleri görmek için kullanılan I Ching (Değişimler Kitabı), ikili yin yang sembollerine dayanan trigram ve heksagram ve sembolleri kullanmaktadır. Büyük Alman matematikçi Gottfried Leibniz (1646-1716), I Ching’e hayran kalmış ve ve 1600’lerin sonlarında modern ikili sistemi tasarlamıştır.

Buradan sonra ise İngiliz mantıkçı George Boole (1815-64), The Laws of Thought (Düşünce Yasaları) isimli kitabında ikili sayıları kullanan bir mantık sistemi düzenlemiştir. Amerikalı matematikçi Claude Shannon (1916-2001) günümüzde Boolean mantığı olarak bilinen bu sistemi ilk kez 1937 yılında elektronik bir devrede kullanan ilk kişi olmuş ve sistemin aritmetik ve mantık işlemlerinde kullanılabileceğini de göstermiştir. Shannon ikili bilgiyi temsil etmek üzere anahtarlar kullanmıştır. Anahtar kapalı iken sıfırı, açık konumdaykense biri temsil etmektedir.

Shannon, İkinci Dünya Savaşı sırasında Nazi şifrelerini kırmada bilgisayarların kullanımı üzerine tartışmak için İngiliz matematik kahramanı Alan Turing (1912-1954) ile buluşmuştur. Çalışmalarının aslında birbirlerinin çalışmalarını tamamladığını keşfetmişlerdir. Shannon’un 1948 tarihli, “İletişimin Matematiksel Kuramı” başlıklı makalesi onu bilfiil tüm modern dijital bilgisayarların babası kılmıştır.

Şayet bir bilgisayar gibi aritmetik işlem gerçekleştirmek isterseniz ikili sistemde 1 + 1 = 10 olduğunu unutmadığınız takdirde kuralların aynı kaldığını görmekten memnun olacaksınız. Örneğin 101 + 110 işlemi şu şekilde görünecektir:

Şayet 10 – 1 = 1 olduğunu hatırlayacak olursak 1010 – 111 ise şöyle görünecektir:

101 x110 ise şöyle görünecektir (aslında ondalık çarpım tablosuna dair bütün o bilgiye ihtiyaç duymadığınızı dikkate alın!):

Buradan da 10100 + 1010 = 11110 olur.

Bölme işlemi için ise 1010 ÷ 100 şu şekilde hesaplanır:

İkili sistemde de bayağı kesirlerimiz olabildiğine ve ondalık virgülün sağındaki basamakların yarım, çeyrek, sekizde birler vs. şeklinde olacağına dikkat ediniz. Bu yüzden burada 0,1 yarım değeri temsil etmektedir.

Buradaki tüm hesaplamaları kontrol etmek üzere ondalık sayıya çevirmeyi okuyucular için bir alıştırma olarak bırakıyorum!

Bir bilgisayarın hesaplamaları ne kadar hızlı gerçekleştireceği konusundaki sınırlayıcı faktör, bir mikroçipin içine sığdırılabilecek anahtarların (ya da transistörlerin) sayısı ve ayrıca bunların ürettikleri ısının üstesinden gelebilmesidir. Şimdilik yedi milyar transistörü piyasada satılan küçük boyutlardaki bir bilgisayar yongasına sığdırmak mümkündür. İntel şirketinin kurucularından Amerikalı girişimci Gordon Moore, 1965 yılında mikroçiplerin teknolojik olarak gelişiminin üzerlerindeki transistör sayısının her iki yılda bir iki katına çıkmasına izin vereceğini belirtmiştir. Bu süreç Moore yasası olarak bilinir.

Moore yasası, yapabileceklerimizin fiziksel sınırına yaklaşırken son beş yılda hız kesmiştir. Günümüzde üretilen transistörlerin boyutu sadece nanometrelerle ölçülür. Bu da milyonlarcasını bu cümlenin sonundaki noktaya sığdırabileceğiniz anlamına gelir. Pekâlâ, buradan nereye gidiyoruz?

Olasılıklardan birisi, teorik olarak geleneksel dijital bilgisayarlardan çok daha hızlı çalışmalarını sağlayacak kuantum mekaniğinin tuhaf etkilerine dayanan kuantum

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.

1

Gerçek bir sıcak hava balonunun yükselmeye devam edeceğinin tamamıyla farkındayım. Bu yüzden de bu balonun fiziksel değil matematiksel bir balon olduğunu belirttim.

dönüş