Т.В. Ващенко, Р.О. Восканян

Математическое обеспечение финансовых решений

Учебно-методическое пособие

ebooks@prospekt.org

Информация о книге

УДК 330.4(073)

ББК 65.05я73

В23

Авторы:

Ващенко Т. В. – канд. экон. наук, доцент кафедры финансового менеджмента ФГБОУ ВО «Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова»;

Восканян Р. О. – канд. экон. наук, доцент кафедры финансового менеджмента ФГБОУ ВО «Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова».

В учебно-методическом пособии излагаются основные вопросы, составляющие сущность и содержание математического обеспечения финансовых решений как учебной дисциплины и как основы принятия эффективных финансово-инвестиционных решений в управлении финансово-хозяйственной деятельностью российских компаний на основе концепций временной стоимости денег, альтернативной доходности, стоимости капитала и т. д. Рассматриваются сущность начисления процентного дохода и различные виды процентных ставок, операции дисконтирования и наращения, показатели доходности и стоимости финансовых операций, методы оценки денежных потоков, конверсия аннуитетов и финансовая эквивалентность платежей.

В пособии приведено большое количество задач для самостоятельного решения, тестов и контрольных вопросов. Для более полного усвоения материала приводятся примеры решения конкретных задач.

Данное пособие будет полезно бакалаврам и магистрам, обучающимся по направлениям 080300 «Финансы и кредит» и 080100 «Экономика» федерального государственного образовательного стандарта 3-го поколения.

Также может быть рекомендовано для самостоятельного изучения всем, кто связывает свою профессиональную деятельность с финансовой сферой.

УДК 330.4(073)

ББК 65.05я73

© Ващенко Т. В., Восканян Р. О., 2017

© ООО «Проспект», 2017

Предисловие

В последнее время актуальность вопросов, связанных с повышением эффективности управления финансами компаний, возрастает в связи с усложняющимися условиями их функционирования под воздействием целого ряда внешних факторов. Постоянно усиливается конкуренция и одновременно ужесточается контроль над деятельностью всех участников финансового рынка, увеличивается количество разнообразных финансовых инструментов и усложняются модели их оценки и управления, мировые финансовые кризисы становятся почти постоянным фоном финансово-хозяйственной деятельности, охватывая все большее количество динамически развивающихся стран и регионов.

Современная рыночная ситуация, характеризующаяся ускоряющейся финансовой глобализацией и интеграцией России в мировое финансовое сообщество, предъявляет особые требования к содержанию и качеству образовательного процесса и уровню подготовки выпускника финансового профиля. В настоящее время российская образовательная система перешла на новый этап развития и новые стандарты обучения, основанные на компетентностном подходе и инновационных методах обучения, направленных на формирование у обучающихся необходимых знаний, умений и навыков, относящихся к области их будущей профессиональной деятельности.

Содержательная и структурная логика представления материала данного учебного пособия полностью учитывает все новые подходы и требования. Последовательно и логично в каждом разделе учебного пособия рассматриваются базовые понятия и определения, лежащие в основе финансовой математики, приводятся необходимые показатели и способы их расчета, дается интерпретация возможных результатов, раскрывается их значимость для принятия обоснованных решений в финансово-инвестиционной сфере.

В первом разделе рассмотрены основные понятия и определения финансовой математики, а также основные формулы, формирующие базовый инструментарий для проведения расчетов и анализа на основе принципа временной стоимости денег: процентные ставки, приведенная и будущая стоимость, операция дисконтирования и наращения.

Второй раздел содержит конкретные приемы и методы расчета основных характеристик денежных потоков различного вида, в том числе не ограниченных по времени потоков и аннуитетов. В третьем разделе рассматриваются вопросы оценки важнейших характеристик финансовых инструментов, используемых для привлечения и вложения капитала, — доходности и стоимости, а также методы учета инфляции в финансовых решениях.

Последний раздел посвящен вопросам практического применения методов финансовой математики для решения наиболее важных задач, базирующихся на анализе денежных потоков — оценке эффективности инвестиционных проектов и оценке стоимости компаний на основе доходного подхода.

Для более полного усвоения изложенного теоретического материала в каждом разделе приводятся примеры решения наиболее типичных задач. Для проверки полученных знаний даны задачи, контрольные вопросы и тесты для самостоятельного решения. Задания учебного пособия не требуют дополнительных знаний и источников информации помимо приведенных в теоретической части.

Практикум, завершающий содержание учебного пособия, содержит кейс с подробным объяснением хода решения, которое основано на принципах оценки денежных потоков, доходности инвестиционных проектов и стоимости финансовых операций с использованием инструментов финансовой математики.

В приложениях приводятся список аббревиатур, используемых при изложении учебного материала, глоссарий, раскрывающий сущность основных используемых понятий, а также наиболее важные формулы и таблицы приведения аннуитетов, необходимые для решения практических задач.

Материалы учебного пособия апробированы авторами при чтении курсов по финансовой математике и математическому обеспечению финансовых решений в Российском экономическом университете имени Г. В. Плеханова и Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ.

Введение

Математическое обеспечение финансовых решений (финансовая математика, высшие финансовые вычисления) — специальная область знаний, являющаяся научным фундаментом целого ряда дисциплин, имеющих в своей основе набор базовых принципов или концепций, на которых строится современная финансовая наука и практика, — концепция денежного потока, концепция временной стоимости денег, концепция альтернативной доходности, концепция стоимости капитала, концепция соотношения «риск/доходность».

На этих концепциях базируются анализ денежных потоков компаний и оценка эффективности их финансово-инвестиционной деятельности, управление инвестиционным портфелем, планирование погашения долгосрочных кредитов и займов, расчет важнейших характеристик современных финансовых инструментов, оценка справедливой стоимости ценных бумаг и еще много других практических аспектов финансового управления, являющихся важнейшими задачами в таких дисциплинах, как «Финансовый менеджмент», «Инвестиционный анализ», «Управление денежными потоками», «Финансирование инвестиционных проектов», «Управление стоимостью компании» и др., что и определяет повышенную значимость финансовой математики и необходимость успешного ее освоения в процессе обучения по финансово-экономическим направлениям.

В основе всех перечисленных концепций лежит главный принцип – деньги должны работать и приносить инвесторам доход, который необходимо оценивать с учетом требований к минимально приемлемой доходности, прогнозируемого уровня инфляции и факторов возможного риска. При этом доходность финансовых операций и стоимость финансовых ресурсов являются показателями, используемыми как критерий выбора источников финансирования и целесообразных для реализации инвестиционных проектов.

Необходимым условием эффективности финансово-инвестиционной деятельности компании является соблюдение условия: стоимость инвестируемого капитала не должна быть выше доходности инвестиций. В этом случае вложения капитала принесут достаточный доход, чтобы росли стоимость компании и благосостояние ее собственников, что является важнейшей целью управления в современных условиях.

Таким образом, свободное владение приемами и методами финансовой математики, умение корректно использовать необходимые формулы и алгоритмы расчета, а также верно интерпретировать полученные результаты являются залогом успешного освоения многих финансовых дисциплин и дальнейшей профессиональной деятельности.

Необходимо также отметить, что знание основ финансовых вычислений нередко может быть полезным и в повседневной деятельности, например при выборе банковского вклада, решении вопроса об использовании кредита, при выборе предлагаемых банками инвестиционных продуктов и программ и т. п.

Раздел 1.
Теоретические основы финансовой математики

1.1. Финансовая математика — инструмент реализации в финансовом менеджменте концепции временной стоимости денег

Современный финансовый менеджмент базируется на ряде взаимосвязанных фундаментальных принципов или концепций, представляющих собой методологическую основу для понимания сущности процессов, происходящих на финансовых рынках, логики принятия финансово-инвестиционных решений, выбора методов количественного анализа современных финансовых инструментов.

В соответствии с концепцией денежного потока любая финансовая операция может быть представлена в виде совокупности распределенных во времени поступлений или выплат денежных средств в наличной или безналичной форме. Денежные потоки являются основой для применения различных инструментов анализа и оценки, финансового планирования и прогнозирования, расчета необходимых финансовых показателей, позволяющих разрабатывать эффективную финансовую стратегию и принимать обоснованные финансово-инвестиционные решения. Деление денежных потоков по видам деятельности – инвестиционной, операционной, финансовой – позволяет повысить качество анализа и эффективность управления компанией.

Планирование, оценка и анализ денежных потоков базируется на концепции временной стоимости денег, в соответствии с которой одна и та же денежная сумма имеет разную ценность в разные моменты времени. Это происходит потому, что деньги обязательно должны работать, т. е. вкладываться в различного вида объекты инвестирования, и приносить определенный доход за любой рассматриваемый промежуток времени. Предполагается, что данный доход компенсирует и обесценение денег в результате инфляции, и возможные риски, и альтернативные издержки¹.

Поэтому каждый элемент денежного потока строго привязан к конкретному моменту времени, что должно обязательно учитываться в процессе расчета его количественных характеристик.

Временной аспект учитывается при оценке будущих денежных потоков в инвестиционном анализе, при оценке стоимости и доходности различных финансовых инструментов, оценке стоимости бизнеса, планировании погашения кредитов и займов, реструктуризации задолженностей и т. д.

Концепция временной стоимости денег реализуется в финансовом менеджменте через инструментарий финансовой математики, называемой также математическими основами финансового менеджмента или финансовыми вычислениями.

С данной концепцией тесно связана концепция альтернативной доходности, представляющая собой простейший инструмент оценки требуемого дохода на вложенный капитал. Поскольку в условиях рыночной экономики существует большое многообразие финансовых инструментов с различными показателями доходности и риска, у финансового менеджера всегда есть возможность выбора между различными объектами вложения капитала в соответствии с разработанной финансово-инвестиционной стратегией и требованиями к ее результативности. Доход, не полученный в результате отказа от участия в некоторой операции, имеющей минимальный риск и минимальную, но при этом гарантированную доходность, должен учитываться в качестве альтернативных затрат при принятии любых решений, связанных с использованием финансовых ресурсов компании.

Таким образом, ставка альтернативной доходности используется в финансовом менеджменте в двух аспектах:

1) как ставка, характеризующая гарантированную доходность, на которую компания всегда может рассчитывать;

2) как ставка, характеризующая минимально приемлемую доходность инвестиционной деятельности компании.

Ставка альтернативной доходности является субъективной величиной, выбор которой зависит от многих факторов, тем не менее очень часто в качестве ставки альтернативной доходности используется ставка рефинансирования² Центробанка, если у компании нет оснований выбрать для этой цели какую-либо другую величину.

Концепция стоимости капитала также имеет в своей основе идею о необходимости получения дохода от использования имеющегося капитала. Любая финансово-экономическая деятельность требует постоянных вложений денежных средств. Для поддержания и расширения производственного процесса, повышения его результативности, внедрения новых технологий и освоения новых рынков необходим инвестиционный капитал. Источником инвестиций может быть эмиссионная деятельность компаний (акции и облигации), различного вида кредиты и займы, иностранные инвестиции, собственная прибыль и т. п.

Ни один источник средств не может считаться бесплатным. Стоимость капитала представляет собой цену, которую компания платит за его использование, т. е. годовые расходы по обслуживанию задолженности перед инвесторами и кредиторами. Количественно она выражается в виде процентной ставки, представляющей собой отношение данных расходов к общей сумме используемого капитала. Эта ставка характеризует минимальный уровень доходности инвестиций, который должна обеспечить компания, с тем чтобы не уменьшить свою рыночную стоимость.

Таким образом, процентные ставки, характеризующие стоимость капитала компании и доходность ее инвестиций, являются основой для принятия финансово-инвестиционных решений. Вложения капитала будут приносить компании доход и увеличивать благосостояние ее собственников при условии, что доходность инвестиций окажется не ниже стоимости инвестированного капитала.

1.2. Способы начисления процентов, виды процентных ставок

Для оценки денежных потоков, а также отдельных денежных сумм на основе концепции временной стоимости денег необходимо иметь инструмент приведения элементов денежных потоков к нужному моменту времени. Чаще всего оценка проводится на текущий момент, но это также может быть и любой другой момент в прошлом или в будущем, как в пределах самого денежного потока, так и выходящий за них. Приведение денежного потока к конкретному моменту времени должно учитывать доход, который был получен (или мог бы быть получен) за соответствующий период. Интенсивность получения дохода от вложения капитала в различные направления деятельности характеризуется годовой процентной ставкой, на основе которой выводятся формулы приведения денежных сумм к требуемым моментам времени.

В дальнейшем будут использоваться следующие понятия и обозначения:

Проценты, процентный доход, I (Interest) — доход от предоставления капитала в долг в различной форме (ссуды, кредиты и т. д.), от владения каким-либо финансовым активом либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Первоначальная денежная сумма, первоначальный капитал, PV (present value) — величина капитала, имеющегося на начальный момент времени (или величина капитала, вкладываемого в рассматриваемую операцию); либо текущий эквивалент будущей денежной суммы.

Процентная ставка, i (interest rate) — величина, характеризующая интенсивность начисления процентов. Всегда подразумеваются годовые процентные ставки, т. е. ставки, характеризующие возможность получения дохода за год.

Наращение — увеличение первоначальной денежной суммы за счет присоединения начисленных процентов (приведение денежной суммы к будущему моменту времени).

Наращенная (будущая) денежная сумма, FV (future value) — сумма первоначального капитала и начисленных процентов, будущий эквивалент текущей денежной суммы.

Дисконтирование — определение текущего финансового эквивалента будущей денежной суммы (приведение будущей денежной суммы к настоящему моменту времени).

Коэффициент (множитель) наращения — величина, показывающая, во сколько раз изменился первоначальный капитал.

Период начисления, n — период времени, в течение которого начисляются проценты (длительность финансовой операции). Период начисления всегда выражается в годах (так же как процентные ставки всегда задаются годовыми), может являться как целым, так и нецелым числом.

Интервал начисления — минимальный промежуток времени, по прошествии которого начисляются проценты. Период начисления может состоять из одного или нескольких интервалов начисления.

Временная база для расчета процентов, Т — количество дней в году, которое берется для расчета длительности операции n, если изначально она задана в днях. В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции, рассчитываются либо точные, либо приближенные проценты. Приближенные проценты обычно используются для получения промежуточных итогов, когда не требуется абсолютная точность.

Существует несколько способов начисления процентов и, соответственно, несколько видов процентных ставок. В зависимости от применяемого способа начисления финансовые результаты могут достаточно сильно различаться. При этом разница будет тем больше, чем больше величина вкладываемого капитала, применяемая процентная ставка и продолжительность периода начисления.

Общее представление о различных способах начисления процентов дает следующая схема:

Способы начисления процентов, виды процентных ставок

Декурсивный и антисипативный способы начисления различаются по моменту начисления процентов.

Признаком декурсивного способа является начисление процентов в конце каждого интервала начисления. Величина процентного дохода определяется исходя из величины начального капитала PV. Декурсивная процентная ставка (иногда называемая ставкой ссудного процента) i представляет собой выраженное в процентах отношение начисляемого за годовой период дохода (процентов) Iгод к сумме, имеющейся на начало периода. Величина процентной ставки характеризует интенсивность начисления процентов.

i = × 100%. (1.1)

При антисипативном (предварительном) способе проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентного дохода определяется исходя из величины будущей денежной суммы FV. Антисипативной процентной ставкой (также называемой учетной ставкой) d будет выраженное в процентах отношение суммы начисленного дохода Dгод к будущей денежной сумме.

d = × 100%. (1.2)

При обоих способах начисления процентные ставки могут быть простыми, если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления, и сложными, если по прошествии каждого интервала они применяются к сумме первоначального капитала и начисленных за предыдущие интервалы процентов (проценты капитализируются). Наращение первоначального капитала с использованием сложных ставок идет быстрее, если длительность операции составляет более одного года. На краткосрочных, менее одного года периодах, больший финансовый результат дает использование простых процентных ставок. При использовании одинаковых по величине ставок разница в результатах тем больше, чем длиннее период начисления.

1.3. Декурсивные процентные ставки

Декурсивные процентные ставки играют важнейшую роль в реализации концепции временной стоимости денег. Именно эти ставки используются в операциях приведения элементов денежных потоков к нужному моменту времени, в расчетах основных характеристик денежных потоков, в оценке стоимости и доходности финансовых операций. Ставки по кредитам, процентные ставки, по которым выплачивается купонный доход владельцам облигаций, большинство ставок по банковским депозитам, ставка рефинансирования Центробанка — все это декурсивные процентные ставки.

Исходя из определения декурсивной процентной ставки (формула (1.1)) и будущей денежной суммы FV (первоначальный капитал PV вместе с начисленными процентами) нетрудно вывести формулы для расчета FV и PV при заданных значениях ставки и длительности периода начисления процентов.

Для случая начисления простых декурсивных процентов

FV = PV ∙ (1 + n ∙ i). (1.3)

При коротком периоде начисления, выраженном в днях, формула простых процентов примет вид:

FV = PV ∙ (1 + t/T ∙ i), (1.4)

где t — продолжительность периода начисления в днях.

Для случая начисления сложных декурсивных процентов

FV = PV ∙ (1 + i)n. (1.5)

Операция определения будущей денежной суммы или, что то же самое, определения будущего эквивалента текущей денежной суммы носит название «операция наращения», соответственно формула представляет собой формулу наращения, используемая процентная ставка – ставка наращения. Величины (1 + n ∙ i), (1 + t/T ∙ i), (1 + i)n, показывающие, во сколько раз вырос первоначальный капитал, называются коэффициентами (или множителями) наращения.

Поскольку оценка будущего денежного потока проводится обычно на текущий момент времени, в финансовом менеджменте чаще используется обратная операция – операция дисконтирования, т. е. определение текущей величины PV, эквивалентной будущей сумме FV.

Для случая начисления простых декурсивных процентов

PV = FV / (1 + n ∙ i) (1.6)

или

FV = PV / (1 + t/T ∙ i). (1.7)

Для случая начисления сложных декурсивных процентов:

PV = FV / (1 + i)n. (1.8)

Соответствующая формула называется «формула дисконтирования», используемая в ней процентная ставка — «ставка дисконтирования». Величины 1/(1 + n ∙ i), 1/(1 + t/T ∙ i), 1/(1 + i)n представляют собой коэффициенты (или множители) дисконтирования.

Нетрудно заметить, что операция наращения и операция дисконтирования, коэффициенты наращения и коэффициенты дисконтирования являются взаимно обратными, в то же время ставка наращения или ставка дисконтирования — это одна и та же процентная ставка, название указывает на то, о какой операции в данный момент идет речь.

С точки зрения концепции временной стоимости денег при данной конкретной процентной ставке величины PV и FV эквивалентны, можно также сказать, что величина PV является текущим финансовым эквивалентом будущей величины FV, а величина FV — будущим эквивалентом величины PV. Понятие финансовой эквивалентности является субъективным, зависящим от величины применяемой при дисконтировании или наращении процентной ставки.

В случае, когда период начисления больше одного года и не является целым числом (n = M + m, где M — целое число лет, m — нецелая часть года), можно использовать две различные формулы для определения будущего финансового результата FV и, соответственно, PV. Первая использует нецелый показатель степени и дает меньший финансовый результат. Она считается приблизительной:

FV = PV ∙ (1 + i)M + m; (1.9)

PV = FV / (1 + i)M + m. (1.10)

Вторая формула использует на последнем периоде, длительностью меньше года, принцип расчета простых процентов, она дает больший, по сравнению с первой формулой, результат и считается точной формулой расчета:

FV = PV ∙ (1 + i)M ∙ (1 + m ∙ i); (1.11)

PV = FV / (1 + i)M ∙ (1 + m ∙ i). (1.12)

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году (обычно применяется ежемесячное, ежеквартальное или полугодовое начисление процентов). В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j — годовая ставка, на основе которой определяется величина ставки, применяемой на каждом интервале начисления. При m равных интервалах на каждом интервале применяемая ставка будет равна величине j/m. Если весь период наращения составляет n лет, в соответствии с правилом начисления сложных процентов величины FV и PV могут быть рассчитаны по формулам

FV = PV ∙ (1 + j / m)n ∙ m; (1.13)

и

PV = FV / (1 + j / m)n ∙ m. (1.14)

Очевидно, чем больше количество интервалов начисления в году, тем больше будущий финансовый результат (при использовании простых процентов количество интервалов начисления не влияет на величину наращенной суммы).

Начисление сложных процентов может быть непрерывным³ (т. е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а количество интервалов в году — к бесконечности). В этом случае для определения будущей суммы FV может быть использована следующая формула:

FV = PV ∙ (1.15)

Для расчетов можно использовать известную в математике формулу

= e, (1.16)

где e = 2,71828… (основание натуральных логарифмов).

Тогда для FV получим более простое выражение:

FV = PV ∙ ein , (1.17)

где ein в данном случае будет являться множителем наращения.

При использовании декурсивных процентных ставок непрерывный способ начисления дает максимальный финансовый результат при прочих равных условиях, т. е. при одинаковых значениях PV, j, n, если длительность периода начисления более одного года.

В дальнейшем название «декурсивный» не будет использоваться — такие процентные ставки подразумеваются по умолчанию.

1.4. Антисипативные процентные ставки

Если используются антисипативные процентные ставки, это обязательно должно оговариваться заранее, и название «антисипативные» (либо «учетные») опускаться не должно. На практике антисипативные процентные ставки применяются обычно при учете векселей⁴. Полученный в этом случае процентный доход называют дисконтом — скидкой с номинала векселя. Поэтому антисипативная ставка может еще называться ставкой дисконта (но не ставкой дисконтирования!).

Также некоторые банки предлагают вклады на условиях «проценты вперед». По таким вкладам не предусмотрены расходные операции и возможность пополнения. Подробнее об этом будет рассказано в следующем параграфе.

Аналогично случаю декурсивных процентов, формулы для расчета величин FV и PV выводятся на основании определения антисипативной процентной ставки (формула (1.2)) и будущей денежной суммы.

Для случая простых антисипативных процентов

FV = PV / (1 – n ∙ d) (1.18)

или

FV = PV / (1 – d ∙ t/T). (1.19)

Для случая сложных антисипативных процентов

FV = PV / (1 – d)n. (1.20)

Данные формулы, как и соответствующие им операции, можно называть формулами наращения, однако они не относятся к формулам приведения (наращение и дисконтирование по правилу начисления декурсивных процентов), с помощью которых элементы денежного потока приводятся к нужному моменту времени.

Обратная операция, определение величины PV, носит название операции банковского учета.

Для случая простых антисипативных процентов

PV = FV ∙ (1 – n ∙ d). (1.21)

Для случая сложных антисипативных процентов

PV = FV ∙ (1 – d)n. (1.22)

Величины 1 / (1 – n ∙ d), 1 / (1 – d)n и (1 – n ∙ d), (1 – d)n называют коэффициентами наращения для антисипативных процентов и дисконтными множителями для антисипативных процентов соответственно.

Сложные антисипативные проценты на практике применяются крайне редко, поскольку операции, где они используются, как правило, краткосрочные. Однако нужно иметь в виду, что при прочих равных условиях применение простых антисипативных процентов дает больший результат FV, чем применение сложных, на периодах больше года и меньший на периодах меньше года.

Также антисипативные проценты (и простые, и сложные) дают больший финансовый результат по сравнению с декурсивными процентными ставками любого вида.

1.5. Эквивалентные процентные ставки

В некоторых случаях при сравнении эффективности различных финансовых операций бывает полезно определять эквивалентные процентные ставки. Эквивалентные процентные ставки — это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях (PV, n, i) дает одинаковые финансовые результаты (FV). Исходя из данного определения можно составить уравнение эквивалентности и вывести соотношение для рассматриваемых ставок.

Например, требуется оценить привлекательность вложения средств на банковский депозит на условиях «проценты вперед». Характеризуя привлекательность таких вкладов, обычно отмечают среди плюсов возможность сразу же получить процентный доход и таким образом: а) уберечь деньги от инфляции; б) совершить необходимые покупки или платежи в более короткие сроки; в) вложить полученный процент в другой срочный вклад, увеличив доходность своих сбережений. К минусам относится отсутствие капитализации процентов, невозможность совершать по вкладу расходные операции, невозможность пополнять данный вклад.

Очевидно, «недостатки» на самом деле являются следствием определения антисипативного способа начисления процентов, составляющего сущность такого депозита. А чтобы оценить его преимущества, можно представить данную операцию с точки зрения условий вклада с обычным начислением процентов в конце срока.

Например, вкладывается сумма в размере 1000 у. е. под ставку 10% сроком на один год, и проценты выплачиваются сразу. Тогда вкладчик получает 100 у. е. в момент открытия вклада, а по окончании срока — оставшуюся 1000 у. е. Легко видеть, что итоговый результат выглядит следующим образом: вкладчик расстался с суммой, равной 900 у. е., а в конце срока получит 1000. То есть операция эквивалентна получению обычного процентного дохода в 100 у. е. в конце срока при внесении вначале суммы 900 у. е. Процентная ставка, которую легко получить исходя из определения (формула (1.1)), составит 11,11%.

Значит, по своему финансовому результату депозит с условиями «проценты вперед» по ставке 10% эквивалентен депозиту с обычным начислением и ставкой 11,11%. Сравнивая эту величину со ставками, которые предлагаются по обычным депозитам, и можно сделать вывод о том, насколько выгоден данный вклад и обоснованы заявленные преимущества.

Получить значение эквивалентной ставки можно более коротким путем. В данном случае одна и та же будущая сумма FV может быть получена по правилу простых антисипативных и декурсивных ставок:

1) FV = PV / (1 – n ∙ d);

2) FV = PV ∙ (1 + n ∙ i).

Приравнивая правые части, получим уравнение эквивалентности, которое будет выглядеть следующим образом:

PV ∙ (1 + n ∙ i) = P / (1 – n ∙ d).

Откуда легко получить нужные зависимости:

i = d / (1 – n ∙ d); (1.23)

d = i / (1 + n ∙ i). (1.24)

Подставив в формулу (1.23) значение ставки, равное 10%, получим эквивалентную обычную (декурсивную) ставку 11,11%.

Поскольку многие вклады предполагают начисление процентов несколько раз в году и их капитализацию, полезным может оказаться расчет обычной ставки (начисление один раз в год), эквивалентной номинальной (начисление несколько раз в году). Такая ставка носит название эффективной ставки.

В данном случае в основе уравнения эквивалентности лежат следующие формулы:

1) FV = PV ∙ (1 + j / m)n ∙ m;

2) FV = PV ∙ (1 + n ∙ i).

Для эффективной процентной ставки получаем формулу

i = (1 + j / m)m – 1. (1.25)

Из полученных соотношений видно, что эквивалентность различных процентных ставок никогда не зависит от величины вложенного капитала, но может зависеть от продолжительности периода начисления.

1.6. Примеры решения задач

1. Банк предлагает вклад на срок полгода, под ставку 10% годовых. Проценты начисляются в конце срока, капитализация отсутствует. Определить будущую сумму, которую получит вкладчик, и величину начисленных процентов при использовании простого и сложного методов начисления, если вложенный капитал составляет 100 у. е.⁵ Проценты приближенные (n = 0,5).

Решение

1) Для случая простого способа начисления процентов используется формула (1.3):

FV = PV ∙ (1 + n ∙ i) = 100 ∙ (1 + 0,5 ∙ 0,1) = 105 у. е.

Величину начисленных процентов можно рассчитать как разницу между будущей суммой и вложенным капиталом:

I = 105 – 100 = 5 у. е.

2) Для случая сложного способа начисления процентов используется формула (1.5):

FV = PV ∙ (1 + i)n = 100 ∙ (1 + 0,1)0,5 = 104,88 у. е.;I = 104,88 – 100 = 4,88 у. е.

Как видим, сложный способ начисления процентов на коротких (меньше года) периодах дает меньший результат, чем простой способ.

2. Решить предыдущую задачу для периода начисления 2 года.

Решение

1) Для простых процентов по формуле (1.3):

FV = PV ∙ (1 + n ∙ i) = 100 ∙ (1 + 2 ∙ 0,1) = 120 у. е.;I = 120 – 100 = 20 у. е.

2) Для сложных процентов по формуле (1.5):

FV = PV ∙ (1 + i)n = 100 ∙ (1 + 0,1)² = 121 у. е.;I = 121 – 100 = 21 у. е.

На периодах больше года сложный способ начисления процентов дает более высокий результат, чем простой способ.

3. Определить период наращения, за который первоначальный капитал в размере 400 у. е. вырастет до 600 у. е., если используется простая процентная ставка 12% годовых.

Решение

Используем формулу (1.3), соответствующую простому способу начисления процентов, и выразим из нее срок n:

FV = PV ∙ (1 + n ∙ i) →n = (FV / PV – 1) / i = (600 / 400 – 1) / 0,12 = 4,17 года.

4. Банк предлагает депозит для физически лиц на условиях «проценты вперед», ставка составляет 9% годовых, срок один год. Является ли это предложение более выгодным, чем ежеквартальное начисление процентов в конце каждого квартала при годовой номинальной ставке 10%?

Решение

Используя формулу (1.23), найдем декурсивную процентную ставку, эквивалентную антисипативной ставке 9%:

i = d / (1 – n ∙ d) = 0,09 / (1 – 1 ∙ 0,09) = 0,0989 = 9,89%.

По формуле (1.24) найдем декурсивную ставку, эквивалентную номинальной ставке 10%:

i = (1 + 0,1 / 4) 4 – 1 = 0,1038 = 10,38%.

Следовательно, депозит «проценты вперед» является менее выгодным.

5. Вексель на сумму 1000 у. е., со сроком погашения 1 ноября, учтен в банке 1 сентября, учетная ставка банка 8%. Определить сумму, получаемую держателем векселя, и доход банка. Проценты приближенные.

Решение

Номинал векселя в данном случае является будущей суммой FV, которая будет получена при погашении векселя. До погашения остается 2 месяца, т. е. срок n равен 1/6 года.

По формуле (1.21) определим сумму, получаемую держателем векселя от банка:

PV = FV ∙ (1 – n ∙ d) = 1000 ∙ (1 – 1/6 ∙ 0,08) = 986,7 у. е.

Доход банка будет получен при погашении векселя.

1000 – 986,7 = 13,3 у. е.

1.7. Задачи для самостоятельного решения

1. Банк предлагает вклад на срок 9 месяцев, под ставку 8% годовых. Проценты начисляются в конце срока, капитализация отсутствует. Определить общую сумму процентов за весь срок вклада при использовании простого и сложного методов начисления, если вложенный капитал составляет 500 у. е.

(30 у. е., 29,7 у. е.)

2. Решить предыдущую задачу при условии, что срок вклада составляет:

а) 1 год; б) 2 года.

(а) 40 у. е, 40 у. е.; б) 80 у. е., 83,2 у. е.)

3. Капитал в размере 800 у. е. вложен под ставку 9,5% сроком на 18 месяцев с ежеквартальной капитализацией. Определить сумму, которую получит вкладчик в конце срока.

(920,99 у. е.)

4. Кредит в размере 600 у. е. выдан на срок со 2 марта до 11 декабря под простую ставку 15% годовых (год високосный). Определить общую сумму долга с процентами для случая точного расчета процентов.

(669,84 у. е.)

5. Капитал в размере 200 у. е. вложен на 3,5 года. Начисление процентов происходит по полугодиям. За первый год доход начисляется по простой декурсивной ставке 9%, а за каждое последующее полугодие ставка увеличивается на 0,5%. Определить множитель наращения и величину наращенной суммы.

(1,46; 292,24 у. е.)

6. Определить текущий финансовый эквивалент денежной суммы 800 у. е., выплачиваемой через два года, если используется ставка дисконтирования 12%.

(637,76 у. е.)

7. Определить текущий финансовый эквивалент будущей суммы 500 у. е., выплачиваемой через 4 года, если используется сложная ставка 8%.

(367,51 у. е.)

8. Какой капитал должен быть внесен на депозит, чтобы при использовании простой декурсивной ставки 7,5%, через 1 год и 8 месяцев величина наращенной суммы составила 1000 у. е.?

(888,89 у. е.)

9. Определить период наращения, за который первоначальный капитал в размере 250 у. е. вырастет до 400 у. е., если используется простая процентная ставка 12% годовых.

(5 лет)

10. Определить простую процентную ставку, при которой первоначальный капитал в размере 240 у. е. вырастет до 260 у. е. за полгода.

(16,67%)

11. Решить предыдущую задачу при условии использования сложной процентной ставки.

(17,36%)

12. Капитал в размере 500 у. е. вложен на 2,5 года под сложную ставку 16%. Определить величину наращенной суммы, используя точную и приближенную формулы расчета.

(726,62 у. е.; 724,63 у. е.)

13. Капитал в размере 250 у. е. вложен на 2 года под сложную ставку 8% , начисление процентов ежемесячное. Определить величину наращенной суммы и общую сумму начисленных процентов.

(293,22 у. е.; 43,22 у. е.)

14. Банк предлагает депозит для физически лиц на условиях «проценты вперед», ставка составляет 10,5% годовых, срок один год. Является ли это предложение более выгодным, чем ежеквартальное начисление процентов в конце каждого квартала при годовой номинальной ставке 11%?

(да, эффективная ставка в первом случае составляет 11,73%, во втором – 11,46%)

15. Банк предлагает депозит для физических лиц на условиях «проценты вперед», ставка составляет 10% годовых. Какая простая декурсивная процентная ставка обеспечит эквивалентный результат вкладчику, если срок вклада составляет три месяца?

(10,26%)

16. Решить предыдущую задачу при условии, что срок вклада составит: а) полгода; б) 1 год.

(10,53%; 11,11%)

17. Вексель на сумму 5000 у. е., со сроком погашения 1 декабря, учтен в банке 1 сентября, учетная ставка банка 12%. Определить сумму, получаемую держателем векселя, и доход банка. Проценты приближенные.

(4850 у. е.; 150 у. е.)

18. Рассчитать эффективную ставку сложных процентов, если номинальная ставка равна 9% и начисление процентов происходит ежемесячно.

(9,38%)

19. Банк предлагает депозит для физически лиц на условиях ежемесячной капитализации при ставке 8%. Является ли данное предложение более выгодным, чем депозит с начислением процентов один раз в год по ставке 8,5%? Срок депозитов составляет 1 год.

(нет, эффективная ставка в первом варианте составляет 8,3%)

20. Рассчитать эффективную ставку при непрерывном начислении процентов по ставке 6%. Срок 2 года.

(6,18%)

1.8. Контрольные вопросы

1. Назовите основные концепции финансового менеджмента и их содержание. Какова взаимосвязь между ними?

2. Как реализуется в финансовом менеджменте концепция временной стоимости денег?

3. Что представляют собой альтернативные издержки?

4. Где используется ставка альтернативной доходности?

5. Чем отличаются точные и приближенные проценты?

6. В чем основное отличие декурсивного и антисипативного способов начисления процентов?

7. Чем отличаются простые и сложные процентные ставки?

8. Использование какого способа начисления процентов дает наибольший финансовый результат при прочих равных условиях?

9. Какие процентные ставки используются при приведении элементов денежного потока к нужному моменту времени?

10. Какие процентные ставки используются в кредитных операциях?

11. Что такое номинальная процентная ставка?

12. Что представляют собой непрерывные проценты?

13. Что такое множитель дисконтирования?

14. Где используются антисипативные процентные ставки?

15. В чем смысл операции банковского учета?

16. Какой способ начисления процентов дает максимальный финансовый результат на долгосрочных (более года) периодах начисления?

17. Верно ли утверждение, что при прочих равных условиях кредитору более выгоден антисипативный способ начисления процентов? Обоснуйте свой ответ.

18. Какие процентные ставки называются эквивалентными?

19. Что такое уравнение эквивалентности

20. Какая процентная ставка носит название эффективной?

1.9. Тесты

1. Концепция «временной стоимости денег» подразумевает, что:

а) деньги могут обесцениваться в результате инфляции;

б) на счетах предприятия в каждый момент времени должно быть достаточно денежных средств;

в) курсы валют разных стран подвержены колебаниям, зависящим от ряда факторов;

г) деньги приносят доход и потому имеют разную ценность в разные моменты времени.

2. Концепция стоимости капитала подразумевает, что:

а) собственный капитал компании всегда дешевле заемного капитала;

б) чем выше стоимость капитала компании, тем более инвестиционно привлекательной она является;

в) стоимость капитала характеризует минимально приемлемую доходность инвестиций компании;

г) доходность инвестиционных проектов компании не должна превышать стоимость ее капитала.

3. Ставка альтернативной доходности может использоваться:

а) для оценки стоимости заемного капитала;

б) для оценки уровня риска;

в) для оценки уровня инфляции;

г) в качестве ставки минимально приемлемой доходности.

4. Процентная ставка рассчитывается на основе общей суммы процентов, начисленных за:

а) день;

б) месяц;

в) год;

г) полный срок операции.

5. Какое из утверждений неверно:

а) ставка дисконтирования — величина, обратная ставке наращения;

б) операция дисконтирования — операция, обратная операции наращения;

в) дисконтирование — процесс определения текущего финансового эквивалента будущей денежной суммы;

г) чем меньше ставка дисконтирования, тем больше значение приведенной денежной суммы.

6. Если проценты за предоставленный капитал начисляются в начале каждого интервала начисления, то это:

а) декурсивный способ начисления;

б) антисипативный способ начисления;

в) учет инфляционного фактора;

г) учет фактора риска.

7. Декурсивные и антисипативные проценты различаются:

а) по моменту начисления процентов;

б) по используемой временной базе;

в) по способу капитализации;

г) по количеству интервалов начисления.

8. Простые и сложные проценты различаются:

а) по моменту начисления процентов;

б) по используемой временной базе;

в) по длительности периода начисления;

г) по возможности капитализации.

9. Начисление сложных процентов возможно:

а) при всех способах начисления;

б) только в случае декурсивных процентов;

в) только в случае антисипативных процентов;

г) только при учете фактора инфляции.

10. При прочих равных условиях наибольший финансовый результат достигается при использовании:

а) простой ставки ссудного процента;

б) сложной ставки ссудного процента;

в) простой учетной ставки;

г) сложной учетной ставки.

11. Если первоначальный капитал удвоился за год, это значит, что применялась:

а) сложная ставка ссудного процента;

б) сложная учетная ставка;

в) простая учетная ставка;

г) нельзя сделать вывод о виде ставки.

12. Признаком антисипативных процентов является:

а) начисление процентов один раз в году;

б) начисление процентов в конце периода начисления;

в) начисление процентов в начале периода начисления;

г) использование концепции временной стоимости денег.

13. Выберите верное утверждение:

а) возможен случай, когда простая ссудная ставка дает больший финансовый результат, чем сложная;

б) с возрастанием периода начисления сглаживается разница в результатах применения различных видов процентных ставок;

в) если применяются простые ставки, то результат тем больше, чем больше число интервалов начисления в году;

г) применение непрерывных процентных ставок всегда дает максимальную величину наращенной суммы.

14. Если период начисления не является целым числом, то наибольший финансовый результат в случае декурсивного способа начисления процентов может быть получен при использовании:

а) простой ссудной ставки;

б) сложной ссудной ставки;

в) комбинации простого и сложного методов начисления;

г) результат не будет зависеть от вида ставки.

15. Какое из перечисленных утверждений верно:

а) при учете векселя получаемая денежная сумма не зависит от срока, прошедшего с момента его выдачи;

б) чем выше учетная ставка банка, тем большую сумму получит держатель векселя при его учете;

в) при учете векселя сумма дисконта не зависит от номинала векселя, а зависит только от применяемой учетной ставки;

г) при одновременном учете векселей одинакового номинала векселедержатель получит одинаковые денежные суммы, если применяется одна и та же учетная ставка.

16. Какое из перечисленных утверждений верно:

а) вклады на условиях «проценты вперед» всегда выгоднее вкладов с традиционным вариантом начисления;

б) по вкладам на условиях «проценты вперед» можно совершать расходные операции;

в) по вкладам на условиях «проценты вперед» не осуществляется капитализация процентов;

г) вклады на условиях «проценты вперед» могут быть только долгосрочными (свыше одного года).

17. Эквивалентными называются процентные ставки:

а) дающие одинаковый финансовый результат при одинаковых начальных условиях;

б) дающие одинаковый финансовый результат при любых условиях;

в) одинаковые по величине;

г) применяемые к одной и той же первоначальной денежной сумме.

18. Если антисипативная процентная ставка равна 20%, то при однократном начислении процентов и периоде начисления, равном одному году, эквивалентная декурсивная ставка будет равна:

а) 25%;

б) 20%;

в) 18%;

г) в данном случае нельзя рассчитать эквивалентную ставку.

19. Если декурсивная процентная ставка равна 20%, то при периоде начисления, равном одному году, множитель наращения составит:

а) 20%;

б) 120%;

в) 1,2;

г) 2.

20. Применение непрерывных процентов возможно:

а) только в случае декурсивного способа начисления;

б) только в случае антиипативного способа начисления;

в) в обоих случаях;

г) в обоих случаях, но только на коротких интервалах начисления.

Раздел 2.
Анализ и оценка денежных потоков

2.1. Основные характеристики денежных потоков

Большинство операций, связанных с вложением или привлечением денежных средств, генерирует поток целого ряда платежей (притоков или оттоков) в течение определенного периода в будущем. Важными характеристиками, интересующими инвестора, кредитора или заемщика, являются современная (приведенная) стоимость денежного потока, величины его отдельных элементов, а также будущая (наращенная) стоимость.

Поскольку в финансовом менеджменте оценка денежных потоков всегда базируется на принципе временной стоимости денег, для возможности использования инструментов финансовой математики (операции дисконтирования и наращения) должна быть выбрана конкретная процентная ставка, с использованием которой суммы, относящиеся к разным моментам времени, приводятся к нужному моменту. Требуемую величину ставки можно рассчитывать на основании разных методов, в зависимости от конкретной ситуации, но в соответствии с концепциями временной стоимости денег и альтернативной доходности ее суть остается неизменной – рассчитанная ставка должна представлять собой минимально приемлемую ставку доходности для компании (инвестора) с учетом уровня риска рассматриваемой операции. Оптимальным выбором является в данном случае величина средневзвешенной стоимости капитала, о которой будет сказано подробнее в параграфе 4.1. Также может использоваться ставка рефинансирования Центрального банка (ключевая ставка) или средняя ставка по банковским депозитам.

Далее будем использовать следующие обозначения:

CFk — величина k-го элемента денежного потока;

PV — приведенная (текущая) стоимость денежного потока;

FV — будущая стоимость денежного потока;

i — процентная ставка, используемая в качестве дисконтирования или наращения;

n — число элементов денежного потока.

Базовым периодом, за который рассчитываются элементы потока CF, как правило, является год, что соответствует и процентной ставке, которая изначально задается годовой. Поэтому, если требуется большая детализация — например, предполагаются ежемесячные поступления или выплаты денежных средств – процентная ставка также должна быть приведена к соответствующему временному интервалу.

Одной из важнейших характеристик денежного потока является приведенная стоимость — сумма всех элементов денежного потока, приведенных (дисконтированных) к настоящему (нулевому) моменту времени:

PV = CF₁ / (1 + i) + CF₂ / (1 + i)² + … + CFn / (1 + i)n. (2.1)

Большую роль в финансовой теории и практике играет закон приведенной стоимости — текущая рыночная цена любого финансового инструмента⁶ должна быть равна приведенной стоимости будущего потока доходов, генерируемых данным инструментом. На основании этого закона рассчитывается справедливая (фундаментальная, внутренняя) стоимость финансовых инструментов и разрабатываются различные финансово-инвестиционные стратегии. Он лежит в основе оценки стоимости бизнеса с помощью доходного подхода и оценки эффективности инвестиционных проектов.

Сравнение текущей рыночной стоимости какого-либо рыночного объекта (актива, инструмента) с его справедливой стоимостью позволяет определить, является ли данный объект недооцененным рынком (рыночная стоимость меньше справедливой) или переоцененным (рыночная стоимость выше справедливой). Для любого инвестора недооцененный инструмент всегда является привлекательным объектом инвестирования. Переоцененные инструменты могут быть объектом спекулятивных⁷ и арбитражных сделок⁸.

Равенство текущей рыночной стоимости и справедливой стоимости всегда имеет место на эффективном рынке⁹.

Будущая стоимость денежного потока — это сумма его наращенных элементов на момент последней выплаты:

FV = CF₁ ∙ (1 + i)n – 1 + CF₂ ∙ (1 + i)n – ² + … + CFn . (2.2)

Для расчета настоящей и будущей стоимостей денежного потока обычно используются формулы сложных процентов, поскольку они оцениваются, как правило, на долгосрочный период. Соответственно, для любого денежного потока всегда имеет место равенство (формула (1.5)):

FV = PV ∙ (1 + i)n.

Таким образом, можно сказать, что являются финансово эквивалентными три объекта: настоящая стоимость денежного потока, будущая стоимость денежного потока и непосредственно денежный поток на протяжении n лет. На этом соображении основаны расчеты, касающиеся ссудно-кредитных операций и планирования погашения долгосрочных задолженностей. Понятие финансовой эквивалентности является субъективным, поскольку зависит от используемой в каждом конкретном случае процентной ставки.

Во многих случаях рассматриваемые финансовые операции генерируют неограниченные во времени или бесконечные денежные потоки.

Очевидно, понятие будущей стоимости FV для таких потоков не имеет смысла.

Рассчитать приведенную стоимость PV возможно: если элементы денежного потока подчиняются определенному закону, то могут быть описаны некоторой формулой.

Для случая бесконечного денежного потока с постоянными платежами CF приведенная стоимость рассчитывается по следующей формуле:

PV ∞ = CF / i. (2.3)

Для расчета приведенной стоимости неограниченного во времени постоянно растущего денежного потока, т. е. потока, элементы которого растут с постоянной ставкой роста g, используется формула

PVg ∞ = CF / (i – g), (2.4)

где g — ставка роста элементов денежного потока.

При этом расчет по данной формуле имеет смысл, если ставка роста g меньше используемой для дисконтирования ставки i.

Данная формула лежит в основе расчета стоимости акций и стоимости собственного капитала в моделях Гордона, продленной стоимости денежного потока при использовании доходного подхода в оценке стоимости бизнеса и во многих других ситуациях.

2.2. Финансовая эквивалентность платежей и денежных потоков

В некоторых ситуациях возникает необходимость принимать решение о предпочтении того или иного варианта оплаты товаров или услуг в плане выбора оптимального срока платежа, определения срока внесения необходимых денежных сумм, замены ранее оговоренной схемы выплат на другую. Для того чтобы были соблюдены интересы всех участвующих сторон, в основе таких действий должен лежать принцип финансовой эквивалентности платежей или денежных потоков.

Два платежа S₁ и S₂ являются финансово эквивалентными, если равны их текущие финансовые эквиваленты:

S₁ ∙ (1 + i)n¹ = S₂ ∙ (1 + i)n², (2.5)

где n₁ — срок первого платежа S₁;n₂ — срок второго платежа S₂,i — процентная ставка, используемая в расчетах по договоренности сторон.

Соответственно, два денежных потока являются финансово эквивалентными, если совпадают их приведенные стоимости PV₁ и PV₂, рассчитанные по формуле (2.1).

Очевидно, что если равны текущие эквиваленты двух или более денежных сумм или приведенные стоимости рассматриваемых денежных потоков, то данное равенство сохранится и для любого другого момента времени, к которому будут приведены денежные суммы или потоки с использованием операций дисконтирования или наращения. Поэтому можно дать и такое определение эквивалентных платежей и денежных потоков: два (и более) платежей или денежных потоков являются финансово эквивалентными, если они оказываются равными после приведения к одному и тому же моменту времени.

Если заменить платеж или денежный поток эквивалентным платежом или потоком, новые величины (потоки) с финансовой точки зрения будут эквивалентны прежним для всех заинтересованных сторон, при условии, что применяемая процентная ставка устраивает все стороны.

Если требуется выбрать более предпочтительный вариант оплаты, то с позиции плательщика более выгоден вариант, в котором будущая денежная сумма или будущий денежный поток имеют меньшую приведенную стоимость. С позиции получателя платежа, соответственно, наоборот. Используемая при расчетах процентная ставка i должна характеризовать минимально приемлемую норму доходности для субъекта, выбирающего оптимальный вариант оплаты.

Как и в случае сохранения равенства эквивалентных платежей на любой момент времени, соотношение «больше/меньше» сохранится при приведении денежных сумм или потоков к любому моменту времени.

2.3. Аннуитеты

Приведенные в параграфе 2.1 формулы расчета приведенной и будущей стоимости существенно упрощаются, если рассматриваемые денежные потоки являются аннуитетами.

Аннуитет (финансовая рента) — это поток однонаправленных равных по величине платежей с одинаковыми интервалами времени между каждыми двумя последовательными платежами. В виде аннуитета могут осуществляться выплаты купонного дохода по ценным бумагам, погашение долгосрочного кредита, арендные платежи, взносы в различные фонды, пенсионные выплаты и т. д.

Основные параметры аннуитета — количество платежей n и величина каждого отдельного платежа CF.

По моменту выплаты первого платежа различают аннуитет постнумерандо¹⁰ (наиболее распространенный вариант) и пренумерандо.

Аннуитет постнумерандо — первый платеж относится к моменту 1, т. е. платежи осуществляются в конце каждого периода. Соответственно, последний происходит в момент n.

Аннуитет пренумерандо — первый платеж относится к моменту 0, т. е. платежи осуществляются в начале каждого периода, последний платеж относится к моменту n – 1.

В случае аннуитета постнумерандо формулы (2.1) и (2.2) для расчета его основных характеристик (приведенной стоимости — PVА и будущей стоимости — FVA) могут быть преобразованы следующим образом:

PVА = CF / (1 + i) + CF / (1 + i)² + … + CF / (1 + i)n = CF ∙ (1 / (1 + i) + 1 / (1 + i)² + … + 1 / (1 + i)n )

FVА = CF ∙ (1 + i)n – 1 + CF ∙ (1 + i)n – ² + … + CFn = CF ∙ ((1 + i)n – 1 + (1 + i)n – ² + … + 1).

Как видим, суммы в скобках представляют собой геометрические прогрессии, сумма которых может быть представлена в виде коэффициента с параметрами i и n. Значения данных коэффициентов могут быть найдены с помощью специальных таблиц (см. приложение IV) или рассчитаны напрямую.

PVAпост = CF ∙ [1 – (1 + i)⁻n] / i = CF ∙ ai, n; (2.6)

FVAпост = CF ∙ [(1 + i)n – 1] / i = CF ∙ ki, n, (2.7)

где ai,n = [1 – (1 + i)⁻n] / i — коэффициент дисконтирования аннуитета,ki, n = [(1 + i)n – 1] / i — коэффициент наращения аннуитета.

Если требуется найти величины аннуитетных платежей при известных значениях приведенной или будущей стоимости, можно использовать следующие формулы:

CF = PVAпост / ai, n (2.8)

или

CF = FVAпост / ki, n. (2.9)

Данные коэффициенты могут быть использованы и для расчета приведенной и будущей стоимостей аннуитета пренумерандо или аннуитетных платежей:

PVAпре = CF ∙ [1 – (1 + i)⁻n] / i = CF ∙ (1 + i) ∙ ai, n; (2.10)

FVAпре = CF ∙ [(1 + i)n – 1] / i = CF ∙ (1 + i) ∙ ki, n; (2.11)

CF = PVAпре / [(1 + i) ∙ ai, n]; (2.12)

CF = FVAпост / [(1 + i) ∙ ki, n]. (2.13)

В финансовой практике часто используется конверсия аннуитетов — замена начальных параметров аннуитета, CF и n так, чтобы новый аннуитет был финансово эквивалентен первоначальному. Необходимость конверсии возникает, когда требуется замена схемы выплат на этапе разработки договора или в процессе его выполнения, не приводящая к изменению финансовых последствий для всех участвующих сторон, т. е. с соблюдением принципа финансовой эквивалентности.

Основные случаи конверсии.

1. Выкуп аннуитета представляет собой замену денежного потока единовременным платежом. Выкуп аннуитета может быть осуществлен в любой момент времени в пределах его общей длительности. При этом не имеют значения количество прошедших периодов и уже выплаченные суммы. Величина единовременного платежа рассчитывается как приведенная стоимость денежного потока оставшихся платежей.

2. Рассрочка платежа — замена разового платежа денежным потоком. В данном случае величина платежа, который нужно заменить денежным потоком, рассматривается как приведенная стоимость данного денежного потока. Величина CF находится по формуле (2.8).

3. Отсрочка выплат (перенесение первого платежа на t периодов вперед). В этом случае общая сумма задолженности, которая имеется на текущий момент (являющаяся приведенной стоимостью рассматриваемого аннуитета), вырастет с учетом применяемой процентной ставки i в (1 + i)t раз в соответствии с формулой наращения (1.5). Точно так же в (1 + i)t раз вырастут и все аннуитетные платежи, значения которых могут быть рассчитаны по формуле (2.8), исходя из нового значения приведенной стоимости (на момент t) будущего потока платежей.

4. Консолидация (объединение) аннуитетов. Для нахождения величины нового платежа объединенного аннуитета рассчитываются и складываются приведенные стоимости первоначальных аннуитетов. Полученная величина является приведенной стоимостью консолидированного аннуитета, платежи находятся по формуле (2.8).

5. Продление срока выплат (требуется определить величину нового платежа) может быть осуществлено в любой момент в пределах срока аннуитета. В данном случае также необходимо найти приведенную стоимость оставшегося потока платежей и по формуле (2.8) рассчитать значение новой величины CF, используя коэффициент дисконтирования аннуитета для нового значения срока n.

6. Изменение величины платежа (требуется определить новый срок) может быть осуществлено в любой момент в пределах срока аннуитета. На основании значения приведенной стоимости оставшегося потока платежей и величины нового платежа рассчитывается коэффициент приведения нового аннуитета:

ai, n = PVAпост / CF.

Для полученного значения коэффициента может не существовать целочисленного значения срока n при заданной процентной ставке i. С использованием таблиц дисконтирования определяется срок, для которого коэффициент ai, n является ближайшим. В зависимости от того, завышено или занижено значение нового срока, последний аннуитетный платеж корректируется в большую или меньшую сторону. Величина корректировки рассчитывается как разница между будущей стоимостью нового аннуитета и будущей стоимостью первоначального денежного потока, рассчитанной на тот же момент. Если требуется корректировка любого другого платежа, ее величина будет рассчитываться аналогично: как разница между стоимостью нового аннуитета и стоимостью первоначального денежного потока, рассчитанными на нужный момент времени.

2.4. Дисконтирование и наращение по переменной процентной ставке

Во многих случаях дисконтирование или наращение денежных потоков должно проводиться с использованием переменной процентной ставки. Вспомним, что процентная ставка, используемая в формулах приведения элементов денежного потока к нужному моменту времени, характеризует минимальную приемлемую доходность операции, генерирующей рассматриваемый денежный поток. В различные периоды времени минимальная требуемая доходность может быть различной, поскольку ее определяют многие факторы, среди которых прежде всего уровень инфляции и риск, связанный с данной операцией.

Например, при анализе эффективности инвестиционного проекта методом дисконтированного денежного потока или оценке стоимости какого-либо рыночного объекта доходным методом может потребоваться