Ольга Ведилова
Конспект к учебнику И.В.Савельева «Основы теоретической физики», т. 2

Глава

I

Основные положения квантовой механики

1.01.Введение(01)

1.02.Состояние(08)

∆x∙∆px ≥ ћ/2

∆x∙∆vx ≥ ћ/2m

1.03.Принцип суперпозиции(12)

ψ = Σcmψm

1.04.Физический смысл ψ функции(14)

ψ = ψ(x,y,z) dV = dx·dy·dz

dP = |ψ|²dV = ψ*ψdV

∫|ψ|²dV = ∫ψ*ψdV = 1

ψ = ψ(x₁,y₁,z₁,x₂,y₂,z₂)

dP = |ψ(x₁,y₁,z₁,x₂,y₂,z₂)|²dV₁dV₂

<r> = ∫rdP = ∫r|ψ|²dV = ∫ψ*rψdV

<x> = ∫ψ*xψdV <y> = ∫ψ*yψdV <z> = ∫ψ*zψdV

U = U(x,y,z)

<U> = ∫ψ*UψdV

1.05.Уравнение Шредингера(16)

∇² ≡ ∆

U = U(x,y,z) не зависит от t:

ψ(x,y,z,t) = φ(x,y,z)f(t)

левая часть равенства – функция координат, правая –времени,

следовательно, равны константе

f = e⁻⁽i/ћ⁾Et

стационарное уравнение Шредингера:

ψ(x,y,z,t) = φ(x,y,z) e⁻⁽i/ћ⁾Et

|ψ|² = |φ|²

уравнение Шредингера для стационарных состояний

(φ заменяем на ψ !!!)

уравнение Шредингера для свободной частицы:

U = 0

k² = 2mE/ћ² = p²/ћ² E = mv²/2 = p²/2m

∆ψ + k²ψ = 0

1)одна координата x:

k² = kx²

∆ψ = ∂²ψ /∂x²

∂²ψ /∂x² + k²ψ = 0

ψ(x) = e±ikx

ψ(x,t) = e±ikxe− (i/ћ⁾Et = e −(i/ћ⁾⁽Et ∓ ћkx⁾ = e −(i/ћ⁾⁽Et ∓ px⁾

ω = E/ћ k = p/ћ -для волны

2)все координаты:

k² = kx² + ky² + kz²

∆ψ = ∂²ψ/∂x² + ∂²ψ/∂y² + ∂²ψ/∂z²

kr = kxx + kyy + kzz

ψ(x,y,z) = e±ikr

ψ = C₁eikr + C₂e⁻ikr

формула Эйлера:

eikr = cos(kr) + isin(kr)

e⁻ikr = cos(kr) ‒ isin(kr)

C₁ = C₂ = A/2 => ψ = Acos(kr)

C₁ = −C₂ = −iB/2 => ψ = Bsin(kr)

ψ(x,y,z,t) = e±ikre− ⁽i/ћ⁾Et = e ⁻⁽i/ћ⁾⁽Et ∓ ћkr⁾ = e ⁻⁽i/ћ⁾⁽Et ∓ pr⁾

∎ ∂eikr/∂x = ikxeikr

∂²eikr/∂x² = ∂(ikxeikr)/∂x = ‒ kx²eikr

∆eikr = ‒( kx² + ky² + kz²)eikr = ‒ k²eikr

∆eikr + k²eikr = 0 ∎

В соответствии с принципом суперпозиции пси-функция частицы может быть представлена как наложение состояний со значениями импульса, заключенными в интервале от p₀–Δp до p₀+Δp

ω = E/ћ

k = p/ћ

ω(k) ≃ ω₀ +(dω/dk)₀(k − k₀)

c(k) ≃ c(k₀)

ξ = k – k₀

∆ξ = ∆k

максимум A(x,t):

xмах – (dω/dk)₀t = 0

xмах = (dω/dk)₀t

vгр = (dω/dk)₀

E = p²/2m

p = ћk

ω = E/ћ = ћk²/2m

минимум A(x,t):

[xмин − (dω/dk)₀t]∆k = ±π

xмин = (dω/dk)₀t ± π/∆k

1.06.Плотность потока вероятности(22) можно пропустить пока !!!

∎

Глава

II

2.07.Основные постулаты квантовой механики (25)

Будем использовать Q вместо для операторов !!!

Первый постулат утверждает, что каждую физическую величину можно представить линейным оператором

Второй постулат квантовой механики гласит, что в результате измерения физической величины Q, представляемой оператором , может получаться лишь одно из собственных значений qm оператора

Третий постулат квантовой механики утверждает, что при измерениях, осуществляемых над системой, находящейся в состоянии ψ, для определения значения величины Q, по функциям которой осуществлено разложение , вероятность получить значение qm равна (при надлежащей нормировке функций) квадрату модуля коэффициента cm

Qφ = f

линейный оператор:

Q(φ₁ + φ₂) = Q(φ₁) + Q(φ₂)

Q(cφ) = cQφ

QΣcmφm = ΣcmQφm

пример:

∂Σcmφm/∂x = Σcm∂φm/∂x

собственные значения и собственные функции:

Qψ = qψ

q₁, q₂, … , qm, …

ψ₁, ψ₂, … , ψm, …

ψ = Σcmψm

Σ|cm|² = Σcm*cm = 1

∫ψm*ψndV = δmn

скалярное произведение функций:

<φ|ψ> ≡ ∫φ*ψdV (1)

<φ|φ> = ∫φ*φdV = ∫|φ|²dV

<aφ|ψ> = ∫(aφ)*ψdV = a*∫φ*ψdV = a*<φ|ψ>

<φ|bψ> = ∫φ*(bψ)dV = b∫φ*ψdV = b<φ|ψ>

<aφ|bψ> = a*b<φ|ψ>

<φ|ψ>* = (∫φ*ψdV)* = ∫ψ*φdV = <ψ|φ>

<φ|ψ>* = <ψ|φ> (2)

<φ|Qψ>* = (∫φ*QψdV)* = ∫(Qψ)*φdV = <Qψ|φ>

<φ|Qψ>* = <Qψ|φ>

<Qφ|ψ>* = (∫(Qφ)*ψdV)* = ∫ψ*(Qφ)dV = <ψ|Qφ>

<Qφ|ψ>* = <ψ|Qφ>

ψ = Σcmψm

<ψn|ψm> = ∫ψn*ψmdV = δnm

<ψn|ψ> = <ψn|Σcmψm> = Σcm<ψn|ψm> = Σcmδnm = cn

cn = ∫ψn*ψdV = <ψn|ψ> (3a)

cn* = (∫ψn*ψdV)* = ∫ψ*ψndV = <ψ|ψn>

cn* = ∫ψ*ψndV = <ψ|ψn> (3b)

<q> = Σqm|cm|² = Σqmcm*cm = Σqm(∫ψ*ψmdV)cm = Σ(∫ψ*qmψmdV)cm =

= Σ(∫ψ*QψmdV)cm = ∫ψ*QΣcmψmdV = ∫ψ*QψdV

<q> = ∫ψ*QψdV = <ψ|Qψ> (4)

через скалярное произведение функций (наглядней):

<q> = Σqm|cm|² = Σqmcm*cm = Σqm<ψ|ψm>cm = Σ<ψ|qmψm>cm =

= Σ<ψ|Qψm>cm = <ψ|QΣcmψm> = <ψ|Qψ>

Мы получили одну из важных формул квантовой механики. Она позволяет, зная пси-функцию состояния, находить среднее значение результатов измерений любой физической величины. Для этого нужно знать также вид оператора, соответствующего данной величине.

2.08.Линейные операторы(30)

комплексно сопряженный оператор:

(Qφ)* = Q*φ* (5)

транспонированный оператор:

QT ≡ Q̃

<ψ|Qφ> =∫ψ*Qφdq ≡ ∫φQ̃ψ*dq = <φ*|Q̃ψ*>

<φ*|Q̃ψ*> ≡ <ψ|Qφ> (6a)

<φ|Q̃ψ> = <φ**|Q̃ψ**> = <ψ*|Qφ*> (6b)

<φ|QТТψ> = <ψ*|QТφ*> = <φ|Qψ>

QТТ = Q (6c)

эрмитово сопряженный оператор:

<Q⁺φ|ψ> ≡ <φ|Qψ> (7a)

<Ô⁺φ|ψ> = <φ|Qψ> =∫φ*QψdV = ∫ψQ̃φ*dV = ∫(Q̃*φ)*ψdV = <Q̃*φ|ψ>

Q⁺ = Q̃* (7b)

через скалярное произведение функций:

<φ|ψ>* = <ψ|φ>

<φ|ψ>* = (∫φ*ψdV)* = ∫φ**ψ*dV = < φ*|ψ*>

<Q⁺φ|ψ> = <φ|Qψ> = <ψ*|Q̃φ*> = <Q̃φ*|ψ*>* = <(Q̃φ*)*|ψ> = <Q̃*φ|ψ>

Qψn = qnψn <ψn|ψn> = 1

∫ψn*QψndV = ∫ψn*qnψndV = qn∫ψn*ψndV = qn

<ψn |Qψn> = <ψn |qnψn> = qn<ψn|ψn> = qn

1) qn = ∫ψn*QψndV = <ψn |Qψn>

qn* = (∫ψn*QψndV)* = (∫ψnQ̃ψn* dV)* =∫ψn*Q̃*ψndV = ∫ψn*Q⁺ψndV

qn* = <ψn|Qψn>* = <Qψn|ψn> = <ψn|Q⁺ψn>

2) qn* = ∫ψn*Q⁺ψndV = <ψn|Q⁺ψn>

qn = qn* ⇔ <ψn |Qψn> = <ψn|Q⁺ψn> ⇔ Q = Q⁺

короче:

qn = qn*

< Q⁺ψn|ψn> = <ψn|Qψn> = qn = qn*= <ψn|Qψn>* = <Qψn|ψn>

Q⁺ = Q

Определение. Оператор, для которого выполняется условие Q = Q⁺, называется сопряженным или эрмитовым.

Итак, мы пришли к выводу, что физические величины, для которых собственные величины вещественны, должны изображаться самосопряженными (эрмитовыми) операторами Q, для которых справедливы соотношения

<φ|Qψ> = <Qφ|ψ>

∫φ*QψdV = ∫(Qφ)*ψdV = ∫Q*φ*ψdV

Покажем, что собственные функции эрмитовых операторов

взаимно ортогональны:

Q⁺ = Q

<Qψm|ψn> = <ψm|Qψn>

Qψm = qmψm qm* = qm

Qψn = qnψn qn* = qn

1) <Qψm|ψn> = qm*<ψm|ψn> = qm<ψm|ψn>

2) <ψm|Qψn> = qn<ψm|ψn>

qm<ψm|ψn> = qn<ψm|ψn>

(qm − qn)<ψm|ψn> = 0

<ψm|ψn> = δmn

Q⁺ = Q ⇔ <ψm|ψn> = δmn

1 = ∫φ*φdV = ∫(Σcmψm)*(Σcnψn)dV = (ΣΣcm*cn)∫ψm*ψn)dV =

= (ΣΣcm*cn)δmn = Σcm*cm = Σ|cm|²

2.09.Представление операторов в матричной форме(35)

f = Qφ

φ = Σanψn

f = Σbkψk

<ψm|ψn> = δmn

an = <ψn|φ>

bk = <ψk|φ>

Σbkψk = QΣanψn = ΣanQψn

Σbk <ψm|ψk> = Σan< ψm|Qψn>

Qmn ≡ < ψm|Qψn> = ∫ψm*QψndV

Σbkδmk = ΣanQmn

bm = ΣQmnan

полагаем суммирование по повторяющимся индексам !!!

(при этом упрощаются записи)

bm = Qmnan

Qψn = qnψn <ψm|ψn> = δmn

Qmn = <ψm|Qψn> = qn<ψm|ψn> = qnδmn

(Q*)mn = (Qmn)*

(Q̃)mn = Qnm

(Q⁺)mn = (Q̃*)mn = (Qnm)*

ψ = Σcnψn

<q> = <ψ|Qψ> = <Σcmψm|QΣcnψn> = cm*cnΣΣ<ψm|Qψn> = ΣΣcm*Qmncn

<q> = cm*Qmncn

можно рассматривать как произведение матрицы строки на матрицу и на матрицу столбец

Qψ = qψ

QΣcnψn = qΣcnψn

< ψm|QΣcnψn> = <ψm|qΣcnψn>

Σcn< ψm|Qψn> = qΣcn<ψm|ψn>

ΣcnQmn = qΣcnδmn

Σ(Qmn − qδmn)cn = 0

(Qmn − qδmn)cn = 0

уравнение для собственных значений:

| Qmn − qδmn| = 0

2.10.Алгебра операторов(44)

C = A + B

Cφ = (A + B)φ = Aφ + Bφ

Cmn = Amn + Bmn

C = AB

Cφ = (AB)φ = A(Bφ)

Cmn = AmkBkn

C = (AB)* = A*B*

Cmn = A*mkB*kn

C = (AB)T = BTAT

Cmn = BTmkATkn = BkmAnk = AnkBkm = (AB)nm

C = (AB)⁺ = B⁺A⁺

Cmn = (B⁺A⁺)mn = B⁺mkA⁺kn = B*kmA*nk = A*nkB*km = (A*B*)nm

A⁺ = A & B⁺ = B => (AB)⁺ = B⁺A⁺ = BA

A⁺ = A & B⁺ = B & AB = BA => (AB)⁺ = BA = AB

(iA)* = −iA*

(iA)⁺ = −iA⁺

bm = Qmnan

b*m = Q*mna*n = Q̃*nma*n = a*nQ̃*nm = a*nQ⁺nm

AB ≠ BA (не коммутирующие)

∎ A = ∂/∂x & B = x

ABφ = (∂/∂x)xφ = φ + x∂φ/∂x

BAφ = x(∂/∂x)φ ∎

AB = BA (коммутирующие)

AB = −BA (антикоммутирующие)

коммутатор:

[A, B] ≡ AB − BA

∎ [(∂/∂x), x] = (∂/∂x)x − x(∂/∂x) = 1 ∎

Qψn = qnψn

Rψn = rnψn

(Q + R)ψn = (qn + rn)ψn

(QR)ψn = Q(Rψn) = Q(rnψn) = rnQψn = rnqnψn

(RQ)ψn = R(Qψn) = R(qnψn) = qnQψn = qnrnψn

[QR] = QR – RQ = 0

AB = BA

Aψ(a)n = anψ(a)n

Bψ(b)n = bnψ(b)n

ABψ(a)n = BAψ(a)n = Banψ(a)n = anBψ(a)n

A(Bψ(a)n) = an(Bψ(a)n)

Bψ⁽a⁾n –собственный вектор A

BAψ⁽b⁾n = ABψ⁽b⁾n = Abnψ⁽b⁾n = bnAψ⁽b⁾n

B(Aψ(b)n) = bn( Aψ(b)n)

Aψ⁽b⁾n –собственный вектор B

2.11.Соотношение неопределенности(51) -можно пока пропустить !!!

∎

∆A = A − <A> ∆B = B − <B>

A⁺ = A B⁺ = B

∆A⁺ = A⁺ − <A> = A − <A> = ∆A

∆A⁺ = ∆A ∆B⁺ = ∆B

<∆A²> = <(A − <A>)²> = <A²> −2<A><A> + <A>² = <A²> −<A>²

<∆A²> = <A²> − <A>²

<∆B²> = <B²> − <B>²

iK = ∆A∆B − ∆B∆A = (A − <A>)(B − <B>) − (B − <B>)(A − <A>) =

= (AB − <A>B − A<B> + <A><B>) –

− (BA − <B>A − B<A> + <B><A>) =

= AB – BA

iK = ∆A∆B − ∆B∆A = AB – BA

K⁺ = (–i(AB – BA))⁺ = i(B⁺A⁺ – A⁺B⁺) = i(BA – AB) = –i(AB – BA) = K

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.