Ли Филлипс
Наставница Эйнштейна. Как Эмми Нётер изобрела современную физику

Моим детям

Lee Phillips

EINSTEIN’S TUTOR

The Story of Emmy Noether and The Invention of Modern Physics

This edition published by arrangement with PublicAffairs, an imprint of Perseus Books LLC, a subsidiary of Hachette Book Group, Inc. USA via Igor Korzhenevskiy of Alexander Korzhenevski Agency (Russia). All rights reserved

Научный редактор: Маргарита Ремизова, доктор биологических наук

© Lee Phillips, 2024

© Семиколенных М.В., перевод на русский язык, 2025

© Издание на русском языке. ООО «Издательство АЗБУКА», 2025

КоЛибри®

* * *

Ли Филлипс рисует вдохновляющий портрет немецко-еврейского математика Эмми Нётер, женщины «безграничной щедрости [и] неиссякаемого оптимизма» – женщины, которая была одним из трех самых гениальных умов в истории науки, не уступая ни Альберту Эйнштейну, ни Давиду Гильберту. Филлипс рассказывает захватывающую историю о том, как Нётер разрешила головоломку, созданную Эйнштейном в его общей теории относительности, – головоломку, которую сам великий человек не смог разгадать. Ее работа, известная как теорема Нётер, позволила современной науке переосмыслить всю систему теоретической физики и построить современную стандартную модель Вселенной. Это захватывающая история о том, как женщины заняли свое законное место в мире науки.

Шэрон Берч Макгрейн, автор книги «Женщины – лауреатки Нобелевской премии в науке»

Эмми Нётер признана одной из самых творческих и важных фигур в истории математики. Однако, как однажды написала газета New York Times, мало кто может сравниться с Нётер «в глубине ее ошеломляющей и незаслуженной безвестности». В этой важнейшей книге Филипс борется с этим хроническим пренебрежением. Он успешно переплетает увлекательную историю жизни Нётер с ее математическими теориями, попутно объясняя, как ее знаменитая теорема стала основой современной физики.

Марио Ливио, астрофизик, автор книги «Галилей и отрицатели науки»

Филлипс точно передает бодрящую атмосферу математики, окружавшую Нётер в ее время.

Wall Street Journal

В исследованиях работ Альберта Эйнштейна роль немецкого математика Эмми Нётер упоминается минимально, если вообще упоминается. Тем не менее она сыграла решающую роль в разрешении парадокса общей теории относительности благодаря своей теореме, связывающей симметрию и законы сохранения энергии… В этой книге физик Ли Филлипс показывает настояющую Эмми Нётер.

Nature

Эта история полна уроков для международного научного сообщества в наши дни.

Times Literary Supplement

Работы Филлипса блистают своим исчерпывающим историческим повествованием… Доступные как для неспециалистов, так и для опытных физиков… в конечном счете каждый узнает что-то новое из этой книги.

Science Magazine

Масштабное исследование, которое воздает должное незамеченному новатору и гению Нётер.

Publishers Weekly

Введение
«Наиболее фундаментальное из физических открытий»

Ученый вы, студент или просто человек, интересующийся историей идей, – у вас, несомненно, есть какое-то понятие о том, что такое физика и как она развивалась на протяжении столетий. Каково бы ни было происхождение этих представлений, весьма вероятно, что имя Эмми Нётер не сразу приходит вам на ум. Альберт Эйнштен, Эрвин Шрёдингер, Поль Дирак, Нильс Бор, Вернер Гейзенберг… вот некоторые из имен, знакомые любому, кто читает книги о становлении современной физики – о важнейших открытиях XX века, изменивших наши представления о времени, пространстве и самой природе реальности. И как раз эти имена занимают видное место в учебниках физики.

Так кто же такая Эмми Нётер?

На следующих страницах я надеюсь убедить вас в том, что она заслуживает в истории физики – и науки в целом – место рядом с перечисленными выше учеными и что это место она заслуживает благодаря влиянию открытий, обнародованных ею в 1918 году.

Четыре полученных ею тесно связанных результата, в совокупности называемые теоремой Нётер, закладывают фундамент современных поисков святого грааля физики: общей теории, которая связала бы квантовую механику с тяготением. Благодаря теореме Нётер также появилась методология для построения наиболее достоверной теории в истории физики: стандартной модели. Эта концептуальная схема охватывает все элементарные частицы и их взаимодействия – это современная теория материи. Кроме того, открытие Нётер позволило разрешить сложную загадку незадолго до появления окончательно сформулированной общей теории относительности Эйнштейна: проблему сохранения энергии, которая не поддавалась ни Эйнштейну, ни нескольким величайшим математикам мира. Попытка взять эту задачу приступом положила начало цепи рассуждений, в конечном счете приведшей Нётер к ее великой теореме. Попутно ей случилось преподать Эйнштейну некоторые математические премудрости, без которых тот не мог закончить работу – тем самым она вошла в число нескольких неупоминаемых авторов теории, остающейся для нас современной теорией тяготения. Я могу еще немало рассказать в этой книге об унификации, стандартной модели, общей теории относительности и их взаимосвязях с теоремой Нётер. Пока что достаточно упомянуть, что эти предметы, по сути, определяют основную проблематику того, что мы считаем современной физикой, и все они в конечном счете связаны с теоремой Нётер – и зачастую ею обусловлены.

Эта теорема не просто закладывает фундамент современной физической теории и предлагает ориентир для дальнейшего развития физики. Она дает современное определение понятию энергии и делает очевидным значение симметрии в природе. Она упорядочивает физику прошлого, завершая ее теоретические построения и доводя их до совершенства. То, как теорема демонстрирует активную роль симметрии в природе, дает такую пищу для размышлений, что сегодня ее используют в биологии, вычислительной технике, экономике и множестве других наук.

В этой книге я прослеживаю удивительный путь теоремы: историю ее создания, а также события и биографии, создавшие условия для ее рождения. Я исследую, как уникальный гений Эмми Нётер позволил ей увидеть нечто совершенно неожиданное и прийти к открытиям, которые до сих пор, столетие спустя, поражают тех, кто с ними знакомится. Я рассказываю, как теорема на несколько десятилетий выпала из поля зрения и чуть не была потеряна для мира и как ее повторно открыли физики, создававшие новую теорию материи. Наконец, мы увидим, как теорема Нётер обрела новую жизнь, направляя исследования в областях, весьма далеких от физики.

История Эмми Нётер – это история женщины, более трех десятилетий следовавшей за своей звездой в мире, фраппированном уже одним ее желанием стать математиком. Но каковы бы ни были шансы, именно математиком ей и предстояло стать. Несмотря на то что ее лишали возможностей, не замечали, исключали и ожидали, что она станет работать, не претендуя на оплату или должность, она не только продолжала свой путь, но и превосходила окружавших ее мужчин. История Эмми Нётер – это также история солидарности и преданности тех немногих, кто боролся за ее дело.

Такие представления о роли Нётер поддерживаются суждениями многих выдающихся современных физиков, например лауреатом Нобелевской премии Фрэнком Вильчеком. Вильчек и другие известнейшие исследователи, хорошо знакомые с тем, как устроена их дисциплина и чем она обязана теореме Нётер, временами покидают свои кабинеты и лаборатории, чтобы в своих книгах рассказать о науке профанам, объяснив важные идеи физики, изложив ее историю и описав ее возможное развитие в будущем. Как и я, они убеждены, что теорема Нётер – это одна из масштабных идей, и считают ее создательницу обделенной вниманием фигурой в истории науки. По мнению Вильчека, теорема Нётер – это «наиболее фундаментальное из физических открытий»[1].

Такие прославленные физики, как Леон Ледерман и Кристофер Хилл, говорят, что теорема Нётер – это «одна из важнейших математических теорем, определяющих развитие современной физики, возможно, равная по значимости теореме Пифагора», и что она «задает тон современной научной методологии»[2].[3]

Брайан Грин, физик-теоретик, хорошо известный благодаря книгам и выступлениям на телевидении, в которых он объясняет современную физику, а также наиболее выдающийся из ученых, пытающихся сформулировать единую теорию, убежден, что «теорема Эмми Нётер настолько важна для физики, что ее создательница заслуживает не меньшей славы, чем Эйнштейн. Но многие о ней даже никогда не слышали»[4].

Эмми Нётер родилась в Германии в конце XIX века, а умерла в США в XX веке. Она посвятила жизнь изучению и преподаванию чистой математики из-за ненасытной любви к этой науке, хотя ей пришлось столкнуться с рядом жестоких обстоятельств и несправедливостей, возникших на ее пути лишь по одной причине – она была женщиной.

Она хотела изучать математику в университете, но женщинам не позволялось туда поступать, а потому она ходила на занятия вольнослушательницей – когда ей это разрешали. После того, как немецкое общество смягчилось и разрешило женщинам учиться в университетах, Нётер получила ученую степень. Она отправилась работать в университет, который был мировым лидером в области математики, по приглашению величайшего математика мира – но не получила места в штате или какой-либо платы, поскольку женщинам не разрешалось преподавать. Примерно пять лет спустя это правило тоже изменилось, и ее наняли, но неохотно, платили мизерную зарплату, подчеркнуто лишив всех социальных пособий, полагавшихся государственным служащим, и предупредив, что у нее нет никаких полномочий.

Она стала одной из первых жертв проведенных нацистами чисток сотрудников немецких университетов, поскольку была одновременно и женщиной, и еврейкой. Убежав в США, как уже сделал ее коллега Альберт Эйнштейн, она не попала вместе с ним и другими беженцами-интеллектуалами в новый Институт перспективных исследований, но заняла незначительное место, причем ее намеренно держали вдалеке от коллег-мужчин.

Если бы век спустя мы каким-то образом смогли различить голос Нётер, то не услышали бы жалобных сетований. Вместо этого мы бы услышали громкий смех, который так часто описывали ее соотечественники. Кажется, она никогда не роптала на судьбу и не пыталась улучшить собственное положение, хотя энергично сражалась за своих друзей. Она просто продолжала делать то, что ей позволяли обстоятельства, таким образом, чтобы не приходилось отказываться от своих интересов – ее единственного интереса – изучать и преподавать математику.

Ей запретили поступить в университет – она посещала его вольнослушательницей; ей запретили работать – она работала бесплатно; гитлеровский режим вообще запретил ей преподавать – она преподавала втайне ото всех в своей квартире. И все это время она наслаждалась жизнью, подбадривала всех вокруг и смеялась – смеялась от радости, или иронически, или наслаждаясь абсурдностью ситуации.

* * *

Развернутый ответ на вопрос, почему же Эмми Нётер так мало известна несмотря на то, что ее вклад в историю физики XX века не меньше, чем у других, будет сложным, подчас неочевидным и многоаспектным. Я постепенно отвечу на него в книге, а в этом введении кратко охарактеризую некоторые из причин такого положения дел.

Прежде всего своей сравнительной малоизвестностью Нётер обязана систематическому замалчиванию ее славы и места в истории коллегами, чиновниками и исследователями, сведшими ее вклад и значение к минимуму. Доказательства, что это происходило из-за ее пола, очевидны и многочисленны: подчас они принимают форму откровенных высказываний самих обидчиков, которые не видели причин скрывать свои предрассудки. В том, что касается обстоятельств ее жизни, можно добавить, что она была не только женщиной, но и еврейкой в Германии 1930-х годов.

Со своей стороны Нётер не делала ничего, что могло бы добавить ей влияния или упрочить ее положение. Она была в высшей степени великодушна и помогала коллегам и ученикам на ранней стадии карьеры, даря им математические результаты: теоремы, которые она доказала, и проблемы, которые разрешила, но не дала себе труда опубликовать. Она поощряла юных коллег дорабатывать и расширять ее открытия и публиковать их под собственным именем. То были подлинные драгоценности, которые обычный ученый стал бы ревниво охранять и полировать, доводя до состояния готовности к публикации, которая способствовала бы его карьере. Но Нётер, которую переполняли идеи и находки, с радостью раздавала их, чтобы помочь друзьям. Понимая, сколь важна ее работа в области математики, она, однако, не занималась саморекламой и редко ссылалась на свои эпохальные открытия в области физики, которые были для нее побочным результатом, преданным забвению почти сразу же после его достижения. Эта привычка в сочетании с легкомысленным отношением – даже среди тех, кто ее поддерживал, – к вопросам репутации и приоритета привела к тому, что ее роль в подготовке собственных публикаций оказалась незамеченной даже после того, как они стали элементом аппарата современной физики.

В последние десятилетия мы стали свидетелями постепенного восстановления доброго имени Нётер и растущего признания ее теоремы как ключевого компонента в развитии фундаментальной физики после 1918 года. Как уже было сказано, этот пересмотр по большей части осуществляется силами ученых-популяризаторов науки, которые понимают, что теорема Нётер стала основанием, на котором возведено все здание теории, ее вездесущим руководящим принципом и ограничением. Мне бы хотелось, чтобы эта книга способствовала такой переоценке, и я уверен, что пройдет совсем немного времени, как сама идея повествования об истории современной физики, в котором Эмми Нётер не выведена в качестве главной героини, станет столь же неслыханной, как и идея подобного рассказа, в котором забыли упомянуть Эйнштейна.

* * *

Как я узнал об Эмми Нётер и том, что она сделала для физики?

Листая в годы учебы в колледже пособия по углубленному изучению классической механики, я наткнулся на нечто, что внезапно зацепило мое внимание. Автор сделал небольшое отступление от привычного изложения материала, чтобы описать некоторые результаты, которые удивили меня и поразили огромной глубиной – они демонстрировали, как физика способна уловить гармонию и единство природы.

В том учебнике я обнаружил доказательства, что законы сохранения в классической физике – привычные законы сохранения энергии, момента и момента импульса – были (каждый из них) эквивалентны симметрии времени или пространства. Идеи наподобие сохранения энергии были не просто дополнениями к механике, облегчающими решение задач, в которых шла речь, скажем, о траектории пушечных ядер; они предполагались самой структурой пространства и времени. Такая взаимосвязь между понятиями, которые ранее казались не имеющими друг к другу отношения, описанная ясным языком математики, была не только неожиданной, но и, складывалось впечатление, предполагала следствия, выходившие за рамки физики и принадлежавшие скорее к области философии. По самой меньшей мере эти прекрасные взаимосвязи пробуждали несметное множество вопросов и побудили меня внимательнее посмотреть на предмет изучения.

Я не забыл об этих взаимосвязях и после колледжа, в аспирантские годы. Но на протяжении всего этого периода я никогда больше о них не слышал – по крайней мере, не напрямую. В то время подобное умалчивание не вызывало вопросов. Я предположил, что те выводы ограничивались классической механикой, хотя никогда не забывал о них в ходе своей научной работы.

Много лет спустя я убедил редакторов сетевого научного журнала разрешить мне написать предназначенную для широкой публики статью о взаимосвязях между законами сохранения и симметрией. Я все еще был не очень хорошо знаком с предметом, но знал, что он занимателен и важен, хотя и не очень широко известен. Я был уверен, что смог бы также сделать его интересным для неспециалистов, чтобы показать, как физика может будить мысль и восхищать даже там, где речь не идет о чудесах квантового мира и относительности – показать, как прекрасна может быть даже классическая механика.

Готовясь к написанию статьи, я, наконец, узнал, как возникли эти идеи. То были простые, частные случаи сложной теоремы, опубликованной в 1918 году женщиной, о которой я никогда не слышал, чье имя ни разу не было упомянуто за те долгие годы, пока я изучал физику. Женщину звали Эмми Нётер, а результат ее работы знакомые с ним физики назвали теоремой Нётер. По сути, складывалось впечатление, что эти физики принадлежали к тайному обществу. Они говорили об этой теореме как об одном из важнейших открытий в области теоретической физики – если не вовсе о единственном. Они сетовали на то, что ее автор не была широко известна – она вообще мало кому была известна, ее имя редко упоминалось как в университетских аудиториях, так и в популярных книгах по истории науки. И эти ученые не были ни чудаками, ни сектантами. Они принадлежали к числу наиболее выдающихся физиков.

Я продолжил читать о теореме и стоявшей за ней женщине. Я познакомился с ее поразительной, окрыляющей и трагической биографией. Я узнал гораздо больше о некоторых из людей, чьи жизненные пути пересеклись с ее дорогой, людей, чьи имена встречались мне в ходе научной работы: Давиде Гильберте, Феликсе Клейне, Германе Вейле, Эйнштейне и др. Я двинулся дальше и погрузился в архивные материалы, из которых узнал о ранее неизвестных эпизодах краткого периода, который она провела в США. Я узнал, что, в самом прямом смысле слова, ступал по ее надгробию, не подозревая об этом.

* * *

Чтобы прочитать и понять эту книгу, не нужно быть знатоком физики или высшей математики. Вполне достаточно будет смутных воспоминаний, что такое теорема Пифагора. Я хочу описать значение и содержание теоремы Нётер таким образом, чтобы любой мог понять и оценить сказанное. Это возможно, поскольку суть теоремы интуитивно ясна, несмотря на то что для ее доказательства нужно прибегнуть к высшей математике. А то, почему она имеет ключевое значение для физики и других областей знания, можно прекрасно объяснить и без формул. Я помогу вам по-настоящему понять значение этого открытия, чтобы вы были в силах оценить, как уже в более близкие к нам времена она используется не только в физике, но и в других науках – например, в биологии и экономике. Если вы последуете за мной, то увидите, как одна эта влиятельная идея связывает множество областей мысли, которые на первый взгляд далеки друг от друга.

Перед вами не биография Эмми Нётер, скорее это биография идеи. Нётер посвятила свою жизнь математике, и центром добросовестного рассказа о ее жизни должна быть столь важная для нее работа и воздействие этой работы на историю мысли. Для этого я остановлюсь на анализе различных физических и математических проблем и расскажу о них настолько скрупулезно, насколько это возможно без использования уравнений, чтобы связать их с идеей, которая останется в центре истории: с теоремой Нётер. Значительная часть этого анализа перенесена в приложение. Там любопытный читатель найдет более подробный рассказ, в котором исследуется история физических и математических идей, отношения между ними и их связь с размышлениями Нётер. Несколько более специализированный характер приложения удовлетворит наиболее заинтересованных или любящих математику читателей, тогда как вынесение этих подробностей за скобки позволит мне с большей прямотой говорить о других сторонах этой истории, а именно – о сплетающихся нитях человеческих судеб.

* * *

Для тех, кто хочет глубже разобраться в упомянутых мной темах, я привожу множество ссылок на дополнительную литературу, чтобы подтвердить свои суждения или предоставить материал для дальнейшего изучения. В некоторых случаях я ссылаюсь на техническую литературу, чтобы указать специалистам на, возможно, неочевидные источники; в других случаях я ссылаюсь на всевозможные материалы – от научно-популярных статей и книг до видеозаписей и комиксов. Ни одна ссылка ни в коем случае не является безоговорочной рекомендацией. Многие из цитируемых мной источников несвободны от заблуждений (я потерял счет биографическим заметкам о Нётер, в которых ошибочно утверждается, что она умерла от рака), но помимо заблуждений в них можно обнаружить интересные мысли и информацию. Вы заметите, что на многие книги (например, великолепную биографию Гильберта, написанную Констанс Рид) я ссылаюсь постоянно. Рассматривайте такие ссылки как замену традиционному списку рекомендованной литературы.

* * *

Я не профессиональный историк, но чтобы рассказать эту историю, мне пришлось попытаться им стать. Теперь я по-новому смотрю на сложность и меланхоличность стоящей перед историком задачи. Хочется рассказать историю прошлого, в которой каждое событие естественным образом ведет к следующему, где мотивация человеческих поступков понятна, а предметы и явления сочетаются таким образом, что результат по меньшей мере не представляется совершенно случайным и хаотичным. Но в источниках, к которым мы обращаемся, чтобы попытаться реконструировать версию прошлого, можно найти противоречащие друг другу свидетельства о каждом важном событии или поворотном моменте, ложь и прихотливые фантазии. Мотивация действующих лиц загадочна. Но каким-то образом из этой мешанины противоречивых деталей нужно составить некий внятный рассказ – в противном случае не было бы того, что зовется историей. Я обнаружил, что понимающе киваю, читая слова, вложенные Марком Твеном в уста Геродота: «Очень мало событий случается вовремя, остальные и вовсе не случаются. Добросовестные историки исправят эти недостатки».[5]

Кроме того, постоянно приходится сопротивляться желанию судить людей прошлого или думать о них так, будто это наши соседи в странных одеждах. Прошлое – это иной мир, оторванный от наших представлений не менее радикально, чем был бы отрезан изолированный регион. Нужно стараться относиться к людям другой эпохи как антрополог.

Все это делает задачу очень сложной.

Отсюда и меланхолия: совсем скоро мы сближаемся с мужчинами и женщинами прошлого, с которыми проводим вместе столько времени. Они дороги нам, будто друзья или родные. И мы испытываем смешанные чувства, поскольку знаем об их будущем. Реконструируя выбор, с которым сталкивались наши герои, мы временами знаем, что они пойдут по неверному пути, который приведет их к несчастью. Или, быть может, перед ними лишь одна дорога, и, наблюдая, как они идут по ней, мы знаем, что они не готовы к поджидающим их ужасам. Ни в том, ни в другом случае мы не в силах их предупредить; мы никак не можем помочь. Но, возможно, если бы можно было позволить испытываемым нами в эти минуты слабым, иррациональным приступам душевной боли оживить наши рассказы о прошлом, они показались бы читателю более содержательными. Во всяком случае, так я себя утешаю.

Наконец, знакомясь с этими историческими фигурами, я совершил приятное открытие. В молодости мы склонны искать героев – будь то настоящее или прошлое. Но, найдя их, а затем лучше изучив их жизнь, мы почти всегда испытываем разочарование или даже приходим в ужас. Они не соответствуют нашим стандартам. Нами овладевает цинизм. Изучая главных героев своего рассказа, я постоянно ожидал подвоха – как раз потому, что они казались вполне безупречными. Однако подвоха я так и не дождался. Наши протагонисты – в особенности Эмми Нётер и Давид Гильберт – не разочаровывают. Они неизменно были отважны, великодушны и гениальны. Я мог бы даже осмелиться сказать, что для некоторых из нас они могут стать настоящими героями.

1
Перепутья
«Прекраснейшая из физических теорий»

В этой главе мы познакомимся с тремя людьми, играющими в нашей истории главные роли.

Первой, разумеется, будет Эмми Нётер, жизнь и работа которой являются центром для всех остальных орбит. Мы проследим за ее жизнью с ранней юности и до 1915 года, когда ее жизненный путь пересекся с путем Альберта Эйнштейна.

Я отмечу важные для нашего повествования подробности, касающиеся жизни и работы Эйнштейна в тот же период. В этой главе о нем будет сказано чуть меньше, поскольку активным участником истории он стал после 1915 года – во время событий, о которых пойдет речь во второй главе. Но неплохо было бы знать, почему и при каких обстоятельствах он выходит на сцену.

И, наконец, Давид Гильберт. Давний знакомый Нётеров, знавший о работе Эйнштейна и жаждавший узнать больше, Гильберт был в этой троице связующим звеном, создавшим условия, в которых Нётер совершила свое эпохальное открытие.

Помимо этих троих действующих лиц, без которых нельзя обойтись, в этой главе впервые появляются еще несколько героев, играющих роли второго плана. Один из них – не человек, но место. Я не первый, написавший, что, по всей видимости, дух великого Гёттингенского университета сыграл активную роль в том, что в его стенах было сделано множество грандиозных открытий в области математики и точных наук. Гёттинген с его традицией свободы, терпимости и ревностной меритократии был своего рода молчаливым коллегой, сотрудником и вдохновителем длинного ряда ярчайших фигур истории мысли последних трех веков.

Был также Феликс Клейн – еще один титан математики XX века. Он был новатором в области преподавания, который в рамках программы подготовки отделения математики Гёттингенского университета к блистательному будущему решил взять Гильберта под крыло.

Таковы события и обстоятельства, которые, начиная примерно с первых лет предыдущего столетия, в конце концов летом 1915 года свели Нётер, Гильберта и Эйнштейна вместе.

Эмми

Мальчики не хотели с ней танцевать.

В 1890-х годах в Германии не было никаких электронных игр. Чтобы провести время вместе, люди часто приходили друг к другу в гости, играли на музыкальных инструментах и танцевали. Мать Эмми Нётер была хорошей пианисткой и часто играла вместе с великолепным скрипачом.

Согласно всем свидетельствам, Эмми была одаренной, живой, доброй и приветливой девочкой. Но здесь мы сталкиваемся с той же проблемой, что и все остальные, кто решался писать о ее жизни. Поскольку ее положение было вовсе не примечательным, поскольку никто из окружающих никак не мог предвидеть, что в истории науки ей предстоит занять место среди обитателей Олимпа, не было никаких причин фиксировать подробности ранних лет ее жизни. Также обстоит дело с любой исторической фигурой, которая поначалу кажется неприметной гусеницей, а затем, в безвестии пережив период окукливания, разворачивает крылья, превращаясь в редкую и великолепную бабочку. И те, кто задыхается от восторга при виде порхающего в лучах солнца отважного существа, вновь не заметят его замаскированного собрата, лакомящегося листьями поблизости. Такое положение дел – вполне банальный парадокс, с которым сталкивается биограф ученого или художника, – в данном случае, быть может, усугубляется потому, что предмет нашего интереса, в конце концов, был просто девочкой.

Матери мальчиков-подростков, которым случалось оказаться среди гостей в большой, расположенной на втором этаже квартире Нётеров или в других местах встреч, знали, что ей нравится танцевать, а потому время от времени упрашивали своих сыновей дать ей шанс[6]. В конце концов, в руководстве по этикету, опубликованном за несколько лет до рождения Эмми, говорилось: «Подлинно учтивый и воспитанный человек не станет уделять все время и внимание царицам бала, но хотя бы немного позаботится о не пользующихся вниманием девушках, остающихся в забвении и небрежении, у которых может и не оказаться возможности потанцевать, если он не придет к ним на помощь»[7].

Ни у кого не было к ней претензий. В сущности, она всем нравилась. Но Эмми была не очень хороша собой и вовсе не грациозна. Она была близорука и немного шепелявила. Мальчики увивались около других девиц.

Возможно, мальчиков отпугивало кое-что еще. Собраниям в доме Нётеров был свойственен ученый дух. Семья проживала в Эрлангене, университетском городе. Университет Эрлангена был одним из немецких свободных университетов, называвшихся так в силу независимости от какой бы то ни было церкви. Отец Эмми, Макс Нётер, был там видным профессором математики. Он не отличался крепким здоровьем, поскольку в детстве перенес полиомиелит, навсегда оставивший на нем свою печать.

Разумеется, многие гости принадлежали к университетской среде. Время от времени собравшимся молодым людям задавали вопрос – иногда в форме математической задачи: «Кто может мне сказать…?» Эмми тут же давала ответ, тогда как другие все еще пытались понять, о чем их спрашивают.

Сейчас мы живем в другом мире, но кое-что практически не изменилось. В присутствии женщин, которые заметно умнее их, многие мужчины чувствуют себя… словно оскопленными. Это легко заметить и в наше эгалитарное время. В конце XIX века Германия была не просто уютно патриархальной. Что касалось прав женщин, она как в социальном, так и юридическом отношении существенно отставала от большинства прочих европейских стран. Можно себе представить, насколько некомфортно чувствовали себя от природы самоуверенные мальчики-подростки, когда их затмевала одна из тех, кто, как всем было известно, просто не годился для интеллектуального труда.

Нет, танцевать с ней они не хотели. Они знали, что в танце остроумия покажут себя увальнями.

Через 20 лет другой человек загадает Эмми новую загадку. Самый известный математик мира, Давид Гильберт, задаст ей вопрос. Эхо ее ответа раскатится по всему зданию науки. Ее открытие приведет к унификации физики и позволит ответить на множество вопросов, вплоть до сегодняшнего дня определяя развитие этой науки. Но мы немного забегаем вперед.

Гёттинген, 1890 год

Гёттинген – еще один университетский город, расположенный примерно в трехстах километрах к северу (и чуть восточнее) от Эрлангена, если двигаться по современным магистралям. Этот – также свободный – университет наряду с Эрлангеном пользовался устойчивой репутацией оплота точных наук и математики.

В 1890 году отделением математики этого университета заправлял Феликс Клейн. Сегодня его имя хорошо известно в кругу физиков и среди математиков. Он известен также неспециалистам благодаря своим богатым творческим способностям, проявившимся во многих областях математики и точных наук, в том числе – в изобретении таких разнообразящих досуг диковин, как бутылка Клейна[8]. Она представляет собой трехмерную версию ленты Мёбиуса, которую некоторых из нас побуждали смастерить в начальной школе, изготовив из бумаги парадоксальным образом одностороннюю петлю. Бутылка Клейна расширяет парадокс, добавляя третье измерение: мы получаем контейнер, который вместо того, чтобы иметь, как обычно, внутреннюю и наружную поверхность, обладает лишь одной, непрерывной. Подобные явления – прекрасная тема для беседы.[9]

Клейн посвятил себя интеллектуальной деятельности, но, если нужно, мог действовать решительно. Этот математик с азартом тратил существенные силы и время на политические игры, чтобы получить то, чего хотел для своего отделения и университета. Он превратил отделение математики в кузницу кадров международного значения, добиваясь от немецкой бюрократии денежных средств и целого ряда уступок.

Вскоре после того, как он стал профессором Гёттингенского университета, Клейн начал работу над в высшей степени амбициозным планом превращения университета в своего рода аналитический центр в области физических и математических наук. Его амбиции распространялись за пределы Гёттингена: на преподавание науки и техники во всей Германии, в том числе и на политику в отношении средней и старшей школы. С этой целью Клейн выступал за допуск женщин к обучению в Гёттингене, а также пытался привлечь больше иностранных студентов[10]. Как организатор образования, Феликс Клейн с его удивительно глубокими представлениями о преподавании точных наук вообще и о месте Гёттингена в этом процессе в частности опередил свое время. Примером его оригинального и передового мышления является попытка (в конечном счете небезуспешная) привлечь средства немецкой промышленности для финансирования образования и исследований, ориентированных на техническое применение. Он воспользовался тем, что промышленники осознавали необходимость существования в будущем множества рабочих, обученных всевозможным прикладным наукам. Этот подход лишь недавно был перенят в США, где корпоративные субсидии подчас компенсируют недостаточность государственного финансирования народного просвещения, как того хотел Клейн для Гёттингена. Клейн также значительно способствовал более активному преподаванию в Гёттингене прикладных наук, поскольку был убежден, что эти дисциплины наряду с чистой физикой и математикой образовывали единое интеллектуальное поле и могли поддерживать и подкреплять друг друга.

Клейн не смог бы совершить свои прогрессивные подвиги на административном поприще в одиночку. Его соратник в правительстве, человек по имени Фридрих Альтхоф, заведовал всей прусской системой высшего образования. Альтхоф относился к идеям Клейна с достаточной симпатией, чтобы побороться с бюрократией ради их воплощения. В этом ему помогала его своеобразная бестактность. Основоположник квантовой механики Макс Борн много лет спустя вспоминал о нем как о «широко известном и внушавшем ужас своей черствостью и грубостью»[11]. Делу, определенно, пошло на пользу и то, что Клейн с Альтхофом были добрыми друзьями; они вместе сражались во время Франко-прусской войны[12].

Беглый взгляд на глубокие перемены, которые принес Европе этот продолжавшийся в течение года конфликт, показывает, в какой культурной и политической среде жили наши герои. По окончании войны, в мае 1871 года, остававшиеся доселе независимыми немецкие земли обнаружили, что вошли в состав объединенной Германии. Тем не менее они в значительной мере сохранили свою культурную идентичность и – до известной степени – административную автономию. Например, Альтхоф заведовал образовательной политикой в одной лишь Пруссии. Но, поскольку в объединенной Германии Пруссия задавала тон, и поскольку там были сосредоточены наиболее важные университеты, должность Альтхофа была наиболее значимой для формирования немецкой образовательной политики в целом.

Три наших главных героя происходили из разных областей только что объединившейся Германии. Родной город Гильберта находился на восточной окраине Пруссии – земли, где также разворачивалась его карьера. Эйнштейн родился в Ульме (городе, чьим девизом было «Ульм – город математиков»), в располагавшемся на юге Германии Королевстве Вюртемберг. Эрланген, где появилась на свет, выросла и получила образование Эмми Нётер, находится в Баварии. Франко-прусская война привела к низложению Наполеона III, учреждению Третьей Французской республики и значительному снижению французского влияния в Европе – а также большим территориальным уступкам Франции в пользу Германии. Переустройство Европы было масштабным процессом, включавшим объединение Италии.

Эта глава начинается с периода, последовавшего за Франко-прусской войной, и завершается на ранних этапах войны Великой, или, как мы называем ее сейчас, Первой мировой. Франко-прусская стала одним из факторов, приведших к такой Великой войне, как Первая мировая война – одной из причин Второй мировой. Помимо прочего, блистательная победа во Франко-прусской войне пробудила в значительной части немцев своего рода воинственную гордость и помогла примириться с новыми военными кампаниями. Как мы увидим, многие из главных героев этой книги испытывали отвращение к подобным милитаристским настроениям.

Смерть ведущего профессора математики в другом университете привела к раунду характерных для этой среды игр с преподавательскими ставками и переговоров. В результате всех перестановок в 1894 году на отделении математики Гёттингенского университета появилась вакансия (что было делом редким), и Клейн получил (не менее редкую) возможность повлиять на формирование отделения таким образом, чтобы оно подошло еще ближе к воплощению его идей и значительно укрепило свой международный авторитет: для этого он хотел ввести в число сотрудников восходящую звезду, которую ожидало блистательное будущее.

Клейн прекрасно знал, кого хочет пригласить. Своему избраннику он послал письмо с пометкой «Строго конфиденциально». Клейн не знал, сможет ли он организовать официальное предложение занять освободившееся место своему кандидату. То была непростая игра, в которой под надзором министерства участвовали несколько университетов.

Интриги, которые плелись вокруг назначений на штатные должности, были одной из своеобразных особенностей немецкой университетской системы, представляя собой хитросплетение старинных традиций, которым многие авторы ставили в заслугу внушительное положение, которое немцы на протяжении столетий занимали в ученом мире. Одно из обстоятельств, делавших назначение конкретных профессоров ключевым для возвышения и успеха принимающих их факультетов, было связано со своеобразной свободой, которой пользовались немецкие студенты. Об этой традиции не слыхивали в большинстве других стран – например, в США. Университетский студент в Германии мог без ограничений посещать любые занятия, какие хотел, и даже путешествовать от университета к университету, чтобы послушать лекции любого профессора, чья слава привлекла его внимание. Часть дохода учебного заведения – и персональный доход менее именитых лекторов – зависели от того, удастся ли привлечь студентов.

Клейну нужно было знать, не растратит ли он попусту время и политический капитал, а потому он настоял на том, чтобы Гильберт дал ему одно обещание: если место будет предложено, тот его примет.

Гильберт, 1890 год

Давиду Гильберту не потребовалось долго думать, чтобы ответить на «строго конфиденциальное» письмо Клейна. Он не стал обсуждать условия, а ответил тотчас же: «Разумеется, я бы с огромной радостью и без колебаний принял приглашение Гёттингенского университета»[13].

Гильберту было 32 года, и он преподавал математику в Кёнигсберге. На современной карте места, где он родился, не найти – во всяком случае, не под тем именем, которое оно тогда носило. Кёнигсберг, город в Восточной Пруссии, по окончании Второй мировой войны вошел в состав России и был переименован в Калининград. Ни один из Кёнигсбергов на нынешней карте Германии не является Кёнигсбергом Гильберта. Но связанная с городом знаменитая математическая задача сохраняет прежнее имя. В так называемой задаче о кёнигсбергских мостах требуется построить маршрут, проходящий по каждому из семи мостов этого города один и только один раз[14].

Кёнигсберг занимает достаточно важное место в истории научной мысли; в этом городе родились или были воспитаны несколько видных математиков и ученых; кроме того, это колыбель Иммануила Канта, труды которого, как считается, повлияли на философию математики Гильберта. Одна из важнейших и значимых книг Гильберта, «Основания геометрии» (Grundlagen der Geometrie), открывается эпиграфом из Канта: «Так всякое человеческое познание начинается представлениями, переходит к понятиям и кончается идеями»[15]. Немецкие студенты той эпохи имели обычай путешествовать между учебными заведениями, дегустируя их «продукцию» на пути к получению степени. Однако Гильберт остался учиться в университете родного города, где на всю жизнь стал добрым другом Германа Минковского, которому предстояло в конце концов прославиться как одному из основателей концепции четырехмерного пространства-времени и который несколько раз появится в следующих главах[16]. В Кёнигсберге Гильберт сделал несколько потрясающих математических открытий; приглашение Клейна попало к молодому профессору в тот момент, когда он еще только делал карьеру, но некоторые из его находок уже привлекли внимание всего света.[17]

В этот период у Гильберта появилась привычка вести дискуссии о математике во время прогулок, демонстрируя некоторую неприязнь к более традиционным местам вроде кабинетов и библиотек. Хотя эти предпочтения способствовали созданию образа человека эксцентричного или, может быть, лучше сказать «яркой индивидуальности» (и эту репутацию Гильберт уже заслужил), такая непоседливость не была среди немецких математиков делом неслыханным или уникальным. В Гёттингене, в итоге ставшем для Гильберта домом, существовала своего рода традиция перипатетической математики, поддержанию которой способствовали окружающие город манящие леса, в значительной степени сохранившиеся и сегодня. Здесь его привычка к математическим прогулкам была с радостью поддержана коллегами, в том числе Эмми Нётер, которая, как мы увидим, в конечном счете привезла этот метод работы в США. Гильберт и Минковский регулярно прогуливались со своим любимым преподавателем математики, Адольфом Гурвицом[18]. К ним вскоре присоединились новые спутники, и прогулки превратились в ежедневный передвижной математический семинар, где знание не только передавали, но и создавали новое.[19]

Феликс Клейн в Гёттингене был счастлив получить от Гильберта согласие, но знал, что настоящая битва впереди. Ученый совет должен был одобрить такую кандидатуру на должность.

Добиться этого было непросто, поскольку у Гильберта, помимо прочего, была репутация человека, питающего открытую неприязнь ко всякого рода властям. Молодой профессор, усердно трудившийся в своем сравнительно захолустном университете, уже стал притчей во языцех.

Из Кёнигсберга доносились скандальные известия. Для той эпохи поведение Гильберта и его манера одеваться казались шокирующе небрежными. Он регулярно появлялся на танцах и других общественных мероприятиях, где без зазрения совести флиртовал со множеством девиц. В представлении очень многих он никак не походил на благопристойного немецкого профессора.

Защитниками Гильберта в ученом совете в Гёттингене были лидеры математического сообщества, тоже знаменитые математики и ученые. Они все знали о его странностях, но их это не заботило. Они очень хотели заполучить Гильберта, который, став сотрудником Гёттингена, сильно упрочил бы и без того блистательную репутацию их коллектива.

Их оппонентами были профессора философии, филологии, литературы и богословия – гораздо более консервативные, чем специалисты в области точных наук и математики. Мы столкнемся с этим сюжетом снова. Эти гёттингенские старейшины не желали иметь с Гильбертом ничего общего. К ним следовало найти подход.

В конце концов Клейн победил, поскольку пользовался значительным влиянием как легендарный математик и наставник, и его победе способствовали связи с Фридрихом Альтхофом, министром образования. За годы, потраченные на формирование факультета, Клейн также превратился в искушенного академического стратега, умело проводящего переговоры со своими коллегами и склонявшего тех на свою сторону. В какой-то момент еще один научный сотрудник, по всей видимости, не слишком хорошо знакомый с репутацией Гильберта, но знавший, что тот молод, упрекнул Клейна в том, что он, судя по всему, ищет покладистого кандидата – возможно, полагая, что ему нужен кто-то, кем можно будет помыкать. Клейн заверил его, что, напротив, «обратился к человеку с самым непростым характером»[20].

Уникальное положение Клейна позволяло ему манипулировать профессорами-гуманитариями. Можно сказать, что администрирование образования было его вторым призванием, поскольку он приобрел невероятную сноровку в замысловатых политических маневрах, характерных для немецкой академической жизни.

После ряда напряженных встреч и переговоров Клейн преуспел. Гильберт поднялся на борт.

Эмми Нётер, математик

Наступил 1900 год, и Эмми Нётер только минуло 18 лет. Казалось весьма вероятным, что замуж она никогда не выйдет.

А потому она пошла по пути, обычному для умных девушек ее времени и круга. Преподавание языков было одним из немногих социально приемлемых квазиакадемических поприщ, доступных женщинам, а для незамужней девушки из семьи ученых эта профессия была практически неизбежной судьбой. Эмми сдала необходимые экзамены и стала дипломированной преподавательницей французского и английского для девочек[21].

Преподавать языки она так и не начала. Вместо этого Нётер поддалась неуемному желанию расширить свои познания, выйдя за пределы того, что было получено ею в рамках традиционного образования. Нам неизвестно, что ее к этому подтолкнуло. Возможно, беглое знакомство с предметами сложных научных изысканий, в которые были погружены некоторые из ее родных и их друзей. Возможно, наиболее глубоким стало влияние ее отца, работавшего на переднем крае математического знания того времени (по мнению некоторых, «одного из лучших математиков XIX века»)[22]. Прошло совсем немного времени, и дочь Макса Нётера попыталась утолить этот голод, вольнослушательницей посещая университетские курсы по целому ряду предметов.

Понять, сколь необычной была ее жажда образования, можно, познакомившись со статистикой: в Эрлангене учились 984 студента мужского пола – и две вольнослушательницы[23]. Одним из препятствий было враждебное отношение некоторых профессоров к одному лишь присутствию женщин на их лекциях. Министерство образования некоторое время боролось с консервативной профессурой, силясь убедить их, что нельзя прогонять женщин без каких-либо на то оснований. Эта битва продолжилась и после того, как Нётер закончила свое формальное образование. Положение отца Эмми помогло убедить большинство профессоров разрешить ей присутствовать на их занятиях, но временами ей приходилось и в самом деле сражаться за это право. Однако в тот момент женщинам уже разрешалось сдавать выпускные экзамены – хотя и не экзамены по окончании отдельных курсов, – и в 1903 году Нётер успешно прошла финальную аттестацию.

К этому времени она с головой ушла в изучение математики. Она продолжала посещать занятия углубленного уровня, и не только в родном университете: она провела семестр в Гёттингене, уместив в своем расписании огромное множество лекций. Для начинающего математика это, должно быть, был головокружительный опыт. Список профессоров, чьи занятия она посещала, производит впечатление переклички математических знаменитостей и включает множество имен, которые – как Клейн или Гильберт – будут знакомыми любому современному студенту, изучающему математику или физику.

Вспоминая о том времени, великий математик и физик Герман Вейль описывал его так: «В юности Эмми Нётер принимала посильное участие в работе по дому, вытирала пыль, готовила обед, ходила на танцы. Судьба обычной немецкой женщины была бы уготована ей, если бы как раз в то время перед девушками в Германии не открылась возможность вступить на научное поприще, не встретив сколько-нибудь заметного сопротивления. В характере Эмми не было ничего бунтарского, она покорно воспринимала окружающий мир таким, каким он был. Но вот она стала математиком»[24].

Возможно, если бы у Вейля была возможность отредактировать сказанное, он изменил бы свое замечание насчет «сколько-нибудь заметного сопротивления». Они с Нётер были слишком хорошо знакомы, чтобы он не знал о сопротивлении, и весьма сильном, с которым она сталкивалась при каждой попытке продолжить академическую карьеру, – о препятствиях, которых не существовало для него и других мужчин, соответствовавших тем же, что и она, квалификационным требованиям. Он прекрасно знал о ее талантах и считал, что она его превосходит. Как подробно показано на следующих страницах этой книги, другие его утверждения и действия позволяют предположить, что, по его мнению, с ней поступают несправедливо. Вейль хочет, чтобы мы понимали характер и склад ума его подруги, Эмми Нётер: ее жизненный путь определялся всепоглощающей страстью к математике. Все необычные шаги, которые она совершала, были результатом того, что она следовала за предметом своей страсти; не будь его, у нее не было бы стимула сойти с более торного пути.

Гильберт в Гёттингене

В Гёттингене Давид Гильберт оправдывал лучшие надежды тех, кто хотел, чтобы он туда перебрался, и подтверждал худшие опасения тех, кто был против его кандидатуры.

Обосновавшись в университете, он принялся оставлять в памяти сталкивавшихся с ним людей ряд неизгладимых отпечатков. Впоследствии один из студентов вспоминал о «странном впечатлении», которое производил Гильберт – этот впопыхах и небрежно одетый человек, «вовсе не похожий на профессора»[25].

Что касается Гильберта, то, на его вкус, атмосфера в Гёттингене была чересчур чинной. Там было множество мотивированных студентов, изучавших математику; в Гёттинген их привлекала международная известность Феликса Клейна. Но обстановка там в те времена все еще была довольно формальной и холодной, а иерархические отношения между преподавателями разного положения и между сотрудниками университета и студентами тщательно соблюдались[26]. Это было не в стиле Гильберта.

Год еще не закончился, как Гильберт вдобавок к своим нетрадиционным взглядам на жизнь и академическую среду начал окружать себя людьми, которые ему нравились и с кем он мог с пользой обсуждать математику, не оглядываясь на то, какие манеры и привычки могли ожидаться от человека его положения[27]. Студенты и молодые преподаватели были совершенно очарованы Гильбертом, вовсе не похожим на внушающего благоговение небожителя-Клейна. Их забавляла его манера выражаться и провинциальный кёнигсбергский говор, и они позволяли себе слегка и добродушно подтрунивать над некоторыми характерными для него оборотами речи[28].

Вскоре гёттингенские студенты узнали о другой стороне характера Гильберта. Он был интеллектуально строг, не терпел небрежных рассуждений или унылых докладов и мог быть беспощадным оппонентом. По словам Вейля, который был в то время одним из студентов Гильберта (и которому самому предстояло стать знаменитым математиком, главой математического отделения и важным действующим лицом нашей истории): «Прежде чем произнести в его присутствии ложь или пустую фразу, следовало дважды подумать: его прямота была небезопасна»[29].

Вейль вступил в ряды гёттингенских студентов в 1903 году[30]. Как и многие другие, он вскоре был очарован умом, подобного которому раньше попросту не встречал: «Но двери нового мира распахнулись передо мной, и, хотя я сидел у ног Гильберта не так уж долго, в моем юном сердце созрела решимость во что бы то ни стало прочитать и изучить все, написанное этим человеком»[31].

Однажды, узнав, что один из его студентов обратился от математики к поэзии, Гильберт сказал, что это к лучшему, поскольку тому недоставало воображения, чтобы стать математиком[32]. И это была одна из основных жалоб Гильберта на его гёттингенских студентов: подчас они не демонстрировали достаточного богатства воображения.

В Гёттингене Гильберт упрочил свою репутацию человека эксцентричного. К концу первого проведенного там года он со своей молодой семьей построил дом, устроенный так, чтобы Гильберту легче было реализовать свою склонность работать на улице, вдали от пыльных книг и библиотек. У Гильберта была огромная грифельная доска, висевшая на стене соседнего дома, а на его участке была устроена крытая прогулочная галерея, чтобы можно было работать на улице даже в дождь[33]. Через несколько лет он приобретет велосипед и научится ездить на нем – ему тогда было 45[34]. Новое средство передвижения стало частью рабочей рутины Гильберта, включавшей в себя расчеты на расположенной на свежем воздухе грифельной доске, прогулки, садоводство и наслаждение быстрой ездой на велосипеде. Он пропадал в бильярдных с младшими преподавателями – которых, как ожидалось, должен был сторониться. Зимой он приезжал на занятия на лыжах. Когда ему хотелось погулять с Минковским, Гильберт шел к дому своего друга и бросал в его окно камешки – еще одна привычка, вовсе не шедшая на пользу его репутации[35]. Возможно, еще больше о необычном складе ума Гильберта скажет тот факт, что когда его сын Франц пошел в школу и ему задали вопрос о его вероисповедании, мальчик понятия не имел, что ответить[36].

Среди всех неурядиц, конфликтов и, наконец, ошеломительного успеха, которыми была отмечена карьера Гильберта в Гёттингене, постоянным источником поддержки и жизненно важной посредницей и помощницей была его жена, Кете Ерош. Она понимала, когда мужу нужно было поработать в тишине, и оберегала его от постоянного потока студентов и коллег, стучавших в двери их дома. О Гильберте можно с уверенностью сказать, что он был непростым человеком и, кроме фрау Гильберт, его никто не понимал.

В 1900 году, всего лишь через пять лет после начала работы в Гёттингене, Гильберт произнес речь, в которой выделил десять (впоследствии их число было увеличено до 23) важнейших нерешенных математических проблем. То были не просто загадки, но своего рода набросок будущего математики.

Именно друг Гильберта Минковский заронил идею таких лекций[37]. Он заметил, что при планировании выступления в ознаменование наступления нового века Гильберт мог бы подумать о том, чтобы «заглянуть в будущее» и составить «список задач, на которых в грядущем столетии математикам следовало бы попробовать свои силы. С такой темой ваши лекции оставались бы предметом дискуссий и десятилетия спустя». По сути, прошло больше сотни лет, а мы продолжаем их обсуждать.

Интеллектуальный авторитет Гильберта и его неоспоримое господство над всем миром математических исследований были к тому моменту таковы, что эти так называемые «проблемы Гильберта» глубоко повлияли на развитие математики. Они до сих пор известны любому математику, и некоторые из них остаются нерешенными. Найти решение для нерешенной задачи из этого списка позволит любому математику, в этом преуспевшему, заявить о себе.

Доктор Эмми Нётер

Эмми Нётер сдала выпускные экзамены летом 1903 года и немедленно начала работать над докторской диссертацией[38]. Теперь она была предана математике и направлялась туда, где, как уже всем было известно, находилась столица математического мира: в Гёттингенский университет.[39]

Там она провела семестр – официально снова в роли вольнослушательницы. По закону женщины все еще не могли быть приняты в немецкий университет, даже если им и разрешалось сдать выпускные экзамены. Эмми Нётер посещала лекции ряда гениев, чьи имена навеки вошли в историю науки и математики: Карла Шварцильда, Германа Минковского, Отто Блюменталя и самих Феликса Клейна и Давида Гильберта. Шварцшильд был исключительно математически одаренным астрономом; другие, как отмечалось выше – математиками.

После этого головокружительного семестра в Гёттингене Нётер вернулась домой. Закон, наконец, изменился, и женщины получили право наравне с мужчинами поступать в университеты и получать ученые степени. Весной 1904 года Нётер официально поступила в Университет Эрлангена, чтобы изучать математику[40]. Эрланген делился на «факультеты»; математику преподавали на Втором отделении философского факультета. Когда Нётер поступила туда, на факультете обучалось 46 студентов мужского пола – и одна она. Единственные ее товарки обучались на медицинском факультете, где среди 159 студентов-мужчин были три полноправные студентки и две вольнослушательницы.

Ее отец Макс вместе с еще одним видным математиком, Паулем Горданом, вел основные курсы на отделении математики. Эмми и ее брат Фриц, изучавший математику и физику, часто посещали лекции своего отца.

Гордан был одним из экспертов мирового уровня по тому, что называлось теорией инвариантов. Под его руководством Эмми Нётер начала активно изучать этот предмет, и в декабре 1907 года получила степень PhD, summa cum laude[41][42], за посвященную ему диссертацию.

* * *

В следующих двух главах будут изложены предпосылки появления теоремы Нётер и описаны как внешние обстоятельства, так и подготовительная работа, проделанная ею перед тем, как она совершила революционное открытие в области физики. Основное направление этой подготовительной работы Нётер связано с эволюцией ее математического стиля и подходов; этот путь начинается с обучения у Гордана, и первой вехой на нем стала ее диссертация. Гордан был прекрасно известен своим в высшей степени обстоятельным, вычислительным методом проведения математических изысканий. Его статьи зачастую состояли из длиннейших рядов уравнений без каких-либо текстуальных пояснений. Нётер усвоила подход своего научного руководителя, и ее диссертация – ярчайший пример подобного стиля. Для исследователей нет ничего удивительного в том, чтобы в начале карьеры перенимать подходы своих наставников, – даже для тех исследователей, кого, как Нётер, оригинальность мышления вскоре увлечет на совсем иной путь.

Однако в случае Эмми Нётер эти расхождения оказались резко выраженными. Много времени спустя Герман Вейль будет оглядываться на карьеру Нётер: «Трудно представить себе бо́льший контраст, чем тот, который существует между ее первой работой – диссертацией – и работами, выполненными в пору профессиональной зрелости: первая являет собой яркий пример формальных вычислений, вторая – не менее яркий и впечатляющий пример аксиоматического мышления в терминах абстрактных понятий в математике»[43].

Скорее всего, Нётер бы с ним согласилась. Вступив в более зрелую фазу своего творческого пути, она стала нетерпимой к любым упоминаниям об этой диссертации и называла ее «бредятиной» – а подчас и более крепким словом.

Различие в подходах к математике или стилях математического мышления, о котором говорит Вейль, усугубленное бранью Нётер, – это различие между наглядными, подчас трудоемкими вычислениями и работой на более высоком концептуальном уровне, характеризуемом размышлениями о структуре, скрывающейся за задачей. Во втором случае математик иногда доказывает нечто, касающееся природы, скажем, решений уравнения (существуют ли они? бесконечно или конечно число таких решений?), может быть, даже не пытаясь выстроить хотя бы одно из этих решений.

Альберт Эйнштейн

Сегодня множество историков и популяризаторов науки называют 1905 год «годом чудес» Эйнштейна (а кое-кто предпочитает щегольнуть латинским выражением: annus mirabilis). В том году 26-летний Эйнштейн опубликовал пять статей. Каждая из них была блестящей; некоторые – навсегда изменили ход человеческой мысли. Одна из этих работ принесла ему Нобелевскую премию: то был расчет, ознаменовавший рождение квантовой механики. Из другой статьи 1905 года мы узнали о том самом физическом уравнении, которое известно каждому: E = mc² (хотя изначально оно появилось в несколько иной форме). Среди этих пяти статей была та, что положила начало специальной теории относительности; сформулированные в ней идеи в популярном изложении на десятилетия превратятся в тему бесед на коктейльных вечеринках и породят бесчисленное множество набросков поездов, нацарапанных на бумажных салфетках. Благодаря еще одной из этих пяти статей Эйнштейн получит докторскую степень (по физике) за два года до того, как Эмми Нётер свою – в области математики.

Всего этого Эйнштейн добился, работая в патентном бюро в швейцарском городе Берне. Его задачей была оценка патентных заявок. Работа ему нравилась, поскольку была до известной степени занимательной, не требовала особых усилий, приносила неплохой доход и оставляла много времени для размышлений о физике. Он шутил, что его рабочий стол в бюро, набитый теоретическими вычислениями, представлял собой «физический факультет». Преподавать ему не особенно нравилось.

Хотя Эйнштейн и был доволен своей работой в патентном бюро, нам нужно спросить: а что он там делал? По окончании университета, в 1900 году, он оказался единственным студентом-физиком, не получившим должности ассистента. В течение года он оставался без работы и безуспешно искал себе место в различных университетах. Вполне вероятно, проблема Эйнштейна состояла в том, что он попросту обижал своих наставников. Он пропускал много занятий, предпочитая заниматься самостоятельно. Он сам решал, какие занятия слишком скучны или бесполезны, чтобы тратить на них время. Хоть сколько-нибудь мнительные преподаватели обычно легко вызывают чувство неприязни у слишком умных и не считающихся с их мудростью студентов. А молодой Эйнштейн был в целом не слишком дипломатичен.

После года безработицы, в течение которого он зависел от материальной поддержки не слишком состоятельных родителей, Эйнштейн наконец получил место школьного учителя, а также стал давать частные уроки[44]. Работа понравилась ему гораздо больше, чем он ожидал, в особенности потому, что обе должности оставляли ему достаточно свободного времени и энергии, чтобы работать над физическими проблемами. Год проработав учителем, он с помощью друга и товарища по университету Марселя Гроссмана нашел место в патентном бюро (как станет ясно ниже, Гроссман оказал ему кое-какую еще более ценную помощь). Эта работа была более надежной (работа в школе была временной) и подходила ему даже еще больше. По сути, проведенные в патентном бюро дни были одними из самых счастливых в его жизни.

Хотя во время жизни в Берне Эйнштейн проделал огромную прорывную работу в потрясающе разнообразных областях науки, то, что имеет прямое отношение к нашей истории – это его работа над тем, что мы сегодня называем специальной теорией относительности.[45]

Я не стану подробно излагать содержание этой теории, так как существует множество великолепных книг и статей, в которых это сделано, и наша история этого не требует. Однако нам понадобится сделать краткий обзор и, в особенности, понять одну конкретную точку зрения на эту теорию. Этот аспект специальной теории относительности не затрагивается в большинстве упрощенных или научно-популярных ее изложений. Он тесно связан с теорией инвариантов, предметом докторской диссертации Эмми Нётер. В тот момент, когда вышла статья Эйнштейна, Нётер была погружена в теорию инвариантов.

Во-первых, почему теорию Эйнштейна называют теорией относительности? Она касается того, как описывать вещи с разных позиций – или относительно разных точек зрения. В этом случае точки зрения являются различными системами отсчета. Под этим термином имеются в виду просто совокупности обстоятельств, двигающиеся с какой-то постоянной скоростью, то есть в неизменном темпе и в каком-то конкретном, неизменном направлении. Если вы находитесь в поезде, плавно движущемся вперед с постоянной скоростью, а я стою на платформе, то мы находимся в разных системах отсчета того типа, который рассматривается в этой теории. Первую теорию относительности Эйнштейна назвали специальной в противовес той, что была сформулирована позднее. Общая теория относительности является, скажем так, более общей: в ней рассматриваются системы отсчета, движущиеся в любых направлениях.

Первая четко сформулированная теория относительности была изложена Галилеем, и сегодня мы называем ее принципом относительности Галилея. Согласно этому принципу, я, стоящий на платформе, буду считать, что вы движетесь (например) направо со скоростью поезда, а вы – считать, что я движусь налево с той же скоростью. Если вы бросите мяч в направлении головного вагона поезда, то я увижу, как к скорости поезда прибавилась скорость, приданная вами мячу. Другой пример – это траволаторы, которые мы сегодня привыкли видеть в аэропортах. Когда вы идете по нему со своей обычной скоростью, то, взглянув в сторону, заметите, что окружающие предметы движутся, возможно, быстрее, чем вы привыкли; скорость, с которой они движутся, это скорость ленты плюс скорость, с которой идете вы.

Принцип относительности Галилея – это инстинктивно понятная теория относительности, в которую мы, обычно сами того не сознавая, верим, если и покуда не записываемся на курс физики и в результате обучения не утрачиваем свои инстинкты. Очевидно, что она верна. Эту теорию относительности, просуществовавшую более 300 лет, унаследовал Эйнштейн, доказавший, что она не может быть верна, если верны некоторые другие ставшие нам известными вещи.

Опустим доказательства и перейдем к некоторым следствиям. Однако вкратце отметим, что фундаментальная и безусловная истина, с помощью которой Эйнштейн доказал, что принцип относительности Галилея следует заменить, такова: в вакууме свет обладает одной скоростью, и эта скорость одинакова для всех вне зависимости от того, из какой системы отсчета она измеряется. Это означает, что если, шагая по траволатору в аэропорту, вы достанете фонарик и включите его, направив прямо от себя, то узнаете (при наличии подходящего оборудования), что свет движется от вас с этой универсальной скоростью, обозначаемой константой с. Пока что тут нет ничего удивительного. Но это также означает, что человек, стоящий неподвижно на полу рядом с вами, замерит в точности ту же скорость с. Это наблюдение прямо противоречит тому, что, как нам кажется, мы интуитивно знаем о бросаемых в поезде мячиках. (Разумеется, в аэропорту нет вакуума, но атмосфера в нем влияет на скорость света лишь незначительно, и идея остается той же.)

Сделав это (подтвержденное экспериментами) допущение о скорости света и беспощадно применив простую логику к остроумным мысленным экспериментам, Эйнштейн вывел свою специальную теорию относительности.

Неизменность скорости света предполагалась также электромагнитной теорией Джеймса Клерка Максвелла. В известном смысле теория Максвелла была первой единой физической теорией: великий шотландский физик использовал критерии математической красоты и симметрии, чтобы скомбинировать существующие теории электричества и магнетизма, превратив их в набор уравнений, показывающих, что каждая из этих теорий была составной частью другой. Эти уравнения показывали, что колеблющиеся электрические и магнитные поля распространялись в пространстве в виде волн – световых, тепловых или радиоволн – со скоростью, которая была физической константой и не зависела от движения их источника или наблюдателя. Эйнштейн неизменно руководствовался теорией Максвелла при разработке собственной новой физики; то была общепризнанная теория, которая считалась соответствующей реальному положению дел и показывала, что принцип относительности Галилея небезупречен.

Помимо прочего, из специальной теории относительности следует, что если вы будете измерять течение времени на протяжении секунды в системе отсчета, движущейся относительно той, в которой находитесь сами, то обнаружите, что она длиннее, чем секунда в вашей системе отсчета. Иными словами, если, стоя на платформе, вы посмотрите на часы на проходящем мимо поезде, то увидите, что часы тикают медленнее, чем часы на платформе, где вы стоите. В сравнении с вашим, время в поезде замедляется. Почему до Эйнштейна этого никто не заметил? Разумеется, этот эффект – эффект реальный и ныне с невероятной точностью подтвержденный многочисленными экспериментами, – столь незначителен, что для его наблюдения вам потребуются либо сверхточные часы, либо скорости, весьма близкие к скорости света. И подтвердили его обоими способами: с помощью установленных на самолетах атомных часов и посредством наблюдений, показывающих, что элементарные частицы, двигающиеся со скоростью, близкой к скорости света, «живут» дольше, чем те, что ведут более размеренный образ жизни.

Еще одно следствие теории – что из-за скорости изменяется само пространство. Если бы у вас был способ с исключительной точностью измерить длину вагона в момент, когда он проезжает мимо вас, вы увидели бы, что он короче, чем когда поезд стоит на месте. Чем быстрее движется поезд, тем сильнее он сжимается в направлении движения.

Не буду больше говорить об этих эффектах; только на всякий случай проясню один запутанный вопрос: как бы быстро ни двигался поезд, сидящие в нем люди не заметят ничего необычного ни в отношении самих себя, ни в том, что происходит в поезде. Согласно замерам тех, кто остался на платформе, их часы замедляются, но и сами они замедляются. Замедляется само время, так что замечать нечего. То же касается и пространства: у людей нет способа определить, что вещи стали короче, поскольку короче стали и используемые ими для измерений линейки. Сжатие происходит относительно других систем отсчета.

В 1902 году Герман Минковский перебрался в Гёттингенский университет. Примерно в то время, когда Эмми Нётер получала докторскую степень, он читал там лекцию о недавно сформулированной специальной теории относительности Эйнштейна. Он не только прекрасно ее понял, но и нашел более наглядный (по его мнению) способ описания этих преобразований пространства и времени. По сути, то был элегантный математический фокус. «В изложении Эйнштейна его фундаментальная теория с математической точки зрения выглядит несуразной, – отмечал он, – я могу так говорить, поскольку математику он изучал в Цюрихе под моим руководством»[46]. Да, Минковский был одним из университетских преподавателей математики Эйнштейна.

Минковский показал, что в специальной теории относительности преобразование пространства и времени между разными системами отсчета с математической точки зрения тождественно вращению пространственно-временной системы координат (системы осей, на которых мы отмечаем положение объектов во времени и пространстве – пространстве одно-, двух- или трехмерном). Это наблюдение сделало неизвестное знакомым, поскольку, хотя преобразования Эйнштейна были для механики чем-то новым и странным, во вращении все уже прекрасно разбирались. Любые известные нам из геометрии математические уловки и механизмы могли теперь сделать расчеты, касающиеся специальной теории относительности, более простыми и интуитивно понятными. По сути, своим представлением о четырехмерном пространстве-времени мы обязаны Минковскому. В таком пространстве-времени три пространственных измерения сочетаются со временны́м, но не так, как это могли бы сделать Галилей или Ньютон, у которых пространство и время имели совершенно разную природу. В пространстве-времени Минковского временны́е и пространственные координаты теснее друг с другом связаны: у Минковского при вращении временны́е и пространственные интервалы смешиваются воедино.

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.

Примечания

1

Wilczek F. A Beautiful Question: Finding Nature’s Deep Design. New York: Penguin Press, 2015. P. 280.

Вернуться

2

Lederman L. M., Hill Ch. T. Symmetry and the Beautiful Universe. Amherst, NY: Prometheus Books, 2004.

Вернуться

3

Ледерман – лауреат Нобелевской премии и автор понятия «божественная частица». – Прим. авт.

Вернуться

4

Greene B. (@bgreene). Emmy Noether’s theorem is… твит в социальной сети X (бывший Twitter) от 23 марта 2017 года [Электронный ресурс]. URL: https://twitter.com/bgreene/status/844768785248641027.

Вернуться

5

Цитата из повести Марка Твена «Рассказ лошади» (1907). – Прим. пер.

Вернуться

6

Dick A. Emmy Noether: 1882–1935. Boston: Birkhäuser, 1981. P. 9.

Вернуться

7

Duffey E. B. The Ladies’ and Gentlemen’s Etiquette. Philadelphia: Porter and Coates, 1877.

Вернуться

8

Stoll C. Acme Klein Bottle [Электронный ресурс]. URL: www.kleinbottle.com.

Вернуться

9

Лента Мёбиуса и бутылка Клейна – примеры так называемых неориентированых, или односторонних, поверхностей, представляют собой плоскую и объемную замкнутые фигуры, не имеющие двух различных сторон. Чтобы сделать ленту Мёбиуса, можно взять полоску бумаги, перевернуть один конец нижней стороной вверх и соединить края. При движении вдоль ленты Мёбиуса возврат в изначальную точку происходит после двух оборотов. Являются объектом изучения топологии – раздела математики, который изучает свойства пространств, сохраняющихся при непрерывных деформациях. – Здесь и далее, если не указано иное, прим. науч. ред.

Вернуться

10

Tobies R. The Development of Göttingen into the Prussian Centre of Mathematics and the Exact Sciences // Göttingen and the Development of the Natural Sciences / Ed. Nicolaas Rupke. Göttingen: Wallstein, 2002. P. 116–142.

Вернуться

11

Born M., Born H., Einstein A. The Born—Einstein Letters: Correspondence Between Albert Einstein and Max and Hedwig Born from 1916–1955 / Commentaries by Max Born; trans. Irene Born. New York: Macmillan, 1971. P. 13.

Вернуться

12

Reid C. Hilbert. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1970. P. 43.

Вернуться

13

Ibid. Р. 46.

Вернуться

14

Daubechies I., Hughes Sh. Konigsberg Bridge Problem // Math Alive: Graph Theory. Princeton University [Электронный ресурс]. URL: http://web.math.princeton.edu/math_alive/5/Lab1/Konigsberg.html.

Вернуться

15

Hilbert D. The Foundations of Geometry / Trans. E. J. Townsend. LaSalle, IL: Open Court, 1902. Перевод на русский язык: Гильберт Д. Основания геометрии / Под ред. А. В. Васильева. Петроград: Сеятель, 1923.

Вернуться

16

Lewis D. W. David Hilbert and the Theory of Algebraic Invariants // Irish Mathematical Society Bulletin. 1994. Vol. 33. P. 42–54.

Вернуться

17

Пространство-время Минковского – пространственно-временной континуум, четырехмерное пространство, точками которого являются события, каждое из которых задается тремя пространственными декартовыми координатами и временем, когда это событие произошло.

Вернуться

18

Reid C. Hilbert. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1970. Р. 14.

Вернуться

19

Отсылка к перипатетикам – философской школе, основанной Аристотелем. Аристотель и его последователи вели философские беседы на прогулках.

Вернуться

20

Ibid. Р. 46.

Вернуться

21

Dick A. Emmy Noether: 1882–1935. Boston: Birkhäuser, 1981. P. 11.

Вернуться

22

Lederman L. M., Hill Ch. T. Symmetry and the Beautiful Universe. Amherst, NY: Prometheus Books, 2004. P. 69.

Вернуться

23

Dick A. Emmy Noether: 1882–1935. Boston: Birkhäuser, 1981. P. 13.

Вернуться

24

Ibid. Р. 122

Вернуться

25

Reid C. Hilbert. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1970. Р. 48.

Вернуться

26

Ibid. Р. 49.

Вернуться

27

Ibid. Р. 52.

Вернуться

28

Ibid. Р. 53.

Вернуться

29

Weyl H. David Hilbert and His Mathematical Work // Bulletin of the American Mathematical Society. 1944. Vol. 50. Перевод этой статьи Германа Вейля на русский язык: Вейль Г. Давид Гильберт и его математическое творчество // Вейль Г. Математическое мышление / Под ред. Б. В. Бирюкова, А. Н. Паршина. М.: Наука, Гл. ред. физ. – мат. литературы, 1989. С. 214–255. Приведенные слова см. С. 217.

Вернуться

30

Reid C. Hilbert. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1970. P. 33.

Вернуться

31

Ibid. P. 94.

Вернуться

32

Hoffman P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdos and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, 1998. P. 95.

Вернуться

33

Reid C. Hilbert. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1970. P. 53.

Вернуться

34

Ibid. P. 109.

Вернуться

35

Young L. Mathematicians and Their Times: History of Mathematics and Mathematics of History. Amsterdam; New York: North-Holland, 2012. P. 238.

Вернуться

36

Reid C. Hilbert. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1970. P. 91.

Вернуться

37

Ibid. P. 69.

Вернуться

38

Dick A. Emmy Noether: 1882–1935. Boston: Birkhäuser, 1981. P. 13.

Вернуться

39

Здесь и далее под докторской степенью понимается PhD – доктор философии (philosophiae doctor), научная степень, примерно эквивалентная кандидату наук (в некоторых странах эта степень единственная), а под докторантурой – период времени, посвященный подготовке диссертации.

Вернуться

40

Ibid. P. 14.

Вернуться

41

Инварианты в математике – это величины или свойства, которые остаются неизменными при определенных преобразованиях объектов. Другими словами, инвариант – это характеристика объекта, которая не меняется при изменении каких-либо его параметров или при применении к нему определенных операций. Теория инвариантов – алгебраическая теория, изучающая алгебраические выражения (многочлены, рациональные функции или их совокупности), изменяющиеся определенным образом при невырожденных линейных заменах переменных.

Вернуться

42

«С отличием», буквально «с наибольшим почетом» (лат.).

Вернуться

43

Ibid. P. 120.

Вернуться

44

Pais A. Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. Oxford, UK: Oxford University Press, 1982. P. 46.

Вернуться

45

Теория относительности описывает движение тел и пространственно-временны́е отношения при произвольных скоростях. Специальная теория относительности имеет дело со скоростями, приближенными к скорости света.

Вернуться

46

Dick A. Emmy Noether: 1882–1935. Boston: Birkhäuser, 1981. P. 112.

Вернуться