Доцент Петрович
Беспилотники и нейросети. Математика. Сборник задач

Глава 1

Введение

Современные технологии стремительно развиваются, и беспилотные летательные аппараты (БПЛА), ставшие неотъемлемой частью нашей жизни, требуют от специалистов глубоких знаний математики и физики. В школах и техникумах изучение БПЛА становится важным элементом подготовки будущих инженеров и техников, поскольку оно способствует развитию прикладной математики, формированию аналитического мышления и практических навыков работы с высокотехнологичными устройствами.

Основные математические дисциплины, применяемые при изучении БПЛА

1. Алгебра и геометрия

Алгебра и геометрия являются фундаментальными дисциплинами, необходимыми для понимания принципов функционирования БПЛА. Например, решение уравнений позволяет рассчитывать траекторию полета аппарата, определять оптимальные маршруты и учитывать влияние различных факторов окружающей среды. Геометрические знания необходимы для анализа пространственных траекторий движения, расчета углов атаки и наклона крыла, определения положения центра масс и устойчивости аппарата.

Для обеспечения устойчивого полёта беспилотника важно точно рассчитать центр тяжести аппарата и определить положение его центров давления и подъемной силы. Это требует решения системы линейных уравнений и выполнения геометрических построений.

Расчет центра масс (центра тяжести), положения центров давления и подъемной силы является важной задачей при проектировании беспилотников и летательных аппаратов в целом. Рассмотрим несколько типичных подходов и примеров решения таких задач.

Примеры задач по алгебре.

Пример № 1.Определение центра тяжести беспилотника.

Пусть даны следующие данные:

- масса корпуса m1 = 5кг, расположена в точке (x1, y1) = (0, 0).

- масса двигателя m2 = 2кг, расположена в точке (x2, y2) = (- 0.5, 0.7).

- масса аккумулятора m3 = 1.5кг, расположена в точке (x3, y3) = С(0.8, - 0.4).

Координаты центра тяжести определяются по формуле:

Подставим значения:

Координата центра тяжести по оси x:

Координата центра тяжести по оси y:

Таким образом, координаты центра тяжести БПЛА примерно равны:

(Xt, Yt) (0.0235, 0.0941)

Пример № 2.Расчёт положения центра давления крыла

Рассмотрим крыло прямоугольного профиля длиной L = 2 м и шириной b = 0.5 м. Центр давления крыла обычно находится немного позади четверти хорды крыла от передней кромки. Пусть аэродинамический коэффициент центра давления равен Cd = 0.25.

Тогда положение центра давления относительно передней кромки крыла:

xp = Cp* L = 0,25 * 2 = 0,5(м)

Таким образом, центр давления расположен на расстоянии 0,5 метра от передней кромки крыла.

Пример № 3.Положение центра подъёмной силы (точка приложения суммарной подъёмной силы)

Предположим, что крыло имеет профиль с распределением подъёмной силы, которое приблизительно равномерно вдоль всей длины крыла. В таком случае центр подъёмной силы будет находиться посередине крыла.

Если длина крыла равна L, то координата центра подъёмной силы:

xl = L/2

Например, для крыла длиной L = 2 метра

xl = 2:2 = 1(м)

Таким образом, центр подъёмной силы находится на середине крыла.

Важность правильного расположения центров

Правильное расположение центра тяжести относительно центров давления и подъёмной силы позволяет обеспечить устойчивость полета беспилотника. Например, чтобы избежать опрокидывания аппарата, центр тяжести должен располагаться ниже центра подъёмной силы и ближе к центру давления.

Выводы:

1. Центр тяжести рассчитывается исходя из массы и координат компонентов конструкции.

2. Центр давления зависит от распределения аэродинамических сил и обычно располагается ближе к передней части крыла.

3. Центр подъёмной силы чаще всего совпадает с центром площади крыла или же смещается назад .

Эти расчеты позволяют правильно спроектировать БПЛА таким образом, чтобы он обладал устойчивым полетом и хорошей управляемостью.

Приведенные выше примеры показывают, что к решению подобных задач можно привлекать и учеников из начальной школы. А если их еще заинтересовать практическими занятиями по проведению игр или викторин с применением БПЛА..

2. Тригонометрия

Тригонометрические функции активно используются при расчете углов наклона, высоты полета, скорости и направления движения БПЛА. Без глубокого понимания тригонометрии невозможно точно управлять полетом аппарата, обеспечивать безопасность пилотирования и минимизировать риски столкновений.

Определение угла тангажа и курса беспилотника осуществляется путем нахождения синусов и косинусов соответствующих углов.

При определении углов тангажа и курса беспилотника используются тригонометрические функции — синус и косинус. Эти углы являются ключевыми параметрами ориентации летательного аппарата в пространстве и рассчитываются на основе показаний датчиков (акселерометров, гироскопов, магнитометра).

Примеры задач по тригонометрии.

Рассмотрим несколько примеров решения задач по определению углов тангажа и курса беспилотника.

Пример №1. Определение угла тангажа α.

Угол тангажа показывает наклон беспилотника вокруг продольной оси (оси X). Обычно угол тангажа вычисляется на основании показаний акселерометра следующим образом:

Исходные данные:

- акселерометр измеряет ускорение по осям .

- ускорение свободного падения известно и равно g = 9.81 м/с².

Формула расчета угла тангажа α:

1.Допустим, акселерометр зафиксировал следующие показания:

Рассчитаем угол тангажа:

Таким образом, угол тангажа составляет примерно 83 градуса. Это означает, что БПЛА сильно отклоняется вверх относительно горизонта.

Пример №2. Определение угла курса β.

Угол курса показывает направление движения беспилотника относительно направления север - юг. Этот угол вычисляется на основании показаний компаса (магнитометра):

Исходные данные:

- магнитный компас даёт показания вектора магнитного поля Земли по осям (Bx,By,Bz)

- углы тангажа и крена известны.

Формулы расчета угла курса (β):

Сначала нужно учесть влияние наклона беспилотника на показания компаса:

Допустим, компас зафиксировал такие показания:

Также известен угол тангажа α = 30 градусов.

Рассчитаем компоненты магнитного поля после компенсации тангажа:

Cos (30 градусов) = /2 0.866. Известно, что sin(30 градусов) = 0.5.

Тогда:

Теперь найдем угол курса:

Таким образом, угол курса беспилотника составляет примерно 60 градусов, что означает движение в северо-восточном направлении.

Пример № 3. Совместное определение углов тангажа и курса

Часто необходимо одновременно определять оба угла — тангаж и по курсу. Для этого используется комбинация показаний акселерометра и компаса.

Исходные данные:

- акселерометр:

- Компас:

Решение:

Тангаж:

Беспилотник вертикально направлен вверх.

Курс:

Так как тангаж максимальный, коррекция компаса невозможна напрямую. Однако, зная вертикальное положение, можно предположить, что направление движения определено некорректно (компас бесполезен при больших углах тангажа).

Заключение

Задачи определения углов тангажа и курса БПЛА решаются через использование тригонометрических функций (синус и арктангенс) и показаний датчиков (акселерометра, магнитометра). Важно учитывать взаимную зависимость между эти