Сергей Воронов
Решение 14 1-10 задач ЕГЭ. Математика, профиль ФИПИ, 36 вариантов

Глава 1

14-1-2026

В пирамиде SABCDсвысотой SAоснованием является квадрат ABCD, точка Ксередина ребра SB.Прямая DKпересекается с плоскостью SACв точке N.

а) Докажите, что прямая а, проходящая через точку Nпараллельно прямой SC, делит диагональ основания АСв отношении 1:2.

б) Найдите угол между прямыми DKи SC,если АВ= 2, SA= 6.

Решение.

а) В треугольнике BSDотрезки DKи SOявляются медианами, а точка N–точка пересечения медиан. Значит, ON: NS=1:2 Обозначим пересечение прямой а с прямой АСточкой Р. Прямые а и SCпараллельны, значит, по теореме Фалеса (для угла SOC)получаем: OP:PC= ON:NS=1:2, откуда СР:РА = 2РО:4РО =1:2.

б) Прямые SCи NPпараллельны, значит, угол между прямыми DKи SCравен углу между прямыми DKи NP, то есть равен углу PND(или смежному с ним).

Точка N₁– проекция точки Nна плоскость АВС.

NNl=ON· AS/OS =OS/3 = 2, ON₁=ON·OA/OS=OA/3;

Глава 2

14-2-2026

В пирамиде SABCDс выс