Доцент Николай Петрович
Элементы теории множеств и математической логики. Выпуск 2

Глава

Эта книга открывает серию учебных пособий по таким важным разделам математики как Теория множеств, Математическая логика, Комбинаторика и Теория вероятностей.

Особенностью данных книг является широкое привлечение в качестве помощников при выполнении заданий нейросетей. Дается оценка результатов такого их применения.

1.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

1.1.ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

Понятие множества является одним из основных понятий математики.

Можно сказать, что множество — это совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-то определенному признаку.

Приведем примеры, поясняющие содержание понятия множества:

— множество строк на этой странице;

— множество домов на данной улице;

— множество целых чисел;

— множество студентов в аудитории.

Объекты или предметы, составляющие данное множество, называются его элементами. Множество как бы объединяет многое в единое.

Множество можно описать одним из следующих способов:

— в виде списка или таблицы: все элементы множества непосредственно перечисляются. Этот способ удобен, если множество невелико (смотрите примеры 1 и 4);

— указанием способа конструирования множества, когда задается определенное правило, выражаемое словами или формулами, в соответствии с которыми можно сказать, принадлежит данный объект к рассматриваемому множеству или нет (примеры 2 и 3).

Для обозначения множеств обычно используют прописные буквы А,В,Х,У и т.д, а элементы соответствующего множества обозначают буквами а, в, х,у и т. д.

В том случае, когда х является элементом множества А, пишут так: А = {x}.

Запись А = {x: P} означает множество всех х, удовлетворяющих условию Р.

Пример 1.

Запись А = {1,2,5,7} означает, что множество А состоит из четырех элементов 1,2,5,7.

Пример 2.

Х = {х: х является студентом, рост которого больше 170 сантиметров}.

Это множество описано способом конструирования.

Пример 3.

А= {у: у> 3} означает множество всех чисел, больших трех.

Описано методом правила.

Пример 4.

Запись А= {а,б,м,н,и,ю,ч} означает, что множество А состоит из семи элементов а,б,м,н,и,ю,ч, которые являются буквами русского алфавита.

К сожалению, в редакторе издательства. в списке специальных символов оказался только один специальный символ, который используется в теории множеств и данной книге. Это очень затруднило и замедлило работу над книгой. В связи с этим я принял решение в рамках данной книги использовать специальную таблицу, которая. может быть, не очень удобна для читателя, но позволяет решить эту поблему.

В этой таблице все реальные символы закодированы в тексте книги определенным числом звездочек (*) — от 1 до 6.

Если х является элементом множества А, то говорят, что х принадлежит А и записывают: х*А (x€A); если х множеству А не принадлежит, то пишут х **A (x перечеркнутый€ А).

Для того, чтобы выразить тот факт, что А — подмножество множества В, пользуются символом включения: А **** В. Это следует читать: « А содержится в В».

Отрицание включения обозначим символами — *****.

Так, например, если А есть множество четных чисел, то 2*A (2 € А), а число 5 (перечеркнутый€) А (не принадлежит), 5**A.

Подчеркнем, что каждый элемент может входить во множество только один раз.

Так,например,множество различных цифр числа 354577312 будет содержать только элементы 3,5,4,7,1,2.

1.2.МНОЖЕСТВА БЫВАЮТ КОНЕЧНЫМИ И БЕСКОНЕЧНЫМИ

Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов (смотрите примеры 1 и 4), в противном случае оно является бесконечным (пример 3).

К конечным множествам относятся, в частности, одноэлементные множества, состоящие только из одного элемента. Необходимо различать объекты а и {а}:

а — один элемент некоторого множества, {а} — одноэлементное множество.

Если множество не имеет элементов, то его называют пустым и мы обозначим его, в соответствии с таблицей, символами — ***.

Пример 5.

*** = {х: х — действительное число, квадрат которого равен -1}.

Пример 6.

*** = {х: х — лев, живущий на Луне}.

Необходимо различать следующие множества: *** {***}, {0}.

Последние два множества не являются пустыми, т.к. каждое из них содержит по одному элементу. Второе служит примером множества, элемент которого, в свою очередь, представляет собой множество.

Множества могут находиться в различных отношениях между собой. Рассмотрим два из них: включение и равенство.

Определение 1.

Если каждый элемент множества А является также и элементом множества В, то множество А называется частью или подмножеством множества В.

Для того, чтобы выразить тот факт, что А — подмножество множества В, пользуются символом включения (****): А **** В. Это следует читать: « А содержится в В».

Отрицание включения (смотрите таблицу кодировки символов) обозначим символом — *****.

Отметим, что пустое множество *** и само множество В являются также подмножествами множества В, т.е. (***) **** В и В****В.

Пример 7.

А = {а,б,м,н,и,ю,ч} есть подмножество множества букв русского алфавита В = {а,б,в,…}.

Пример 8.

М = {{2,3}, {4,5,6}} — двухэлементное множество, элементами которого являются два других множества.

К = {{2,3}, {4,5,6},9,10,11} — пятиэлементное множество, при чем М *** К.

Пример 9.

L = {3,4, {3,4}} — трехэлементное множество, причем, 3*L и 4*L, но и {3,4} * L.

Определение 2.

Два множества А и В называются равными, если А* В и В *А.

Обозначается равенство множеств обычным способом: А = В.

Из определения следует, что множества А и В равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.

Пример 10.

{3,4,5,6} = {6,5,4,3}.

Пример 11.

{н,е,д,у.т,с} = {х: х- буква в слове «студент»}.

Равенство множеств (как и равенство чисел) удовлетворяет следующим свойствам:

1) рефлексивность: для всякого множества А А = А.

2) транзитивность: для любых множеств А,В,С, если А = В и В = С, то и А = С.

3) симметричность: для любых двух множеств А и В, если А = В, то В = А.

2.ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ

Очень часто изучаемые в математике множества (чисел, точек, фигур, функций и т.д.) являются подмножествами некоторого множества, которое принимается за основное или универсальное (часто его называют «универсум»), и в рамках этой книги обозначается шестью символами — ******.

Сразу отметим, что «универсальное множество» — понятие относительное и всегда связано с определенной задачей или исследованием.

Так, например, в геометрии на плоскости в качестве него следует рассматривать множество всех точек плоскости, а различные фигуры можно считать подмножествами.

В арифметике универсальным множеством считается множество всех целых чисел и т. п.

Итак, множество всех элементов, относящихся к отдельной прикладной задаче, называется универсальным множеством.

Рассматривая универсальное множество и его подмножество А, можно найти элементы из универсума, которые не принадлежат множеству А.

Определение 1.

Рис.1.1.

Совокупность элементов, принадлежащих универсальному множеству ******, но не принадлежащих подмножеству А, называется дополнением подмножества А.

Обозначим его («не А»). Таким образом, «неA» = {х: х* (******), х ** А}.

С помощью диаграммы Эйлера-Венна можно представить универсальное множество в виде прямоугольника, а подмножество А — в виде круга, расположенного внутри этого прямоугольника.

Тогда, очевидно, что заштрихованная область будет соответствовать дополнению (см. рис.1.1).