П. В. Косарчук, А.И. Митькин
Основная теорема алгебры. Доказательство для школьников

Введение

Правильное изложение материала – это когда последовательно излагают теорию, начиная с азов и затем, опираясь на эту теорию доказывают теорему. Только в этом случае обычный читатель может разобраться что откуда получается.

Так поступают авторы хороших учебников. Однако я отойду в этот раз от этой традиции. Мне хочется показать простоту доказательства, с одной стороны. С другой стороны, изложение базовой теории было бы слишком долгим. Поэтому я буду вести повествование в прямо противоположном направлении. Сначала я докажуосновную теорему алгебры, потом докажу теоремы, на которые опирается это доказательство, потом доказательство тех теорем, которые мне требовались для доказательства основной теоремы. Ну и т.д., т.е. порядок изложения обратный. Кроме того, обозначения, как правило локальны. Это связано с тем, что индексов довольно много и для упрощения восприятия лучше их локально вводить. Кроме того, тащить их с собой из теоремы в теорему тоже неудобно. Но, вообще-то по правилам, обозначений желательно придерживаться одних.

Те положения, что надо будет доказать в последствии, я выделяю жирным курсивом.

Основная теорема алгебры

Основную теорему алгебры в своё время доказал Гаусс в своей докторской диссертации в 1799 году. Я приведу своё доказательство, оно, я думаю, будет понятно школьникам.

Теорема (ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ)

.

Всякий многочлен имеет в комплексной области хотя бы один корень.

Доказательство.

Докажем эту теорему для многочленов свещественными коэффициентами.

(верхний индекс будет обозначать степень многочлена)

Доказывать буду по индукции.

Шаг 1. Теорема верна для многочлена первой степени (в дальнейшем будет показано, что надо начинать с 4-ой степени, для всех многочленов ниже 5-ой степени есть явные формулы для нахождения корней).

Многочлен

имеет корень x=a.

Шаг 2. Допустим, теорема верна для многочлена степени n,

, и всех многочленов более низких степеней, т.е. многочлен такой степени в комплексной области всегда имеет хотя бы один корень

Шаг 3. Докажем, что теорема верна для многочленов степени n+1.

Если n+1 число нечётное, то можно взять вещественные значения аргумента. Нетрудно показать, что знак функции (полинома) при достаточно больших значениях (модуля) аргумента определяется только первым членом полинома. Также, очевидно, что при положительном значении аргумента знак функции будет одним, а при отрицательном противоположным, т.к.

Т.е. непрерывная функция в двух точках принимает значения разного знака, значит в промежутке она где-то принимает значение ноль. Иначе говоря, есть какой-то вещественный корень. И вопрос исчерпан.

Таким образом, вопрос о существовании корня остаётся рассмотреть, когда n нечётно, а число n+1тогда будет чётным. n=2k+1, где kлюбое целое число.

Итак, рассматриваем полином

чётной степени. График такой функции, если аргумент вещественный, может не пересекать ось абсцисс. Поэтому, в общем случае, корень надо искать в комплексной области:

У нас аргумент содержит вещественную и мнимую часть, т.е. теперь две неизвестных. Если мы подставим это комплексное выражение в качестве аргумента в полином, то мы получим полином от двух аргументов и кроме того, он будет содержать вещественную и мнимую части:

Это выражение равно нулю тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются два условия:

Иначе говоря, должна существовать точка,

, в которой оба этих полинома обращаются в нуль.

Допустим, существует непрерывная кривая, отражающая (с точностью до индекса) зависимость

, при которой полином

. Иначе говоря, на плоскости

существует кривая, в каждой точке которой полином обращается в ноль.

Аналогично, верно и для второго полинома. Если эти две кривые пересекаются, то в точке пересечения оба полинома обращаются в ноль. Т.е. нам надо доказать, что эти кривые существуют, и они где-то пересекаются.

Если зафиксировать один из аргументов, например , то останется только один аргумент и полином всегда имеет корень, т.к. n=2k+1 нечётное число.Т.е. на плоскости

существует кривая, в точках которой полином

обращается в ноль. Можно показать, что эта кривая непрерывна.

В общем случае, таких кривых может быть несколько. Нам же достаточно только одной.

При достаточно больших по модулю значениях ,есть решение для ,которое асимптотически стремится к некоторой константе.Ниже это демонстрируется:

Чтобы понять, что получается выражение такого вида, надо более подробно раскрыть полином

.

Отсюда получаем

. Можно показать, что решение находится где-то недалеко от константы.

Таким образом, внутри некоторое отрезка (отрезок, значений ) значения для будут очевидно ограничены, но кривая будет непрерывна. А начиная с некоторого момента значение приближается к некоторой константе и колеблется около него. Т.е. асимптота – это горизонтальная прямая.

Рис.1

Условно кривая отображена на рисунке 1. Нам неважно, как выглядит кривая, нам важно лишь то, что она ограничена, непрерывна и асимптотически стремится к какому-то значению.

Итак, у нас есть непрерывная кривая для полинома

, в любой точке которой значение полинома обращается в ноль и нам известно, как примерно выглядит одна из таких кривых. Если мы найдём аналогичную кривую для полинома

и докажем, что эти кривые пересекаются, то в точке пересечения оба полинома обращаются в ноль, т.е. эта точка определит корень.

Однак