  .
 


              .      ,         .       .       ,    ,     .





 

  .





:

1.  .

2.    ;    .

3.       .

4.    .

5.    .

6.   ,   ,   .

7.   .

8. ,     .

9.   .

10.   .

11.     ,   .

12.     ,   .

13.   ,   .

14.   ,    ,   .

15.         .

16.     ,   .

17.   .

17.      .

18.      .

19.      ,   .

20.   .

21.  .

22.   .

23.    .

24.     .

25. ׸     .

26.      .

28.      .

29.            , .

30.     .

31.        .

32.    , .

33.        .

34.          .

35.            .

36.          , .

37.           .

38.           , .

39.           .



  .   .

  ,  .

1.  .

       .

  ,  .    ,       .

   ,         .     ;   ,        x;     ,   .

     ,      .

     .     .

1)) y = sin x










1)  .

D (f):  ? (- ?; + ?)

2)  .

E(f): y?  [- 1; 1]

3)  .

f (- x) = - f (x)

4)  .

    = 2?

2)) y = cos x








1)  .

D (f): x ? (- ?; + ?)

2)  .

E(f): y? [- 1; 1]

3)  .

f (- x) = f (x)

4)  .

   T = 2?

3)) y = tg x








1)  .

D (f): x ? (- ?/2 + ?n; ?/2 + ?n);   n ? Z

2)  .

E(f): y ? (- ?; + ?)

3)  .

f (- x) = - f (x)

4)  .

   T = ?

4)) y = ctg x








1)  .

D (f): x ? (?n; ? + ?n);   n? Z

2)  .

E(f): y ? (- ?; + ?)

3)  .

f (- x) = - f (x)

4)  .

   T = ?

   : y = sin x  y = cos x  ,      [- 1; 1].

,  y,      .    .    .

    ,      .

 ,     x,    .

 ,     y,    .

     ,     .

 x -   ,  y -   .

  -   x,    .    x,   y = cos x  y = sin x.

    cos x  sin x -   y,  .

2.    ;    .








     ,    .

      ? ( x)

? -           x.

        x (cos ?)  y (sin ?),        x  y.

        (  ?).

      ? ? 3,14

 -   ,  ,     .








1  ? 57

    ? .

  ,    .

    ,    ,      90.

?  ,   180.

,   90,   ?/2 .

  :

90 =  ?/2 .

180 =  ? .

270 =  3?/2 .

       ,   ,     .

30 = ?/6 .

45 = ?/4 .

60 = ?/3 .

  .

     ; ,   .








    ,   ;      ,   .

    -   .

    -   .

 ,      ,           x (cos ?)  y (sin ?);    ,   360   2?.








       .     360 (2?)       .

,   360  ,   .     .

    ,      2?,   .       .








      ,   :

     ?/6 + 2?n;   n ? Z.

N     ?/4 + 2?n;   n ? Z.

P     ?/3 + 2?n;   n ? Z.

A    - ?/6 + 2?n;   n ?  Z

B    - ?/4 + 2?n;   n ?  Z.

C    - ?/3 + 2?n;   n ?  Z.

2?n; n ?  Z ,    n    ;     ,  .

Z -    .

  , ,  ,   ;        .

3.        .

 .

   t,       AB.

A   .








:  ?/4 + 2?n ? t ? 5?/6 + 2?n;   n ? Z.

 .

   t,        .

   .








:  ?/2 + 2?n < t < 3?/4 + 2?n;  n? Z.

 .

   , t     AB.








:  ? + 2?n ? t <  5?/3 + 2?n;   n?  Z.

,    ,    .       .

     .   .

,      .

 ( )      x  y.

    .

  .

       ,   XOY. ,    .  (?/4)












:   (?2/2; ?2/2)

 .

 (2?)








:   (1; 0)

 .

 (15?/4)








:   (?2/ 2; - ?2/2)

 .

       ,      ,    . (  ).

 (- ?3/2; 1/2)








:  5?/6   - 7?/6.

 .

       .  ,    t  .

a) y = - ?3/2

) y = 0

) y = 1

) y = ?3/2








:  4?/3 + 2?n;  n ?  Z  5?/3 + 2?n;  n ? Z.

) y = 0








:  ?n;  n ? Z

) y = 1








:  ?/2 + 2?n;   n ? Z.

 .

         ,   t  .

a) x = ?3/2

) x = - 1

) x = 0

a) x = ?3/2








:   ?/6 + 2?n;   n ? Z.

) x = - 1








:  ? + 2?n;   n ? Z.

) x = 0








:  ?/2 + ?n;   n? Z.

4.    .

     ?/2; ?; 3?/2; 2?   ,     .

1) y = sin x








2) y = cos x








3) y = tg x








4) y = ctg x








   ,     ,    .








      ,    .     ,   .

   ,      .

 ,      .

5.    .

 .

       .

)  (2)

)  (- 4)








       x,     (cos t).    y,     (sin t)

? ? 3, 14 -   .

 ?  .       .      .    ,     .         ,   .

:

)  ,  .

)  ,  .

   6, 28;       ,  ,       6, 28.

       .

 .

       .

)  (12)

) P (52)

a) M (12)








M (12) ?  (12 - 6, 28) ? M (5, 72)

:    ,   .

) P (52) ? P (52 - 6, 28  8) ? P (1, 76)








:   ,  .

      .

     -      .

 -   .

 -   .

 .

         ,   .      ,   t  .

a) x > 0

) x < 1/2

) x ? ?3/2

) x ? 1/2

) y < 0

) y < ?3/2

) y ? - 1

) y < 1



a) x > 0








:  t ? (- ?/2 + 2?n;  ?/2 + 2?n);   n? Z.

) x < 1/2








:  t ? (?/3 + 2?n; 5?/3 + 2?n);   n ?  Z.

) x ? ?3/2








:  t ? [- ?/6 + 2?n;  ?/6 + 2?n];   n ? Z.

) x ? 1/2








:  t ? [?/3 + 2?n; 5?/3 + 2?n];   n ? Z.

) y < 0








:  t ? (? + 2?n; 2? + 2?n);  n ?  Z.

) y < ?3/2








:  t ? (2?/3 + 2?n; 7?/3 + 2?n);  n ? Z.

) y ? - 1








:  t ? (- ?; + ?)

) y < 1








:  t ? ?/2 + 2?n;   n ?  Z.

6.   ,   ,   .

 x     .

 y     .

       t (  ,   ).

       t.

    (y)   (x),  :  sin t  cos t

 a  ,     x (cos t)  y (sin t),    .








      tg t  ctg t,          .

7.   .

1))   .

  ,     .

  ,    ,   XOY.








      ,   :

x ? + y ? = R ?

  R = 1

 x  y    :  x = cos t;  y = sin t.

   :

cos? t + sin? t = 1

2))   .

 -     .

tg t = sin t / cos t

 -     .

ctg t = cos t / sin t

,   ,   .

tg t = 1 / ctg t

ctg t = 1 / tg t

  .

tg t  ctg t = 1

     .

8. ,     .

1 + tg? t = 1/ cos? t

1 + ctg? t = 1/ sin? t

    -.

tg? t = (1/ cos? t) - 1

ctg? t = (1/ sin? t) - 1

       ,         .

cos? t = 1/ (1 + tg? t )

cos? t = ctg? t / (1 + ctg? t)

sin? t = 1 / (1 + ctg? t)

sin? t = tg? t / (1 + tg? t)

9.   .

   ,   .        ,      (  ).

1))   .

sin 2t = 2 sin t  cos t

       x,   t    x.

    (x)     Ox,        = cs x.

     ,    cs x, sin x.

sin 2x = 2 sin x cos x

   ,     ,   .

2))   .

os 2x = cos? x - sin? x

   ,     ,   .

   ,     ,   .

cos 2x = 1 - 2 sin? x

cos 2x = 2cos? x - 1

:

     ,  .        ,   .

     .

   .    ,  .

3))   .

1) tg 2x = 2 tg x / (1 - tg? x)

   ,   ,        .

2) tg 2x = 2 / (ctg x - tg x)

   ,  ,        .

4))   .

1) tg 2x = (ctg? x - 1)/ 2 tg x

  ,       ,   .

2) ctg 2x = (ctg x - tg x)/2

   ,        .

10.   .

    ,    .

1)    cos? x = (1 + cos 2x)/2

  ,       .

2)    sin? x = (1 - cos 2x)/2

  ,       .

:

    .   .

3)   tg? x = (1 - cos 2x)/(1 + cos 2x)

   ,      ,       .

4)   ctg? x = (1 + cos 2x)/(1 - cos 2x)

   ,      ,       .

:

    .    .    .

11.     ,   .

    ,   ,   .      .

         .     .

1)     ,   .

sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x

  ,    ,     ,   .

sin(x - y) = sin x cos y - sin y cos x

  ,    ,     ,   .

      ,   :

   , a   .

    .      ,     .    .

2)     ,    .

cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y

  ,    ,     ,   .

cos(x - y) = cos x cos y + sin x sin y

  ,    ,     ,   .

      ,   :

    ,   .

    .      ,     .       .     ,     .

12.     ,   .

1)    ,   .

sin x + sin y = 2 sin((x + y)/2) cos((x - y)/2)

 ,    ,       ,      .

sin x - sin y = 2 sin((x - y)/2) cos((x + y)/2)

 ,    ,       ,      .

:

    ,      .

   ,   .

   ,   .

2)    ,   .

os x + cos y = 2 cos((x  + y)/2) cos((x - y)/2)

 ,    ,   ,       , .

cos x - cos y = - 2 sin((x + y)/2) sin((x - y)/2)

 ,    ,    ,       , .

:

    ,       .

 e ,   ;  ,   .

13.   ,   .

1)  ,   .

sin x sin y = 1/2( cos (x - y) - cos (x + y))

 ,    ,   ,      .

cos x cos y = 1/2(( cos (x - y) + cos (x + y))

 ,    ,   ,      .

2)    ,   .

sin x cos y = 1/2(sin(x - y) + sin(x + y))

cos x sin y = 1/2(( sin(y + x) - sin(y - x))

   ,    ,   ,      .

   ,    ,   ,      .

:

1)    ,     .

  ,   .

  ,   .

2)    ,     .

     ,   .

  ,    ;   ,    .

     ,   .

  ,    ;   ,    .     ,    .

14.  ,    ,   .

1))     ,   .      ,    ;  .

1) tg(x + y) = (tg x + tg y)/(1 - tg x tg y)

      ,      ,         .

2) tg(x - y) = (tg x - tg y)/(1 + tg x tg y)

      ,      ,         .

:

  ,     , a   .

  ,     , a   .

3) ctg(x + y) = (1 - tg x tg y)/(tg x + tg y)

      ,         ,      .

4) ctg(x - y) = (1 + tg x tg y)/(tg x - tg y)

      ,         ,      .

:

    .

  ,     .

  ,     .

2))          ,  .

1) tg(x + y) = (ctg x + ctg y)/(ctg x ctg y - 1)

      ,      ,         .

2) tg(x - y) = (ctg y - ctg x)/(ctg x ctg y + 1)

      ,       (   ,     ),         .



  ,     .

  ,     .

   ,    .




  .


   .

   ,     (https://www.litres.ru/book/vasilisa-volkonskaya/trigonometriya-dlya-chaynikov-74194244/)  .

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