Решение 19 задач 1-13 варианты ЕГЭ, математика, профиль, ФИПИ, 36 вариантов, 2026

Глава 1

19 - 1 - 2026

Ивана Ильича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие кляссеры*, то потребуется k кляссеров, причём 5 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется k+2 кляссеров и также 5 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Известно, что в большом кляссере больше 150, но меньше 160 ячеек, а в маленьком больше 100, но меньше 120 ячеек.

1) Может ли k быть равно 3?

2) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?

в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?

* Кляссер — альбом (папка) для коллекционирования марок, монет.

Решение.

Обозначим S - общее количество монет у Ивана Ильича, а) Пусть k = 3.

Тогда учитывая вместимость больших кляссеров, S должно быть больше, чем 150·3 – 5 = 445 и меньше, чем 160·3 – 5 = 475.

Но учитывая вместимость маленьких кляссеров, S должно быть больше, чем 100·5 – 5 = 495 и меньше, чем 120·5–5= 595.

Получили, что S должно быть одновременно больше 495 и меньше 475. Значит, k не может быть равно 3.

2) Аналогично доказанному в пункте а), k не может быть равно 1 (тогда S должно быть одновременно больше 295 и меньше 155) и k не может быть равно 2 (тогда S должно быть одновременно больше 395 и меньше 315). Если А = 4, то, учитывая вместимость больших кляссеров, S должно быть больше, чем 150·4 – 5= 595, и меньше, чем 160·4 – 5 = 635; а учитывая вместимость маленьких кляссеров, Sдолжно быть больше, чем 100·6 – 5 = 595, и меньше, чем 120·6 – 5 = 715.Значит, при к = 4 получили, что 596 < S < 634.Чтобы условия задачи были выполнены, необходимо, чтобы S + 5 было кратно и k, и k+2. Наименьшее число, кратное и 4, и 6 из промежутка [601; 639], это 612.Значит, S = 607 и в большом кляссере 153 ячейки, а в маленьком – 102.

3) Предположим, что k > =8, то есть k= р + 8 , где р > =0 .Тогда, учитывая вместимость больших кляссеров, S должно быть больше, чем 150(р + 8) – 5 = 1195 + 150р и меньше, чем 160(р + 8) - 5 = 1275 + 160р. Но, учитывая вместимость маленьких кляссеров, S должно быть больше, чем 100(р + 10) –5 = 995 +100р и меньше, чем 120(р + 10) –5= 1195 + 120р. Получили, что 1195 +150р < S < 1195 + 120р, откуда р < 0. Значит, k <= 7.

Рассмотрим k = 7. Учитывая вместимость больших кляссеров, S должно быть больше, чем 150·7 – 5 = 1045, и меньше, чем 160·7 – 5 = 1115; а учитывая вместимость маленьких кляссеров, S должно быть больше, чем 100·9 – 5 = 895, и меньше, чем 120·9 – 5 = 1075. Значит, при k = 7 получили, что 1046 <= S <= 1074. Чтобы условия задачи были выполнены, необходимо, чтобы S + 5 было кратно и k, и k + 2 . Наибольшее число, кратное и 7, и 9 из промежутка [1051;1079], это 1071.

Значит, S = 1066 и в большом кляссере 153 ячейки, а в маленьком – 119.

Ответ: а) нет; б) 607; в) 1066.

Глава 2

19-2-2026

У Петра Львовича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие кляссеры* то потребуется k кляссеров, причём 7 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется k + 3 кляссеров и также 7 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Известно, что в большом кляссере больше 160, но меньше 170 ячеек, а в маленьком - больше 100, но меньше 120 ячеек.

а) Может ли k быть равно 4?

б) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Петра Львовича?

в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Петра Львовича?

Пусть п - общее количество монет,

В - количество ячеек в большом кляссере, а b — количество ячеек в маленьком кляссере. По условию задачи:

1. n = k·В–7. 2. п = b·(k + 3)–7. 3. 160 < B < 170. 4. 100 < b < 120.

Из первых двух уравнений следует:

k· B–7= b·( k+3)–7 => B=(1+3/ k)· b.

1. Проверка возможности k = 4:

Если k = 4, то В = (1 + 3/4) · b = 1,75b.

Подставим минимальное и максимальное значения :

Если b = 101, то В = 1,75 · 101 = 176,75 (уже больше 170).

Поскольку b > 100, то В всегда будет больше 1,75 100 = 175. Это противоречит условию . Значит, k не может быть равно 4.

2. Нахождение возможных значений k.

Выразим отношение вместимостей: B/b = 1 + 3/k. Найдем границы для этого отношения max:

Bmax/bmin =169/101 = 1,673; Bmin/bmax = 161/119 = 1,353=>1,353< 1+3/k <1,673 решим для k: 3/k < 0,673 => k > 4,45; 3/k > 0,353, k <8,5 => k = 5,6,7,8.

Рассмотрим эти варианты и для каждого k, находим целые значения b и B, удовлетворяющие условию В = b(k+3)/k = 5 => B=1,6b. Если b=105, то В = 168 (подходит). Тогда п = 5 · 168 – 7 = 833.

При k= 6, В = 1,5b. Если b = 108, то В = 162 => n = 6·162 – 7 = 965; если b = 110, то В = 165. Тогда п = 6 · 165 –7 = 983; если b = 112, то В = 168, тогда п = 6 · 168 – 7 = 1001.

При k= 7: В=10B/7 => b кратно 7. Если b = 112, то В = 160 (не подходит В > 160). Если b = 119, то В = 170 ( не подходит, В < 170). При k = 8: B=11b/8, чтобы B , было целым, b кратно 8. Если b = 112, то B = 154 (мало). Других кратных 8 в интервале (100;120) нет. Наименьшее количество монет – 833 (k=5), наибольшее – 1001 (k=6).

Ответ: а) нет; б) 833; в) 1001.

Глава 3

19-3-2026

Для набора 60 различных целых чисел выполнено, что сумма любых двух чисел из этого набора больше суммы любых шести чисел из этого набора. а) Может ли одним из этих чисел быть число – 400? б ) Может ли одним из этих чисел быть число 400? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел этого набора?

Для набора из 60 различных целых чисел ключевое условие («сумма любых двух больше суммы любых шести») равносильно неравенству для самых «экстремальных» значений: сумма двух самых маленьких чисел должна быть больше суммы шести самых больших: 1. Анализ условия. Если в наборе есть хотя бы два неотрицательных числа, то сумма двух минимальных будет меньше суммы шести максимальных (так как в правую часть попадут те же два числа плюс ещё четыре, которые не меньше их). Значит, в наборе может быть не более одного неотрицательного числа. Как следствие, подавляющее большинство чисел — отрицательные, и вся сумма набора будет отрицательной.

2. (пункт а) Может ли быть число - 400?

Да, может. Чтобы это доказать, достаточно привести пример.

Пусть a1 = – 400, а2 = – 399 => а1 + а2 = – 799. Чтобы сумма двух самых маленьких была больше суммы шести самых больших, нам нужно «сблизить» числа или сделать их очень маленькими по модулю в конце ряда. Пусть остальные числа идут подряд: a60 = – 131, a59= – 132,... , а55 = – 136.

Сумма шести самых больших: ( – 131) + ( –132) + ( –133) + ( – 134) + ( –135) + ( –136) =

= –801.

Условие – 799 > – 801 выполняется. Значит, число –400 может быть в наборе. 3. (пункт б) Может ли быть число 400?

Да, может. Как мы выяснили, в наборе может быть одно положительное число (самое большое, a60).