 .  . 1 .
 


        ,     .              .       .       ,    ,     .





 

 .  . 1 .



:

1)    .

2)       ,  .

3)       .

4)     .  .

5)       .

6)     .  .

7)      .

8)  .  ,    (   ).   .

9)  .  ,  .  .

10)      .



1))  .

.

  -  ,    y = f (x);   y ' y ''   . .  ;       x.

    ,    ,       .

   ,     ,    .

    ,        ,       ().

  :

1.   .

2. .

3.    .

4.    .

5. ,   .

6.       .

  .

 .

y ' = dy /dx

dy    .

dx    .

y '   .

       ,     .    .

2))     .

    -  ,      f (y) dy =  f (x) dx

    x  y,       .

      ,  .

.

x y y ' = 3x ?

           , :

1.       .

           .

          ,           .

     ,      .

    ,       .

    -  y,    -  x.








3.  ,           .          ;         .

x y  dy /dx = 3x ?

y dy = 3x ? dx / x

y dy = 3x dx

4.      (     ),       .

      .

? y dy = ? 3x dx

5.    .

   ,       .     .

y ? / 2 = 3x ? / 2 + C

        C,       C  , c   .

       .

           ,   C     ,    C1.

y ? = 3x ? + C1,   C1 = 2C

 C   ,    .       C1.

     ()  ,      ;      ,    .

C1 = ln C   (konst) .

      (konst).

6.        ,   .

   ,    ,  .     .

y = ?(3x ? + C1),   C1 = 2C

7.    ,     .

       ,     .

    ,   ,     .

x = 0

    .

x y y ' = 3x ?

0 y y' = 3 ? 0 ?

0 = 0

  .

       ,  -   C.

        .       .

8.  .

:  y = ?(3x ? + C1)

x = 0

          .      C1   ,  = 0    .

.

x y ' = y - 5

x dy /dx = y - 5

dy / (y - 5) =  d x / x

? dy / (y - 5) = ? d x / x

? d(y - 5) / (y - 5) = ? dx / x

ln |y - 5| = ln |x| +  ln C

ln |y - 5| = ln |C x|

y - 5 = C x

y = C x + 5

  x (y - 5)

x = 0             y = 5

y = 5  (  ,  C = 0)

:    y = C x + 5

x = 0

3))       .

 .

y y ' = x ? - 

  .

               .

y dy / dx = x ? - x

y dy = (x ? - x) dx

   .

? y dy = ? (x ? - x) dx

 .

Y ? / 2 = x ? / 6 - x ? / 2 + C

     .

y ? = 2 x ? / 6 - x ? + C1,   1 = 2C

y ? = x ? / 3 -  ? + C1

     .    .

y = ?(x ? / 3 - x ? + C1)

 .

:   y = ?(x ? / 3 - x ? + C1)

 .

x y ' = y - 5

x dy / dx = y - 5

d y / (y - 5) = dx / x

? d y / (y - 5) = ? dx / x

ln |y - 5| = ln |x| + ln C

    .

ln |y - 5| = ln Cx

    .

|y - 5| = |C x|

,        .

y - 5 = C x

  .

y = C x + 5

:  y = C x + 5

x = 0

 .

(1 + x ?) y ? dx - (y ? - 1) x ? dy = 0

        .       .

((x ? + 1) / x ?) dx = ((y ? - 1) / y ?) dy

   .

? ((x ? + 1) / x ?) dx = ? ((y ? - 1) / y ?) dy

 .

? (1 + 1 / x ?) dx = ? ( y ? / y ? -  1 / y ?) dy

? 1 / x ? dx + ? dx = ? d y / y - ? dy / y ?

- 1/2 ? 1 / x ? + x = ln y + 1/2 ? 1 / y ? + C

  .

ln y + 1 / 2 y ? = x - 1 / 2 x ? + C

   ,   ,   .

:  ln y + 1 / 2 y ? = x - 1 / 2 x ? + C

 .








 .

   ,    .

? (y / (y ? + 3)) dy = ? y dy / (y ? + 3) =

     .  .

= 1/2 ? dy ? / (y ? + 3) =

  .    .

= 1/2 ? d(y ? + 3) / (y ? + 3) =

  .

= 1/2 ln |y ? + 3| + C = ln ?(y ? + 3) + C















   .

        .








      .








,    ,   ,  .








 .








 .

(2 + y) dx - (2 - x) dy = 0

       .

(2 + y) dx = (2 - x) dy

dx /(2 - x)  = dy / (2 + y)

   .

? dx /(2 - x)  = ? dy / (2 + y)

? dy / (2 + y) = ? dx / (2 - x)

  .

? d (y + 2) / (2 + y) = -  ? d (2 - x) /(2 - x)

  .

       .

ln |y + 2| = - ln |2 - x| + ln C

    .

ln |y + 2| = ln C - ln |2 - x|

ln |y + 2| =  ln (C / |2 - x|)

    .

|y + 2| =  C / |2 - x|

,        .

y + 2 =  C / (2 - x)

y  =  C / (2 - x) - 2

,   .

(y + 2)(2 - x) = 0

y = - 2                x = 2

(  ).

:    y  =  C / (2 - x) - 2;

 .

(2 + y) dx - (2 - x) dy = 0

     .  ,       .

y  =  C / (2 - x) - 2

   .

y ' =  (C '  (2 - x) - C (2 - x) ')/ (2 - x) ?   =  C / (2 - x) ?

y ' =  C / (2 - x) ?

       .

(2 + y) dx - (2 - x) dy = 0

   ,  ,  .

(2 + y) dx = (2 - x) dy

(2 + y) / (2 - x) = dy / dx

y ' = (2 + y) / (2 - x)

C / (2 - x) ? = (2 + C / (2 - x) - 2) / (2 - x)

C / (2 - x) ? = C / (2 - x) ?

  .

  .

 .

x ? dy + (y - 1) dx = 0

       .

x ? dy = - (y - 1) dx

x ? dy = (1 - y) dx

dy / (1 - y) = dx / x?

   .

? dy / (1 - y) = ? dx / x ?

       .

- ? d(1 - y) / (1 - y) = ? dx / x ?

  .

- ln |1 - y| = - 1 / x + C

     (- 1)

ln |1 - y| =  1 / x + C1,  C1 = - C

     .








 .

   .








    ,      .

x ? dy + (y - 1) dx = 0

x ? dy = - (y - 1) dx

x ? dy = (1 - y) dx

dy / dx = (1 - y)/ x ?

y ' = (1 - y) /  ?

         .








  .   .

 .

y ' cos x - y sin x = 0

     .

(dy / dx)  cos x - y sin x = 0

       .

(dy / dx)  cos x = y sin x

dy / y = (sin x / cos x) dx

   .

? d y / y = ? sin x dx / cos x

 .

? d y / y = - ? d cos x / cos x

 ,   .

ln |y| = ln C - ln |cos x|

 ( )           .

ln |y| =  ln |C / cos x|

      ,    .  .

y =  C / cos x

,     

y cos x = 0

cos x = 0

x = ?/2 + ?n;   n ? Z.

y = 0   (  ,    = 0)

:     y = C / cos x

x = ?/2 + ? n; n ? Z.

.

y ' = (C ' cos x - C cos ' x) / cos ? x = C sin x / cos ? x

          .

y ' cos x - y sin x = 0

(C sin x / cos ? x) cos x - C sin x / cos x = 0

C sin x / cos x - C sin x / cos x = 0

0 = 0

  .  .

 .

(  )

(e * + 2) y ' = y e *

   .

(e * + 2) dy / dx  = y e *

        .

(e * + 2) dy = y e * dx

dy / y =  e * dx / (e* + 2)

   .

? dy / y = ? e * dx / (e* + 2)

  .   .

? e * dx / (e* + 2) =

  .

   e * = t  

x = ln t

dx = d lnx = (1 / t) dt

? (t / t) d t / (t + 2) = ? d (t + 2) / (t + 2) = ln |t + 2| + ln C =

  .

= ln |e*+ 2| + ln C

  .

ln |y| = ln |e* + 2|+ ln C

    .

ln |y| = ln |(e * + 2) C|




  .


   .

   ,     (https://www.litres.ru/book/vasilisa-volkonskaya/differencialnye-uravneniya-algoritmy-resheniya-1-chas-74259299/)  .

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