Василиса Волконская
Дифференциальные уравнения. Алгоритмы решения. Вторая часть.

Содержание:

1) Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Алгоритм решения.

2) Примеры решения однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

3) Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка. Алгоритм решения.

4) Примеры решения неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка.

1)) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами бывают:

1) Однородные.

2) Неоднородные.

1) Однородные уравнения выглядят так:

С левой стороны стоит сумма зависимой переменной (у) с коэффициентом, её производной (y ') с коэффициентом, и её второй производной (y '') с коэффициентом; а с правой стороны стоит ноль.

Алгоритм решения однородных линейных уравнений второй степени с постоянными коэффициентами, с примерами.

Для того чтобы решить однородные линейные уравнения второй степени с постоянными коэффициентами, нужно:

1. Составить характеристическое уравнение.

Примеры.

а) y '' - 5y ' + 6y = 0

б) y '' - 4y ' = 0

в) y '' - 25 y = 0

г) y '' + 2y ' + y = 0

д) 3 y '' = 0

е) y '' + 2y ' + 5y = 0

ж) y '' + 9 y = 0

При составлении характеристического уравнения, нужно производную второго порядка заменить на k ², производную первого порядка заменить на k, а у функции оставить только коэффициент.

y '' = k ²

y ' = k

y = 1

а) k ² - 5 k + 6 = 0

б) k ² - 4 k = 0

в) k ² - 25 = 0

г) k ² + 2 k + 1 = 0

д) 3 k ² = 0

е) k ² + 2 k + 5 = 0

ж) k ² + 9 = 0

2. Определить вид характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение - это квадратное уравнение.

Оно может быть полным или неполным.

Оно может иметь:

1) Два различных действительных корня.

2) Два одинаковых действительных корня.

3) Два различных комплексных корня.

В зависимости от этого появляются три вида однородных линейных уравнений второй степени с постоянными коэффициентами.

1) Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, тогда D > 0.

Если оно полное, имеющее два различных действительных корня, то оно выглядит так:

m k ² + p k + q = 0

m ≠ 0 p ≠ 0 q ≠ 0

D = p ² - 4 m q > 0

k1 = (- p + √D) / 2m

k2 = (- p - √D) / 2m

Неполное уравнение выглядит так:

1) m k ² ± p k = 0

m ≠ 0 p ≠ 0 q = 0

k (m k ± p)= 0

k = 0

m k ± p= 0

m k = ± p

k = ± p / m

2) m k ² - q = 0

m ≠ 0 p = 0 q < 0

m k ² = q

k ² = q / m

k1 = √(q / m)

k2 = - √(q / m)

а) k ² - 5 k + 6 = 0

D = 25 - 24 = 1

k1 = (5 + 1) / 2 = 3

k2 = (5 - 1) / 2 = 2

б) k ² - 4 k = 0

k (k - 4) = 0

k = 0

k = 4

в) k ² - 25 = 0

k ² = 25

k1 = 5

k2 = - 5

2) Если характеристическое уравнение имеет один действительный корень или два совпадающих корня, то полное квадратное уравнение выглядит так:

m k ² + p k + q = 0

m ≠ 0 p ≠ 0 q ≠ 0

D = p ² - 4 m q = 0

k1 = (- p + √0) / 2m = - р / 2m

Неполное квадратное уравнение выглядит так:

m k ² = 0

m ≠ 0 p = 0 q = 0

k ² = 0

k = 0

г) k ² + 2 k + 1 = 0

D = 4 - 4 = 0

k = - 2 / 2 = - 1

д) 3 k ² = 0

k ² = 0

k = 0

3) Если характеристическое уравнение имеет два различных комплексных корня, то полное квадратное уравнение выглядит так:

m k ² + p k + q = 0

m ≠ 0 p ≠ 0 q ≠ 0

D = p ² - 4 m q < 0

k1 = (- p + √(- D)) / 2m = α + β i

k2 = (- p - √(- D)) / 2m = α - β i

Неполное квадратное уравнение выглядит так:

m k ² + q = 0

m ≠ 0 p = 0 q > 0

m k ² = - q

k ² = - q /m

k1 = √(- q /m) = 0 + β i = β i

k2 = - √(- q /m) = 0 - β i = - β i

е) k ² + 2 k + 5 = 0

D = 4 - 20 = - 16

k1 = (- 2 + √(- 16)) /2 = (- 2 + 4 i) / 2 = - 1 + 2 i

k2 = (- 2 - √(- 16)) / 2 = (- 2 - 4 i) / 2 = - 1 - 2 i

ж) k ² + 9 = 0

k ² = - 9

k 1 = √(- 9)

k 2 = - √(- 9)

k 1 = 3 i

k 2 = - 3 i

3. Для каждого вида уравнения нужно найти решение.

Если два различных действительных корня, то для полного квадратного уравнения решение однородного дифференциального уравнения, вычисляется по формуле:

m у '' + p у ' + q у = 0

m k ² + p k + q = 0

m ≠ 0 p ≠ 0 q ≠ 0

D = p ² - 4 m q > 0

k1 = (- p + √D) / 2m

k2 = (- p - √D) / 2m

Где k1; k2 действительные корни квадратного уравнения.

Для неполного квадратного уравнения, решение однородного дифференциального уравнения, вычисляется по формуле:

m у '' + p у ' = 0

m k ² ± p k = 0

m ≠ 0 p ≠ 0 q = 0

k (m k ± p)= 0

k1 = 0

m k ± p= 0

m k = ± p

k2 = ± p / m

Один корень характеристического уравнения равен нулю.

где k2 корень характеристического уравнения неравный нулю.

m у '' + q у = 0

m k ² - q = 0

m ≠ 0 p = 0

q < 0 m > 0;

q > 0 m < 0

m k ² = q

k ² = q / m

k1 = √(q / m)

k2 = - √(q / m)

Где k1; k2 противоположные корни квадратного характеристического уравнения.

а) y '' - 5 y ' + 6 = 0

k ² - 5 k + 6 = 0

D = 25 - 24 = 1

k 1 = (5 + 1) / 2 = 3

k2 = (5 - 1) / 2 = 2

б) y '' - 4 y ' = 0

k ² - 4 k = 0

k (k - 4) = 0

k = 0

k = 4

в) y ''- 25 = 0

k ² - 25 = 0

k ² = 25

k1 = 5

k2 = - 5

Если один действительный квадратный корень или два совпадающих действительных корня, решение однородного уравнения вычисляется по формуле:

Полное квадратное уравнение.

m у '' + p у ' + q у = 0

m k² + p k + q = 0

m ≠ 0 p ≠ 0 q ≠ 0

D = p ² - 4 m q = 0

k1 = (- p + √0) / 2m = - р / 2m

Неполное квадратное уравнение.

m у '' = 0

m k ² = 0

m ≠ 0 p = 0 q = 0

k ² = 0

k = 0

г) y '' + 2 y ' + 1 = 0

k ² + 2 k + 1 = 0

D = 4 - 4 = 0

k = - 2 / 2 = - 1

д) 3 y '' = 0

3 k ² = 0

k ² = 0

k = 0

Если два различных комплексных корня, то решение однородного уравнения, вычисляется по формуле:

Полное квадратное уравнение.

m у '' + p у ' + q у = 0

m k ² + p k + q = 0

m ≠ 0 p ≠ 0 q ≠ 0

D = p ² - 4 m q < 0

k1 = (- p + √(- D)) / 2m = α + β i

k2 = (- p - √(- D)) / 2m = α - β i

Неполное квадратное уравнение.

m у '' + q у = 0

m k ² + q = 0

m ≠ 0 p = 0

q > 0 m > 0;

q < 0 m < 0

m k ² = - q

k ² = - q /m

k 1 = √(- q /m) = 0 + β i = β i

k 2 = - √(- q /m) = 0 - β i = β i

е) y '' + 2 y ' + 5 = 0

k ² + 2 k + 5 = 0

D = 4 - 20 = - 16

k1 = (- 2 + √(- 16)) /2 = (- 2 + 4) / 2 = - 1 + 2 i

k2 = (- 2 - √(- 16)) / 2 = (- 2 - 4) / 2 = - 1 - 2 i

ж) y '' + 9 = 0

k ² + 9 = 0

k ² = - 9

k 1 = √(- 9)

k 2 = - √(- 9)

k 1 = 3 i

k 2 = - 3 i

y = C1 sin 3x + C2 cos 3x

4) записать ответ.

Для дифференциальных уравнений с действительными корнями, общее решение однородного уравнения, записываются в показательной форме.

Для дифференциальных уравнений с комплексными корнями, общее решение одного уравнения, записывается в тригонометрической форме.

Запишем в табличку всё, что нужно запомнить для решения дифференциального однородного уравнения с постоянными коэффициентами второй степени.

2)) Примеры решения однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка (Звёздочка - это x).

Пример один.

y '' + y ' - 2y = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ² + k - 2 = 0

D = 1 + 4 × 2 = 9 = 3 ²

k1 = (- 1 + 3) / 2 = 1

k2 = (- 1 - 3) / 2 = - 2

Ответ: Y = C1 e * + C2e ⁻²*

Пример два.

y '' - 4 y = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ² - 4 = 0

k ² = 4

k1 = 2

k2 = - 2

Ответ: y = C1 e ²* + C2 e ⁻²*

Пример три.

y '' - 9 y ' = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ² - 9 k = 0

k (k - 9) = 0

k1 = 0

k - 9 = 0

k2 = 9

Ответ: y = C1 + C2 e ⁹*

Пример четыре.

y '' - 4 y ' + 4 = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ² - 4 k + 4 = 0

D = 16 - 16 = 0

k = 4 / 2 = 2

Ответ: y = C1 e ²* + C2 x e ²*

Пример пять.

8y '' = 0

Составим характеристическое уравнение.

8 k ² = 0

k ² = 0

k = 0

Ответ: y = C1 + C2 x

Пример шесть.

y '' + y = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ² + 1 = 0

k ² = - 1

k1 = √(- 1)

k1 = i

k2 = - √(- 1)

k2 = - i

Ответ: y = C1 sin x + C2 cos x

Пример семь.

y '' + 6y ' + 13y = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ² + 6 k + 13 = 0

D = 36 - 52 = - 16

k1 = (- 6 + √(- 16)) / 2 = - 3 + 2 i

k2 = (- 6 - √(- 16)) / 2 = - 3 - 2 i

Ответ: y = C1 e ⁻³* sin 2x + C2 e ⁻³* cos 2x

Пример восемь.

4y '' - 8y ' + 5y = 0

Составим характеристическое уравнение.

4 k ² - 8 k + 5 = 0

D = 64 - 80 = - 16

k1 = (8 + √(- 16)) / 8 = (8 + 4 i) / 8 = 1 + 1/2 i

k2 = (8 - √(- 16)) / 8 = (8 - 4 i) / 8 = 1 - 1/2 i

Ответ: y = C1 e * sin 1/2 x + C2 e * cos 1/2 x

Пример девять.

y ''' - 5y '' + 4y ' = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ³ - 5 k ² + 4 k = 0

Получим кубическое уравнение.

Вынесем k за скобку.

k (k ² - 5 k + 4) = 0

k = 0

k ² - 5 k + 4 = 0

D = 25 - 16 = 9 = 3 ²

k1 = (5 + 3) / 2 = 4

k2 = (5 - 3) / 2 = 1

Ответ: y = C1 + C2 e ⁴* + C3 е *

Если уравнение кубическое, то добавляется ещё одно слагаемое.

Пример десять.

y ''' + 9 y ' = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ³ + 9 k = 0

Получим кубическое уравнение.

Вынесем k за скобку.

k (k ² + 9) = 0

k = 0

k ² + 9 = 0

k ² = - 9

k1 = √(- 9)

k1 = 3 i

k 2 = - √(- 9)

k2 = - 3 i

Это уравнение с комплексными корнями.

Ответ: y = C1 + C2 sin 3x + C3 cos 3x

Это смешанное уравнение один корень действительный и два комплексных. Следовательно

Пример одиннадцать.

y ''' - 13y ' + 12y = 0

Составим характеристическое уравнение.