Василиса Волконская
Интегрирование тригонометрических функций

Содержание:

1) Таблицы производных и первообразных.

2) Примеры интегралов с тригонометрическими функциями.

3) Основные тождества для обратных тригонометрических функций.

4) Универсальная тригонометрическая замена.

4. 2 Замена на тангенс от обычного аргумента (просто тангенс).

4.1 Замена на тангенс половинного аргумента.

5) Интегрирование иррациональных функций.

5. 1 Первый тип иррациональных функций. Под корнем переменная находится в первой степени и корень квадратный.

5. 2 Второй тип иррациональных функций.

Под квадратным корнем находится дробь в числителе и знаменателе, которой переменная стоит в первой степени.

5. 3 Третий тип иррациональных функций.

Под интегралом содержатся различные корни от одной переменной.

5. 4 Четвёртый тип иррациональных функций.

Под интегралом содержится корень от квадратного трёхчлена.

1) Таблицы производных и первообразных.

Производные функций (звездочка это х).

1) с ' = 0

с - любое число.

Степенная функция.

2) (x ⁿ) ' = n x ⁿ⁻¹

Частные случаи степенной функции.

1. x ' = 1

2. c x ' = c

c и c1 - любые числа.

3. (x ²) ' = 2x

4. (x ³) ' = 3x ²

5. (1/ √x) ' = - 1/2 × 1 / √x ³

6. (³√x) ' = 1 / (3 ³√x ²)

7. (√x) ' = 1 / (2 √x)

8. (1 / x) ' = - 1 / x ²

9. (1 / ³√x) ' = - 1 / (3 ³√x ⁴)

Другие различные функции.

3) (ln x) ' = 1 / x

4) (e *) ' = e *

5) (cos x) ' = - sinx

6) (sin x) ' = cos x

7) (tg x) ' = 1 / cos ² x

8) (ctg x) ' = - 1 / sin ² x

9) (a *) ' = a * ln a

a > 0

a ≠ 1

x > 0

10) (arctg x) ' = 1 / (1 + x ²)

11) (arctg x /a) ' = a / (a ² + x ²)

12) (arcctg x) ' = - 1 / (1 + x ²)

13) (arcctg x /a) ' = - a / (a ² + x²)

14) (arcsin x) ' = 1 / √(1 - x ²)

15) (arcsin x/a) ' = 1 / √(a ² - x ²)

16) (arccos x) ' = - 1 / √(1 - x ²)

17) (arccos x/a) ' = - 1 / √(a ² - x ²)

Интегралы функций.

1) ʃ с dx = Cx + C1

2) ʃ 1 dx = x + C

3) ʃ х ⁿ = х ⁿ⁺¹ / (n + 1) + C; n ≠ 1

4) ʃ √x = (2/3) √x ³

5) ʃ (1/x) dx = ʃ dx /x = ln |x| + C

6) ʃ e * dх = e * + C

7) ʃ cos x dx = sin x + C

8) ʃ sin x dx = - cos x + C

9) ʃ dx / cos ² x = tg x + C

10) ʃ dx / sin ² x = - ctg x

11) ʃ а * dх = (a * / ln а) + C

12) ʃ dx / (1 + x ²) = arctg x + C

13) ʃ dx / √(1 - х ²) = arcsin x + C

14) ʃ dx / (x ln β) = logᵦ x + C

15) ʃ dx / √x = 2 √x + C

16) ʃ dx / √(x ² ± a ²) = ln|x + √(x ² ± a ²)|+ C

17) ʃ dx / (x ² - a ²) = (1/ 2a) ln |((x - а)/(х + а))| + C

18) ʃ dx / (а ² - х ²) = (1/ 2a) ln |((x + а)/(х - а))| + C

19) ʃ dx / x ² = - 1 / x + C

20) ʃ dx / (а ² + x ²) = (1/a) arctg (x/a) + C = - (1/a) arсctg (x/a) + C

21) ʃ dx / √( а ² - x ²) = arcsin (x/a) + C = - arccos (x/a) + C

22) ʃ sh х dx = ch х dx + C

23) ʃ ch х dx = sh х dx + C

24) ʃ dx / ch ² x = th x + C

25) ʃ dx / sh ² x = - cth x + C

2) Примеры интегралов с тригонометрическими функциями.

Пример один.

∫ dx / cos x =

Умножим и поделим интеграл на cos x.

= ∫ cos x dx / cos ² x =

По основному тригонометрическому тождеству, заменим квадрат косинуса на выражение с синусом.

= ∫ cos x dx / (1 - sin ² x) =

Внесем косинус под дифференциал, найдём его первообразную.

∫ d sin x / (1 - sin ² x) =

Сделаем замену переменной.

Пусть sin x = t, тогда:

= ∫ dt / (1 - t ²) =

Это табличный интеграл. Найдём его по формуле.

1/2 ln |(t + 1) / (t - 1)| + C =

Сделаем обратную замену.

= 1/2 ln |(sin x + 1) / (sin x - 1)| + C

Ответ: 1/2 ln |(sin x + 1) / (sin x - 1)| + C

Пример два.

∫ dx / sin x =

Умножим и поделим интеграл на sin x, при этом ничего не изменится.

= ∫ sin x dx / sin ² x =

Внесём синус под дифференциал, найдём его первообразную.

Заменим в знаменателе квадрат синуса на выражение с косинусом.

= - ∫ d cos x / (1 - cos ² x) =

Аргументы одинаковые, найдём интеграл по формуле.

= - 1/2 ln |(cos x + 1) / (cos x - 1)| + C

Ответ: - 1/2 ln |(cos x + 1) / (cos x - 1)| + C

Пример три.

∫ (cos ³ x / sin ² x) dx =

Внесём один косинус под дифференциал, найдём его первообразную.

= ∫ cos ² x d sin x / sin ² x =

Заменим квадрат косинуса на выражение с квадратом синуса.

= ∫ (1 - sin ² x) d sinx / sin ² x =

Сделаем замену переменной.

Пусть sin x = t, тогда

= ∫ (1 - t ²) dt / t ² =

Поделим слагаемые числителя на знаменатель.

= ∫ dt / t ² - ∫ t ² d t / t ² = ∫ dt / t ² - ∫ dt =

Интегралы табличные найдём их по формулам.

= - 1 / t - t + C =

Сделаем обратную замену.

= 1 / sin x - sin x + C

Ответ: 1 / sin x - sin x + C

Пример четыре.

∫ tg ² x dx =

Заменим тангенс по тригонометрической формуле на выражение с косинусом.

= ∫ (1 / cos ² x - 1)dx =

Интеграл разности равен разности интегралов.

= ∫ dx / cos ² x - ∫ dx =

Это табличные интегралы.

= tg x - x + C

Ответ: tg x - x + C

Пример пять.

∫ ctg ² x dx =

Заменим котангенс по тригонометрической формуле на выражение с синусом.

= ∫ (1 / sin ² x - 1) dx=

Интеграл разности равен разности интегралов.

= ∫ dx / sin ² x - ∫ dx =

Интегралы табличные, находим их по формулам.

= - ctg x - x + C

Ответ: - ctg x - x + C

Пример шесть.

∫ tg ³ x dx =

Заменим тангенс частным синуса и косинуса.

=∫ (sin ³ x/ cos ³ x) dx =

Внесём один синус под дифференциал, найдём его первообразную.

= ∫ (sin ² x d (- cos x) / cos ³ x) dx =

Вынесем минус за интеграл и заменим по основному тригонометрическому тождеству синус на выражение с косинусом.

= - ∫ (1 - cos ² x) d cos x / cos ³ x) dx =

Сделаем замену переменной.

Пусть cos x = t

= - ∫ (1 - t ²) dt / t ³ =

Поделим слагаемые числителя на знаменатель.

= - ∫ (1 / t ³ - t ² / t ³) dt = - ∫ 1 / t ³ - 1 / t) dt =

Интеграл разности равен разности интегралов.

- 1 / t ³ dt + ∫ dt / t = - t ⁻³ dt + ∫ dt / t =

Найдём по таблице интегралы.

- t ⁻² / (- 2) + ln |t|+ C = 1 / 2t ² + ln |t| + C =

Сделаем обратную замену.

= 1 / 2cos ² x + ln |cos x| + C

Ответ: 1 / 2cos ² x + ln |cos x| + C

Пример семь.

∫ ctg ³ x dx =

Разложим на множители котангенс в кубе.

= ∫ ctg ² x ctg x dx =

Заменим котангенс в квадрате на выражение с синусом.

= ∫ (1 / sin ² x - 1) ctg x dx =

Раскроем скобку.

= ∫ (ctg x / sin ² x - ctg x) dx =

Интеграл разности равен разности интегралов.

= ∫ ctg x dx / sin ² x - ∫ ctg x dx =

Внесём под дифференциал функцию, найдём её первообразную.

= ∫ ctg x d (- ctg x) - ∫ cos х / sin x dx = - ∫ ctg x d ctg x - ∫ d sin x / sin x =

Аргументы одинаковые, найдём интеграл по таблице.

= - ctg ² x /2 - ln |sin x| + C

Ответ: - ctg ² x /2 - ln |sin x|+ C

Секонс и косеканс.

Секонс - это единица делённая косинус.

sec x = 1 / cos x

коссеконс - это единица делённая на синус.

cosec x = 1 / sin x

пример 8.

∫ tg x sec x dx =

Запишем секонс через косинус.

∫ (tg x × 1 / cos ² x) dx =

Внесём вторую функцию под дифференциал, найдём её первообразную.

= ∫ tg ² x d tg x =

Аргументы одинаковые.

Найдём интеграл по таблице первообразных.

(tg ³ x) / 3 + C

Ответ: 1/3 tg ³ x + C

Пример девять.

∫ ctg ² x cosec ² x dx =

Запишем косеканс через синус.

∫ ctg x × 1 / sin ² x dx =

Внесём под дифференциал вторую функцию.

= ∫ ctg ² x d ctg x =

Аргументы одинаковые.

Найдём интеграл по таблице первообразных.

= - (ctg ³ x) / 3 + C

Ответ: - (ctg ³ x) / 3 + C

Пример.

∫ tg x cosec ² x dx =

Запишем косеканс через синус.

= ∫ tg x × 1 / sin ² x dx =

Внесём вторую функцию под дифференциал, найдём её первообразную.

= ∫ tg x d (- ctg x) = - ∫ tg x d ctg x =

Заменим тангенс на котангенс, по тригонометрической формуле.

= - ∫ 1 / ctg x d ctg x = - ∫ d ctg x / ctg x =

Аргументы одинаковые.

Найдём интеграл по таблице первообразных.

= - ln |ctg x| + C

Ответ: - ln |ctg x| + C

Пример 10.

∫ ctg ³ x sec ² x dx =

Запишем секанс через косинус.

= ∫ ctg x × 1 / cos ² x dx =

Внесём вторую функцию под дифференциал.

Найдём её первообразную.

= ∫ ctg ³ x d tg x =

Заменим котангенс на тангенс по тригонометрической формуле.

= ∫ 1/ tg ³ x d tg x = ∫ tg ⁻³ x d tg x =

Найдём интеграл по формуле для степенной функции. так как аргументы одинаковые.

= tg ⁻² x / (- 2) + C = - 1 / 2 tg ² x + C

Ответ: - 1 / 2 tg ² x + C

Пример 11.

∫ tg ⁴ x sec ⁴ x dx =

Запишем секанс через косинус.

= ∫ tg ⁴ x × 1 / cos ⁴ x dx =

Запишем произведение по-другому.

= ∫ tg ⁴ x / cos ² x × 1 / cos ⁴ x dx =

Внесём вторую функцию под дифференциал.

Найдём её первообразную.

= ∫ tg ⁴ x / cos ² x d tg x =

Заменим по тригонометрической формуле секанс в квадрате на выражение с тангенсом.

= ∫ tg ⁴ x × 1 / cos ² x d tg x = ∫ tg ⁴ x (1 + tg ² x) d tg x =

Сделаем замену переменной.

Пусть tg x = t

= ∫ t ⁴ (1 + t ²) dt =

Раскроем скобку.

= ∫ (t ⁴ + t ⁶) dt =

Интеграл суммы равен сумме интегралов.

= ∫ t ⁴ dt + ∫ t ⁶ dt =

Интегралы найдём по формуле для степенной функции.

= t ⁵/ 5 + t ⁷ / 7 + C =

Сделаем обратную замену переменной.

= tg ⁵ x / 5 + tg ⁷ x / 7 + C =

Ответ: tg ⁵ x/ 5 + tg ⁷ x / 7 + C

Пример 12.

∫ sin ² x dx =

По формуле понижения степени запишем синус через косинус двойного угла.

∫ 1/2 (1 - cos 2x) dx = ∫ (1/2 - 1/2 cos 2x) dx =

Интеграл разности равен разности интегралов.

= ∫ 1/2 dx - 1/2 ∫cos 2x dx =

Умножим и поделим второй интеграл на два.

= ∫1/2 dx – 1/4 ∫ cos 2x d2x =

Аргументы одинаковые.

Найдём интегралы по таблице первообразных.

= 1/2 x - 1/4 sin 2x + C

Ответ: 1/2 x - 1/4 sin 2x + C

Пример 13.

∫ cos ² x dx =

По формуле понижения степени запишем квадрат синуса через косинус двойного угла.

= ∫ 1/2 (1 + cos 2x) dx = (1/2 + 1/2 cos 2x) dx =

Интеграл суммы равен сумме интегралов.

= ∫ 1/2 dx + 1/2 ∫ cos 2x dx =

Умножим и поделим второй интеграл на два.

∫ 1/2 dx + 1/4 ∫ cos 2x d2x =

Аргументы одинаковые.

Найдём интегралы по таблице первообразных.

= 1/2 x + 1/4 sin 2х + C

Ответ: 1/2x + 1/4 sin 2х + C

Пример 14.

∫ sin ³ x dx =

Понизим степень синуса по тригонометрической формуле.

= 1/4 (3 sin x - sin 3x) dx =

Раскроем скобки.

Запишем разность интегралов.

= 3/4 ∫ sin x dx - 1/4 ∫ sin 3x dx =

Умножим и поделим второй интеграл на три.

= 3/4 ∫ sin x dx - 1 / 12 ∫ sin 3x d 3x =

Аргументы одинаковые.

Найдём интегралы по таблице.

= - 3/4 cos х + 1/12 cos 3х + C

Ответ: - 3/4 cos х + 1 / 12 cos 3х + C

Пример 15.

∫ cos ³ x dx =

Понизим степень косинуса по тригонометрической формуле.

= ∫ 1/4 (3 cos x + cos 3x) dx =

Раскроем скобку и запишем сумму интегралов.

= ∫ 3/4 cos x dx + 1/4 ∫ cos 3x dx =

Умножим и поделим второй интеграл на три.

= ∫ 3/4 cos x dx + 1/12 ∫ cos 3x d 3x =

Аргументы одинаковые.

Найдём интегралы по таблице первообразных.

= 3/4 sin x + 1/12 sin 3x + C

Ответ: 3/4 sin x + 1/12 sin 3x + C

Пример 16.

∫ sin x cos 2x dx =

По формулам произведения запишем.

= ∫ (1/2 sin (x - 2x) + sin (x + 2x)) dx = 1/2 ∫ (sin (- x) + sin 3x) dx =

Так как синус нечётная функция, вынесем минус за функцию.

1/2 ∫ (sin 3x - sin x) dx =

Интеграл разности равен разности интегралов.

= 1/2 ∫ sin 3x dx - 1/2 ∫ sin x dx =

Умножим и поделим первый интеграл на 3.

= - 1/6 ∫ sin 3x d 3x + 1/2 ∫ sin x dx =

Аргументы одинаковые.

Находим интегралы по таблице первообразных.

= - 1/6 cos 3х + 1/2 cos x + C

Ответ: - 1/6 cos 3х + 1/2 cos x + C

Пример 17.

∫ sin 2x sin 3x dx =

По формулам произведения запишем.

= ∫ 1/2 (cos (2x - 3x) - cos (2x + 3x)) dx = 1/2 ∫ (cos (- x) - cos 5x) dx =

Так как косинус чётная функция, то минус пропадает.

= 1/2 ∫ (cos x - cos 5x) dx =

Интеграл разности равен разности интегралов.

= 1/2 ∫cos x dx - 1/2 ∫ cos 5x dx =

Умножим и поделим второй интеграл на пять.

= 1/2 ∫ cos x dx - 1/10 ∫ cos 5x d 5x =

Аргументы одинаковые.

Найдём интегралы по таблице первообразных.

= 1/2 sinx - 1/10 sin 5x + C

Ответ: 1/2 sinx - 1 / 10 sin 5x + C

Пример 18.

∫ cos 3x cos x dx =

По формулам произведения запишем.

= ∫ 1/2 (cos (3x - x) + cos (3x + x)) dx = 1/2 ∫ (cos 2x + cos 4x) dx =

Интеграл суммы равен сумме интегралов.

= 1/2 ∫ cos 2x dx + 1/2 ∫ cos 4x dx =

Сделаем одинаковыми аргументы интегралов.

= 1/4 ∫ cos 2x d2x + 1/8 ∫ cos 4x d 4x =

Аргументы одинаковые.

Найдём интегралы по таблице первообразных.

= 1/4 sin 2x + 1/8 sin 4x + C

Ответ: 1/4 sin 2x + 1/8 sin 4x + C

Пример 19.

∫ dx / sin ³ 2x =

Разложим синус двойного угла.

= ∫ dx / (2 sin x cos x) ³ = 1/2 ³ × ∫ dx /sin ³ x cos ³ x = 1/8 ∫ dx / sin ³ x cos ³ x =

Умножим и поделим дробь на cos ³ х.

1/8 ∫ cos ³ x dx / sin ³ x cos ⁶ x =

Заменим частное косинуса и синуса на котангенс.

= 1/8 ∫ ctg ³ x × 1/cos ⁴ x × 1 / cos ² x dx =

Внесём последнюю функцию под дифференциал.

Найдём её первообразную.

1/8 ∫ ctg ³ x × (1 /cos ² x) ² d tg x=

Заменим все функции на выражение с тангенсом.

= 1/8 ∫ ctg ³ x × (1 + tg ² x) ² d tg x =

Сделаем замену переменной.

Пусть tg x = t

= 1/8 ∫ 1 / t ³ × (1 + t ²) ² dt =

Разложим скобку по формуле квадрата суммы.

1/8 ∫ ((1 + 2t ² + t ⁴) / t ³) dt =

Поделим слагаемые числителя на знаменатель.

1/8 ∫ (1 / t ³ + 2 t ² / t ³ + t ⁴ / t ³) = 1/8 ∫ (1 / t ³ + 2 / t + t) =

найдём табличные интегралы.

= 1/8 (- 1/2 t ² + 2 ln |t| + t ²/ 2) + C =

Сделаем обратную замену переменной.

1/8 (- 1/2 tg ² x + 2 ln |tg x| + tg ² x / 2) + C =

Ответ: - 1/16 tg ² x + 1/4 ln |tg x| + 1/16 tg ² x + C =

Пример 20.

∫ dx / (1 + sin x) =

Умножим и поделим интеграл на (1 - sin x).

= ∫ (1 - sin x) dx / (1 - sin x) (1 + sin x) =

Свернём выражение в знаменателе по формуле разности квадратов.

= ∫ (1 - sin x) dx / (1 - sin ² x) =

Заменим выражение в знаменателе по формуле основного тригонометрического тождества на cos ² х.

∫ (1 - sin x) dx / cos ² x =

Поделим слагаемые числителя на знаменатель.

∫ (1 / cos ² x - sin x / cos ² x dx =

Интеграл разности равен разности интегралов.

= ∫ dx / cos ² x - ∫ sin x dx / cos ² x =

Внесём синус под дифференциал, найдём его первообразную.

∫ dx / cos ² x - ∫ d(- cos x) / cos ² x = ∫ dx / cos ² x - ∫d cos x / cos ² x =