.  
 


          .            .       .       ,    ,     .





 

.  



:

1)  .  .

2)   .

3)    .

4)  .

5)    .

6)  .

7)  .

8)    .

9)          .

10)      .

11)    .

12)    .

13)       .

 .

1))  .  .

     ,   .

       .

 U1, U2,  Un -   .

Un -   n -   .

  ,     :

Un = f (n); (n = 1, 2 ).

 ,   f (n)    .

    ,   ,      .

.

2 / 5 + 4 / 9 + 6 / 13 +  + 2n / (4n + 1)

  .

     .

S1 = U1; S2 = U1 + U2

Sn = U1 + U2 +  + Un

 n    Sn,  n -    .

  ,        ,  n -> ?,  :

lim Sn = S

 S   ,   :

U1 + U2 +  + Un +  = ? Un = S

       ,    .

.

   ,        .

b + b q + b q ? +  + b q ??? +  = ? b q ???

.

     q ( )       .

    n    ,  q ? 1.

Sn = b (q ? - 1) / (q - 1)

  .

1)   |q| < 1

    n- ,  n -> ?.

lim  q ? =

    - 1 < q < 1,    , :

lim (1 / m) ? = lim 1 / m ? =

 ,    n ().

= 1 / m  = 1 / ? = 0

  .

    n-   ,  n -> ?.

lim Sn = lim (b (q ? - 1) / (q - 1)) = lim ((b q ? - b) / (q - 1)) = lim (b q ?/ (q - 1) - b / (q - 1)) = lim (b / m ? / (q - 1) - b / (q - 1)) = b / ? / (q - 1) - b / (q - 1) = 0 / (q - 1) - b /(q - 1) = 0 - b / (q - 1) = - b / (q - 1) = b / (1 - q)

      b / (1 - q),     S = b / (1 - q)

2) E |q| > 1

     n- ,  n -> ?.








,    : 




      , a  ,   .

3) q = 1

  :

b + b + b + b +  + b + 

Un -   .

Sn = b + b +  + b = n b

  .

lim Sn = lim n b = ?

 .

4)  q = - 1

  :

b - b + b - b +  + (- 1) ? b + 

     .

Sn  = 0

    .

lim Sn -     .

,  .

:

    |q| < 1

   |q| ? 1

2))   .

1)  :

U1 + U2 + U3 + U4 +  + Un +  = S

    S  :

? U1 + ? U2 + ? U3 + ? U4 +  + ? Un +  = ? S

 ,      ?,      ? S

        ,    ;       .

2)        S1  S2,      ;        ,  :

U1 + U2 + U3 + U4 +  + Un +  = S1

V1 + V2 + V3 + V4 +  + Vn +  = S2, 

(U1 + V1) + (U2 + V2) + (U3 + V3) + (U4 + V4) +  + (Un + Vn) +  = S1 + S2

3)   ,    ,   ,       .

     ,   ,   n -> ?,     .  :








3))    .

.

  ,      Un  n -> ?  .








,    ,     .








   .

    ,  n -> ?,   ,   .








       .

.

   .








.

   n -   ,  n -> ?.

lim ((4n + 3) / (5n - 7)) = [? / ?] =

 .

Ÿ   .

       n.

= lim ((4 n / n + 3 / n) / (5n / n - 7 / n)) = lim ((4 + 3 / n) / (5 - 7 / n)) = (4 + 3 / ?) / (5 - 7 / ?) = (4 + 0)/ (5 - 0) = 4 / 5

 n -     .

,  .

:   .

.

 .

1 + 1 / 2 + 1 / 3 +  + 1 / n + 

    .

   n -  ,  n -> ?.

lim (1 / n) = 1 / ? = 0

    ,   .

   .

   .

4))  .

      .








        ,     n:

Un  ? Vn, :

1)    ,     .

2)    ,     .

:

           ,   Un ? Vn                n.

   ,     n = k,      Un ? Vm + n

m -   .

  ,    .

1)  .








,  |q| < 1

,  |q| ? 1

2)  .








3)   .








? > 1 -   .

? ? 1 -  .

.

  .

1 + 1 / 2 ? 3 + 1 / 3 ? 3 ? +  + 1 / n ? 3 ??? + 

.

  n -    .

1 / n ? 3 ???

     .

 n -     1 / 3 ???

       q = 1 / 3 < 1, ,   .

      .

    n   .

  ,    n  ,        :

1 / 3 ??? = 1 / 3 ? = 1

1 / 3 ??? = 1 / 3 ? > 1 / 6

1 / 3 ??? = 1 / 3 ? = 1 / 9 > 1 / 27

1 / 3 ??? = 1 / 3 ? = 1 / 27 > 1 / 81

       .

,   .

      ,       ,      ,     Un ? Vn.

     .

,      ,       .

      .

5))    .

.

             n -> ?;        ;   ;   ,  ,  .















k - ; k ? 0

  ,      , ,     .

 ,      , ,     .

13. 37








    n:

2 n / (3 n ? - 5) ? 2 / n

       :

? 1 / n

        ,  n -> ?.

lim (2 n / (3 n ? - 5)) : (1 / n)) = lim (2n / (3n ? - 5) ? (n / 1)) = lim (2n ? / (3 n ? - 5)) = [? / ?] =

       n ?.

= lim (2n ? / n ? / (3n ? / n ? - 5 / n ?)) = lim (2 / (3 - 5 n ?)) = 2 / (3 - 5 / ?) = 2 / (3 - 0) = 2 / 3

        2/3 ? 0    ,     .

:  .

 13. 38

   .

? (2n + 7) / (3n ? + 11)

    n:

(2n + 7) / (3n ? + 11) ? 1 / n ?

       :

? 1 / n ?

     ,  n -> ?.

lim ((2n + 7) / (3 n ? + 11)) : (1 / n ?)) = lim ((2n + 7) / (3 n ? + 11) ? n ? / 1) = lim ((2n ? + 7n ?) / (3 n ? + 11)) = [? / ?] = lim ((2 n ? / n ? + 7n ? / n ?) / (3 n ? / n ? + 11 / n ?)) = lim (( 2 + 7 / n) / (3 + 11 / n ?)) = (2 + 7 / ?) / (3 + 11 / ?) = (2 + 0) / (3 + 0) = 2 / 3

         k = 2 / 3      ;     ;   ? = 2;     .

:  .

    .

     .

    .

       ,  ?      ,   ;   ,   .

.








 ?    :

? 1 / n

? = 3 - 2 = 1

,       ,      1 / n.

 13. 39

)    .

? 1 / ?(n (1 + n ?))

     ,     .

   .

1 / ?(n (1 + n ?)) =

    ,     .

1 ? n ? = 1

,    ,     .     .

      .

?(n (1 + n ?)) = ?(n + n ?) = (n + n ?) ???

,       3 / 2.

 ? (    ).

? = 3 / 2 - 0 = 3 / 2

 ,       :

1 / n ??? = 1 / ? n ?

   .

 ,   ? = 3 / 2 > 1

     , ,    .

      ,  n -> ?.

lim (1 / ?(n (1 + n ?)) : (1 / ?n ?)) = lim (1 / ?(n + n ?) ? ?n ? / 1) = lim (? n ? / ?(n + n ?)) = [? / ?] =

      n ?.

= lim (?(n? / n?) / ? (n / n ? + n ? / n ?)) = lim (?1 / ? (1 + 1 / n ?)) = ?1 / ?(1 + 1 / ?) = ?1 / ?(1 + 0) = 1

      ,    .

:    .

 13. 39.

)        .

? 1 / ?(n (1 + n ?))

      .

? = 3 / 2

? 1 / ?n ?

    .

  n = 1

1 / ?(1 (1 + 1)) = 1 / ?2 ? 0, 71

1 / ?1 = 1

1 > 0, 71

         .

  n = 2

1/ ?(2 (1 + 2 ?)) = 1 / ?10 ? 0, 32

1 / ?2 ? = 1 / ?8 ? 0, 35

0, 35 > 0, 32

         .

  n = 3

1/? (3 (1 + 3 ?)) = 1 / ?30 ? 0, 18

1 / ?27 ? 0, 19

0, 19 > 0, 18

          .

               ,     .

:  .

 13. 40

   .

? (n + 1) / ?n ?

 ,      .

    .

(n + 1) / ?n ? = (n + 1) / n ???

   ;     3 / 2; ,      :

? = 3 / 2 - 1 = 1 / 2

 ,     :

1 / n ???   1 / ?n

          .

 n = 1

(1 + 1) / ?1 ? = 2 / 1 = 2

1 / ?1 = 1

2 > 1

         .

 n = 2

(2 + 1) / ?2 ? = 3 / 2, 8 ? 1, 07

1 / ?2 = 1 / 1, 4 ? 0, 71

1, 07 > 0, 71

         .

(n + 1) / ?n ? > 1 / ?n

n -      n-    .

      (? = 1 / 2 < 1)         ,   .

:  .

 13. 43

   .

? (3 n ? + 2n) / (n ? + 5n - 5)

 ,      .

     ;      .

,      :

? = 3 - 2 = 1

   ,  .

? 1 / n

       .

 n = 1

(3 + 2) / 1 = 5 > 1

        .

 n = 2

(12 + 4) / (8 + 5) = 16 / 13 > 1 / 2

        .

 n = n

(3 n ? + 2n) / (n ? + 5n - 5) > 1 / n

     n-    .

        ,       .




  .


   .

   ,     (https://www.litres.ru/book/vasilisa-volkonskaya/riady-primery-resheniia-74598608/)  .

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