 :      
 


  :  ,  ,   .       .     ?

        :    ,        .      ,  ,      ,    .

   ,    , , -,    ,   .     ,        .

 ,   ,    ,        .

    . : GPT Image - 





 

 :      



 :      

 




     : ,   


      ,    .      .  ,    ,  .      :   ,  ,    .         ,      . ,   .  , , .

      .  .      ,     .  ,    :      ,     .      .     ,   ,   ,  ,         .

  ,   .      ,   .    :     ?

1.   ,  

     .      \(qh\),    \(qb\),    \(qc\).  \(q\)   ,      .

     .   30 ,     24,  .     : \(sh\), \(sb\), \(sc\)       .

       :     .     .        .

       .   ,   .   ,     :  ,  ,  . ,           ;      -.    ,     .

2.  ,    

        .             .       ;       ,     .





 , .

 , .

, .

, 

, 

 , .





160

60

12

0,50

0,02

40





70

25

4

0,10

0,02

80





130

85

8

0,12

0,06

35



       360   , 24    3  .   :      .     ,         .

     .  ,  ,   ,  .          ;         ,   .      .

3.   

,        ,    .   ,    .           .

   ,   .   ,          .      \(s\),        \(q\):

\[ \max \ \Pi = 160sh+70sb+130sc -60qh-25qb-85qc. \]

 \(\Pi\)    ,   .   :     ,    \(\Pi\) .

    ?         .    130  ,     70.       85 ,    25.         45 .           .      ,      ,         .

  :   ,      .     ,   ;    ,    ;   , ,       .

     .           .    ,       ,   ,         . Ÿ   .

4.   

    :   ?     :    ?

,       :

\[ 12qh+4qb+8qc \leq 360. \]

  ,       .    10 ,  120 ; 20    80; 5    40.      .  \(\leq\) :    ,   .

      :

\[ 0{,}50qh+0{,}10qb+0{,}12qc \leq 24 \]

  

\[ 0{,}02qh+0{,}02qb+0{,}06qc \leq 3 \]

 .

 ,  , :

\[ sh\leq qh,\qquad sb\leq qb,\qquad sc\leq qc. \]

     :

\[ sh\leq40,\qquad sb\leq80,\qquad sc\leq35. \]

,     .       3,7 ,      :

\[ qh,qb,qc,sh,sb,sc\in\mathbb{Z}{\geq0}. \]

       .

 :     .    .   ,              20 ,    \(qh\geq20\).     :    ,    .   ,    .    ,  ,       .

5.   

    :

\[ \begin{aligned} \max \quad &160sh+70sb+130sc -60qh-25qb-85qc,\\ \text{ }\quad &12qh+4qb+8qc\leq360,\\ &0{,}50qh+0{,}10qb+0{,}12qc\leq24,\\ &0{,}02qh+0{,}02qb+0{,}06qc\leq3,\\ &0\leq si\leq qi,\qquad i\in\{h,b,c\},\\ &sh\leq40,\quad sb\leq80,\quad sc\leq35,\\ &qi,si\in\mathbb{Z}{\geq0}. \end{aligned} \]

     :       ,      ,           ;      ,    .

   ,     .  ,    ,      .   :        .        ,    .

6.  :   

    ,      .



 

 



 

      



 

   , 



  

 ,   ;       



 

, , , 



 

      ;    ;   ;    



    

 ,   ,  ,   



   .      ,       .    ,      .     ,     ,      .

       .      ,    ,    ,          .     .      ,      .         :    ,          .

7.   

    ,      . ,   80   3  :

 356 : \(80\cdot4+3\cdot12\);

 9,5  : \(80\cdot0{,}10+3\cdot0{,}50\);

 1,66  : \(80\cdot0{,}02+3\cdot0{,}02\).

         .  ,    ,     \(80\cdot45+3\cdot100=3900\) .   ,   .   ,      .

    .

1.  .           ,    .          ,      .

2.  .     ,      .         ,     .

3.   .     ,      .   ,    .

4.    .          ?     , ,  ?         ?

    ,   :       .

8.      

     .    .   , ,  .      .       ,       .

      15  35 ,    ,          .        ,       :    .     ,            .

  ,         .       ,  ,     .            ,   .

    :    ,          ,     .     21,6 ,    22    :         .      ,    ,    .         ,     .

9.     

       . ,       .       ?.   .

1.  ?    .

2.  ?          .

3.   ? ,  ,   .

4.     ?   ,  ,  ,        .

    ,     ,   .   ,   ;     .      , ,    ,  ,  ,        .

        ,   ,       ,   .   :   ,   ,         .       ,   ,  :   ,    ?

     

    ,   .    :    .  ,   ,          .     ,   ,    :    ,           .

     :    ,   ,          .     .    ,     .

   ,  :         ,          ?         .




  : ,   


 23:40        .     .     :    ,     .     :      ,    . ,   ,   -.  ,    ,  : ,   . ,     ,      ,     .

,      ,        .      .     .     :        .      .    ,          ,    ,        .

   

    ,         :

\[ f(x,y)=c. \]

         .        ,   .        ,          .   ,     .

   

\[ f(x,y)=\frac12(x^2+y^2) \]

   :

\[ x^2+y^2=2c. \]

   ,    .        .  ,    :      .

      .     ,    ;      ;       .           ,   .   :      ,     ,       .

  :      ,     .       ,

\[ \{(x,y): f(x,y)\le c\}, \]

    ,     \(c\).      .     \(f=c\)            .

 ,        ,    .    ,   ;   ,      .            .     :    ,          .

  

        ,    .     ,      \(a\)  \(b\)    \(0\le\lambda\le1\)  

\[ f(\lambda a+(1-\lambda)b) \le \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b). \]

      \(a\)  \(b\) ,          .       .              .

  ?       :     .  ,    ,           ,          .    .

   ,    . ,  \(f(x,y)=x^2\) ,         \(x=0\).      .   ,  ,   ,        .       :     ,           .

     .    ,       .         .     :      ,    .  ,   ,       .       ,      .

    ,   .   ,     ,     :           .    ,       ,  ,         ,  .      ;         .

    

   .        ,      .        ,        .    :      ,     .

     ,    .     :

\[ u=\frac{x+y}{\sqrt2}, \qquad v=\frac{x-y}{\sqrt2}, \]

  

\[ f(x,y)=\frac12(u^2+100v^2). \]

 \(u\)   ,  \(v\)   .     \(1\),   \(100\).          :     \(u\),    \(v\).     \(10:1\).     \(x=y\)       .

   .   \(u,v\)    :

\[ u{k+1}=(1-\alpha)uk, \qquad v{k+1}=(1-100\alpha)vk, \]

 \(\alpha\)   .    \((x,y)=(1,0)\).  \(u0=v0=1/\sqrt2\).  \(\alpha=0{,}018\).     \(0{,}982\):  .     \(-0{,}8\):  ,      \(x=y\).

      \((0{,}09;\,0{,}89)\),    \((0{,}80;\,0{,}16)\).     ,      .         ,    .    ,        .

     ,      ? .       ,        . , ,  ,    ,         .          ,  .

       :          .    .           ,       .

:    

          .        \(1\)  \(100\):     .  

\[ \kappa=\frac{\lambda{\max}}{\lambda{\min}} \]

  .    \(\kappa=100\).      ,  \(\kappa=1\):   .    ,               .

        :  \(\mu>0\)   \(L\).   \(L/\mu\)     .               .   ,         .  ,          .

    ,   . ,  \(f(x,y)=x^2\)      \(y\).      ,   ,   .           :   .     ,        ,         .

     ,   .      ,     ,       .           .         .  ,             .              ,    .

    

  ,    .    ,           .     .            : ,        ,    .

  .    :       .    :         .       .                .

       .    ,    .       ;        .       ,     .

,       ,   .     :     ,    .        ,   ,  ,     .

:  

,     ,        .     , ,       ,     .





    

 





       

  :    





         \(30:1\)

 :        





     ,      

, , :      ,    



 :      ,     .          .      :           ?    ,      ,         .

       ,    .   ,   ;  ,     ;  ,     .      ,    ,       ,    ,    .    ,       ,      ,   .




  : ,    


     :     ,    .  .      .   .    ,   ,     .     ,      :       .   ?    ?

    .     ,  ,        .         .

   

,         \(w\),      :

\[ L(w)=(w-3)^2. \]

  \(w=1\),   \(4\).     \(0{,}1\):     \(3{,}61\).    \(0{,}1\),     \(-0{,}39\).        

\[ \frac{3{,}61-4}{0{,}1}=-3{,}9. \]

  :   \(w\)  .     ,          \(-4\).     \(L'(1)\).

   :        ,  -  ?   ,    .         \(4\),     \(-4\).    ,       .

        :

\[ L'(w)=\lim{h\to 0}\frac{L(w+h)-L(w)}{h}. \]

            .     .      :    .   ,       .    .    ,      ,     ,   .

     

     ,   : , , , .    \(\boldsymbol{\theta}=(\theta1,\theta2,\ldots,\thetan)\).        : \(L(\boldsymbol{\theta})\).

   ,       ,   .     :

\[ \frac{\partial L}{\partial \theta1},\quad \frac{\partial L}{\partial \theta2},\quad \ldots,\quad \frac{\partial L}{\partial \thetan}. \]

      . , \(\partial L/\partial \theta2\) ,   ,    \(\theta2\),    .    ,       :  ,      .

      :

\[ \nabla L(\boldsymbol{\theta})= \left( \frac{\partial L}{\partial \theta1}, \frac{\partial L}{\partial \theta2}, \ldots, \frac{\partial L}{\partial \thetan} \right). \]

 :    ,    ,      .      ,             .

    \(\Delta\boldsymbol{\theta}\)      :

\[ \Delta L\approx \nabla L\cdot \Delta\boldsymbol{\theta}. \]

     .           :     ,      .

  

  ,       .          ,    .      ,    .

 ,       .    ,  ,        .        .        :      .

       ?         ,       .             .        ,       .  ,   ,     .       .

 ,     ,    .          .    ,     .

  :

\[ f(x,y)=x^2+4y^2. \]

    :      \(f\) .  

\[ \nabla f(x,y)=(2x,8y). \]

  \((1,1)\)   \((2,8)\).             .      : \((-2,-8)\).

    ,   \(\alpha=0{,}05\),   :

\[ (1,1)-0{,}05(2,8)=(0{,}9,0{,}6). \]

     \(5\).      \(0{,}9^2+4\cdot 0{,}6^2=2{,}25\).  .     :  ,     .

       .        ;      .              .

    .          .       ,     ,        .      :         .

,    ,  .    ,         ,          .         ,      .          .

 :    

        .       :   ,    ,    .  ,        ,     .    .

  .    \(x\),     \(w\),   \(b\),          \(y\).   :







  



1

\(s=wx+b\)

\(2\)



2

\(a=s^2\)

\(4\)



3

\(r=a-y\)

\(3\)



4

\(L=\frac12r^2\)

\(4{,}5\)



 \(x=2\), \(w=1\), \(b=0\), \(y=1\).   :   \(s=2\),  \(a=4\),  \(r=3\),    \(L=4{,}5\).

     ?,       \(w\)  \(b\)?.    .  \(\frac12r^2\)  \(r\)  \(r\),     \(3\).  ,      .

 \(r=a-y\)    \(a\)   \(1\). ,    \(a\)   \(3\).    \(a=s^2\). Ÿ   \(s\)  \(2s\),   \(4\).   :  \(s\)     \(3\cdot4=12\).

   .  \(s=wx+b\),    \(w\)  \(x=2\),   \(b\)  \(1\). :

\[ \frac{\partial L}{\partial w}=12\cdot2=24, \qquad \frac{\partial L}{\partial b}=12\cdot1=12. \]

    \((w,b)\)  \((24,12)\).      \(w\)  \(b\)   .        .

           .  ,     ,   :

\[ \frac{dL}{dw}= \frac{dL}{dr} \cdot \frac{dr}{da} \cdot \frac{da}{ds} \cdot \frac{ds}{dw}. \]

     :     ,    .               .           :       .         ,    .

:    

     :  ,  ,  .       .  :   ,     ,      .

  \(w\)   :

\[ \frac{\partial L}{\partial w} \approx \frac{L(w+h)-L(w-h)}{2h}. \]

  ,  \(b=0\),  \(L(w)=\frac12(4w^2-1)^2\).    \(\partial L/\partial w=24\)  \(w=1\).  \(h=0{,}0001\).     \(24{,}00000032\)     . , ,      ,  .

    \(h\)?    ,       ,      .    .    ,  \(L(w+h)\)  \(L(w-h)\)   .    :       ,        .

        \(h\).    , ,      ,       .        ,      .          .

     :

1.    ,  \(w=1\), \(b=0\).

2.     .

3.       \(h\).

4.              .

5.    ,     ,    .

     .    :       .               ,      ,  .

   

     .       ,       .           ;    ,    .      ,       ,   .       ,    .

       :      ?         ,        .




 :      


 23:17         :   ,     .          ,    .     ,     ?      ,     ?

     ,       .    ,     . ,  \(x\)  \(y\)        . Ÿ    :

\[ f(x,y)=x^2+2y^2. \]

     \((0,0)\):     ,   .     \(y\)  ,      \(x\):      .   ,  ,    ,  ,      .

 : , , 

   \((2,1)\).   :

\[ f(2,1)=2^2+2\cdot1^2=6. \]

         :

\[ \nabla f(x,y)= \begin{pmatrix} 2x\\ 4y \end{pmatrix}. \]

    

\[ \nabla f(2,1)= \begin{pmatrix} 4\\ 4 \end{pmatrix}. \]

      . ,        .     :

\[ \theta{k+1}=\thetak-\eta\nabla f(\thetak), \]

:

 \(\thetak\)      \(k\);

 \(\nabla f(\thetak)\)  ,     ;

 \(\eta\)   ,   ;

 \(\theta{k+1}\)     .

   \(\theta0=(2,1)\).  \(\eta=0{,}1\). :

\[ \theta1= \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix} - 0{,}1 \begin{pmatrix} 4\\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}6\\ 0{,}6 \end{pmatrix}. \]

   :

\[ f(1{,}6,0{,}6)=1{,}6^2+2\cdot0{,}6^2 =2{,}56+0{,}72=3{,}28. \]

   6  3,28.      :    ,  ,   ,     .

 :  ,     ,        .      .         ,        .

   

  .       :        .     ,    ,      .



 \(k\)

  \((x,y)\)

 \(\nabla f\)

  \((x,y)\)

   



0

\((2,\ 1)\)

\((4,\ 4)\)

\((1{,}6,\ 0{,}6)\)

\(3{,}28\)



1

\((1{,}6,\ 0{,}6)\)

\((3{,}2,\ 2{,}4)\)

\((1{,}28,\ 0{,}36)\)

\(1{,}8976\)



2

\((1{,}28,\ 0{,}36)\)

\((2{,}56,\ 1{,}44)\)

\((1{,}024,\ 0{,}216)\)

\(1{,}141888\)



3

\((1{,}024,\ 0{,}216)\)

\((2{,}048,\ 0{,}864)\)

\((0{,}8192,\ 0{,}1296)\)

\(0{,}704517\)



  .   \((1{,}6,0{,}6)\)   \((3{,}2,2{,}4)\). :

\[ (1{,}6,0{,}6)-0{,}1(3{,}2,2{,}4)=(1{,}28,0{,}36). \]

   \(1{,}28^2+2\cdot0{,}36^2=1{,}8976\).        ,      .

      .         :           ,     . ,      \((1{,}6,0{,}6)\).    ,   ,     .

,    

 -   :   ,     - .       .

    , :

\[ \theta1= \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix} + 0{,}1 \begin{pmatrix} 4\\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}4\\ 1{,}4 \end{pmatrix}. \]

  

\[ f(2{,}4,1{,}4)=2{,}4^2+2\cdot1{,}4^2=9{,}68, \]

    6  9,68.    ,   ,           ,  .

 :    .  ,    ,   .         .   ,      .       ,       .

   :            .    ,    .   \(x\),      \(y\)    \(x\),       .     ,      ,     .

    

  ,    :

1.   ,      .




  .


   .

   ,     (https://www.litres.ru/book/mikhail-nochesvet-34104348/vektor-optimuma-gradientnyi-metod-dlia-poiska-luchshikh-74633152/)  .

      Visa, MasterCard, Maestro,    ,   ,     ,  PayPal, WebMoney, ., QIWI ,       .


