 . .  2
 


              .      ,         .       .       ,    ,     .





 

 . .  2



:

1)  .

2)    .

3)   .

4)    .

5)   .

.

1))  .

    ,      ,    ,    .

 -   ,           .

    ,      .

  .

  .

      m ; a  B   k ;       ,     b,    , b  B,   n + k .

   1   n1 ,  2   n2 ,  A3   n3    ;   k   nk ,     ( - 1),     ,  1,  A2,  k,    n1 + n2 +  + nk ;  ,    () 1, 2, Ak .

   ,     ,         .

      :

     1, 2,  A   n1, n2, , nk  ,      n1 + n2 +  + nk .

          .

 .

   a   m ;       b   k ,     b      m ? k .

  A1   n1 ,  2 ( ,  A1  )   n2 ,  k ( ,      )   nk ,      1, 2, , k   n1 ? n2 ?  ? nk .

        .

 .

        .

.

       ( 5)    ,     5   0.

   90.

  :

1.      (10, 20, 30, , 90);

2.      (15, 25, 35, , 95).

        ,       :

9 + 9 = 18

: 18

  .

        ,   ,    0, 1, 7, 5, 8.

:

       xyz

   x -   .

    -   .

   z -   .

   ,       ;     .

   ,        .

       ,        .

         .

     ,   , ,       .

       .

     .

,       ;         (8  0).

   :

4 ? 5 ? 2 = 40

: 40.

2))    .

   ,   n  .

M = {a1, a2, , an}

1.   .

   n       ,      n .

.

  Pn  n ,   :

Pn = n!

n! = n ? (n - 1) ?  ? 3 ? 2 ? 1

:

              ,      n ,     n - 1        .

Pn = n ? (n - 1) ?  ? 3 ? 2 ? 1 = n!

 .

        .

P3 = 3! = 3 ? 2 = 6 ().

: 6 .

    .

      ,     a,   b,   c.

  ,    :

abc; acb; bac; bca; cab; cba

   .

: 6 .

      ,    .

   .

  .

       .

P6 = 6! = 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 720 .

: 720 .

     .

2.   .

   n   m , ,   ,    ,    ,       n   m .

.








:

      ;   ,   m     n,      n ,     (n - 1) ,     (n - 2) ,      (n - m + 1) .








 n = m, :








    0! = 1

  ,      ,    ,    ,  .








 .

         ,   .

      ;    ,     .

,    .








:  6 .

      , :

   ,   b,   c.

  ,      :

ab;  ac; ba;  bc;  ca; cb

  .

:  6 .

  .

           .

.

  ,   . ,   .

      -. ,    .








= 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5! / 5! = 30240 ().

:  30240 .

3.   .

   n   m ,    ,      n   m .

.








:

      ,    ;   ,   m     n,      n ,     (n - 1)        (n - m + 1) .

     ,     ,         m .








= n ? (n - 1) ? (n - 2) ?  ? (n - m + 1) / (m - 1) ?  ? 2 ? 1 = n! / m! (n - 1)!

     , :








 ,         .

  ,     .

  ,      ( ).

,   n   m ,     n   m     m .








= (n! / m! (n - m)!) ? m! = n! m! / m! (n - m)! = n! / (n - m)!

3))   .

1.   n   m ,    n   n - m .








2.








3.








 1.

     16 .

      ,          .

:

       16        ,           .








= 16! / 2! ? 14! = 16 ? 15 ? 14! / 2 ? 14! = 16 ? 15 / 2 = 120 ().

:  120 .

4))    .

   M {a1, a2, , an}

     ,      .

1.    .

    n   m ,     ,   ,       .

.








 1.

     ,   1  2.

:

  ,      1  2     .

    1  2 ,  ,      .

       .








     ,  :

1 1 1; 1 1 2; 1 2 1; 2 1 1; 2 2 1; 2 1 2; 1 2 2; 2 2 2

  .

  .

:  8 .

 2.

   4   10 .

    ,       .

:

            ,    ,   ,      (,  ,  ).

     ;            .








:  10 000

 3.

          ,    .

:

    .

          -. ,    .

      ;             .








:  100 000

2.   .

      n ,  m  ;      n1 ,    n2 ,   m -    n ;  n1 + n2 + n3 +  + n m = n

       

.

  Pn (n1, n2  nm)     ,   :

Pn (n1, n2  nm) = n! / n1! ? n2! ? nm!

:

  m  .

a1: a1 (1) a1 (2) a1 (3)  a1 (n1)

a2: a2 (1) a2 (2) a2 (3)  a2 (n2)

  

am: an (1) an (2) an (3)  an (nm)

n1 + n2 +  + nm = n

  n      .

1.       a1 a2  m   n1, n2,  nm

   Pn (n1, n2  nk) .

2.   ,     a1,    a1 (1) a1 (2) a1 (3)  a1 (n1)

    n1! .

   ,    a2    a2 (1) a2 (2) a2 (3)  a2 (n2)

    n2! .

        n   ;       1)  2)    n   .

      n    :

Pn (n1, n2  nm) = n1! ? n2! ? n3! ?  ? nm!

      n!

   :

Pn (n1, n2  nm) = n! / n1! n2!  nm!

 1.

           .




  .


   .

   ,     (https://www.litres.ru/book/vasilisa-volkonskaya/teoriia-veroiatnostei-kombinatorika-2-chast-74683899/)  .

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