. .  2027
 


      .    25       ,     2027 : 19      6    .    ,   .   :  ,  ,   ,  .

 : 25 , 31  , 235 .     2026  .

   .  ,   .  ,    .  ,   ,    ,     .

          .

 





 

. .  2027





.   



      :      ,     .

  .      .             .       : 25 , 31  , 235 .     ,          ,   .

    .   .              ,     .   ,  ,     .       .   ,      ,       .

      .




  


 .       .     15,    ,       .   : , , , , , , , , , , .       2      .

    :

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 1. -2027: , , 



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 2027          2026 .  :         .  .

   25      .

   19    .   ,      .     .      19.

   6    .   20  25.    .   12.

 31  .

  235 .  3  55 .   ,       .   :        ,     2   .

              .  . ,  ,    .    , ,    .




    


 15   .  ,    .   2027   : ,  ,  , .     , , , ,  .  ,  :    , ,  ,      .

   .    2027 :





 



6

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7

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8

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9

 



10





11

   



12

  



13

 



14

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15

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16

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18

   



19

   



       ,   .      :     7 ,    1,     2,    1,   1,   1,   5,     1.

   .         .  .     ,   :    14   20?      .




    


 ,    .











20

  





21

 





22

  





23

 





24







25

 





   ,   .   .      .

 2022  , 2325  .    4  5      :        .       .   :   ,     .




   


    19 ,   12.     .

        - .       - .       .     ,    ,        .

  :     ,    .  .




    


           .   :



 





07

2



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3



1521

4



2231

5



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   .          .       .  ,     ,     .




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 ,     .  ,    ,  ,     .

       .     ,  .     2025 .

 .   .     .   . .

 .    ,   ,      . ,    ,   ,    .  :  ,   .

 .  .   .     ,  ,   .

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 :      ,    ,     .    .    ,  ,  .

  21:  , 224 ,   2 /,   2 .    .

   .  v   .    v + 2.   224/v,   224/(v + 2).    2  : 224/v - 224/(v + 2) = 2.   v^2 + 2v - 224 = 0, v = 14  v = -16.  ,  v = 14. : 14 /.

 : , , ,  ,   .    .

   . 224/v - 224/(v+2) = 2.  14. : 14.  ,  ,      .       ,      :  ,   .

  .   16,  14,  2. : 14.    ,   .   ,   . .

 :  .      ,      .




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    235   .

010 .   .  ,  .  ,   .  ,   .  ,   .    .

1050 .  15,  .  ,     ,    .

50100 .  619.   ,   ,     - .  .

100120 .      .   ,    .    .  - ,   .

120200 .  .    20    .  21, 23, 24.  22  25   ,   .

200225 . .    .  .   .   ,     ,    .

225235 .   ,  .          .

 ,  .        .            .




    


  ,   .











15

5

3545 



619

14

5565 



2022

3

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2325

3

4555 







1520 



   235    .  : -   .

      ,         . ,   .     .

       .  :         ,  .    ,   .      . ,   .

  ,  : , , .    ,     .       .




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 :   ,   .      :   .           .          .    ,       911.

 :  2    .  20      .  23  ,    .     .        .

 :     ,      .  ,  .    .       ,   ,   .




    


        ,    .      .  ,           .

  .   .    .     .

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 2027 :

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  2  .

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1.      .

2.       .

3.        .

  ,  .       .     ,      .

    .       ,  .




  


     .     ,      2025.   ,    .

 N  1   .     .     ,  ,      .     ,     .    ,     ,      .

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    ;

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 N  2     .   ,   .    ,   .        .




   


       .       .  .  .   - .

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   : , ,  .  -  ,   .    ,    .

   .   ,      .     :    .

   ,    .   - .  ,   ,     ,    ,     .




   


   .     .   15  -   619.      2,     .         .

  .  1521 .          -  .  :     .   ,  ,          .

  .  2231.            .   20, 21  23.  22  25    .

  . 3031 .       -  .  ,       ,    .    .




 


   .         .       .      :    .

 .     ,    2,     .       .

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.   , , -.   .        .

      .      .

 :  . :     15,       ,     .

 :  . :      ,    .

  ,     .   ,  .    ,   ,   .

       1618 .













 15,  

5  5





, 10 

8  10





, 

4  5





,  11

3  3







4  5





 

 





 

 



    2  5,    :    ,    .    ,     .




  


   ,   .   ,      ,   .

   :

1.    .

2. .

3.   .

4.  .

5.  .

6.      .

 2027     .  ,         .   : 19 + 6, 31 .

 .       .   ,   .    .




  


    ? ,   .       47 ,   .     .

  ?  .       ,     .      .

   ,    ?       .   .    .

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   ? .     .




  


 1.   .  ,  .   ,       .

 2.  .         .   .

 3.    .      ,  2 .  20  .

 4.   .       .

 5.   .     .   .




:  


    .





 



  



   



  



  



 



     .      .

.  18 .  30   . : , , . : , .    .     .

:      17.     ,   .  ?

  :

1.   .   ,   .

2.     .   .

3.       .   .

4.   .      .

     .       ,   .     ,   .




 ,  


    ,     .  :        .   ,  .

  :  ,    .    ,   .

 :    .   ,        .




  


   .    .    .

  :

1.    -. - ,  .

2.  : , , , .

3.   .

    ,   .    ,    .      ,    .  ,    .




- 


25 : 19   , 6  .

31  , 235 .

   19 ,   12.

     5 ,    3.

 20      .

           ,     .

  ,  .

    ,   .

    15.   ,    .




 2.  15:  



        .    :       ,  ,        .

    ,   .        .        .      :  ,   ,  , ,   ,  , , .  ,   .

        .  .          ,       .




 


         .  .

 1.     .     .   ,    .      ,     .

 2.  .     .    : , , .       ,   .

 3. ,  .     .   ,      .        ,  .

 4.  .         ,  .      :  ,  , , .

 5.     .      63 .      640  .     .    ,     .

    ,    .




:   


     .    ,    .

   .  15%  2400. : 2400  x  0,15 = 360.

    . 18%    360.  . : 360 : 0,18 = 2000.

,       . ,   45   300. : 45 : 300  x  100 = 15%.

   .     -.     20%,     20%,     .      ,     ,   .

.   1000 .    20%  1200.    20%  1200  960. :  4%  .  .

  15       , ,    .

      . :   600   .     10%,     15%   .    ?

600  x  1,1 = 660.

660  x  0,85 = 561.

: 561 . :   ,       ,      .

 :    20%,    20%. : 0,8  x  1,2 = 0,96,    4%  .  ,    .

.    : +10%   1,1; -15%   0,85.   1,1  x  0,85 = 0,935.




 : ,   






 

 







1  = 100  = 1000 ; 1  = 25,4 





 

1 ^2 = 10 000 ^2







1  = 60 ; 1  = 60 







1  = 1000 ; 1  = 1000 





/

1 / = 1000/3600 /



    .

:     .     2 ,    4 ,    2.      5%,      5%    .         10%.

:   .         ,    .    ,     .




 1. 


  .      ,        .

  :    205/55 R16.       .        .   R     .    25,4 .

   ,      .

 . 55%  205 . : 205  x  0,55 = 112,75 .

   . 16  x  25,4 = 406,4 .

  .        . 406,4 + 2  x  112,75 = 406,4 + 225,5 = 631,9 .

.  : 631,9 : 2 = 315,95 .

    215/60 R16.

 : 215  x  0,60 = 129 .    : 406,4 .  : 406,4 + 258 = 664,4 . : 332,2 .

 : 332,2 - 315,95 = 16,25 .

 : 664,4 - 631,9 = 32,5 . :         .   ,   .    .

  .      ,   .    . ,       .

 : 664,4 : 631,9 = 1,05143.      5,143%.   :  5,1%.

    .        .  .       .       ,    .

 .   55%   ,    .      .         10.       ,    .

  .       6070 .   631,9   63 . .   6,3   6,3 ,  .




 2.  


  .      .   30  40 .     8  x  10,  4  x  4   6  x  4.   ,  ,     .

 . 30  x  40 = 1200 ^2.

 . 8  x  10 = 80 ^2.

 . 4  x  4 = 16 ^2.

 . 6  x  4 = 24 ^2.

 . 1200 - 80 - 16 - 24 = 1080 ^2.

    :     .   . 1080 : 3 = 360 ^2.

 :   1       .   .   :   30  x  40,   28  x  38.  : 1200 - 28  x  38 = 1200 - 1064 = 136 ^2.

  .    40  x  1    28  x  1: 80 + 56 = 136. .  .

.    30  x  30 .   : 0,3  x  0,3 = 0,09 ^2. : 136 : 0,09 = 1511,1...   ,  1512 .      20 ,  76 : 1512 : 20 = 75,6,  .

    .   75,6 .   1511,1 .         ,     .

.  : 2  x  (30 + 40) = 140 .       3,5    1 ,  : 140 - 3,5 - 1 = 135,5 .    850   : 135,5  x  850 = 115 175 .

 .          .  :    ,    . ,   .

       .   3  x  6 ,   2 ,   3 .         .

 .   3  x  2    6  x  2. : 2  x  6 + 2  x  12 = 12 + 24 = 36 ^2.

.  .     ,   1,5 ,           : sqrt(1,5^2 + 1^2) = sqrt3,25 ~= 1,8 .   6 .   : 2  x  1,8  x  6 = 21,6 ^2.

 . 36 + 21,6 = 57,6 ^2.   10%: 63,36 ^2.    : 64 ^2.

 .    3  x  6 = 18 ^2, ,     .    ,       10%.




 3. 


     .   :  ,  , ,   .        .

 .    :          .  .

.  .











 

 





450

300

20

3

120





600

500

30

2

100





800

800

50

1

80



: 420 , 26 .

 : 450 + (420 - 300)  x  3 + (26 - 20)  x  120 = 450 + 360 + 720 = 1530 .

 : 600 + 0 + 0 = 600 .    .

 : 800 .  ,   .

   , 600 .

 .    .      ,     .  ,       .

.                .   300    450  .




 4. 


    , , , .    ,   ,  .

 .      ,    .     .    ,       .

.   ,   ,     .     .  .

.  4  x  5 ,  2,7 .  0,9  x  2,1,  1,5  x  1,4.

 : 2  x  (4 + 5)  x  2,7 = 48,6 ^2.

: 0,9  x  2,1 = 1,89 ^2. : 1,5  x  1,4 = 2,1 ^2.  3,99 ^2.

 : 48,6 - 3,99 = 44,61 ^2.

 1,06  x  10   10,6 ^2. : 44,61 : 10,6 = 4,21.  : 5 .

:       .        ,   .  .

.      ,  ,  ,     .




 5. 


   .  , ,  ,  . : , , , .

      .   :   x    x  .    .      ,    .

.      0,6  x  0,5  x  0,8 . : 0,6  x  0,5  x  0,8 = 0,24 ^3.

    1800 /^3: 0,24  x  1800 = 432 .    ,  .         .  .

 .    ,   .    .      .

  :     ,  0,8 ,  0,6 ,  0,7 .    0,1 ^3.   1800 /^3.    ,     ,     3,5 ,   25   .

  . 0,8  x  0,6  x  0,7 = 0,336 ^3.

 . 0,336 - 0,1 = 0,236 ^3.

. 0,236  x  1800 = 424,8 .

 . 424,8 : 3,5 = 121,37.  : 122 .

. 122  x  25 = 3050 .

 :    425 ,  .   120,  .   12 000 ,     .

 .  ,    ,    .      : 80    0,8 ,   8 .




 :  


  ,      .   ,  .



 









205







55

%





16







25,4





   ,    .        .




     


  .

 .     .        .    .     , .

 .    ,     ?   10.  ,    ?   100.

 .     .      .          100.     ,  .

 ,        15:

1.    ?   ?

2.       ?

3.        ?

4.      ?

5.     ?

      , .      .




 


  15   ,      . :     ,   2 .    4  x  3 .   : 8  x  6 ,  48 ^2.

     ,  ,    .     ,    ,  .

 .          .   2 , ,     4 ^2,   2 ^2.     12,    12  x  4 = 48 ^2.




:  ,  


      .

 (, , , )   .    .

      ,    .

     ,  .

     ,  .

    ,   .     .      5000   .

 .  ,    .     .    ,     .




:   


  20  x  30    5  x  4    3  x  3 .   1    .     25  x  25 ,    16 .   ?

   .  : (5 + 2)  x  (4 + 2) = 7  x  6 = 42 ^2.  : 20 ^2.  : 22 ^2.

  . 0,25  x  0,25 = 0,0625 ^2.

 . 22 : 0,0625 = 352.

. 352 : 16 = 22.  22 .

. 22   x  16 = 352 .  352  x  0,0625 = 22 ^2. .




  


      .    ,  ,    .    .

:

1.   .

2.    .

3.      .

4.    .

5.     ,   .

.   5000 .  1,4.    1,2.  1,1.  0,95.

5000  x  1,4 = 7000.

7000  x  1,2 = 8400.

8400  x  1,1 = 9240.

9240  x  0,95 = 8778.

: 8778 .

 .    .      .      ,    .




  


-   .   100 .    ,       .

   : 50 .     ,   .  50 .

     ,    5   ,   45 . ,   .

 .    .   ,   .




  : 


 1.   20  x  30    20  x  30 = 600 .  600  .

 2.      .    , .

 3.   2  x  3  x  1,5    9 .  9  .

 4.  20  x  20    20  x  20 = 400 ^2.    : 0,2  x  0,2 = 0,04 ^2.

 5.       ,     . ,    .







1.  185/65 R15.     .

2.         .

3.  195/60 R15.         185/65 R15?

4.  25  x  36 .    .

5.   54 ^2   20  x  20 .   ?

6. : 500 , 400 , 25 .     2,5 ,   150 .   460   28 .   ?

7.  3,5  x  4,2 ,  2,6 .  0,8  x  2,0,  1,4  x  1,5.      ?

8.     15%,    15%.        ?







1. 185  x  0,65 = 120,25 .

2. 15  x  25,4 = 381 ; 381 + 2  x  120,25 = 621,5 .

3. 195  x  0,6 = 117 ; 381 + 234 = 615 . : 621,5 - 615 = 6,5 .

4.  900 ^2,  122 .

5.   0,04 ^2; 54 : 0,04 = 1350 .

6. 500 + 60  x  2,5 + 3  x  150 = 500 + 150 + 450 = 1100 .

7.  15,4 ;   40,04 ^2;  1,6 ^2;  2,1 ^2;  36,34 ^2.

8. 1000 -> 1150 -> 977,5.    2,25%.




- 


    .

     .

,       .

    .

     .

  .

     .

       .     .




 3.   .  



 6  ,  ,       .  ,   . ,   : , , ,   .   ,    .   ,   ,  .

    :    ,     . ,       .   2,4  x  0,15    ,       .

    6   .     ,    2   .




   6


 6   ,     .

    .    ,  ,  , .

    . ,  ,  ,  .

   .   ,   ,  .

    : ,     .           .

   .       ,   3^-^2,   sqrt50    x^2 - 9,   .     .

       .    (1,6 : 0,4 - 2,5)  x  3,2.   : ,    ,  . 1,6 : 0,4 = 4. 4 - 2,5 = 1,5. 1,5  x  3,2 = 4,8.  ,   .       ,    .

  : (0,6 : 3/5 + 1,4)  x  2^-^1.  3/5  0,6, : 0,6 : 0,6 = 1.   1 + 1,4 = 2,4.   1/2: 1,2.    ,          6.

 .         ,  .       .   :    .  ?   ?   ?    ,   .




   


  .   .

1.    .

2.   .

3.      .

4.      .

     .   12 : 3  x  2    3  2.    : 12 : 3 = 4,  4  x  2 = 8.   ,  12 : 6 = 2.    .

   : 10 - 4 + 3 = 9,   10 - 7 = 3.

. 20 - 3  x  4 = 20 - 12 = 8.  68   17.

. 2 + 3  x  4^2 = 2 + 3  x  16 = 50.  ,  ,  .

. 36 : 6 : 2 = 6 : 2 = 3.   ,   6 : (6 : 2).

. 1 - (2 - 3  x  4) = 1 - (2 - 12) = 1 - (-10) = 11.    .

    .  -5^2    (5  ),   -25.  (-5)^2     ,   25.   .  ,        6      .

   .  (2 + 4)/(1 + 2)  2,       .        , 2 + 4/1 + 2,  8.       ,    .

. (5 - 2^2)/(3^2 - 5) = (5 - 4)/(9 - 5) = 1/4.      ,   .    ,  .

  .       ,     .

7 - (3x - 4) = 7 - 3x + 4 = 11 - 3x.

   ,   .            .   ,   .

 ,     .

1. 8 - 2  x  3 = 18. : 8 - 6 = 2.

2. 12 : 3  x  2 = 2. : 4  x  2 = 8.

3. -3^2 = 9. : -9.

4. 5 - (2 - 7) = -4. : 5 - 2 + 7 = 10.

5. 2 + 3  x  4 = 20. : 14.

     .  :      . : .          .

 .        .   ,     ,   .    ,   ,   .  ,    .




 


    .       ,       .

  .  ,  .

3/4 + 5/6 = 9/12 + 10/12 = 19/12 = 1 7/12.

.   ,   .    ,   .

6/7  x  14/15.  6  15  3, 14  7  7: (2  x  2)/(1  x  5) = 4/5.

.     .

3/5 : 9/10 = 3/5  x  10/9 = 30/45 = 2/3.

 .    .   .

2 3/4 - 1 1/2 = 11/4 - 3/2 = 11/4 - 6/4 = 5/4 = 1 1/4.

 .      6.

(1/2 + 1/3)/(1/4 - 1/6).

: 5/6. : 3/12 - 2/12 = 1/12. : 5/6  x  12/1 = 10.

 .       -.  5/8  7/12: 5  x  12 = 60, 7  x  8 = 56.   .

  .  2:3 ,   ,      .     2:5,    2x  5x:    x,   .      .

.       3:7,  500 .  10,   50 ,  150   350 .

   .      .   ,   :       .         ,     .

 .

1/2 + 1/3 = 2/5. .     ,  2/5  .      .

  : (1 + 2)/(2 + 3) = 3/5.  :   ,  .

     ,     .    .




 


   .

  .   ,   . 3,75 + 12,4 = 16,15.

.   ,    ,     .

0,25  x  0,4: 25  x  4 = 100,   ,  0,100 = 0,1.

   .      ,     .

4,5 : 0,9 = 45 : 9 = 5.

1,44 : 1,2 = 14,4 : 12 = 1,2.

    10, 100, 1000.         .

3,7  x  100 = 370. 3,7 : 100 = 0,037.

 .     ,   .

0,5 = 1/2; 0,25 = 1/4; 0,75 = 3/4; 0,2 = 1/5; 0,125 = 1/8.

  :   0,5     2;   0,5     2;   0,25     4.

0,125  x  8 = 1; 0,25  x  4 = 1.      :    0,125    8.

  . 0,3^2 = 0,09,   0,9.           .

 .

0,5  x  0,2 = 0,01. : 5  x  2 = 10,    ,  0,10 = 0,1.

     100: 3,7 : 100 = 0,037,   0,37.

     3,75 + 12,4:   4  7,    5    .      : 12,40.




    


 : a^n   n ,   a. 2^4 = 2  x  2  x  2  x  2 = 16.

,    :











a^m  x  a^n = a^m^+^n





a^m : a^n = a^m^-^n



 

(a^m)^n = a^m^n



 

(ab)^n = a^nb^n



 

a^-^n = 1/a^n



 

a^0 = 1, a /= 0



 a^0 = 1?   a^n : a^n = a^0,      a /= 0  1.      ,    .

 . 2^-^3 = 1/2^3 = 1/8.        .      ,    .     .

 : 1/(2^-^3) = 2^3 = 8.     ,     .

  . (2/3)^2 = 4/9:   ,  .     : (2/5)^-^2 = (5/2)^2 = 25/4 = 6,25.

 . 4^3  x  2^5. ,  4 = 2^2,  4^3 = 2^6.  2^6  x  2^5 = 2^1^1 = 2048.  64  x  32  ,    .

9^2 : 3^3 = 3^4 : 3^3 = 3.

25  x  5^-^3 = 5^2  x  5^-^3 = 5^-^1 = 0,2.

  . 2^4 + 2^4 = 2  x  2^4 = 2^5.   2^8:     .

  .  a  x  10^n,  1 <= a < 10.

3 400 000 = 3,4  x  10^6.

0,00052 = 5,2  x  10^-^4.

     6?      :

(6,4  x  10^5) : (1,6  x  10^3) = (6,4 : 1,6)  x  10^2 = 4  x  100 = 400.

 .

2^3  x  3^3 = 6^6. :     ,   : 6^3.

a^m  x  a^n = a^m^n. :    .

10^-^4   . :  0,0001.







   a  ,    a. sqrt49 = 7,   7^2 = 49.

  20    : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400.

:

sqrt(ab) = sqrta  x  sqrtb  a >= 0, b >= 0;

sqrt(a/b) = sqrta : sqrtb  a >= 0, b > 0;

(sqrta)^2 = a  a >= 0;

sqrt(a^2) = |a|.

  . sqrt((-5)^2) = sqrt25 = 5,   -5.     .

    : sqrt(x^2) = |x|,  sqrt((x - 3)^2) = |x - 3|.

 .       .  sqrt(x - 3)    x >= 3.   6     ,     :      ,  -  .

 . sqrt50 = sqrt(25  x  2) = 5sqrt2. sqrt72 = sqrt(36  x  2) = 6sqrt2.

 . 3sqrt2 = sqrt(9  x  2) = sqrt18.

.     .

2sqrt8 + 3sqrt2 = 2  x  2sqrt2 + 3sqrt2 = 4sqrt2 + 3sqrt2 = 7sqrt2.

sqrt12 + sqrt27 - sqrt48 = 2sqrt3 + 3sqrt3 - 4sqrt3 = sqrt3.

. sqrt6  x  sqrt10 = sqrt60 = 2sqrt15.

. sqrt18 : sqrt2 = sqrt9 = 3.

.  3sqrt2  4.    : 18  16. , 3sqrt2 > 4.  ,    .

    . 1/sqrt2 = sqrt2/2.      sqrt2.    ,        .

 .

sqrt(9 + 16) = sqrt25 = 5,  sqrt9 + sqrt16 = 7.       .       ,   .

sqrt(a^2) = a.    a >= 0.  a ,  |a|.

sqrt50 = 25sqrt2. : 50 = 25  x  2,  25  -   5.




  


      .    .

|5| = 5; |-5| = 5; |0| = 0.

 |a - b|     a  b  .  |3 - 8| = 5,     : |8 - 3|  5.

  . |x| = 5   : 5  -5.     .

. |x - 2| = 3.   x  2  3,  x = 5  x = -1.  : x - 2 = 3  x - 2 = -3.

. |-7| - |3 - 8| = 7 - 5 = 2.

 . |a + b| <= |a| + |b|. : |3 + (-5)| = 2,  |3| + |-5| = 8.            .

.     .  ,     .

sqrt37: 6^2 = 36, 7^2 = 49. , 6 < sqrt37 < 7,     6.

sqrt54: 7^2 = 49, 8^2 = 64. , 7 < sqrt54 < 8,   7.

sqrt150: 12^2 = 144, 13^2 = 169. , 12 < sqrt150 < 13.

   .  sqrt10  3,2.  3,2  : 10,24.   10 < 10,24,  sqrt10 < 3,2.

 . 4,9  x  6,1    5  x  6 = 30.   29,89,      .

.       ,       ,    .     6,08 ,   .

 . ,  sqrt37 ~= 6,   .   6,   37  36.     .




  


 .    ,   .

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2;

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2;

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b);

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;

(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3;

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2);

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).

  .   ,    .  ,    ,        .  ,  ,   .

. (x + 3)^2 - (x - 3)^2. : x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 = 12x.    : ((x + 3) - (x - 3))((x + 3) + (x - 3)) = 6  x  2x = 12x.

. a^2 - b^2  a = 7, b = 3: 49 - 9 = 40.  (7 - 3)(7 + 3) = 40.

. (2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9.    : 2  x  2x  x  3 = 12x.

. (3a - 4b)^2 = 9a^2 - 24ab + 16b^2.   ,     .

. (5 - x)(5 + x) = 25 - x^2.

. x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2.     .

. 4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2. : (2x)^2 = 4x^2, 3^2 = 9, 2  x  2x  x  3 = 12x.

. (a + b)^2 - (a - b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 4ab.

. x^2 + 6x + 9  x = 97.   : (x + 3)^2 = 100^2 = 10 000.  97^2   ,  ?

 .

(a + b)^2 = a^2 + b^2. .   : (2 + 3)^2 = 25,  2^2 + 3^2 = 13.

a^2 - b^2 = (a - b)^2. . (5 - 3)^2 = 4,  5^2 - 3^2 = 16.

   : (a - b)^2 = a^2 - 2ab - b^2. :   , (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.




  


 :  , , .   .

 . 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2).   3,    .

x^2 + 5x = x(x + 5).

x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2).

. 2x^2 - 8x + 8 = 2(x^2 - 4x + 4) = 2(x - 2)^2.

2a^2 - 8b^2 = 2(a^2 - 4b^2) = 2(a - 2b)(a + 2b).

. ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b)(c + d).

  . x^2 + 6x + 9 - y^2 = (x + 3)^2 - y^2 = (x + 3 - y)(x + 3 + y).

 .   6       .   20    .     ,    .

 .

     : 3x^2 - 12 = 3x(x - 4). : 3x(x - 4) = 3x^2 - 12x,   3x^2 - 12.

  : 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4).   ,    .     .

     : a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + b^2). :     a^2 - ab + b^2.




 


     ,      .

. (a^2 - 9)/(a + 3) = ((a - 3)(a + 3))/(a + 3) = a - 3,  a /= -3.

. (x^2 - 4x)/(x^2 - 16) = (x(x - 4))/((x - 4)(x + 4)) = x/(x + 4),  x /= 4  x /= -4.

. (x^2 - 1)/(x^2 + 2x + 1) = ((x - 1)(x + 1))/((x + 1)^2) = (x - 1)/(x + 1),  x /= -1.

 . 1/a + 1/b = (a + b)/(ab).    ,    .

. 1/a - 1/(a + 1) = ((a + 1) - a)/(a(a + 1)) = 1/(a(a + 1)).       ,   .

  .   ,    :    ,     .

 .  ,   . (x + 2)/(x + 4)   2/4.    ,   ,   .

     .    (a + 3)   ,  a /= -3.   6   ,    20   :    .




 :  


 :  ,  .          .

.  (2x - 1)^2  x = -3.

(2  x  (-3) - 1)^2 = (-6 - 1)^2 = (-7)^2 = 49.

  ,  4x^2 - 4x + 1 = 36 + 12 + 1 = 49.   ,  .

. 3a^2b  a = -2, b = 3.

3  x  (-2)^2  x  3 = 3  x  4  x  3 = 36.   ,   .

. (x - 3)/(x + 1)  x = 0,5.

(0,5 - 3)/(0,5 + 1) = (-2,5)/1,5 = -5/3.

. (a^2 - b^2)/(a + b)  a = 3,7, b = 1,3.  : a - b. : 3,7 - 1,3 = 2,4.      13,69 - 1,69    5.

 .     : 3  x  -2^2  x  3.    3  x  (-(2^2))  x  3 = -36,   36.     .

   ,  . , (a^2 - 9)/(a + 3)  a = 5,2.   a - 3 = 2,2   .       27,04 - 9    8,2.  ,   .







1.   : 2,4  x  0,15 + 3,6.

2. : 5/6 - 3/4.

3. : (2/3)^2  x  9/8.

4.   : 3^-^2.

5. : sqrt75 - sqrt27.

6. : 2sqrt6  5.

7. : 12 : 3  x  2 + 5.

8. : 8 - 2  x  3^2.

9. : (-3)^2 - 3^2.

10. : 2 1/3 + 1 1/6.

11. : (3/4 - 1/2)  x  8.

12. : 4,8 : 0,6 + 2,7  x  3.

13. : 0,3^2 + 0,4^2.

14.   : (2/5)^-^2.

15. : 5^0 + 5^-^1.

16.   : 4^3  x  2^5.

17. : 9^2 : 3^3.

18. : 25  x  5^-^3.

19. : sqrt98 - sqrt50.

20.   : (sqrt7 - 2)(sqrt7 + 2).

21. : sqrt10  3,2.

22.      sqrt54?

23. : |-7| - |3 - 8|.

24. : (a - 4)(a + 4) - a^2.

25. : (x - 5)(x + 5) - (x - 3)^2.

26.   : 4x^2 - 20x + 25.

27.   : 16a^2 - 24a + 9.

28.   : 3x^2 - 12.

29.    (a^2 - 9)/(a + 3)  a = 5,2.

30.  (x + y)^2,  x - y = 3  xy = 4.

31. : (a + b)^2 - (a - b)^2.

32.    : 0,00052.

33.     2:5,  42.  .

34. : (6,4  x  10^5) : (1,6  x  10^3).







1. 0,36 + 3,6 = 3,96.

2. 10/12 - 9/12 = 1/12.

3. 4/9  x  9/8 = 1/2 = 0,5.

4. 1/9.

5. 5sqrt3 - 3sqrt3 = 2sqrt3.

6. (2sqrt6)^2 = 24, 5^2 = 25,  2sqrt6 < 5.

7. 4  x  2 + 5 = 13.

8. 8 - 18 = -10.

9. 9 - 9 = 0.

10. 14/6 + 7/6 = 21/6 = 3,5.

11. 1/4  x  8 = 2.

12. 8 + 8,1 = 16,1.

13. 0,09 + 0,16 = 0,25.

14. (5/2)^2 = 25/4 = 6,25.

15. 1 + 0,2 = 1,2.

16. 2^6  x  2^5 = 2^1^1 = 2048.

17. 3^4 : 3^3 = 3.

18. 5^2  x  5^-^3 = 5^-^1 = 0,2.

19. 7sqrt2 - 5sqrt2 = 2sqrt2.

20. 7 - 4 = 3.

21. 3,2^2 = 10,24,  sqrt10 < 3,2.

22. 7^2 = 49, 8^2 = 64,  7 < sqrt54 < 8.

23. 7 - 5 = 2.

24. a^2 - 16 - a^2 = -16.

25. x^2 - 25 - (x^2 - 6x + 9) = 6x - 34.

26. (2x - 5)^2.

27. (4a - 3)^2.

28. 3(x - 2)(x + 2).

29. (a - 3)(a + 3)/(a + 3) = a - 3 = 2,2.

30. (x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy = 9 + 16 = 25.

31. 4ab.

32. 5,2  x  10^-^4.

33.  21,  7,   3.  6  15,  90.

34. (6,4 : 1,6)  x  10^2 = 4  x  100 = 400.




- 


 : , ,     ,   .

       .

       .

:    ,   ,     .

:   ,    .

    ,    .

    -: sqrt(9 + 16) /= sqrt9 + sqrt16;   sqrt(a^2) = |a|.

  ,  .

     .

  :  , , .

   ,     .

  ,       .           ,   ,   6   .      :         .




 4.   



 7, 8  20     .    ,       .       ,     .

 ,     .      .    ,     .

   7  8  1       34  .  20  2   ,      1520 .    ,     ,    .




 


 : ax + b = 0. : x = -b/a,  a /= 0.

 a = 0  b = 0,   :   .  a = 0  b /= 0,  .

  : 3(x + 8) - 2(x - 8) = 8.

 : 3x + 24 - 2x + 16 = 8.     :     ,  -2  x  (-8) = +16.

 : x + 40 = 8. , x = 8 - 40 = -32.

: 3(-32 + 8) - 2(-32 - 8) = 3  x  (-24) - 2  x  (-40) = -72 + 80 = 8. .

     ,     . : (x - 1)/2 + (x + 2)/3 = 5.   6.   : 3(x - 1) + 2(x + 2) = 30. : 3x - 3 + 2x + 4 = 30.  5x + 1 = 30,  x = 29/5 = 5,8.

 .      -2x - 16.  ,  .     .




 


 : ax^2 + bx + c = 0, a /= 0.

: D = b^2 - 4ac.

D > 0   ;

D = 0   ;

D < 0   .

: x = (-b +/- sqrtD) / (2a).

: 2x^2 - 7x + 3 = 0. D = 49 - 24 = 25. sqrtD = 5. x_1 = (7 + 5)/4 = 3; x_2 = (7 - 5)/4 = 0,5.

 .  b = 0: ax^2 + c = 0.  c = 0: ax^2 + bx = 0,  x  .

: 3x^2 - 12 = 0 -> x^2 = 4 -> x = +/-2.    .

: x^2 + 5x = 0 -> x(x + 5) = 0 -> x = 0  x = -5.

  ,      .

x^2 - 8x + 15 = 0. D = 64 - 60 = 4. : (8 +/- 2)/2 = 5  3.

2x^2 + 5x - 3 = 0. D = 25 + 24 = 49. : (-5 +/- 7)/4 = 0,5  -3.

x^2 + 4x + 4 = 0. D = 16 - 16 = 0.  : -2.

3x^2 + x + 2 = 0. D = 1 - 24 = -23.  .

4x^2 = 25. x^2 = 25/4, x = +/-5/2 = +/-2,5.       2,5.     :  ,  (-2,5)^2 = 6,25  (2,5)^2 = 6,25.

  .      ,    . : x^2 - 6x + 5 = 0.     (x - 3)^2 - 4.  (x - 3)^2 = 4,  x - 3 = +/-2  x = 5  1.   ,   ,  ,     .       .

 .    x^2 + px + q = 0:    -p,   q.

: x^2 - 7x + 12 = 0.  3  4:  7,  12.

: x^2 - 11x + 30 = 0.   ,  11,  30.  5  6.

: x^2 + 3x - 10 = 0.  -3,  -10.  -5  2.

  ,   .   ,  .

 .  a + b + c = 0,    1,  c/a. , 2x^2 - 5x + 3 = 0: 2 - 5 + 3 = 0,  1  1,5.   .

 .    b.  x = (-b +/- sqrtD)/(2a),   (b +/- sqrtD)/(2a).    : x^2 - 5x + 6 = 0,  2  3.       (5 +/- 1)/2 = 3  2.    (-5 +/- 1)/2 = -2  -3. .




- 


    .    .

: (x + 1)/(x - 2) = 3.

: x /= 2.     x - 2: x + 1 = 3(x - 2). : x + 1 = 3x - 6.  -2x = -7, x = 3,5.    2,  .

: 3/(x - 1) = 2. : x /= 1. 3 = 2x - 2, x = 2,5. .

: (x + 2)/(x - 3) = 0.   ,    ,    . x = -2. .

 : 1/(x^2 - 1) = 1/(x - 1). : x /= +/-1.   x^2 - 1: 1 = x + 1,  x = 0.      ,  .

 : 1/(x - 2) + 1/(x + 2) = 4/(x^2 - 4). : x /= +/-2.

    x^2 - 4: (x + 2) + (x - 2) = 4.  2x = 4, x = 2.  x = 2    . ,  .

 .  ,     ,    .   .     .




 


  :   .       ,     .

.     ,   .

: x + y = 5; xy = 6.   y = 5 - x.  x(5 - x) = 6 -> 5x - x^2 = 6 -> x^2 - 5x + 6 = 0 -> x = 2  x = 3.  y = 3  y = 2. : (2; 3)  (3; 2).

.      ,  .

: 2x + y = 7; 3x - y = 3. : 5x = 10, x = 2.  y = 3.

,      : x^2 + y^2 = 25; x + y = 7.   y = 7 - x. : x^2 + (7 - x)^2 = 25 -> x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25 -> 2x^2 - 14x + 24 = 0 -> x^2 - 7x + 12 = 0 -> x = 3  x = 4.  y = 4  y = 3. : (3; 4)  (4; 3).

 .       . : y = x + 1  y = -x + 5.    x = 2, y = 3. : (2; 3).

  ,    .     ,   .    ,        .

 .   .        . ,    .     ,       .




 


  ,    :            .

: -3x + 4 > 10. : -3x > 6.   -3: x < -2.

 .   .      .     :     .

 .   x < -2,     -2,  .  : (-inf; -2).

  , x <= -2,  ,  (-inf; -2].

  :       .  x < -2  -3: -3  x  (-3) + 4 = 13 > 10, .    ,  0: 4 > 10 .    ,   .

   ,   .

 x > 5  x < 2    :  .

 x >= -5  x <= 3   [-5; 3].




 


  ,   .

  :

x + 3 >= -2,

x + 1,1 >= 0.

: x >= -5. : x >= -1,1. : x >= -1,1. : [-1,1; +inf).

      ,   .       -5,     -1,1,      -1,1.

  . x >= -5  x <= 3. : [-5; 3].

  . x > 5  x < 2.  .

   : x/2 + 1 > 0  3 - x >= 0.   x > -2,  x <= 3. : (-2; 3].

 .    .      ,    ,    .




 


   (x - a)(x - b) > 0  .

:

1.     .

2.    .     .

3.      .

4.    .

5.   .

: (x - 1)(x + 3) < 0.

: 1  -3.   .    x = 0: (0 - 1)(0 + 3) = -3 < 0. ,   (-3; 1)  .    . : (-3; 1).

  : (x - 3)/(x + 1) <= 0.   3   ,   -1 .   (3; +inf):  x = 4  1/5 > 0. : (-1; 3) , (-inf; -1) .   <= 0,   (-1; 3].

   : (x - 1)(x + 2)(x - 4) < 0. : 1, -2, 4.   (4; +inf)   ,  .  : (1; 4) , (-2; 1) , (-inf; -2) .  : (-inf; -2)  U  (1; 4).

 .    ,       . , (x - 2)^2(x + 1) > 0.   2  . :  x = 0  4  x  1 = 4 > 0,  x = 3  4 > 0,  x = -2  16  x  (-1) = -16 < 0. ,  (-1; 2)  U  (2; +inf).  2 ,    x = 2   ,   .




 


    ax^2 + bx + c > 0 ( <, >=, <=).    :  ,      ,      .

 a > 0,    .    ,   .

: x^2 - 5x + 6 > 0.  2  3.      [2; 3]. : (-inf; 2)  U  (3; +inf).

: x^2 - 5x + 6 <= 0.   ,        . : [2; 3].

  ,    .  a > 0    . , x^2 + 2x + 5 > 0    x,  x^2 + 2x + 5 < 0   .

 D = 0,      . , x^2 - 4x + 4 >= 0    x,   (x - 2)^2 .  x^2 - 4x + 4 > 0    x,  2.

  x^2.  a < 0,    -1   . : -x^2 + 3x + 4 >= 0.   -1: x^2 - 3x - 4 <= 0.  -1  4. : [-1; 4].

 .     : x^2 < 9 -> x < 3.  . : -3 < x < 3.      .




 20:   


  2027 : x <= 9/x.

   .        .

 1. . x /= 0.

 2.     . x - 9/x <= 0.

 3.    . (x^2 - 9)/x <= 0.

 4.  . (x - 3)(x + 3)/x <= 0.

 5.  .  : 3  -3.  : 0.   ,    .    .

  : -3, 0, 3.     (3; +inf):  4,  (1  x  7)/4 > 0. , .  : (0; 3) , (-3; 0) , (-inf; -3) .

   <= 0.   (-inf; -3]  (0; 3].

: (-inf; -3]  U  (0; 3].

 ,   : (x^2 - 4)/(x - 1) >= 0.

: x /= 1.  : (x - 2)(x + 2).   -2  2 ,   1 .   (2; +inf)  . : (1; 2) , (-2; 1) , (-inf; -2) .   >= 0: [-2; 1)  U  [2; +inf).

: x = 0  (-4)/(-1) = 4 >= 0, . x = 1,5  (2,25 - 4)/0,5 = -3,5 < 0,  . x = 3  5/2 = 2,5 >= 0, .

   .   .  ,    , ,   .    ,   .

     :

1. : ...   .

2.      .

3.    .

4.   .

5.  : ...;  : ....

6.    .

7.  .

 .     .     ,     .

 .     x   x^2 <= 9, ,    x   .   ,    .     ,     .     .




  


   ,      20.

|x| = 5 -> x = 5  x = -5.

|x - 2| = 3 -> x - 2 = 3  x - 2 = -3 -> x = 5  x = -1.

|x| = -3 ->  ,  .

      . |x| < 3 ,    x    3: -3 < x < 3. |x| > 3   : x < -3  x > 3.

: |2x - 1| <= 5.  : -5 <= 2x - 1 <= 5.  1: -4 <= 2x <= 6.   2: -2 <= x <= 3. : [-2; 3].

   : |x - 1| + |x + 3| = 6.      -3  1.  x <= -3     : -(x - 1) - (x + 3) = 6 -> -2x - 2 = 6 -> x = -4.    .  -3 < x < 1  -(x - 1) + (x + 3) = 4,   6   .  x >= 1: (x - 1) + (x + 3) = 6 -> 2x + 2 = 6 -> x = 2. : -4  2.

 .   .    ,    3   2   .




  


     20.

.   a  ax = 5   ?

 a /= 0,  x = 5/a.  a = 0,  0 = 5   . ,    a /= 0.

.   a  (a - 2)x = 3   ?

 a = 2,  0 = 3   .  a /= 2  . : a = 2.

 .   a  (a^2 - 4)x = a - 2    ?

 a^2 - 4 /= 0,  : x = (a - 2)/(a^2 - 4) = 1/(a + 2).  a = 2,  0 = 0    x,   .  a = -2,  0 = -4   . : a = 2.

 .   a,    a = 0.       .




 


       .      .

    ,   ,         .

: sqrt(x + 2) = x.   : x + 2 = x^2 -> x^2 - x - 2 = 0 -> x = 2  x = -1. :  x = -1   sqrt1 = 1,  -1.  .  -1 . : 2.

 : sqrt(x + 6) = x.    : x + 6 = x^2 -> x^2 - x - 6 = 0 -> x = 3  -2.  x = -2   sqrt4 = 2,  -2.  . : 3.

 .      .    .

   .   ,  ,  .      ,     .      ,   .




 


  2     ,   .  :  ,     ,  .

.   24    ,       2 / ,      1  .   .

   v /.   24/v.   24/(v - 2).  1 .

24/(v - 2) - 24/v = 1.

  v(v - 2): 24v - 24(v - 2) = v(v - 2).  48 = v^2 - 2v -> v^2 - 2v - 48 = 0.  8  -6.     ,  v = 8 /.

:  24/8 = 3 ,  24/6 = 4 ,  1 . .

    ,   . .    300 .     .    20 / .   3 .  .

 v   , u  .  u = v + 20. : 3(v + u) = 300,   v + u = 100.  u: 2v + 20 = 100, v = 40, u = 60.

: 3  x  (40 + 60) = 300. .

 . ,      .   ,     :         .




   


1.      ,  .

2.      .

3.    ,  , .

4.      .

5.    , .

     .   .      .

   :   .      ,    20   :    ,    .




  .


   .

   ,     (https://www.litres.ru/book/anna-belova-33903756/oge-matematika-repetitor-2027-74742858/)  .

      Visa, MasterCard, Maestro,    ,   ,     ,  PayPal, WebMoney, ., QIWI ,       .


