Логика Аристотеля. Том 4. Первая аналитика Аристотеля и формальная логика

Переводчик Валерий Алексеевич Антонов

© Александр Афродисийский, 2025

© Валерий Алексеевич Антонов, перевод, 2025

ISBN 978-5-0067-1456-4 (т. 4)

ISBN 978-5-0064-6688-3

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Александр Афродисийский. Комментарий к первой книги «Первой Аналитики» Аристотеля (Продолжение)

p. 40b15 Очевидно также, что все [силлогизмы] несовершенны и что они завершаются через первую фигуру.

Ведь это было сказано и относительно второй фигуры: «завершаются через упомянутые фигуры» – вместо «через упомянутую фигуру» он сказал «фигуры». Что же касается силлогизмов в этой фигуре, то они также несовершенны и завершаются через первую фигуру, это очевидно: одни были доказаны через обращение посылок, другие – через приведение к невозможному, в которых меньшая [посылка] была общеутвердительной, либо присущей, либо необходимой, а большая – частноотрицательной возможной. Он упомянул это доказательство только для смешения из возможной и присущей [посылок]; для смешения из необходимой и возможной [посылок] он лишь сказал, что заключение получается как возможное согласно определению, но не привёл само доказательство.

Текст: «И когда берётся отрицательная [посылка], а утвердительная – необходимая». Ведь из общеутвердительной необходимой меньшей [посылки] и частноотрицательной возможной большей [посылки] в третьей фигуре доказывается силлогистическое [заключение] и через приведение к невозможному, и через обращение.

Если мы преобразуем частновозможную отрицательную [посылку] А Г в утвердительную и обратим её, то будет выведено, что В возможно с некоторым А, а после обращения заключения будет доказано то, что было сказано ранее. Но через приведение к невозможному доказывается частноотрицательное возможное [заключение], а через обращение – частноутвердительное возможное [заключение]. Поэтому он и не использует доказательство через обращение в таком сочетании, так как не сохраняется отрицательный характер заключения при отрицательной посылке.

Таким же образом, даже если большая [посылка] является общеутвердительной необходимой, а меньшая – частноотрицательной возможной, [доказательство] проводится через оба вида обращения.

Дополнение к p. 40b15

Аристотель показывает, что все фигуры сводятся к первой через преобразования, но во избежание потери отрицательного характера (например, при обращении) предпочитает приведение к невозможному. Примеры иллюстрируют, как смешанные посылки (необходимые + возможные) требуют разных методов для корректного вывода.

1. Несовершенные силлогизмы (ἀτελεῖς συλλογισμοί) завершаются через первую фигуру (πρῶτος σχῆμα).

– Во второй фигуре (δεύτερος σχῆμα) это происходит через обращение (ἀντιστροφή) или приведение к невозможному (εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγή).

– В третьей фигуре (τρίτος σχῆμα) – аналогично, но с нюансами:

– Если меньшая посылка (ἐλάττων πρότασις) – общеутвердительная необходимая (κατηγορικὴ ἀναγκαία), а большая (μείζων πρότασις) – частноотрицательная возможная (ἐνδεχομένη στερητική), доказательство идёт через:

– Обращение (например, преобразование частноотрицательной возможной посылки в утвердительную).

– Приведение к невозможному (для сохранения отрицательного характера заключения).

2. Пример по логике:

– Через обращение:

– Дано: «Некоторые А не могут быть Г (возможно)» → преобразуем в «Некоторые Г могут быть А».

– Результат: «В возможно с некоторыми А» → после обратного вывода получаем искомое заключение.

– Через невозможное:

– Предполагаем противоречие к желаемому выводу (например, «В необходимо не с некоторыми А»), приходим к абсурду, подтверждая исходное утверждение.

ρ. 40b17 Итак, что (в этих фигурах силлогизмы завершаются через универсальные силлогизмы в первой фигуре.

Он говорит о силлогизмах во второй и третьей фигурах, напоминая нам о доказанном: ибо было доказано, что все силлогизмы в этих фигурах завершаются через первую фигуру либо непосредственно через обращение посылок, либо гипотетически через приведение к невозможному. Указание «универсальные» добавлено либо для того, чтобы показать, что все они сводятся к двум универсальным силлогизмам в этой фигуре (ибо это также было доказано, когда и те, кто выводят частные заключения в первой фигуре, были показаны как сводящиеся к двум универсальным первой фигуры через приведение к невозможному, а также к двум во второй фигуре, состоящим из двух универсальных посылок: если все сводятся к ним, то и завершаются через них, из которых получают свое бытие), либо слово «универсальные» здесь употреблено вместо «просто», ибо все универсальные и просто все завершаются через силлогизмы в первой фигуре. И сказанное можно понимать так: «завершаются же универсальные через силлогизмы в первой фигуре».

Дополнение к ρ. 40b17

Все силлогизмы зависимы от первой фигуры – как от архетипа (ἀρχή) логического вывода.

Аристотель (в Analytica Priora, 40b17) утверждает, что все силлогизмы второй (δευτέρα σχῆμα) и третьей (τρίτον σχῆμα) фигур сводятся к универсальным (καθόλου) силлогизмам первой фигуры (πρῶτον σχῆμα).

Как:

1. Через обращение посылок (ἀντιστροφή).

2. Через приведение к невозможному (εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγή).

Уточнение:

– Слово «универсальные» может означать:

– Сведение ко всем (πάντα) двум универсальным модусам первой фигуры (Barbara и Celarent).

– Или просто «вообще все» (ἁπλῶς πάντα) завершаются через первую фигуру.

Пример по логике:

– Вторая фигура (Cesare):

– «Ни одно P не есть M» + «Все S есть M» → «Ни одно S не есть P».

– Сводится к Celarent (1-я фигура) через обращение первой посылки.

– Третья фигура (Darapti):

– «Все M есть P» + «Все M есть S» → «Некоторые S есть P».

– Доказывается через reductio ad impossibile (если вывод ложен, возникает противоречие в 1-й фигуре).

p. 40b90 Что же всякий силлогизм вообще так устроен, теперь станет ясно.

Или его задача – показать, что никакой силлогизм не возникает вне трех указанных фигур. Но всякий находится в одной из этих фигур. Таким образом, будет одновременно доказано и то, что всякий силлогизм сводится к двум в первой фигуре, состоящим из универсальных посылок. Слова «всякий силлогизм вообще так устроен» означают либо то, что «так устроен, как мы перечислили и изложили, показывая силлогизмы в каждой фигуре (ибо всякий будет одним из указанных нами, или всякий, который берется: это будет доказано, если будет доказано, что никакой не возникает вне трех фигур, которые мы изложили; ибо если всякий возникающий находится в них, а те, которые в них, суть те, что мы изложили, то всякий возникающий силлогизм был бы в тех, что мы изложили)», либо «всякий силлогизм вообще так устроен, что сводится к универсальным в первой фигуре».

Дополнение к p. 40b90

Все силлогизмы укладываются в три фигуры и сводятся к Barbara/Celarent – как к основе (ἀρχή) дедукции.

– Любой корректный вывод (συμπέρασμα) зависит от универсальных модусов первой фигуры.

1. Структура силлогизма (συλλογισμός)

– Любой силлогизм строится по одной из трёх фигур (σχήματα).

– Невозможен силлогизм вне этих фигур.

2. Сведение к первой фигуре

– Все силлогизмы сводятся к двум универсальным модусам первой фигуры (Barbara, Celarent).

3. Доказательство

– Если все силлогизмы возникают (γίγνεται) только в трёх фигурах,

– а в них они уже изложены (διειλήφαμεν),

– значит, других форм нет.

Логика и примеры

– Пример сведения:

– Силлогизм второй фигуры Cesare (∀M ¬P, ∀S M → ∀S ¬P) сводится к Celarent (∀P ¬M, ∀S M → ∀S ¬P) через конверсию посылки.

р. 40b23 Необходимо, чтобы всякий силлогизм и всякое доказательство показывали, что что-либо присуще или не присуще чему-либо.

Он показывает, что всякий силлогизм будет одним из упомянутых и в одном из трёх фигур, сначала делая разделение того, что доказывается силлогистически, и затем каждое из того, что получилось в разделении, показывает не могущим быть доказанным иначе, как только через одну из трёх упомянутых фигур и через сочетания в них. Ибо когда это будет показано, то предложенное будет доказано.

Он принимает, что всякое доказательство и всякий силлогизм (используя теперь это имя в более общем смысле, чем доказательство) показывает, что что-либо присуще или не присуще чему-либо, и каждое из этого – или как общее, или как частное. Ибо он показывает, что присуще всему или ничему (это общее) или присуще некоторому или не всему (это частное).

Сказав же, что то, что доказывается силлогистически, есть это, он далее приводит и способы доказательств, говоря, что они доказывают или непосредственно, или из предположения. Непосредственными он называет те, которые доказывают категорически и без какого-либо предположения, но само предложение прямо и непосредственно (ибо они не употребляют имя «категорический» для этого способа доказательства, но имя «непосредственный», а «категорический» у них в обычае называть «утвердительным»). Из предположения же – те, которые полагают некоторое предположение в доказательстве и пользуются одной или несколькими предположенными посылками.

Он покажет, что и в доказательствах из предположения то, что доказывается силлогистически, показывается как присущее или не присущее чему-либо, и каждое из этого – или как общее, или как частное – доказывается через них.

Он говорит, что частью и видом доказательства из предположения является и доказательство через невозможное, показывая нам, что́ именно есть доказательство из предположения и почему оно называется таковым. Ибо и в доказательствах через невозможное, предположив противоположное тому, что хотим доказать, мы строим силлогизм, направленный на это, показывая его невозможность, сперва силлогизируя и показывая ложность и невозможность, а затем, как следствие, устанавливая истинное и предложенное.

О доказательствах из предположения он скажет далее, ибо рассуждение о них последует за этим. Сначала же он показывает, что все те, кто доказывает категорически и непосредственно, как он говорит, делают это через упомянутые фигуры. Ибо из них, говорит он, станет известным и то, что касается предположительных.

Дополнение к р. 40b23

Аристотель систематизирует логику, показывая, что все доказательства сводятся к комбинациям трёх фигур и двух типов (непосредственные и через предположение).

1. Цель силлогизма (συλλογισμός) и доказательства (ἀπόδειξις) – показать, что нечто присуще (ὑπάρχειν) или не присуще (μὴ ὑπάρχειν) чему-либо.

2. Три фигуры (σχήματα) силлогизма – единственные возможные формы доказательства.

– Доказанное силлогистически делится на:

– Общее (καθόλου) – «присуще всему» или «ничему».

– Частное (καθ» ἕκαστον) – «присуще некоторому» или «не всему».

3. Способы доказательства:

– Непосредственные (ἄμεσοι) – прямые, без допущений (категорические, но термин «κατηγορικός» у Аристотеля означает «утвердительный»).

– Из предположения (ἐξ ὑποθέσεως) – с дополнительным допущением (например, доказательство через невозможное (εἰς τὸ ἀδύνατον)).

4. Доказательство через невозможное:

– Принимается противоположное доказываемому.

– Строится силлогизм, ведущий к противоречию (ἀδύνατον).

– Отсюда следует истинность исходного утверждения.

Логика с примерами

– Пример общего утверждения (1-я фигура):

– Все люди смертны (καθόλου).

– Сократ – человек.

→ Сократ смертен.

– Пример через невозможное:

– Докажем: «Душа бессмертна».

– Предположим противоположное: «Душа смертна».

– Если душа смертна, то познание невозможно (логическое следствие).

– Но познание существует (очевидный факт).

→ Значит, исходное предположение ложно → душа бессмертна.

p. 40b30

Если бы нужно было вывести, что А присуще или не присуще В, то есть если бы нашей задачей было сделать утвердительное или отрицательное заключение об А по отношению к В (ведь доказательное [рассуждение] именно таково), необходимо взять что-то, сказывающееся о чём-то. Ибо если ничего не взять, то ничего и не будет доказано. Но даже если взять [что-то] гипотетически, силлогизм всё равно будет доказательным. Однако если взять что-то другое, сказывающееся о другом, но не связанное ни с А, ни с В, то вообще не будет речи об этих [терминах].

Более того, если бы мы взяли, что А сказывается о В, то мы бы взяли именно то, что хотим доказать, а это значит – взять исходное положение. Ведь исходное положение исследуется не как исследуемое, а как уже установленное. Следовательно, А должно сказываться о чём-то другом, или что-то другое должно сказываться об А.

Итак, если мы скажем, что А сказывается о Γ, а Γ не сказывается ни о чём, и ничто другое не сказывается о Γ, и также ничто другое не сказывается об А, то мы вообще не получим силлогизма. Здесь не хватает условия, чтобы и А не сказывалось ни о чём другом, ибо такова структура второй фигуры. Ведь силлогизм не получается, если взят только один [элемент]. Это означает, что если что-то взято относительно одного [термина], то из этого с необходимостью ничего не следует.

Он хочет сказать, что при взятии одного посыла ничего не следует силлогистически, ибо силлогизм – это рассуждение, в котором «если нечто положено», а не «если одно положено». Следовательно, нужна и другая посыла, чтобы доказать силлогистически, что нечто присуще или не присуще [чему-то].

Если, например, добавить, что А сказывается о другом [термине], допустим, о Δ, отрицательно, то получится силлогизм во второй фигуре, [устанавливающий отношение] Γ к Δ. Если же что-то другое сказывается об А, например Δ, силлогистически, то получится силлогизм в первой фигуре, [устанавливающий отношение] Δ к Γ. Если же о Γ, как и об А, сказывается что-то другое силлогистически, например Δ, то получится силлогизм в третьей фигуре, [устанавливающий отношение] А к Δ.

Поэтому он и сказал: «Ничто не мешает, чтобы из взятых таким образом [посыл] получился силлогизм, однако не будет доказано, что В или А сказывается [друг о друге], как было поставлено в задаче, или вообще что-либо из упомянутого, поскольку В изначально не был взят в положенных посылках и ни один из терминов не был с ним связан».

Но даже если мы будем брать [посылы] напрямую, например, что [А сказывается] о Γ, а Γ – о другом, и то [другое] – ещё о чём-то, то и в этом случае, если посылы взяты силлогистически, получится силлогизм в первой фигуре, где А будет сказываться о последнем взятом [термине], но не о В, если только он не был взят [в посылках].

Вообще, если не окажется термина, связывающего [рассуждение] с В, так же как и с А, то не будет и силлогизма об А по отношению к В, что и требовалось доказать. Ведь силлогизм одного [термина] относительно другого не получается, если не взят некоторый средний термин, который будет иметь некоторое отношение к обоим крайним [терминам], о которых нужно сделать доказательство, – либо будучи связанным с обоими, либо сказываясь о них обоих силлогистически, либо подчиняясь обоим, либо сказываясь об одном и подчиняясь другому.

Вообще, силлогизм состоит из посыл, имеющих некоторый общий средний термин. А силлогизм, относящийся к определённому [заключению], состоит из посыл, связанных с этим [заключением]. Поэтому, если взятые посылы никак не связаны с этим [заключением], ничто не помешает возникнуть силлогизму, но не [относящемуся] к этому [заключению].

Если, например, задачей было построить некоторый силлогизм относительно А, то нужно взять первый крайний термин, связанный через один из трёх [силлогистических] способов с некоторым средним [термином] и другим крайним [термином], иначе не получится силлогизм, относящийся к нему.

Например, если задачей было что-то вывести об удовольствии, и мы возьмём, что «всякое удовольствие согласно природе» и «всё согласное с природой избираемо», то мы построим некоторый силлогизм, относящийся к поставленной задаче. Но он не будет относиться к поставленной задаче, если мы возьмём: «всякое удовольствие есть движение» и «всякое движение несовершенно», ибо у нас не было определённого сказуемого.

Опять же, силлогизм одного определённого [термина] относительно другого строится из посыл, связанных с этим и этим [терминами].

Если же задачей было сделать заключение об А относительно В, то посылы должны быть связаны и с В, а не только с А, как это есть в взятых [нами посылах]. Ибо невозможно связать посылку с чем-то, если ни один из этих [терминов] не взят ни как подлежащее, ни как сказуемое.

Но и заключение об А относительно В никогда не получится, если не будет взят некоторый общий для них [термин], который их свяжет, а о каждом из них будет что-то утверждаться или отрицаться отдельно.

Итак, если силлогизм одного [термина] относительно другого возможен только тогда, когда взят некоторый общий для них средний [термин], а отношение среднего [термина] к тем, для которых он берётся как средний, бывает трёх видов (ибо он либо помещается между ними, будучи подлежащим для одного и сказуемым для другого, либо сказывается об обоих, либо подчиняется обоим), и кроме этих [вариантов] невозможно иное его положение и отношение к тем, для которых он берётся как средний, а указанные положения образуют три фигуры, то ясно, что всякий доказательный силлогизм осуществляется через одну из трёх упомянутых фигур и через все силлогистические сочетания в каждой из них.

Следовательно, всякий категорический, то есть доказательный, силлогизм будет одним из упомянутых [видов] силлогизмов.

Сказав и показав это, он добавляет, что тот же самый довод применим и в случае, если [связь] с В устанавливается через большее [число терминов]. Ибо даже если А связывается с В не через один средний термин, а через несколько, то взятие этих нескольких средних [терминов] также будет происходить согласно одной из трёх фигур.

Если, например, взято несколько средних [терминов] по прямой линии, так что А сказывается о Γ, Γ – о Δ, Δ – о Ε, а Ε – о В, то силлогизм об А относительно В будет в первой фигуре.

Если же Γ сказывается об А отрицательно, а о Δ – утвердительно, то во второй фигуре будет выведено, что А не сказывается ни о каком Δ. Если затем мы добавим к этому утверждению, что Δ не присуще ни одному В (поскольку это общеотрицательное утверждение), то будет выведено, что А не присуще ни одному В во второй фигуре через средние [термины] Γ и Δ.

Если же Γ сказывается обо всех Δ, и вновь В сказывается обо всех Δ, то в третьей фигуре получается, что В сказывается о некотором Γ. Если затем мы добавим к этому утверждению, что А сказывается обо всех Γ (поскольку это частноутвердительное утверждение), то будет выведено, что А сказывается о некотором В.

Если же Γ и В сказываются обо всех Δ, и вновь А сказывается обо всех Γ, то также получается, что А сказывается о некотором В через несколько средних [терминов] (через Δ и Γ) в третьей фигуре.

Далее он показывает, что и силлогизмы, построенные по предположению, осуществляются через одну из этих фигур, и в качестве примера приводит [силлогизмы] через невозможное, показывая, как и они исходят из предположения и выводят [заключение] через одну из трёх фигур.

Они исходят из предположения, потому что противоречащее тому, что хотят доказать, предполагается [в качестве посылы], а затем, рассуждая через это и некоторую другую истинную посылку, приходят к невозможному доказательным путём. Благодаря этому они устраняют предположение, являющееся причиной невозможного заключения, и утверждают противоречащее [ему], уже не выводя это посредством силлогизма.

Все доказательные силлогизмы, как было показано, осуществляются через одну из трёх фигур, следовательно, и силлогизм в приведении к невозможному также будет осуществляться через одну из трёх фигур, поскольку он категорический и доказательный.

Тот, кто доказывает через невозможное, силлогистически выводит ложность, как было сказано, а то, что он хочет доказать и что изначально было его задачей – через доказательный силлогизм, [а именно] противоречащее тому, что он предположил, – [устанавливает] через устранение этого [предположения], поскольку оно приводит к невозможному.

Например, если кто-то хочет доказать, что «ни один человек не является летающим», то через приведение к невозможному он предполагает противоречащее тому, что хочет доказать (а именно, что «некоторый человек является летающим»), затем, присоединив к этому истинную и общепризнанную посылку «всё летающее имеет крылья», он выводит через категорический силлогизм в первой фигуре, что «некоторый человек имеет крылья».

Силлогизм, получающийся через приведение к невозможному, таков, но исходная задача – доказать, что «ни один человек не является летающим» – доказывается не через силлогизм, а через то, что причиной невозможного заключения стало предположение, противоречащее тому, что требовалось доказать.

И это [предположение] устраняется, а [требуемое] утверждается в силу необходимости того, что одна из частей противоречия должна быть истинной.

Опять же, если кто-то хочет доказать, что «не существует движения через пустоту», то через невозможное он предполагает, что «есть движение через пустоту», а затем, доказав и выведя некоторое невозможное следствие из этого предположения, устраняет его и утверждает требуемое.

Он показывает, что если есть движение через пустоту, то более тяжёлые и более лёгкие [тела] будут двигаться с одинаковой скоростью. Ибо через категорический силлогизм [это выводится] так:

«В том, где нет ничего разделяемого движущимися через него [телами], все движущиеся [тела] необходимо движутся с одинаковой скоростью.

Но в пустоте нет ничего разделяемого движущимися через неё [телами].

Следовательно, в пустоте все движущиеся [тела] необходимо движутся с одинаковой скоростью».

Но это невозможно. Следовательно, невозможно и движение через пустоту.

Значит, движения через пустоту нет».

И в этом рассуждении через категорический силлогизм доказана невозможность, а то, что «нет движения через пустоту», утверждается через устранение предположения.

Дополнение к p. 40b30

1. Основная мысль

Для доказательства, что А (Ἀ) присуще или не присуще В (Β), нужны посылки (προτάσεις), связывающие эти термины через средний термин (μέσον). Без среднего термина силлогизм (συλλογισμός) невозможен.

2. Условия корректного силлогизма

– Средний термин должен быть связан с А и В одним из трёх способов (три фигуры силлогизма):

1. Первая фигура (πρῶτος σχῆμα): μέσον подчиняется А и подчиняет В.

2. Вторая фигура (δεύτερον σχῆμα): μέσον подчиняет и А, и В.

3. Третья фигура (τρίτον σχῆμα): μέσον подчиняется и А, и В.

– Если термины не связаны через μέσον, вывод о А и В невозможен.

3. Ошибки в построении силлогизма

– Взятие только одной посылки (μία πρότασις) – недостаточно.

– Неправильная связь терминов – если А и В не имеют общего μέσον, силлогизм не о них.

– Порочный круг – если А сразу сказывается о В, это не доказательство, а исходное утверждение (ἀρχή).

4. Примеры

– Правильный силлогизм (первая фигура):

– Всё Γ (μέσον) есть В.

– Всё А есть Γ.

→ Всё А есть В.

– Ошибка (нет среднего термина):

– Всё А есть движение (κίνησις).

– Всё движение несовершенно (ἀτελές).

→ Но вывод не о В, значит, силлогизм не решает задачу.

– Приведение к невозможному (εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγή):

– Предположим: «Некоторый человек летает» (ψευδές).

– Но «Всё летающее имеет крылья» (ἀληθές).

→ «Некоторый человек имеет крылья» (ἀδύνατον).

→ Значит, исходное предположение ложно.

5. Вывод

Любой доказательный силлогизм строится через одну из трёх фигур и требует:

– Двух посылок (δύο προτάσεις).

– Среднего термина (μέσον), связывающего крайние (А и В).

– Отсутствия порочного круга.

Без этого – вывод либо невозможен, либо не относится к поставленной задаче.

р. 41a26 Например, что диагональ несоизмерима со стороной, потому что при допущении соизмеримости нечетные числа становятся равными четным.

В качестве примера он сам использует доказательство через невозможное, показывая это на диагонали, как он, пользуясь доказательством через невозможное, демонстрирует то, что хочет обосновать. Ведь он не строит силлогизм, что диагональ несоизмерима со стороной, показывая это таким образом [что и есть то, что он хочет доказать], но, приняв противоположное – что она соизмерима со стороной, – он показывает через силлогистическое доказательство, что при таком допущении нечетные числа становятся равными четным. А поскольку это невозможно, то опровергается предположение, из которого это следовало, и через опровержение этого предположения обосновывается его противоположное – что диагональ несоизмерима со стороной, так как в любом случае одна из частей противоречия должна быть истинной, что и было изначально поставлено как задача.

А силлогизм о том, что нечетные числа становятся равными четным, если диагональ соизмерима со стороной, пусть будет таким: пусть есть квадратное поле ABCD, и пусть его диагональ – BT. Если диагональ BT соизмерима со стороной AB, то она будет иметь к ней отношение, которое число имеет к числу, ибо у Евклида в десятой книге «Начал» доказано, что «соизмеримые величины относятся друг к другу, как число к числу», и это есть четвертая теорема в десятой книге. Пусть отношение диагонали BT к стороне BA будет как число E к числу F, и пусть взяты наименьшие числа, имеющие то же отношение, взаимно простые между собой, ибо «наименьшие числа, имеющие то же отношение, взаимно просты». Это также доказано у Евклида в седьмой книге «Начал». Взаимно простые – это те, которые измеряются только единицей.

Пусть каждое из чисел E и F умножено само на себя, и пусть произведение числа H на себя будет I, а числа Θ – K. Следовательно, I и K – квадратные числа, и они также взаимно просты, ибо это тоже доказано в седьмой книге «Начал»: если два числа взаимно просты и каждое из них умножено само на себя, то получившиеся числа также будут взаимно просты.

Поскольку отношение диагонали BT к стороне AB такое же, как числа E к числу F, а отношение E к F такое же, как H к Θ, то и отношение диагонали BT к стороне AB будет таким же, как отношение числа H к числу Θ. И потому отношение квадрата диагонали BT к квадрату стороны AB будет таким же, как отношение квадрата числа H к квадрату числа Θ. А эти квадраты – I и K. Но квадрат диагонали вдвое больше квадрата стороны, следовательно, число I вдвое больше числа K. Поэтому I – четное, ибо всякое удвоенное число четно, так как делится на равные части. Но и его половина будет четной, ибо у квадратных чисел, делящихся на равные части, и половины четны. Следовательно, K, будучи половиной I, также четно. Однако оно и нечетно, ибо H и Θ были взаимно простыми. Но невозможно, чтобы четные числа были взаимно простыми, ибо четные числа не измеряются только единицей как общей мерой, что есть свойство взаимно простых.

Следовательно, либо оба должны быть нечетными, либо один из них, но оба оказались четными из-за предположения. Таким образом, при допущении, что диагональ соизмерима со стороной, нечетные числа становятся равными четным, что невозможно.

В этом доказательстве силлогизм привел к тому, что нечетные числа равны четным, что ложно. А то, что диагональ несоизмерима со стороной, доказывается через предположение: ибо, приняв противоположное этому, через силлогизм было показано, что из этого следует нечто невозможное, и через опровержение предположения утверждается другое, так как одно из них должно быть истинным. Это и есть доказательство через противоречие.

И если даже в приведении к невозможному силлогизм, приводящий к ложному, является доказательным, то есть категорическим, и завершается через одну из трех фигур, то и силлогизмы через невозможное, будучи частью гипотетических, также относятся к этим трем фигурам.

Дополнение к р. 41a26

Ключевые понятия

– Несоизмеримость (ἀσύμμετρος) – отсутствие общей меры для диагонали и стороны.

– Доказательство через невозможное (ἀπαγωγὴ εἰς τὸ ἀδύνατον) – метод, при котором опровергается допущение, ведущее к противоречию.

– Силлогизм (συλλογισμός) – логическое умозаключение, где из двух посылок следует вывод.

Ход доказательства (р. 41a26)

1. Допущение (ὑπόθεσις): диагональ соизмерима со стороной (ἡ διαγώνιος σύμμετρος τῇ πλευρᾷ).

2. Следствие: тогда их отношение выражается отношением целых чисел (ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν).

3. Приведение к противоречию:

– Если взять наименьшие взаимно простые числа (πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους), их квадраты тоже взаимно просты.

– Но по теореме Пифагора, квадрат диагонали вдвое больше квадрата стороны ⇒ одно число должно быть и чётным, и нечётным (ἄρτιον ἴσον περισσῷ).

4. Вывод: допущение ложно ⇒ диагональ несоизмерима.

Логическая структура

– Гипотетический силлогизм:

– Если A (соизмеримость), то B (чётное = нечётному).

– Но B ложно ⇒ A ложно.

– Пример (схематично):

– Допустим, √2 = m/n (m, n взаимно просты).

– Тогда 2 = m²/n² ⇒ m² = 2n² ⇒ m² чётно ⇒ m чётно.

– Но тогда n² = m²/2 ⇒ n² чётно ⇒ n чётно.

– Противоречие: m и n не могут быть оба чётными, если они взаимно просты.

Заключение

Аристотель показывает, что доказательство через невозможное опирается на:

1. Опровержение допущения (ἔλεγχος).

2. Утверждение противоположного (ἀντίφασις) по закону исключённого третьего.

Этот метод – частный случай гипотетических силлогизмов, но сводится к трём фигурам категорических умозаключений.

Пример из логики:

– Если все люди смертны (A), а Сократ – человек (B), то Сократ смертен (Г).

– В доказательстве от противного: Если C ложно, то либо A, либо B ложно.

Аналогично в геометрии: Если √2 рационален, то чётное = нечётному – но это абсурд, значит, √2 иррационален.

р. 41a37 Подобным же образом и все остальные [силлогизмы] из предположения.

Показав, как силлогизмы через невозможное, будучи из предположения, подводятся под три упомянутых ранее схемы, он говорит, что точно так же обстоит дело и со всеми остальными силлогизмами из предположения. Ведь так же, как в случае силлогизмов через невозможное, умозаключение относится к предположенному, которое, будучи принято вместо того, что мы хотим доказать, мы полагаем противоположным ему, и, доказав из него и из одного из данных [положений], строим силлогизм, – точно так же, говорит он, происходит и в остальных случаях силлогизмов из предположения. Ибо умозаключение относится к принятому [вместо искомого], будучи доказательным, а принятым называется то, доказательство и силлогизм о котором строится, – а это иногда бывает противоположным исследуемому, как в доказательстве через невозможное, иногда – взятым по соглашению, а иногда – тем, что новейшие [логики] называют присоединённым. Таким образом, силлогизм строится об этом [принятом], а первоначально исследуемое доказывается либо через некоторое соглашение, либо через другое предположение (ибо соглашение тоже есть предположение). Например, если исследуется, «могут ли противоположности сосуществовать или нет», и мы договоримся и согласимся друг с другом, что если это верно для одной из противоположностей, то верно и для всех, затем, взяв противоположности, докажем посредством силлогизма, что они не могут сосуществовать, приняв, что противоположности разрушают друг друга, а разрушающие друг друга не могут сосуществовать, – следовательно, противоположности не могут сосуществовать. В этом случае силлогизм получился категорический и доказательный относительно принятого вместо первоначально исследуемого. Ибо было положено, что «если противоположности могут сосуществовать», а вместо этого приняты противоположности, и о них было дано доказательство и силлогизм. А первоначально исследуемое после такого доказательства утверждается силлогистически через соглашение, поскольку мы договорились и согласились, что если это будет доказано для одной из противоположностей, то будет верно и для всех. В приведении к невозможному мы не нуждались в таком соглашении, а лишь в чистом предположении противоположного; но природа противоречия сама по себе есть причина того, что исследуемое доказывается через обнаружение невозможности выведенного.