- -
- 100%
- +
Наступит ли завтра новый день? Другими словами, будет ли завтра завтрашняя дата: число, месяц, год? Вероятность этого события близка к 100%. Но можно ли сказать, что она равна 100%? Нет, строго научно говоря, так сказать нельзя. Дело в том, что понятие даты, в частности, конкретной даты, завтрашней, определяется только и исключительно существованием нашей цивилизации, живущей на планете, вращающейся вокруг Солнца. А если предположить, что атомы и молекулы, составляющие нашу планету, сегодня разлетятся во все стороны, и планеты больше не будет, тогда и завтрашняя дата не наступит. Чему равна вероятность того, что атомы и молекулы Земли вдруг разлетятся? Да она почти равна нулю! Почти, но не равна. А следовательно, и вероятность наступления завтрашней даты почти равна 100%. Почти.
Вот ещё пример. Вчера было (прошлое определено чётко): один плюс один равно два. А завтра, в будущем, будет так? Да, с вероятностью почти 100%. Опять почти. При каких условиях этого может не произойти? Чтобы ответить в данном примере на этот вопрос, следует сначала уяснить себе, что такое математика. Математика — это инструмент, помогающий познавать мир. В данном текущем мире у нас математика такая: 1+1=2. Но если поля, атомы и молекулы всего мироздания пересоберутся по новой, вот прямо сейчас, и мы получим принципиально иной мир, с иной физической картиной, что тогда? Кто тогда нам будет гарантировать, что в новом мире сохранится это же равенство? Да никто! Какова вероятность того, что такая пересборка произойдёт? Почти ноль. Следовательно, и вероятность того, что в будущем равенство сохранится равна почти единице. Впрочем, и сегодня не всегда 1+1=2. Одна скорость света плюс ещё одна скорость света вовсе не даст в сумме две скорости света. Это понятно, да? Релятивистское сложение скоростей, согласно теории относительности Эйнштейна.
Или ещё пример. Какова вероятность пойти сегодня за хлебом и встретить на улице динозавра? Пятьдесят процентов: или встретим, или нет — это шутка. ☺ А если говорить серьёзно, то почти 0%. Потому что вероятность того, что атомы из воздуха соберутся в динозавра равна почти 0%.
Какова вероятность вытащить из множества всех могущих существовать двигателей вечный двигатель?
Почти ноль.
А почему не точно ноль? Разве вечный двигатель может существовать?
Существование вечного двигателя противоречит физическим постулатам: первому и второму началу термодинамики, и закону сохранения энергии как обобщению первого начала термодинамики. Но важно понимать, что сами эти постулаты являются истинными только потому, что в практической деятельности мы никогда не наблюдали нарушения их работы. Эти постулаты не выведены в науке теоретически. Они получены эмпирическим, опытным путём. Отсюда следует, что существует ненулевая вероятность того, что однажды эти постулаты не сработают. И тогда нам придётся переделывать по-новому всю науку. Но эта вероятность очень и очень маленькая. Настолько маленькая, что, по всей видимости, для осуществления события с такой вероятностью не хватит на эксперименты, как уже говорилось, даже всего времени существования нашей Вселенной. Именно поэтому в нашей Вселенной вечный двигатель признаётся несуществующим. Но строго научно говоря, вероятность его появления не равна, а почти равна нулю.
Какова вероятность того, что капитализм в капиталистических странах сменится коммунизмом, или для начала социализмом как первой стадией коммунизма? Эта вероятность равна почти ста процентам. Предсказание смены капитализма коммунизмом является научным предсказанием. Его делает общественная наука история. Когда мы рассматриваем движение газа, заполняющего объём, мы говорим, что хотя мы не можем предсказать движение каждой частицы газа, предсказание движения газа в целом является научным. Также и здесь. Мы не можем предсказать поведение, философское движение каждого отдельного индивидуума в социуме. Но поведение, философское движение социума в целом предсказывает наука история. И эта наука нам говорит, что капитализм обязательно сменится коммунизмом. Вероятность этого почти равна ста процентам. Потому что очень маловероятно, что всё общество в целом застрянет навсегда в капитализме или вообще пойдёт обратным путём: от капитализма к феодализму, затем — к рабовладению и — к пещерам первобытнообщинного строя.
Это мы рассмотрели крайние, можно сказать, сложные примеры. Но есть целое множество промежуточных примеров. Берём колоду карт, тасуем её, вытаскиваем карту наугад — какова вероятность вытащить джокера? Одна двадцать седьмая. Потому что в колоде из 54 карт 2 джокера. Вот таких примеров вообще огромное множество. Почти любое событие в мире попадает в подобные примеры средней вероятности (не почти нулевой и не почти единичной). Какова вероятность купить сегодня хлеб? Примерно 50%, если учитывать фактор «завезли или не завезли».
Но важно понять ещё некоторые вещи, касающиеся вероятностей.
Вероятность важно вычислять ту, которая действительно нам нужна, а не ту, которая только похожа на нужную нам, но не отражает истинной цели нашего вычисления. Например. Известно, что самолёт — более опасный вид транспорта, чем, к примеру, поезд. Это действительно так. И это подтверждается, в частности, более строгим режимом допуска в самолёт и даже в аэропорт. Отсюда уже совершенно точно можно говорить, что самолёт — это вид транспорта повышенной и очень повышенной опасности!
Но иногда нам утверждают разные люди, что вероятность попасть в аварию в самолёте меньше, чем вероятность попасть в аварию на другом виде транспорта. Однако я считаю, что здесь неправильный подход к задаче о вероятностях. Надо считать не вероятность попасть в аварию, а вероятность, попав в аварию, отделаться в ней максимум лёгким испугом, выйти, что называется, сухим из воды. И здесь вероятность для самолёта очень небольшая, к сожалению. Так показывает статистика.
Если вы не согласны с такой точкой зрения, то предлагаю вам мысленно решить двойную задачу.
Первая часть задачи такая.
На высоте одного метра над землёй лежит прочный устойчивый брус шириной десять сантиметров и длиной сто метров. Под брусом, десятью сантиметрами ниже него, натянута тонкая непрозрачная папиросная бумага так, что земли не видно. Весь брус на расстоянии не менее десяти метров от него накрыт непрозрачным колпаком так, что не только земли, но и строений на земле, и неба, и облаков не видно. Скорость ветра внутри этого колпака равна нулю — штиль. Осадков внутри колпака в виде, например, дождя, естественно, также нет. Вам предлагается пройти по этому брусу. Справитесь?
А вторая часть задачи такая.
Теперь представим всё то же самое, но этот брус теперь находится не на высоте одного метра над землёй, а на высоте сто метров. А теперь справитесь?
Я думаю, что во второй части задачи почти никто не справится.
А почему, собственно? Ведь для робота, к примеру, это абсолютно одинаковые задачи! Потому что вероятность «попасть в аварию» и свалиться с этого бруса абсолютно одинакова в первом и во втором случае!
А потому почти никто не справится, что мы не роботы. Потому что мы подспудно, интуитивно рассчитываем, что будет, если что-то пойдёт не так. Мы подспудно рассчитываем вероятность наихудшего события — не вероятность упасть с бруса, а вероятность наихудших последствий в случае падения. Вот я и предлагаю в самолётах тоже рассчитывать правильную вероятность, вероятность не пострадать в аварии в случае, если авария произойдёт, а не слушать тех, кто на самолётах не летает, но смело рассказывает о маленькой вероятности попасть в аварию. То есть о совершенно другой вероятности.
Есть ещё один момент в нашем вероятностном мире, который следует знать, чтобы понимать вероятности наступления событий правильно.
Если мы знаем вероятность события A при условии события B, — это обычно обозначается как P (A|B), — то это ещё не значит, что мы можем что-либо определённое сказать о вероятности события B при условии события A, то есть о значении вероятности P (B|A).
Это утверждение легко продемонстрировать следующим наглядным примером. Пусть событие A выражается фразой «На улице пасмурно», а событие B фразой — «Идёт дождь». Нетрудно видеть, что P (A|B) (вероятность того, что на улице будет пасмурно, при условии, что идёт дождь) близка к единице (может идти дождь, когда светит Солнце, но редко; чаще всего, если идёт дождь, то пасмурно), а P (B|A) (вероятность того, что пойдёт дождь, при условии, что на улице пасмурно) — вообще говоря, неизвестна, поскольку нередко бывает так, что пасмурная погода не приводит к дождю.
Вероятность всегда нацелена в будущее. Это тоже важно помнить и понимать. Нельзя считать вероятность уже происходящего события, как и нельзя считать вероятность уже произошедшего события. Это будет неправильный подход. Например, мы бросаем монету, которая может выпасть орлом или решкой. Какова вероятность выпадения орла? Строго говоря, не 50%, потому что монета несимметрична относительно продольного сечения. Картинка орла отличается от картинки решки. Но это влияние на вероятность настолько мало, что им обычно пренебрегают. И говорят, что вероятность выпадения орла — такая же, как вероятность выпадения решки — пятьдесят процентов, или одна вторая. Но предположим, что мы уже кинули монетку — и она выпала орлом. Чему равна вероятность того, что монета уже выпала орлом? Ничему. Потому что вероятность не считается для событий, которые уже произошли.
Бесконечности
Теперь предположим, что множество возможных событий бесконечно, состоит из бесконечного числа элементов. Например, это множество натуральных чисел, то есть чисел вида: 1, 2, 3,… Поскольку натуральных чисел бесконечное число, — к любому натуральному числу можно прибавить единицу и получить следующее натуральное число, — то множество возможных событий, представляющее собой множество натуральных чисел, бесконечно.
Будем проводить следующий эксперимент. Задумаем некоторое конкретное натуральное число. Из множества натуральных чисел будем извлекать одно натуральное число. Чему равна вероятность того, что извлечённое натуральное число будет заранее заданным, совпадёт с тем числом, которое мы задумали?
Очевидно, что для любого числа, какое мы бы ни задумали, эта вероятность будет равна нулю, один делённое на бесконечность. (Можно обозначать число бесконечность общепринятым математическим символом — буквально «восьмёрка, лежащая на боку», но я предпочитаю, по возможности, описывать математические термины обычными словами языка, чтобы эта книга была понятна не только математикам, но и всем остальным уважаемым читателям). То есть получается так, что попытка извлечь какое-то натуральное число из множества натуральных чисел, согласно теории вероятностей, является невозможным событием. Но ведь какое-то число мы же извлечём! Получается тогда что, парадокс? Произошло невозможное событие, имеющее своей вероятностью ноль?
С точки зрения математики — да, получается. Но не совсем. Предлагаю здесь учитывать одно свойство чисел. А именно. Каждое число является конкретным, кроме числа бесконечность. Что это значит? Это значит, что какое бы не равное бесконечности, конечное число мы ни выбрали — то ли сколь угодно большое, то ли сколь угодно маленькое число, состоящее из цифр, это число всегда можно на числовой прямой показать конкретной точкой. (Не нарушая общности, здесь в нашем примере подразумеваем натуральное число). Число бесконечность, не выражающееся в конечном числе цифр, никакой конкретной точкой на числовой прямой показать нельзя. Число бесконечность — это абстракция, подразумеваемая где-то очень-очень далеко на числовой прямой. (Не нарушая общности, здесь в нашем примере подразумеваем плюс бесконечность. Но в математике существует и минус бесконечность).
Бесконечность — это именно абстракция, а не конкретная точка. Это, если можно так выразиться, «размытость», а не точка. Это стремление. Это вектор увеличения значений чисел.
Следовательно, и вероятность вытащить конкретное число из множества натуральных чисел — это не совсем ноль, но стремление к нулю. То есть почти ноль.
В этом смысле бесконечности как конкретного числа на числовой прямой не существует. В то же самое время сама по себе бесконечность безусловно существует. Числовая прямая бесконечна — и это факт. Ряд натуральных чисел бесконечен — и это тоже факт. Природа бесконечна в своём многообразии, неисчерпаема; процесс познания природы бесконечен — и это также факт. И так далее. То есть следует отличать актуальную, реально существующую бесконечность и потенциальную, бесконечность как «размытость», как стремление.
Более того, если мы возьмём на бесконечной числовой прямой конечный отрезок, сколь угодно малой, но ненулевой длины (не нарушая общности, например, отрезок [0, 1]), то на этом отрезке, никак не мешая друг другу, разместится бесконечное число чисел. В примере с отрезком [0, 1] — действительных чисел: совокупности рациональных и иррациональных. Но даже и число рациональных чисел на отрезке [0, 1] будет бесконечным — это числа типа: 1/10, 1/100, 1/1000, 5/6, 7/9 и тому подобные. В то же время и число иррациональных чисел бесконечно — это числа типа: основание натурального логарифма — число e, приблизительно равное 2,7182818…, квадратный корень из 2, приблизительно равный 1,4142135… и тому подобные. То есть мы успешно размещаем бесконечности в конечном! Причём реальные бесконечности, а не «размытые», не стремления к бесконечности! Причём заметим, что бесконечное количество иррациональных чисел на отрезке [0, 1] равно бесконечному количеству действительных чисел, включающих в себя и рациональные, и иррациональные числа. Для бесконечных множеств, то есть множеств, имеющих бесконечное число своих членов, это нормально: часть не обязательно будет меньше целого по количеству элементов; они могут быть равны.
Теперь предположим, что у нас имеется автомат, извлекающий из множества натуральных чисел какое-либо натуральное число случайно. Как вы думаете, какое именно натуральное число скорее всего этот автомат извлечёт: очень маленькое, маленькое, большое или очень большое?
Сразу отметим, что такой автомат может только подразумеваться в идеальном, совершенном математическом мире, потому что в реальном физическом мире никакие автоматы не имеют дела с бесконечными множествами. В реальном физическом мире все множества в наших экспериментах всегда конечны. Даже непрерывные множества.
Конечность непрерывных множеств определяется «конечностью» наших измерительных приборов, то есть мы не сможем с бесконечной точностью вычислять элемент непрерывного множества. Это легко увидеть на простом примере. Пусть у нас имеется на плоскости квадрат со стороной 1 метр. Пусть этот квадрат находится в декартовой системе координат. То есть любая точка внутри этого квадрата имеет точное значение своей абсциссы и ординаты. Мы бросаем монетку внутрь этого квадрата — и вычисляем координаты центра тяжести упавшей монетки в системе координат. Центр тяжести монетки — это точка. Она при падении монетки совпадёт с какой-то точкой внутри квадрата. Количество точек внутри квадрата бесконечно. Множество этих точек непрерывно: квадрат не имеет разрывов. Но мы никогда не вычислим координаты центра тяжести упавшей монетки с абсолютной, бесконечной точностью. Вычислять координаты с бесконечной точностью нам не позволят наши измерительные приборы. С помощью линейки или рулетки мы вычислим координаты с точностью до миллиметра. С помощью штангенциркуля — с точностью до одной десятой доли миллиметра. С помощью микрометра — с точностью до одной сотой доли миллиметра. И так далее. Но никогда — с точностью до бесконечно малой доли миллиметра, с точностью до размерности точки, размерность которой, как известно, равна нулю. То есть с бесконечной точностью мы вычислить не сможем. Именно поэтому в реальном физическом мире при постановке наших экспериментов даже непрерывные множества всегда имеют конечное число своих членов.
Итак, какое именно натуральное число скорее всего извлечёт наш математический аппарат?
Правильный ответ на поставленный вопрос будет таким. Скорее всего этот автомат извлечёт очень большое число, в идеале бесконечное.
Хотя вероятность извлечь любое конкретное натуральное число равна нулю, тем не менее скорее всего будет извлечено число очень и очень большое. И здесь тоже получается парадокс: вероятность, равная нулю для маленького числа вовсе не то же самое, что вероятность, равная нулю для большого числа. Получается, что ноль не равен ноль?
Нет, ноль равен ноль. И этот парадокс кажущийся. Чтобы это понять, давайте рассмотрим, как проводится наш эксперимент. Будем рассматривать группы натуральных чисел и считать количество цифр натуральных чисел в каждой группе.
Для однозначных натуральных чисел имеем натуральные числа от 1 до 9 включительно. Таких чисел всего 9, и количество цифр в каждом из этих чисел равно 1.
Для двузначных натуральных чисел имеем натуральные числа от 10 до 99 включительно. Таких чисел всего 90, и количество цифр в каждом из этих чисел равно 2.
Для трёхзначных натуральных чисел имеем натуральные числа от 100 до 999 включительно. Таких чисел всего 900, и количество цифр в каждом из этих чисел равно 3.
И так далее. Вплоть до многозначных натуральных чисел с числом цифр в каждом, стремящемся к бесконечности. И число таких чисел тоже стремится к бесконечности.
Таким образом, замечаем, что чем больше цифр в числе, тем больше натуральных чисел, имеющих именно столько цифр, у нас имеется. Казалось бы, что отсюда следует, что максимальная по количеству группа натуральных чисел — это числа от бесконечности до бесконечности включительно, и количество цифр в каждом из этих чисел должно быть равно бесконечности. Однако не забываем, что бесконечность здесь — это, как мы условились, «размытость», поэтому здесь от бесконечности до бесконечности мы будем иметь не бесконечное число чисел, а одно число — саму бесконечность. Но это одно число бесконечность в нашем эксперименте по применению автомата для извлечения чисел будет представлена не одним, а бесконечным числом чисел. Здесь нет противоречия. Чтобы это понять, давайте рассмотрим два бесконечнозначных числа: 111…11 и 111…12, где число единиц в каждом числе равно бесконечности. Кажется, что это два разных числа: одно отличается от другого на единицу. Но на самом деле это не так. Эти два числа равны между собой. Потому что каждое из них равно одной и той же бесконечности. Так как бесконечность есть «размытость», то бесконечность плюс один равняется бесконечности. Бесконечность плюс два равняется бесконечности. Бесконечность плюс миллион равняется бесконечности. И даже бесконечность минус сто триллионов тоже равняется бесконечности.
Таким образом, работа с бесконечностями требует осторожности. С бесконечностями не всегда легко срабатывают математические операторы, к которым мы привыкли в математике конкретных и конечных чисел: операторы сложения, умножения, деления, вычитания.
Теперь посмотрим на работу нашего автомата по извлечению чисел и зададим вопрос — что более вероятно: что автомат извлечёт однозначное натуральное число, двузначное, трёхзначное, и так далее, или бесконечнозначное?
Поскольку в группе бесконечнозначных чисел число бесконечность представлено бесконечным числом чисел, что значительно больше, чем число чисел в группах однозначных, двузначных, трёхзначных, и так далее …значных чисел с конкретным, не бесконечным числом цифр, то скорее всего автомат извлечёт именно очень и очень большое число, в идеале бесконечное.
Таким образом, хотя вероятность извлечь любое конкретное (заранее заданное, известное) число из множества натуральных чисел стремится к нулю, тем не менее вероятность извлечь какое-то бесконечнозначное натуральное число стремится к единице. Кажется, что мы получили ещё один парадокс математики. Но это опять кажущийся парадокс. Всё дело в том, что в первом случае мы извлекали любое конкретное число из множества натуральных чисел — и получили вероятность стремящуюся к нулю, так как конкретное натуральное число имеется на числовой прямой всегда в единственном экземпляре. А во втором случае мы извлекали какое-то число с условием, что оно бесконечнозначное. А таких чисел, каждое из которых само по себе равняется одной и той же бесконечности, как мы выяснили, имеется на числовой прямой бесконечное число — и мы получили поэтому вероятность, стремящуюся к единице. Это разные вероятности: вероятность извлечь конкретное число и вероятность извлечь какое-то бесконечное число с условием, что оно бесконечнозначное.
Конец ознакомительного фрагмента.
Текст предоставлен ООО «Литрес».
Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.
Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.