Восхождение к вершине гиперкуба. Великая теорема Ферма для миллиардов обычных людей

– Итак, Матвей, за что Вы его так сильно ударили? – обратился профессор Борщов со своей обычной доброй улыбкой. За столом в комнате примирения сидели подравшиеся одноклассники: Матвей Строев и Сергей Тагильцев.

– Я его не ударил, а бросил через бедро… с подсечкой – чуть смущёно ответил Матвей, – но я не ожидал, что он упадёт так неудачно.

– Так за что? – уже строже переспросил Борщов.

– Ну он оскорбил меня… он назвал меня китайцем – Матвей посмотрел на Сергея с сожалением.

– А это было действительно так? – обратился Борщов к Сергею.

– Да, мы спорили о музыке, о Рей Чарльзе, ну о том самом слепом пианисте из США и мы… то есть я, неожиданно перешли на личности – Сергей потупился и замолчал. – ну словом, я больно и неудачно упал от его приёма. Я уже не обижаюсь на Матвея.

– Я тоже, – слегка улыбнувшись сказал Матвей.

Борщов облеченно откинулся на стуле и резюмировал:

– Таким образом инцидент исчерпан?

– Да, можно считать исчерпанным, – ответили разом Матвей и Сергей, оба они уже посматривали на дверь комнаты.

– Можно мне выразить Вам свои пожелание на будущее? – остановил их жестом Борщов.

– Да, – последовал общий ответ мальчиков.

– Нужно уметь контролировать свои эмоции. Ответ должен быть соразмерен. Лучше ограничиться шуткой, без применения физической силы, потому что даже ненароком можно покалечить человека и всю жизнь потом каяться. – Борщов посмотрел на Матвея. – А словом можно и убить… это я к тому, что есть такие обидные слова которые вспыхивают как порох, – Борщов уже смотрел в сторону Сергея. – пожар легче предупредить, чем потушить. Словом, каждый из Вас извлёк из этого ЧП свой урок. Надеюсь, что обид не осталось?

– Да, мы теперь вместе будем ходить заниматься борьбой – ответил Сергей с улыбкой.

– Вот и отлично! – облегченно подытожил Борщов. – Я не буду рекомендовать на педагогическом совете прекратить дело примирением. И ещё минутку, коллеги, распишитесь в этом журнале… здесь и вот здесь.

Матвей и Сергей стремительно проследовали на второй завтрак, который начинался после второй пары занятий аккуратно в 12:20 в фойе школы.

– Выходит что, Гангрена всё таки подала на меня докладную с рекомендацией об отчислении из школы? – Матвей, изобразил на ходу рукой полет самолёта обратно домой к родителям.

– Скорее всего, – пожав плечами быстро ответил Сергей. И оба одноклассника продиффундировали через толпу к столам, где были расставлены стаканы с чаем и булочками.

Гангреной одноклассники называли между собой классного руководителя и одновременно преподавателя математики девятого-четвертого класса физико-математической школы-интерната, где обучались школьники девятых – одиннадцатых классов, победители олимпиад по физике, математике, химии. Поскольку классов было много, вместо буквенного обозначения А, Б, В, Г использовались цифры: 9, 9, 9, … 10, 10 … вплоть до тринадцатого-четырнадцатого. 1 2 3 1 2

Матвей был призером олимпиады по физике увлечённым трудоголиком и одновременно страшным разгильдяем, как его метко охарактеризовала Генриетта Григорьевна или просто Гангрена. Она упрекала Матвея в «индифферентном отношением к общественной жизни в классе», несвоевременной сдаче зачётов и лабораторных работ, в нарушении режима самоподготовки, как например игра с одноклассниками в карты на расстеленном на полу одеяле – Ведь мы прежде чисто вымыли пол! – оправдывался Матвей, просто захотелось немного вспомнить о доме!… – Но разве этот аргумент имел хоть какое-нибудь значение для Гангрены? Именно в период обострения воспитательной работы Гангрена обнаружила на столе Матвея тетрадь с торчащей стопкой листов. Вынув их для приведения тетради в приличествующий вид, Гангрена пробежала по диагонали записи Матвея и громко рассмеялась: А он ещё увлекается такими бессмыслицами! Ещё один горе-математик пытается штурмовать Великую теорему Ферма! За этим последовало наставление о необходимости прилежной учёбы. Но Матвей не сдавался, он пошёл на принцип и заявил, что скорее бросит физматшколу, чем откажется от поиска краткого доказательства Великой теоремы Ферма! Ну-ну, мы это ещё посмотрим, …  – последовал ехидный ответ Гангрены. Так было заключено это кабальное для Матвея пари. Как это ни удивительно, но близкие друзья поддержали выбор Матвея, хотя и считали его пари чистым безумством. математик

Профессор Борщов преподавал в физико-математической школе, вызывал уважение ребят, потому что умел надёжно хранить их секреты, никогда не выступал с менторских позиций, и даже если ему приходила в голову мысль дать кому- то совет, он делал это только с разрешения собеседника. Школьников профессор называл уважительно на «Вы», как себе равных, и никогда им не «тыкал». Одновременно ребята не чувствовали дистанции, что называется (конфликта поколений) с профессором в два с половиной раза более старшего возраста, чем любой из них. В его кабинете было уютно и уже стояла маленькая новогодняя ёлка в преддверии праздника. Примирительная процедура произошла как раз в накануне зимней сессии школьников. Борщов проводил время от времени такие школьные медиации, «чтобы не потерять форму», как любил объяснять он коллегам. generation gap

Картины прошедшей примирительной процедуры прокручивались в голове Матвея вместе с целым роем мыслей. Как чувствует себя сейчас его старший брат Денис после неудачного падения с подоконника второго этажа студенческого общежития? Воображение Матвея снова воспроизводит сюжет о том, как его старший брат, откликаясь на просьбу однокурсницы открыть захлопнувшуюся дверь, решается перелезть через окно соседней комнаты с тем, чтобы открыть форточку и затем дверь, с этим коварным английским замком изнутри. Но нога соскальзывает с подоконника, вернее, сам подоконник неожиданно съезжает куда-то вбок, и Денис, не рассчитав усилий, падает вниз. В результате – перелом суставов ног, тазобедренного сустава. Нужна срочная дорогостоящая операция. Затем появляются из ниоткуда три этих вложенных в другу в друга кубика и один и тот же сверлящий вопрос: почему в плоскости Пифагоровы тройки существуют, а уже начиная с трёхмерного случая – нет? Мысленно Матвей снова рассекает куб на шесть равных пирамид. Он ищет взором что-то напоминающее эту картину на орнаменте красивого деревянного панно в коридоре школы. Но тут ход его мыслей перебивает Татьяна.

– Ну и чем всё закончилось? – озабоченно спросила она тихим голосом.

Вместе с шестнадцатилетним Матвеем в школе обучалась Татьяна, ученица одиннадцатого-седьмого класса. Они познакомились полгода назад на занятиях по  – ликвидации безграмотности по русскому языку. ликбезу

– Пока получил отсрочку от смертного приговора, – отшутился Матвей, – но думаю, что Гангрена ещё повоюет на педсовете.

– Ну и флаг ей в руки! – улыбнулась Татьяна. – А как твой брат?

– Да пока по-прежнему. Не лучше и не хуже. Нужна операция и деньги. Большие деньги. – лицо Матвея стало опять серьёзным.

– Мне кажется, что ты взваливаешь на себя непосильную ношу как взрослый – Татьяна жестом показала, не прекословь и продолжила. – Проблему денег должны помочь решать родители, они взрослые, а не ты. Ты ещё ребёнок.

– Не говори мне так! – горячо возразил Матвей. Я сумею ему помочь! А вот родители не смогут! И далее более спокойно. – если бы это произошло через два года, когда они закроют ипотеку и выкупят квартиру, хотя лучше не произошло бы и совсем…

Большая перемена продолжалась и ребята увидели в коридоре Александра Николаевич Борщова, который объяснял что-то директору. Наконец оба кивнули, посмотрели на Матвея, улыбнулись и пошли по своим делам.

– Александр Николаевич! – Татьяна окликнула профессора, – нам снова нужна Ваша помощь. Борщов остановился и удивленно посмотрел на Татьяну и подталкиваемого ею Матвея.

– ?

– Можно поговорить пять минут в Вашем кабинете.

– Можно, конечно, – и профессор пригласил ребят войти. – Только не больше десяти минут.

Татьяна быстро и точно изложила Борщову суть дела: что Матвей отчаянно пытается решить Великую теорему Ферма в надежде получить премию, чтобы помочь сделать дорогостоящую операцию брату (керамический протез), что такое напряжение ума для подростка опасно, что денежные проблемы должны помочь решить взрослые, что таким способом денег не заработаешь и так далее.

Матвей смущённо молчал и думал, вот он сейчас решит, что я «заливаю», что этой теоремы я никогда не докажу и за нарушение общих правил (мало того, что бросил на асфальт одноклассника, но и получил двойки по генетике) я «отправлюсь к маме и папе домой», точно как в песне из школьного капустника.

Странно, но профессор Борщов даже не улыбался. Неужели поверил в меня? А может сейчас рассмеётся и скажет, ну старик ты даёшь! Но профессор Борщов покачал головой и задумчиво проговорил:

– Не хотел бы я заключать такое пари,. – он протер очки о собственный свитер. – Шансы выиграть меньше, чем упасть за борт тихоокеанского лайнера и остаться в живых. Профессор коротко рассказал о пассажире, который бессонной ночью вышел покурить, загляделся на звёзды и по ошибке шагнул за борт. Долгих одиннадцать часов он плавал в воде, прежде, чем на лайнере заметили пропажу пассажира, развернулись назад и самое невероятное – нашли человека в Океане!

– А нельзя ли было «заключить пари» на какую-нибудь более простую теорему, например очередное геометрическое доказательство теоремы Пифагора? – улыбаясь спросил Борщов ….

– Александр Николаевич, – вступила в разговор Татьяна Кузнецова, теперь это уже поздно. Если Матвей пойдёт на попятную, то Гангрена всё равно добьется его отчисления, вернее сделает так, что Матвей сам захочет «чтобы его ушли», то есть «уволили по собственному желанию». Мы так хотим этого не допустить, и готовы разыграть свой шанс, даже если счастливый билет – лишь один на миллион.

– Да, как мне это напоминает мир взрослых, – с сожалением задумчиво заметил Борщов, – и чем я могу Вам помочь? Ведь если я стану заниматься подсказками, то Ваш спор или пари будет считаться нечестным. Вместе с тем, если Вы, Татьяна, признаетесь Генриетте Григорьевне, что помогали Матвею, потому что Теорема очень трудная, сотни и сотни маститых математиков, как говорится, «обломали себе зубы» в поисках решения, то я уверен, что даже самые консервативные преподаватели поддержат Матвея. Если не ошибаюсь, в в 1994 году профессор математики Эндрю Уайлс отыскал доказательство на 140—150 страниц. Вы представляете теперь, насколько это сложно?

– А что если Пьер де Ферма был прав, утверждая, что существует простоте краткое решение, о котором он упоминал на полях Арифметики Диофанта? – уверенно возразил Матвей.

– Если он не хвастал, то нам остаётся лишь включить творческое воображение и воссоздать это поистине чудесное решение! – продолжила Татьяна. Она увлекалась книгами по психологии, самопознанию и часто читала популярную литературу о лидерстве.

– Хорошо, сказал Борщов. Я помогу Вам но не в роли преподавателя, а скорее в качестве , то есть, создающего общие условия научного поиска, но решение, если оно существует, будет только Вашим решением. Если Вы его не найдёте, то бескомпромиссно выполните требования Генриетты Григорьевны, какими бы «драконовскими» они Вам не представлялись, и при этом, как говорится, без слёз и соплей, то есть не будете давить на жалость. Идёт? – профессор Борщов замолчал и пристально посмотрел на Матвея с Татьяной. фасилитатора

Сейчас его взгляд был суровым, как с доски : те же усы, та же полированная лысина (не хватает лишь нагана для полного комплекта так, на всякий случай! Шутили университетские студенты и физматшкольники). При этом эта революционная внешность совсем не вязалась с мягким негромким голосом Борщова, его робостью, с которой он всякий раз входил в аудиторию, тщательно перепроверяя, не ошибся ли он дверью. Наша ревизионная комиссия

– Идёт, ответили ребята.

– Мы знаем, в каком направлении искать, сказал Матвей. Если Пьер де Ферма упомянул о сильном озарении, посетившем его, то скорее всего, решение может быть в виде рисунка, чертежа с минимальным количеством формул, как в Олимпиадной задаче. Просто раньше математики искали доказательство не в том направлении.

Борщов многозначительно кивнул и указал на часы. Ребята поспешно удались.

Не меняя общности, можно считать что справедливо неравенство для нашей тройки чисел a 

Рис. 1.1. Целые числа a, b, c будут обязательно разные Доказательство от противного

Слагаемые a, b не могут быть равными, в силу иррациональности числа √2, которое невозможно представить в виде дроби, состоящей из не имеющих общих делителей числителя и знаменателя p и q.

Врезка. Числа древние, но вечно юные

Числа натуральные, целые, рациональные, иррациональные и трансцендентальные.

Напомним, что в начальных классах школы на уроках арифметики изучаются натуральные числа: 1,2,3,4,5…, которые используются, например для счёта предметов. Говорят, что такие числа образуют бесконечное множество N. Оно обозначается фигурными скобками N = {1,2,3,4,5 ….}. Каким бы большим не было натуральное число n, всегда найдётся число на единицу больше n+1. Конечно, это математическое упрощение, физики установили, что даже Вселенная имеет конечные размеры, определяемое как скорость света с = 3*10 м/с умножить на 15 млрд лет. (Любознательные могут рассчитать размер Вселенной в метрах, для чего удобно принять во внимание, что в году примерно π *10секунд). Оказалось, что для вычислений очень удобно работать с целыми числами, где наряду с положительными имеются также ноль и отрицательные числа. Кольцо целых чисел Z =… -3, -2, -1,0,1,2,3 … с операциями слоения вычитания и умножения. Но и целых чисел не достаточно было для решения задач аграрной индустрии, архитектуры, торговли и мануфактуры, промышленности: именно эти отрасли знаний стимулировали развитие математики. Ещё в Древней Греции были открыты рациональные, иррациональные и трансцендентные числа, впоследствии математики дали им строгое определение. 8 7 

Рациональное числа представляются в виде дроби p/q. Можно сократить числитель и знаменатель до взаимно простых чисел, разделив их на НОД – наибольший общий делитель. Например, вместо 4/6 писать 2/3. Целую часть можно записать рядом с дробной как-то: 3/2 =1 ½.

Если читать умеет делить числа в столбик, то сможет дробное представление числа привести к десятичному виду, как например 2/3 = 0,6666666666…, рано или поздно в этом ряду появится повторение одной или последовательности цифр или одной и той же цифры. Это происходит потому, что остаток от деления чисел всегда делится на одно и то же делимое. Рано или поздно варианты разных остатков будут исчерпаны и начнётся циклическое повторением (математики вводят понятие сравнение чисел по модулю, принцип Дирихле, а можно просто поэкспериментировать самостоятельно и убедиться!)

Рис. 1.2. Числа.

Вместе с тем, наряду с рациональными существуют числа, они не могут быть представлены в виде десятичной дроби с повторяющейся последовательностью чисел, как например, √2= 1.41…. является иррациональным числом. Допустим обратное, которое представимо в виде дроби, состоящей из не имеющих общих делителей числителя и знаменателя p и q. Рассмотрим внимательнее уравнение 2q = p Его левая часть делится на два, значит правая часть делится уже на четыре, поскольку p можно разложить на простые числа, как то: 2,3,5,7,11,13,17 …. делящиеся только на себя и на единицу. Набор сомножителей в правой части будет повторяться дважды для p, отсюда свойство делимости на четыре. Но тогда в этом уравнении и q будет делиться на два. Смело сократив левую часть на общий делитель два в итоге получим что числа p и q, вопреки сделанному допущению, имеют в качестве общего делителя двойку и её степени. А это означает, что исходное предложение относительно числителя и знаменателя оказалось ошибочным: оба они четные, делятся на два, но мы исходно предполагали, что p, q не имеют общих делителей, которые заранее сократили. Значит √2 не представляется в виде дроби, аналогичные рассуждения применимы для корня из двух степени n. иррациональные 2 2 2

Трансцендентное число не может быть корнем алгебраического выражения, например число π = 3.14158 или число Эйлера е = 2.718. Вместе с тем трансцендентные числа играют важную роль не только в геометрии, но при описании динамических процессов в физике, экономике, социологии.

Целые, рациональные, иррациональные и трансцендентные числа образуют вместе множество действительных чисел R можно сопоставить каждому числу точку на оси абсцисс Х и радиус вектор из начала координат до этой точки, при этом длина этого вектора будет равна модулю числа |х|. Для случая плоскости R, мы будем иметь дело с парами чисел: (x, y) и радиус вектором из начала координат до точки на плоскости. Для трехмерного пространства R понадобится задавать координаты его точек уже тройками чисел (x, y, z) а для многомерного пространства R координаты любой точки по осям описываются радиус-вектором (x, x,…x). 2 3 n 1 2 n

Интересно заметить, что целые числа можно сосчитать, а именно: сопоставить каждому целому числу натуральное число – его модуль. Отрицательные числа можно считать парами вместе с положительными (это напоминает работу проводника на два вагона). Такое множество, хотя и бесконечно, является счётным. Несложные рассуждения позволяют сделать вывод, что является счётным множество рациональных числе p/q. Представим себе огромный (бесконечный) кинозал, где номер ряда – это числитель, а номер места – знаменатель. Так например в первом ряду расположены слева направо (или с Запада на Восток) зрительские места с дробями 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. Во втором – 2/1, 2/2, 2/3, 2/4 и т. д. Предположим, что все места размещены в зале с соблюдением социальной дистанции, так что контролёр может свободно перемещаться как по рядам, так насквозь любого ряда.

Если безбилетник сидит на месте p в ряду q, то проводник – робот, следующий из вершины 1/1 всё равно его обнаружит, если будет придерживаться несложного алгоритма. Итак, контролёр входит в зрительский зал с Северо-Запада, как раз в месте размещения 1/1.

И таким образом контролёр последовательно исследует зрительский зал, дрейфуя как челнок, то в Юго-Западном, то в Северно-Восточном направлениях, охватывая контролируемую территорию всё расширяющимся на один шаг с каждым обходом треугольником, вершина которого размещается в Северо-Западной части зала.

Рис. 1.3. Рациональные числа можно «сосчитать». Если робот – контролёр двигается по маршруту как указано на рисунке, то он найдёт безбилетника в ряде q на месте p, что соответствует дроби p/q.

Вместе с тем, действительные числа сосчитать невозможно это множество образует . Между двумя близкими рациональными числами всегда найдётся сколько угодно много других иррациональных чисел. Например, в треугольнике средняя линяя основанию. Это следует понимать так, что каждой точке на средней линии треугольника соответствует точка на его основании, и наоборот. континуум равномощна

Контролёр делает один шаг на Восток к месту 1/2;

далее шагает в Юго-Западном направлении к месту 2/1;

после этого делает ещё один шаг на Юг к месту 3/1;

затем совершает два шага в Северо-Восточном направлении к местам 2/2 и 1/3;

после чего совершает один шаг на Восток к 1/4;

потом три шага в Юго-Западном направлении, проверяя места 2/3, 3/2, 4/1…

Основные математические знания

Трёх и n- мерная система координат

Представим себе, что Вы управляете дроном. Пульт управления необычен. Он имеет кнопочки, задающие движения:

Рис. 1.4. Управление дроном.

Дрон может двигаться:

Сам дрон имеет гирокомпас и отлично ориентируется в пространстве, ожидая Ваших команд.

Допустим, Вам требуется доставить пакет с вакциной от корнавируса на 10-ый этаж и аккуратно подать его в окно. Вы находитесь в начале координат, а пункт назначения – 10 м на Восток, 10 м. на Север, и 20 м. вверх. Эти координаты можно задать так: