Тригонометрический зоопарк

Прежде чем заниматься тригонометрической некромантией, давайте удостоверимся, что вы знакомы с элементарными геометрическими понятиями. Знаете, что такое треугольник (в современном мире это, увы, не шутка), что такое подобные фигуры, углы; помните теорему Пифагора, известную ещё до него в древнем Египте, и какие существуют угловые меры.

Краткий курс для чайников

Угол: Где без него

Угол – это пространство между двумя пересекающимися прямыми. Если провести две прямые и они встретятся, то угол между ними можно измерить в градусах. Углы бывают острые, тупые и прямые, в зависимости от того, насколько круто пересеклись ваши линии.

Градусы: Легенда о 360 кусочках пиццы

Когда-то давно, в Древнем Вавилоне, сидели мудрецы и думали, как бы им порезать круг так, чтобы никто не обиделся. А круг, надо сказать, не простой, а с самыми что ни на есть магическими свойствами. Решили они, что 360 кусочков будет в самый раз. Почему 360? Да просто! Это число делится на кучу других чисел: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 и так далее. В общем, под это дело можно было закатить любую вечеринку, и каждый получил бы по своему куску пиццы, то есть круга. Вот и получилось, что полный оборот круга – это 360 градусов. Причём, это не просто красивая цифра, а практически волшебная. Ведь тогда ещё не было калькуляторов и компьютеров, так что мудрецы выбрали самое удобное число для своих расчётов. Это позволило легко делить круг на равные части, проводить измерения и строить свои великие Вавилонские башни. Откуда же такие умные головы знали, что 360 – это магическое число? Ну, есть тут один момент. В Вавилоне ещё и астрономы были что надо. Они заметили, что Солнце за год делает один полный оборот по небу. А год, как известно, это 365 дней (ну почти). Но так как мудрецы любили круглые числа, они округлили до 360. Так и родилась градусная мера угла. И вот так, благодаря древним вавилонским гениям, мы теперь меряем углы в градусах. И это настолько прочно вошло в наш обиход, что даже в космос без градусов не полетишь. Ведь с градусами всё понятно: 90 градусов – это прямой угол, 180 – полукруг, 360 – полный круг. Всё просто и логично. И, конечно же, это дало старт для дальнейших тригонометрических подвигов. У нас теперь есть куча формул и вычислений, основанных на градусах. Так что, несмотря на то, что радианы тоже хороши, градусы – это наша древняя, но всё ещё актуальная мера угла. Всё благодаря мудрецам, которые сидели и ломали голову, как порезать круг на равные части. И сделали это так, что мы до сих пор пользуемся их системой.

Треугольник – это такая штука с тремя сторонами и тремя углами. Причем, вы не поверите, углы могут быть разной величины, а стороны разной длины. Самая скучная версия треугольника – это равносторонний, все углы и стороны у него одинаковые, но есть и более интересные экземпляры, такие как разносторонний и равнобедренный.

На плоскости возможны такие варианты

Подобные треугольники: Братья по пропорциям

Подобные треугольники – это такие треугольники, у которых одинаковые углы и стороны пропорциональны. Представьте, что у вас есть большой треугольник и маленький, но они выглядят как увеличенные или уменьшенные копии друг друга. Стороны таких треугольников относятся как A/a=B/b=C/c=k, где k – логично назвать коэффициентом подобия. Он показывает во сколько раз одна фигура является увеличенной копией другой.

И тут начинается магия. Площади подобных треугольников относятся как квадраты длин соответствующих сторон. То есть, если один треугольник больше другого в два раза по стороне, то его площадь будет больше в четыре раза. Простая математика, ничего сложного.

Таким образом, если у вас есть два треугольника и один из них похож на другого, просто в меньшем масштабе, то они подобные. И это открывает перед вами кучу интересных возможностей, как, например, считать их площади, не утруждаясь долгими вычислениями.

В общем, подобные фигуры – это всегда про увеличенные или уменьшенные копии. Будь то треугольник на листе бумаги или гиперкуб в пятом измерении, всё работает по одним и тем же правилам в пространстве любой размерности. Стороны подобных фигур относятся как первая степень k, площади как вторая, объёмы как третья, гиперобъёмы как четвёртая, ну вы поняли…

Окружность

Треугольники – это вообще тема отдельная. Их можно нарисовать сколько угодно, с разными углами и сторонами. А вот с окружностями такой номер не пройдёт. Любая окружность всегда подобна другой. То есть, все окружности, что вы нарисуете, будут одинаково хороши. Это знание в древности привело к понятию числа «Пи».

Если разделить длину окружности изображённой в плоском пространстве (это важно!) на диаметр, то мы аккурат получим 3,1415926… Что бы не писать всю эту бесконечную последовательность цифр, её заменили значком π. Ну а что, удобно и красиво!

Анатомия окружности, как положено – всё на Латыни

Теперь, зная про π, можем перейти к измерению дуг и углов в радианах. Радиан – это угол, который вырезает дугу длиной, равной радиусу окружности. То есть, если обхватить окружность с радиусом в 1 метр, то угол в 1 радиан вырежет дугу длиной тоже в 1 метр. Логика здесь простая, как дважды два.

Всё это приводит нас к мысли, что π радиан – это 180 градусов. А значит, полный оборот (или 360 градусов) – это 2π радиан. Ну и делаем из этого кучу полезных выводов. Например, что половина оборота (или 90 градусов) – это π/2 радиана. И так далее. Удобно? Ещё как!

Теперь вы можете измерять углы в радианах, как настоящий математический гуру. Плюс, это знание пригодится для расчётов в тригонометрии. И неважно, занимаетесь ли вы древней геометрией или строите новые гиперпространства – всё это работает одинаково хорошо. Так что давайте нырнём глубже в этот удивительный мир тригонометрии и откроем для себя ещё больше магических чисел и функций!

Радианы удобны в математике и физике, потому что они тесно связаны с длиной дуги и радиусом. А как только начали мерять в радианах, оказалось, что это прямо-таки магическая мера. Всё так красиво и просто в формулах получается. Прямо бальзам на душу любого математика. Обозначаются как рад, и международное: rad; от латинского radius – луч, радиус.

Телесные углы, стерадианы: вечеринка продолжается

Но время не стояло на месте, и вскоре люди поняли, что мир-то у нас трёхмерный, и начали думать, как бы им померить углы не только на плоскости, но и в объёме. И тут на арену вышли телесные углы и стерадианы – более продвинутая версия углов для измерения в трёхмерном пространстве.

Телесный угол – это такой угол, который вершиной своей упирается в центр сферы, а его «лучи» охватывают часть поверхности этой сферы. Как бы вам это проще объяснить… Представьте, что вы сидите в центре футбольного мяча и светите фонариком. Вот сколько поверхности мяча осветите – это и есть телесный угол.

Теперь к стерадианам. Полный угол вокруг вас в трёхмерном пространстве – это 4π стерадиана (площадь поверхности единичной сферы равна 4π). Если радианами меряют углы на плоскости, то стерадианами – в объёме. Один стерадиан – это такой телесный угол, который отсекает от сферы кусок поверхности, равный квадрату радиуса этой сферы. То есть, если у вас есть шарик радиусом 1 метр, и вы отсекаете кусок поверхности площадью 1 квадратный метр, то это и будет 1 стерадиан. Когда вы смотрите в угол комнаты, то перед вами предстаёт объёмный угол в π/2 стерадиан, что как раз и само просится называться прямым объёмным углом. Плоскость относительно любой своей точки задаёт развёрнутый телесный угол в 2π стерадиан. Круто же?!

Название стерадиан -это смесь древне-греческого στέρεος – твёрдый, объёмный, пространственный, и латыни radius. Обозначается как ср, и в международье как sr. Альтернативой стерадиану является квадратный градус.

Так вот какой ты, телесный угол…

Зачем это всё надо? Ну, если вы вдруг решили, что телесные углы и стерадианы – это чисто для гиков-математиков, то глубоко заблуждаетесь. Представьте, что вы астроном, смотрите в телескоп и пытаетесь понять, какой кусок неба охватывает ваше поле зрения. Или вы инженер, занимающийся радиолокацией, и вам нужно точно рассчитать, какой участок пространства покрывает ваш радар. Вот тут-то и приходят на помощь стерадианы. Они делают вашу жизнь проще и точнее.

Так что, хоть на первый взгляд вся эта тригонометрическая магия и кажется сложной, на самом деле это просто разные способы взглянуть на привычные вещи. Градусы, радианы, стерадианы – всё это звенья одной цепи, связывающей плоские и объёмные углы в единую картину. А как только вы это поймёте, мир вокруг станет немного проще и понятнее.

Прямоугольный треугольник: Король тригонометрии

В плоском пространстве у треугольника может быть прямым, только один угол. Если перед вами такой треугольник, то его логично назвать прямоугольным, и это его свойство может значительно упростить вам все расчёты связанные с ним.

Анатомия прямоугольного треугольника проста.

На нём держится вся тригонометрия

Гипотенуза: Эта самая длинная сторона, напротив прямого угла, является главной звездой шоу. Без неё – никуда.

Катеты: Две стороны, образующие прямой угол. Катеты – это такие скромные труженики, которые всегда в тени гипотенузы, но именно они делают весь тяжёлый подъём.

Прямой угол: Угол в 90 градусов, который делает этот треугольник особенным. Прямой угол – это как VIP-пропуск на любую геометрическую тусовку.

Теорема Пифагора

Пожалуй, самая знаменитая из всех теорем. Ассоциируется прежде всего с древнегреческим математиком Пифагором, но была известна ещё в древнем Египте. Давайте рассмотрим одно из самых простых её доказательств, коих на данный момент насчитывается не менее 400.

Квадрат внутри квадрата

Нужно доказать, что c² = a² + b²:

Это квадрат, в котором есть 4 одинаковых треугольника со сторонами a, b, и c:

Каждая сторона этого квадрата имеет длину a + b, значит его общая площадь: S = (a + b) (a + b); Площадь наименьшего квадрата (который находится внутри, под наклоном): c²; Площадь каждого из треугольников: ab/2. Значит площадь всех четырёх вместе:

4ab/2 = 2ab;

Сумма наименьшего квадрата и треугольников:

S = c² +2ab;

Площадь большого квадрата (S = (a + b) (a + b)) равна сумме наименьшего квадрата со всеми треугольниками. Значит:

(a + b) (a + b) = c² +2ab

a² +2ab + b² = c² +2ab

a² + b² = c²

Что и требовалось доказать.

Высота прямоугольного треугольника

Она обладает рядом свойств, которые будут полезны в наших дальнейших изысканиях. Поэтому докажем и их.

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных прямоугольных треугольника, которые также подобны исходному.

Высота – это то, что втыкается в сторону под прямым углом

И вот тут начинается самое интересное. Это деление – не хаотичный развод пары катетов, а элегантное создание двух мини-копий оригинала. Каждый из вновь образованных треугольников, как верный сын, наследует черты родителя: прямой угол и острый. А раз два угла равны, то по первому признаку подобия – добро пожаловать в клуб! Они подобны друг другу и большому папе-треугольнику. Это свойство – не просто абстрактная забава для скучающих геометров. Это фундамент, на котором стоит всё здание тригонометрии. Именно из этого подобия вытекают все эти ужасно полезные на практике соотношения, позволяющие, к примеру, вычислить высоту пирамиды по длине её тени, пока ты лениво прислонился к сфинксу.

Этот скромный отрезок вдруг оказывается центральным персонажем драмы, геометрическим Мориарти, который дёргает за ниточки отношений между проекциями катетов. Он устанавливает невидимые, но строгие пропорциональные связи между всеми элементами конструкции, создавая единую, гармоничную систему. И доказывается это элементарно – через подобие тех самых двух маленьких треугольничков, которые она же и породила! Красота и замкнутость логического круга просто поражают.

Таким образом, эта высота – не просто перпендикуляр. Это мост, это преобразователь, это универсальный ключ к решению целого класса задач. Она связывает воедино катеты, гипотенузу и её сегменты, создавая стройную систему уравнений, где, зная два элемента, можно отыскать все остальные. Игнорировать её – всё равно что пытаться собрать пазл, выбросив половину деталей. Она – душа прямоугольного треугольника, спрятанная прямо у всех на виду.

Что и требовалось доказать

Сама высота имеет ещё приколы. Например, есть теорема о среднем по палате геометрическом для высоты. Нам её поможет доказать уже доказанное.

Доказательство о среднем геометрическом в качестве высоты.

Из подобия порождаемых высотой треугольника треугольников, следуют весьма полезные свойства катетов. Это можно назвать проецированием катетов.

Полезное свойство катетов, обоих кстати.

Далее из всего выше доказанного, следует равенство которое в последствии породит ещё одну сущность нашего тригонометрического зоопарка. Но пока обойдёмся без спойлеров.

Гипотенуза катеты и высота тесно связаны

Сферическая тригонометрия

При первом знакомстве, после освоения плоской категорически выносит мозг. На сфере у треугольников могут быть аж три прямых угла, и при этом их стороны, тоже, ВНЕЗАПНО, измеряются в градусах! Так что если у вас есть несколько шариков разных размеров, и треугольники на них имеют одинаковые углы, но разные (казалось бы) по длине стороны, то на самом деле это одинаковые равные треугольники.

Дуги, углы… Какая разница?

Сферические треугольники образуются окружностями больших кругов – тех сечений сферы, что проходят сквозь её центр.

На самом деле – это всё один и тот же треугольник

Но это только начало. В сферической тригонометрии сумма углов треугольника всегда больше 180 градусов, и это может слегка взорвать вам мозг, если вы привыкли к классическим евклидовым правилам. Чем больше треугольник, тем больше его углы. Представьте себе сферическую поверхность, и на ней огромный треугольник, у которого сумма углов может запросто достигать 270 градусов или даже больше.