Тригонометрический зоопарк
- -
- 100%
- +
Примеры применения антихорды весьма обширны.
Астрономия и навигация: как уже было сказано, квадрантиды активно использовались в старой доброй астрономии для вычисления позиций звёзд и планет. Особенно полезна эта функция была для расчёта их видимой высоты на горизонте.
Геодезия и картография: в геодезии и картографии, где углы играют ключевую роль, квадрантиды помогали минимизировать погрешности при измерении углов и дистанций, особенно когда нужно было учитывать кривизну земной поверхности.
Морская навигация: старые морские карты нередко содержали специальные пометки, включающие квадрантиды для уточнения маршрутов и расчёта курса корабля.
Таким образом, квадрантид, хоть и является более редкой и специфической функцией, чем его «прямые» родственники, остаётся важным элементом тригонометрического инструментария.
Соответственно его обратная функция arcqdr α отличается от аркхорды вычитанием π/2.
Cинус-верзус versin
Когда-то тригонометрия не была такой гладкой и простой, как в современных учебниках. Таблицы синусов, косинусов и других функций, обложенные кожаными переплётами, лежали на полках каждого уважающего себя математика и навигатора. В этом древнем мире были не только привычные синусы и косинусы, но и такие загадочные сущности, как versin и haversin. Да-да, именно versin, не вертитус или вирус, а настоящая, проверенная временем функция.
Определяется он как стрелка дуги, на тригонометрическом круге, и это сразу позволяет его выразить через уже известные нам тригонометрические функции:
versin α = 1 – cos α
Только и всего. Казалось бы, зачем опять же, вводить целую функцию которая отличается от уже известной на единицу? Но преимущество версинуса в его положительности на вещественной оси! Версинус использовали во времена, когда косинусы и синусы были необходимы для навигации, астрономии и геодезии. Таблицы с значениями versin помогали сократить количество сложных вычислений, особенно когда нужно было избежать отрицательных значений или ноля. Да и вообще, кто бы не захотел получить немного больше точности в технике XVIII века? На борту парусника, где компасы и карты были основными инструментами, versin помогал морякам рассчитать расстояние до горизонта, угол подъёма звезды или определить местоположение. Если синус и косинус занимались общими делами, то versin был тем, кто улаживал детали.
И вот, в одном из закоулков математической истории появилась функция haversin. Почему-то древние решили, что удобно делить versin на два. Возможно, они просто хотели немного упростить жизнь своим коллегам. Так или иначе, haversin – это половинка versin:
haversin α = (1 – cos α) /2
На самом деле, деление версинуса на 2 (hav – половина) связано с тем, что его можно выразить через удвоенный синус половинного угла в квадрате. Двойку перед квадратом синуса лень таскать. Эта лень человеческая и порождает целую новую функцию которая аж собственную теорему имеет!
versin α = 2 sin (α/2) ² при этом
haversin α = sin (α/2) ², что гораздо компактнее.
Кстати, в древней индии был первобытный версинус, и назывался он utkrama-jyā (Уктам-Джья). В те тёмные времена, использовать единичную окружность ещё не додумались, и в современном виде эта функция выглядела бы так:
utkrama-jyā α = R versin α
Тут, не единичность окружности учтена домножением версинуса на её радиус R. Ну и раз уж речь пошла о питекантропах в тригонометрии, приведём древний индийский аналог синуса и косинуса – джья, и коти-джья:
jyā α = R sin α, koṭi-jyā α = R cos α
Правда в современном мире математика как-то поуютнее?
Вообще, название версинус или синус-верзус означает обращённый синус, и в противовес этому привычный нам синус часто называют sinus rectus («прямой синус»). Как и у любых других уважающих себя тригонометрических функций, у версинуса и гаверсинуса есть обратные арк-функции:
arcversin x = arccos (1-x), archaversin x = arccos (1—2x)
Такие дела.
Коверсинус coversin
Если бы синус мог обратиться к психотерапевту, coversin был бы его самым главным разочарованием. Эта функция определяется как
coversin α = 1 – sin α
История coversin так же уходит корнями в те времена, когда математики пытались максимально упростить вычисления. Коверсинус, как и его «брат» версинус, был полезен для работы с углами и расстояниями на окружности. Но тут интересная фишка: приставка «co-" в названии тоже означает «ко-функция», но в немного ином контексте. В то время «co» использовалось для обозначения дополнений, и coversin дополняла функционал versin. Представьте себе астронома древности, стоящего на высокой башне и пытающегося вычислить время затмения или путь звезды на небе. Использование coversin упрощало многие расчёты, позволяя избежать сложных преобразований и использовать более простые таблицы. В эпоху до калькуляторов, каждое упрощение имело огромное значение.
После того, как versin уполовинили, и coversin не избежала той же участи. Так появился хаковерсинус hacoversin, или half-coversin, определяется как:
coversin α = (1 – sin α) /2 Зачем это нужно? Хаковерсинус, как и haversin, была полезна в астрономических и навигационных расчётах, когда требовалось максимальное упрощение и сокращение вычислений. Особенно в ситуациях, когда работы велись с очень малыми углами или когда требовалась высокая точность. Моряки и навигаторы прошлого века использовали hacoversin для более точных расчётов при определении местоположения на море, когда углы измерялись очень малыми и требовалась повышенная точность. Эта функция особенно полезна в формуле haversine
Конец ознакомительного фрагмента.
Текст предоставлен ООО «Литрес».
Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.
Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.