Turbulencias y otras complejidades, tomo I

¿Qué dice el modelo de Ising?

Un tema importante y sensible en física, pero particularmente en el estudio de los sistemas complejos, es el de establecer si y cómo el comportamiento de sistemas macroscópicos se sigue de ciertas asunciones acerca de los elementos que los componen. El tema constituye un capítulo medular de la física estadística, para muchos físicos, la parte más importante de esta ciencia.

En física, un sistema macroscópico es aquel que se compone de un número de partículas verdaderamente grande: la constante de Avogadro (por el físico y químico italiano A. Avogadro, 1776-1856) cuyo valor es de 1023, un número verdaderamente grande. Por su parte, cuando es trasladado a los sistemas sociales humanos, el tema consiste en el estudio de la forma como los comportamientos microscópicos (=individuales) pueden vincularse con los comportamientos macroscópicos. La idea de base es que el conocimiento de una escala permite el conocimiento de la otra escala. Una relación semejante se dice que es estocástica.

Originariamente, es en el estudio del ferromagnetismo donde aparece el problema de base central de la física estadística. El modelo llamado de Ising fue desarrollado por el físico W. Lenz, como homenaje a su estudiante Ernst Ising, a quien le dirigió su tesis doctoral en los años 1920. Pues bien, Lenz le propuso un problema a Ising, quien lo pudo resolver justamente como su tesis doctoral de 1924, determinando que, en el marco de la mecánica estadística, en un sistema de una dimensión no existe una transición de fase, esto es, la transformación de una fase a otra o, lo que es equivalente, un cambio de estado en un sistema.

De esta suerte, la mecánica estadística, es decir, ese capítulo de la física que permite deducir el comportamiento de sistemas macroscópicos a partir de los comportamientos o estados microscópicos mediante la teoría de la probabilidad, permite comprender que existen transiciones de fase. Una transición de fase constituye una de las marcas distintivas que permiten afirmar que existe un sistema o un comportamiento complejo.

No sin buenas justificaciones, referidos a comportamientos sociales humanos, todo el problema da lugar a lo que técnicamente se conoce como una física social. Esto es, el estudio de fenómenos, sistemas y comportamientos humanos con base en la teoría de la probabilidad y en términos estadísticos. Esta idea requiere una breve explicación.

Desde no hace mucho tiempo, la cultura y la ciencia han venido a comprender a los seres humanos en términos estadísticos; más exactamente, en términos de distribuciones estadísticas. Por ejemplo, distribuciones de Poisson, exponencial, normal, y otras –todas, distribuciones de probabilidad–. Antes de este giro, los seres humanos eran entendidos a partir de singularidades individuales: la locura de Nerón, la nariz de Cleopatra, el coraje de Carlomagno, las dudas de Anibal, por ejemplo.

En el modelo de Ising, la física desempeña un papel fundamental. Más exactamente, el marco de las consideraciones es la termodinámica, y así, se trata de establecer si un sistema determinado es entrópico o no; esto es, si tiende al orden o al desorden. Este es un asunto nuclear en el estudio de los sistemas complejos.

Pues bien, un sistema termodinámico se caracteriza, entre otras razones, por un parámetro de orden, que depende a su vez de varios factores tales como temperatura, fuerzas de cohesión, y otros. De forma general, cabe distinguir dos clases de transiciones de fase. En primer lugar, una transición de fase de primer orden es, grosso modo, aquella que es discontinua. Por su parte, una transición de fase de segundo orden es aquella que es continua.

De forma general, cabe identificar varios conceptos importantes al respecto, tales como estados críticos y puntos críticos, que son aquellos en los cuales un fenómeno: a) cambia de estado, o bien b) en el que se produce una bifurcación en la historia de un sistema. El modelo de Ising tiene la virtud de que posee una solución analítica exacta.

En verdad, es sumamente difícil para sistemas macroscópicos llevar un registro detallado de cada una de las partículas o individuos y predecir entonces el comportamiento del sistema. Es por ello por lo que las técnicas estadísticas, y más exactamente, las aproximaciones probabilísticas resultan de gran ayuda. De manera precisa, al conocer el comportamiento estadístico de un macrosistema, cabe deducir los comportamientos individuales de los componentes del sistema.

El modelo de Ising constituye, en el plano humano y pedagógico, una de esas magníficas excepciones en las que un profesor reconoce el logro de un estudiante suyo, y el profesor desarrolla el modelo otorgándole el mérito al estudiante. Todo lo contrario de lo que constituye la regla en el caso de la mayoría de profesores.

W. Lenz, físico alemán, vivió los años más aciagos de su país. Nace en 1888 y muere en 1957. Vive la Primera Guerra Mundial, la crisis de la República de Weimar, y el ascenso y las acciones del nacionalsocialismo y la Segunda Guerra Mundial. Y, sin embargo, vivió un ambiente de inmensa camaradería y colaboración entre profesores y estudiantes, habiendo sido, él mismo, apoyado ampliamente por A. Sommerfeld, una de las figuras centrales de la física cuántica.

W. Pauli, P. Jordan, el propio E. Ising y O. Stern, entre varios otros de sus estudiantes, se vieron beneficiados por la bonhomía e inteligencia investigativa de Lenz. El modelo de Ising constituye una de las herramientas más importantes en el estudio de las relaciones entre un sistema macroscópico y uno microscópico. Este constituye, sin dudas, uno de los problemas fundamentales de la ciencia contemporánea. El tema de base consiste en no reducir la complejidad del macrosistema a las simplificaciones de los comportamientos individuales, pero tampoco en generalizar sin más a un macrosistema a partir de criterios estadísticos de partículas individuales.

Al fin y al cabo, vivimos un universo probabilístico.

¿Qué es la Cohomología?

Hay un rasgo apasionante, novedoso y, sin embargo, desconocido para la mayoría de las personas acerca de la ciencia de punta contemporánea. Se trata del hecho de que la buena ciencia de frontera no se ocupa ya única y principalmente por lo real, en toda la acepción de la palabra. Ni siquiera tampoco por lo posible en todas sus modalidades (lo hipotético, lo contingente, lo probable, etc.).

Además y, fundamentalmente, la ciencia de punta nos enseña a pensar en lo imposible. Esto es, en estructuras, en fenómenos, en comportamientos, en dinámicas imposibles. El capítulo que hace propia esta otra dimensión pertenece, en general, a las matemáticas, y en particular a la topología: se trata de la cohomología. Y el ámbito específico de trabajo se denomina las multiplicidades. Un tema matemáticamente muy sofisticado y, sin embargo, bastante natural.

Una multiplicidad es en matemáticas la cantidad de pertenencias de un miembro de un multiconjunto. En otras palabras, una multiplicidad es un espacio topológico que en escala micro, en los aspectos singulares, se asemeja a un espacio euclidiano, pero globalmente difiere por completo. En términos elementales: a escala micro puede ser considerado como una figura plana euclidiana –líneas, planos, círculos–, pero a escala global (como un todo) dista mucho de ser un espacio euclidiano.

El padre de la cohomología, en general, y del que es quizás el capítulo más importante, que es la cohomología de gavilla (sheaf cohomology), es el matemático francés Alexander Grothendieck (1928-2014), fallecido el 13 de noviembre de 2014. Un auténtico genio. Algunos de los desarrollos más recientes en el tema corresponden a R. Penrose, quien ha trabajado justamente en la cohomología de figuras imposibles.

Vale recordar que las tres operaciones básicas que se hace con los objetos o con el espacio en topología son: torcer, estirar y comprimir. Derivativamente, existen funciones y tensores de torción y demás, correspondientemente.

La manera más básica de entender y de acercarse a la cohomología consiste en recordar que en matemáticas la teoría de homologías –que remiten ulteriormente a los grupos abelianos (en honor del matemático noruego N. H. Abel)– se encarga del estudio de grupos (o módulos) de acuerdo a un espacio topológico. Más exactamente, la homología contribuye a la clasificación de los tipos de espacios.

Pues bien, el aspecto verdaderamente apasionante es que existen, en matemáticas, infinitos espacios. Y cada geometría designa un espacio distinto. Así, tenemos la geometría euclidiana, las geometrías no euclidianas (Riemann y Lobachevsky), la geometría proyectiva, la geometría de taxis, la geometría hiperbólica, la geometría de fractales, y así muchísimas más.

Al respecto, es fundamental observar que en el universo y en la naturaleza coexiste una multiplicidad de espacios diferentes. Y entre ellos hay, incluso, espacios imposibles, formas y patrones imposibles, estructuras y comportamientos imposibles. Pues bien, la cohomología consiste en el estudio de grupos (abelianos) definidos a partir del estudio de co-cadenas, cociclos o cobordes. (Vale recordar que la teoría de catástrofes, desarrollada por R. Thom, nace a partir de los antecedentes de trabajo por parte del propio Thom en el tema del cobordismo).

La manera culturalmente más próxima de acercarse a la cohomología puede ser a través de la obra en xilografías y litografías de M. C. Escher (1898-1972). Escaleras imposibles, aves que se convierten en peces, la mano que dibuja a la propia mano, en fin, desviaciones, juegos, transformaciones de la percepción natural.

En efecto, si debemos a F. Bruneleschi (1377-1445) el descubrimiento de la perspectiva, lo que ello significa en términos culturales es que la burguesía, como clase social, introduce una nueva visión perfectamente distinta a las que había habido en la historia de la humanidad. La burguesía tiene “un punto de vista”, “una perspectiva”, un “punto de fuga”, y todo eso es la perspectiva. Las cosas, el mundo, se ven desde un punto de vista en cada caso. En lo sucesivo, en contraste con el medioevo, por ejemplo, ya no habrá una visión desde ninguna parte o, lo que es equivalente, una visión de todas partes.

Pensar la cohomología significa pensar en términos de multiplicidades, cocadenas, cocliclos, cobordes, poniendo de manifiesto que lo apasionante del mundo no estriba ya únicamente en lo real o en lo posible. Sino en el descubrimiento, en el trabajo con y en la pasión con lo imposible mismo.

Vale la pena subrayar esta idea. Si pensar bien es pensar en todas las posibilidades, y si quien piensa bien piensa en todas las posibilidades, dentro, al lado, complementarias, en fin a estas está, se encuentra aquella dimensión jamás imaginada en toda la historia de la humanidad. La existencia, la tematización, la problematización misma de lo imposible. Podemos así decir que quien piensa bien piensa incluso en lo imposible mismo. Es exactamente en esto, queremos decirlo, que estriba el significado cultural y social de un capítulo técnico, novedoso y apasionante de las matemáticas: la cohomología.

Naturalmente que existe una variedad amplia de teorías cohomológicas. Lo maravilloso de todas ellas (teorías ordinarias de homología, teorías K, bordimos y cobordismo) es que se trata de desarrollos perfectamente recientes, de todos los cuales el más antiguo no llega a cincuenta años, al día de hoy.

Las matemáticas constituyen un campo singular en la experiencia humana. Frente al temor que irracionalmente despiertan –debido a pésimos educadores y muy malos medios de comunicación social–, hay que decir que las matemáticas de hoy no consisten en fórmulas, ecuaciones o reglas; sino, mejor aún, en el estudio de estructuras, y según lo que les suceda a las estructuras: si permanecen o si cambian; y si cambian, entonces se trata de saber si en el cambio siguen siendo las mismas o se transforman.

La abstracción de las matemáticas es sencillamente la capacidad de imaginar o de soñar tantas posibilidades como quepa fantasear. Y ver entonces qué sucede con ellas. Pues bien, en el espectro de las posibilidades hay una que la historia de la humanidad jamás había considerado: el encuentro con lo imposible mismo. Una de las últimas fronteras.

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