Математика нуждается в систематизации

Дело в том, что в прикладных науках так называемых непрестижных отраслей, в том числе в экономике, никто, пожалуй, кроме Л. В. Канторовича, всерьёз математику не применял. Задачи вычислительно- оптимизационного характера являются вторичными, поэтому они не в счет, ибо математика в них выполняет роль счетного инструмента, которому безразлично, что считать. Методологической нагрузки она не несёт практически никакой. И в этом смысле экономике не повезло еще со времён Маркса, который, судя по всему, только к концу своей научной карьеры осознал, что без солидной математической основы ни о какой политэкономии социализма, а тем более коммунизма, не может быть речи.

В частности, научный уровень "Математических рукописей", время проявленного интереса к разным областям математики и попытки использовать их при написании "Капитала", очевидно, могут служить; основанием для вывода о том, что затруднения с математикой у Маркса возникали не потому, что он не смог разобраться в существовавшем тогда математическом аппарате (такой проблемы не могло существовать для человека, изучавшего иностранные языки только для того, чтобы читать интересующие его источники в оригинале).

Почти наверняка можно утверждать, что эти затруднения носили методологический характер, причем не столько со стороны математики, сколько со стороны политэкономии. Эта математическая задача в ряду с предыдущими выделяется своими негативными последствиями.

Не будет преувеличением сказать, что ее решение, а точнее – нерешение, является причиной того, что до сих пор не разрешено главное противоречие социализма – распределение по труду. Для выяснения сути этого противоречия придется привлекать методы не только из философии, но и из физики, и даже из биологии.

Итак, суть этой задачи сводится к конструированию такого механизма, который позволял бы легко переходить, например, от функционального математического аппарата к множественному, комплексному или параметрическому, т. е. от любого к любому. Это жизненно необходимо, в принципе, для описания любой реальной системы, но особенно – экономической, где невозможно сбалансировать хозяйственный механизм, не имея соответствующих эквивалентов, подобных механическому эквиваленту теплоты в физике.

Почему речь идет о конструировании механизма, а допустим, не о разработке или создании? Дело в том, что при небольшой смысловой разнице в терминах все-таки есть особенность, которую любят подчеркивать математики: они ничего не должны изобретать, а должны конструировать, ибо изобретенный элемент может нарушить логическую строгость доказательства. Против этого нельзя возражать, но опять-таки, если это требование не распространить на исходные "кирпичики", из которых "строится" логика доказательств. Эти универсальные "кирпичики" можно и должно изобретать, т. е. получать путем максимально возможного абстрагирования используемых математических средств и понятий.

Математики в таких случаях говорят, что необходим набор неопределимых (исходных, первичных) понятий. Философы тем более не сомневаются в необходимости таких абсолютных абстракций. В этом вопросе нет никаких разногласий. Но они неизбежно возникают, когда требуется уточнить этот набор как по форме, так и по содержанию.

Одни считают, что это должны быть некоторые множества, другие ориентируются на логические операции, третьи убеждены, что надо брать за основу материалистические категории, а четвертые предпочитают опираться на свою интуицию. Нет единства не только в качественной, но и в количественной оценках этого набора понятий.

Представители школы Э. Маха, и особенно в этом преуспел его ученик А. Эйнштейн, считают, что чем меньше исходных предпосылок имеет теория, тем она совершеннее. И вообще, если бы удалось всю теорию вывести из одного понятия, то это был бы идеальный случай. По всей видимости именно из этих соображений автор теории относительности изобрел пространственно-временной континуум, оматеризовав при этом пространство и время. Приверженцами монизма являются, по сути дела, все ортодоксальные теоретики.

Плюралисты же, наоборот, считают, что нельзя ограничиться каким-то определенным набором несводимых к единому началу понятий. Рожденный Г. Лейбницем плюрализм до недавнего времени считался философией современных идеалистов, к которым причисляли прагматистов, неопозитивистов и других "-истов". Теперь же плюрализм возведен в ранг государственной политики. Своего рода умеренным плюрализмом можно считать конвенционализм А. Пуанкаре, согласно которому вопрос об исходных научных понятиях должен решаться посредством соглашения (конвенции) между учеными, исходя из соображений простоты, удобства и других признаков.

Большой популярностью до сих пор пользуется дуализм Декарта и Канта, которые пытались примирить материализм и идеализм. Заметный след в науке оставили триады Гегеля, которыми, по выражению Ленина, "кокетничал" Маркс в 1 главе "Капитала", в результате чего, по его мнению, никто из марксистов не понял Маркса полвека спустя. Но не поняли (можно утверждать, что и до сих пор не понимают) не только Маркса, но и Гегеля. Очевидно по этой причине, а может быть вследствие осознания их величия и гениальности, критики не осмелились "наклеить" хлесткий "ярлык" в виде какого-нибудь "-изма" на учение, основанное на триадах.

Не встречается в философской литературе такого же "-изма", в основе которого лежала бы четверка исходных понятий, хотя и гегелевские крути кругов, и квадратуры Маркса, и четырехэлементная теория отражения Ленина чем-то напоминают логические квадраты Пселлома, предложенные им еще в XI веке.

Тем не менее, именно Ленин беспощадно громил авторов четвертого измерения пространства. Но делал он это, как теперь выясняется совершенно напрасно, ибо как раз четвертого геометрического измерения не хватает для исчерпывающего представления, например, о форме (кроме трех габаритных размеров необходимо еще иметь структурный параметр, который в простейшем случае может быть представлен толщиной стенки или размером внутренней полости).

В защиту четвертого измерения свидетельствует тот факт, что замкнутые кривые, с внутренними петлями, представленные одним уравнением в одной системе координат могут быть получены сравнительно простыми средствами, если это уравнение имеет четвертую степень. Еще более убедителен этот факт, если таких замкнутых кривых, похожих друг на друга, надо иметь не одну, а несколько (в случае со строением атома это имеет принципиальное значение).

Для самых придирчивых математиков мы попытаемся соблюсти логическую строгость и показать, что всякая система, в т. ч. система исходных понятий, может быть названа системой, если она имеет четыре элемента (необходимое, но не достаточное условие). Пока мы ограничимся констатацией фактов и абстрагированием посредством аналогий.

Так математика всегда обходилась четырьмя простейшими арифметическими действиями: сложением, умножением, вычитанием и делением, но применяться эти действия надо именно в такой последовательности. В теории групп оказывается достаточным иметь исходное множество, операции над ее элементами, единичный и обратный элементы. Этот перечень можно продолжать, но из математики примеров уже достаточно.

Для большей убедительности можно привести еще один пример, но уже из области техники. Ни одна автоматическая система не будет работоспособной, если она не будет иметь необходимый минимум элементов: объект управления, датчик, задатчик и исполнительный орган. Отсутствие любого из элементов делает систему бессмысленной. Таким образом, можно констатировать, что набор неопределимых понятий должен состоять из 4-х исходных категорий. Если известно их число, то, руководствуясь принципом симметрии, о котором шла речь выше, не составляет большой проблемы выбор самих категорий.

В философии помогает сделать такой выбор гегелевские парные понятия неопределенного и определенного качества и количества, из которых получается система: свойство, качество, мера, количество. Этот выбор можно проиллюстрировать на самом простом примере: любой товар имеет название, качество, единицу измерения (меру), и число единиц (количество). В математике это будут: отображение множества, само множество, свойства элементов и область существования. В этой системе понятий центральное место принадлежит "мере", которая должна отображать некоторые константы в реальном мире.

Кроме единиц измерения, роль постоянства которых известна всем с младенчества, существуют еще жизненно важные константы, относительно которых можно оценивать качественные состояния объектов независимо от их природы с целью их сопоставления. Примером может служить предел существования в биологии, предел прочности в механике, предел сохранения целостности (неразрывности) в физике и т. д.

Но предел – это то, чего нельзя превысить. А есть, так называемые, узловые точки, при переходе через которые меняется либо знак, либо состояние, либо вид. Здесь, как нигде более, очень важно сопоставить понятие констант, разных по своей природе, и найти соответствующие зависимости.