Сочинения Джорджа Беркли. Том 3. Философские работы с 1734 по 1745

7. Все эти положения, говорю я, предполагаются и принимаются на веру некоторыми строгими требователями доказательств в религии, людьми, которые pretendent верить не дальше, чем могут видеть. То, что люди, имевшие дело лишь с ясными положениями, с трудом допускают тёмные, могло бы показаться не совсем необъяснимым. Но тот, кто может переварить вторую или третью флюксию, вторую или третью разность, не должен, мне кажется, брезговать каким бы то ни было положением в богословии. Существует естественное предположение, что способности людей созданы одинаковыми. Именно на этом предположении они пытаются спорить и убеждать друг друга. Следовательно, то, что одному кажется очевидно невозможным и противоречивым, можно предположить таковым же и для другого. Но с каким видом разумности может кто-либо осмелиться утверждать, что тайны не могут быть объектами веры, в то же самое время, когда он сам допускает подобные тёмные тайны быть объектом науки [[1]]?

___________

[[1] «Объекты науки», то есть объекты веры, или разумного доверия, которое лежит в основе математического и естественнонаучного знания, как оно же лежит и в основе религии и богословия.]

– —

8. Действительно, должно признать, современные математики не рассматривают эти вопросы как тайны, но как ясно постигнутые и освоенные их всеобъемлющими умами. Они не стесняются говорить, что с помощью этой новой аналитики они могут проникнуть в саму бесконечность: что они могут даже распространить свои взгляды за пределы бесконечности: что их искусство объемлет не только бесконечное, но и бесконечное из бесконечного (как они это выражаются), или бесконечность бесконечностей. Но, несмотря на все эти утверждения и притязания, можно справедливо усомниться, не обманываются ли и они точно так же, как другие люди в других изысканиях часто бывают обмануты словами или терминами, чудесным образом будучи введены в заблуждение своими собственными особыми знаками, символами или видами. Нет ничего легче, чем придумать выражения или обозначения для флюксий и инфинитезималей первого, второго, третьего, четвёртого и последующих порядков, proceeding в той же правильной форме без конца и предела x. ’x. '’x. «»’x. и т. д. или dx. ddx. dddx. ddddx. и т. д. Эти выражения, действительно, ясны и отчётливы, и ум не находит трудности в том, чтобы представить их продолжающимися beyond любых назначенных границ. Но если мы приподнимем покров и заглянем под него, если, отложив в сторону выражения, мы пристально обратимся к рассмотрению самих вещей, которые, как предполагается, ими выражены или обозначены, мы обнаружим много пустоты, темноты и смятения; более того, если я не ошибаюсь, прямые невозможности и противоречия. Так ли это или нет, каждый мыслящий читатель упрашивается исследовать и судить самостоятельно.

9. Рассмотрев объект, я перехожу к рассмотрению принципов этого нового анализа, основанного на моментах, флюксиях или инфинитезималях; в котором, если окажется, что ваши основные положения, от которых, как предполагается, зависят все остальные, содержат ошибку и ложное умозаключение; тогда последует, что вы, сами не знающие, как вести себя, не можете с какой бы то ни было пристойностью назначать себя проводниками для других людей. Главный пункт в методе флюксий – получить флюксию или момент прямоугольника или произведения двух промежуточных величин. Поскольку отсюда выводятся правила для получения флюксий всех других произведений и степеней; какими бы ни были коэффициенты или показатели, целые или дробные, рациональные или иррациональные. Теперь, можно было бы подумать, этот основополагающий пункт должен быть очень ясно разъяснён, учитывая, сколько на нём построено и что его влияние простирается на весь анализ. Но предоставим судить читателю. Вот что даётся в качестве доказательства [[1]].

___________

[[1] Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Lib. II. lem. 2.] – АВТОР.

–

Предположим, что произведение или прямоугольник AB увеличивается непрерывным движением: и что мгновенные приращения сторон A и B суть a и b. Когда стороны A и B были недостаточны, или меньше на половину своих моментов, прямоугольник был A – 1/2a x B – 1/2b, то есть AB – 1/2aB – 1/2bA +1/4ab. И как только стороны A и B увеличиваются на другие две половины своих моментов, прямоугольник становится A +1/2a x B +1/2b или AB +1/2aB +1/2bA +1/4ab. Из последнего прямоугольника вычтем первый, и остающаяся разность будет aB + bA. Следовательно, приращение прямоугольника, порождённое полными приращениями a и b, есть aB + bA. Что и требовалось доказать. Но очевидно, что прямой и истинный метод получения момента или приращения прямоугольника AB – это взять стороны увеличенными на их целые приращения и перемножить их друг на друга, A + a на B + b, произведение которых AB + aB + bA + ab есть увеличенный прямоугольник; откуда, если мы вычтем AB, остаток aB + bA + ab будет истинным приращением прямоугольника, превосходящим то, что было получено предыдущим неправомерным и окольным методом, на величину ab. И это справедливо universally, будь величины a и b какими угодно, большими или малыми, конечными или бесконечно малыми, приращениями, моментами или скоростями. И не поможет говорить, что ab есть величина чрезвычайно малая: поскольку нам говорят, что in rebus mathematicis errores quam minimi non sunt contemnendi,

10. [[1]] Подобные этому рассуждения в качестве доказательства ничто, кроме темноты предмета, не могло бы поощрить или побудить великого автора флюксионного метода навязать своим последователям, и ничто, кроме слепого доверия к авторитету, не могло бы побудить их принять это.

_________

[[1] [Introd, ad Quadraturam Curvarum.]] – АВТОР.

– — —

Положение действительно трудное. Ничего нельзя сделать, пока вы не избавитесь от величины a b. Чтобы добиться этого, понятие флюксий сдвигается: оно помещается в различный свет: пункты, которые должны быть ясны как первые принципы, запутываются; и термины, которые должны использоваться неуклонно, становятся двусмысленными. Но, несмотря на всю эту изворотливость и искусство, цель избавления от a b не может быть достигнута законным рассуждением. Если человек методами не геометрическими и не доказательными удовлетворил себя в полезности некоторых правил; которые он впоследствии предложит своим ученикам в качестве несомненных истин; которые он предпринимает доказать тонким образом и с помощью изящных и запутанных понятий; нетрудно представить, что такие его ученики, чтобы избавить себя от труда мыслить, могут быть склонны смешивать полезность правила с достоверностью истины и принимать одно за другое; особенно если они люди, привыкшие скорее вычислять, чем мыслить; стремящиеся скорее продвигаться быстро и далеко, чем озабоченные тем, чтобы начинать осторожно и видеть свой путь отчётливо.

9. Рассмотрев сам предмет, я далее приступаю к рассмотрению принципов этого нового анализа при помощи моментов, флюксий или бесконечно малых величин; если в результате окажется, что ваши главные положения, от которых, как полагается, зависит все остальное, содержат ошибки и ложные заключения, то отсюда будет следовать, что вы, не знающий, куда направить самого себя, не можете, хотя бы из чувства простой скромности, быть руководителем для других людей. Главное в методе флюксий заключается в том, чтобы получить флюксию, или скорость движения (momentum), для прямоугольника, т. е. произведение двух неопределенных величин. Ибо именно из этого выводятся правила получения флюксий всех других произведений и степеней, независимо от характера коэффициентов или индексов, будь они целыми числами или дробными, действительными или иррациональными. Можно было бы подумать, что это главное положение должно быть очень четко доказано, принимая во внимание, что на нем основано очень многое и что его влияние распространяется на весь анализ. Но пусть читатель судит сам. Покажем использование упомянутого принципа на примере. Положим, что произведение, или прямоугольник АВ, увеличивается благодаря постоянному движению и что мгновенные приращения сторон А в В соответственно равны а и b. Когда стороны А и В были меньше, положим, на 7» их моментов, прямоугольник равнялся.

«Naturalis Philosophiae principia mathematica», lib. 2, lem. 2 [5].

Но как только стороны А и В увеличились на оставшиеся две половины их моментов, прямоугольник становится равным

Вычтем из последнего прямоугольника предыдущий, и останется разность аВ + bА. Следовательно, приращение прямоугольника, образованного целыми приращениями а и b, есть аВ + bА, что и требовалось доказать. Однако очевидно, что для получения момента или приращения прямоугольника АВ прямым и истинным методом необходимо взять стороны такими, какими они получились в результате увеличения их на полные приращения, и затем перемножить их (А+а) х (В+b), а полученное произведение (AB+aB+bA-t-ab) и есть увеличенный прямоугольник; отсюда, если мы вычтем АВ, остаток (аВ+bА+аb) и будет истинным приращением прямоугольника, превышающим тот, который был получен предыдущим незаконным и непрямым методом, на величину ab. и это справедливо в любом случае, какими бы ни были величины а и b, – большими или малыми, конечными или бесконечно малыми, приращениями, моментами или скоростями. Не поможет и утверждение о том, что ab – величина чрезвычайно малая, поскольку нам говорят, что in rebus mathematicis errores quam minimi non sunt contemnendi.

10. Ничто, кроме неясности предмета, не могло бы побудить или заставить великого автора теории флюксий навязать своим последователям такой ход рассуждений, который только что был продемонстрирован нами на примере, и ничто, кроме молчаливого уважения к авторитету, не могло бы заставить их принять его. Вопрос действительно трудный. Ничего нельзя сделать до тех пор, пока не избавимся от величины ab. Чтобы добиться этого, понятие о флюксиях смещается; его освещают с разных сторон; положения, которые должны быть ясны как основополагающие принципы, затуманиваются, а термины, употребление которых должно быть неизменным (steadily), делаются двусмысленными. Но, несмотря на всю эту изощренность и искусство, задача избавления от величины ab не может быть решена при помощи законного логического хода рассуждения. Если кто-либо при помощи негеометрических или демонстративных методов убедит себя в полезности определенных правил, которые он впоследствии сообщит своим ученикам в качестве неоспоримых истин и докажет их весьма тонко, с помощью точных и сложных понятий, то нетрудно представить себе, что такие его ученики, чтобы не утруждать себя размышлениями, могут склониться к спутыванию полезности правила с определенностью истины и принять одно за другое, особенно если они привыкли скорее считать, чем думать, и стремятся идти быстрее вперед, а не заботятся о том, чтобы ступать осторожно и ясно видеть свой путь.

11. Точки, или просто пределы зарождающихся линий, несомненно равны между собой, так как величина одной из них не превышает другой, а предел, как таковой, не есть величина. Если под [механическим] моментом (тоmentum) вы подразумеваете больше, чем самый начальный предел, то он должен быть либо конечной величиной, либо бесконечно малой. и действительно, хотя прибегали ко множеству хитростей, чтобы уклониться от признания величин бесконечно малых или как-либо избежать их, все это, кажется, ни к чему не привело. Насколько я понимаю, без признания существования бесконечно малых величин нельзя признать существование величины, занимающей промежуточное положение между конечной величиной и нулем. Приращение, образованное за конечную частицу времени, само по себе является конечной частицей и вследствие этого не может быть [механическим] моментом. Следовательно, для образования [механического] момента вам нужно брать бесконечно малую частицу времени. Говорят, что величина моментов не принимается во внимание, и тем не менее считается, что эти же самые моменты делятся на части. Это не легко понять, не легче, чем представить себе, почему для получения приращения АВ мы должны брать величины меньшие, чем А и В, хотя необходимо признать, что конечная причина или побудительный мотив такого хода рассуждений совершенно очевидны; но не так легко и просто привести справедливую и законную причину в объяснение этого или показать, что она является строго геометрической.

12. Из доказанного таким образом вышеупомянутого принципа выводится общее правило нахождения у флюента флюксии любой степени *. Но так как автор, кажется, испытывал скрытые угрызения совести или сознавал ущербность вышеприведенного доказательства и так как это нахождение флюксии данной степени есть вопрос первостепенной важности, было сочтено уместным вследствие этого доказать то же самое, но иным способом, отличным от приведенного выше доказательства. Однако теперь я перехожу к рассмотрению того, является ли этот другой метод более законным и убедительным, чем прежний; своему рассмотрению я предпосылаю следующую лемму: «Если для доказательства какого-либо предположения выдвигается определенное положение, благодаря которому доказываются некоторые другие положения, и если такое выдвинутое положение впоследствии само будет опровергнуто или отвергнуто противоположным предположением, то в этом случае все другие положения, доказанные при его помощи и вытекающие из него, должны быть также опровергнуты и отвергнуты, с тем чтобы в дальнейшем они не выдвигались и в доказательстве не применялись». Это настолько очевидно, что не нуждается в доказательстве.

13. Второй способ получения правила нахождения флюксии любой степени заключается в следующем. Пусть величина х возрастает равномерно (uniformly) и пусть предлагается найти флюксию хn. За тот же отрезок времени, что х путем возрастания становится (х+0), степень хn становится (х+0) n; т. е. в соответствии с методом бес-

допустим, что приращения исчезают, и их последнее отношение будет составлять 1: nxn-1. Но, представляется нам, такой ход рассуждений не будет справедливым или убедительным. Ибо когда говорят: пусть приращения исчезают, т. е. пусть приращения равны нулю или пусть не будет никаких приращений, тем самым прежнее допущение, что приращения представляют собой какую-то величину или что приращения имели место, отвергается, однако следствие того допущения, т. е. выражение, полученное благодаря ему, сохраняется. А это, в соответствии с вышеуказанной леммой, представляет собой ложный ход рассуждения. Безусловно, если мы предполагаем, что приращения исчезают, то мы должны предположить, что вместе с ними исчезают их соотношения, их выражения и все остальное, выведенное из предположения об их существовании.

14. Чтобы сделать этот вопрос более понятным, я разверну ход рассуждения и изложу его перед вами более полно. Он сводится, следовательно, к следующему, или, другими словами, может быть выражен следующим образом. Я полагаю, что величина х – переменная, что она возрастает в результате изменения, ее приращение я обозначу о, так что в результате возрастания она становится (х+0). Так как х увеличился, из этого следует, что. каждая степень х также увеличивается в соответствующей пропорции. Следовательно, раз х становится (x+0), хn становится (х+0) n, т. е. в соответствии с методом бесконечных рядов

А если из двух возросших величин мы вычтем соответственно основание и степень, то получим в остатке два приращения, а именно 0 и и т.д.,

а если оба приращения разделить на общий делитель «о», то получим частные

которые, следовательно, являются показателями соотношения приращений. До сих пор я предполагал, что х возрастает, что х обладает действительным приращением, что о есть нечто [определенное]. и я все время исходил из этого предположения, без которого я не смог бы сделать ни одного шага вперед. На основании этого предположения я получаю приращение хn, в состоянии сравнить его с приращением х и нахожу соотношение между двумя приращениями. Теперь я прошу разрешить мне сделать новое предположение, прямо противоположное первому, т. е. я предположу, что нет никакого приращения х или что о есть ничто; это второе предположение опровергает мое первое, несовместимо с ним и, следовательно, со всем тем, что им предполагается. Тем не менее я прошу разрешения сохранить nxn-1 – выражение, полученное благодаря моему первому предположению, необходимо обусловленное таким предположением, причем получение его без первого предположения было бы невозможно. Все это представляется весьма непоследовательным способом аргументации, и притом таким, который не допускался бы в отношении вопросов о божественном.

15. Нет ничего более очевидного, как то, что из двух несовместимых предположений нельзя непосредственно вывести правильное заключение. Правда, можно предположить все что угодно. Но ведь нельзя предполагать то, что может уничтожить первое предположение; или же, если вы так поступаете, то должны начать de novo. Следовательно, если вы предполагаете, что увеличения исчезают, т. е. что увеличений нет, то вы должны начать снова и посмотреть, что следует из такого предположения. Но отсюда не следует ничего, что послужило бы вашей цели.

Таким путем вы вообще не сможете прийти к сделанному вами выводу или, проводя анализ конечных величин, успешно осуществить то, что знаменитый автор называет изучением первого или последнего отношения зарождающихся или исчезающих величин. Я вновь повторяю: вы свободны делать любые возможные предположения; и вы можете опровергнуть одно предположение при помощи другого; но тогда вы не можете сохранить следствия или какую-либо часть следствий вашего первого предположения, опровергнутого таким образом. Я признаю, что можно заставить знаки обозначать что-либо или ничто, и, следовательно, в первоначальной записи (х+0) 0 может означать либо приращение, либо нуль. Но затем, какое бы из этих двух значений вы ему ни придали, вы должны рассуждать последовательно в соответствии с этим значением, а не исходить из двойного значения; делать так было бы явным софизмом. Рассуждаете ли вы при помощи слов или символов, правила здравого смысла остаются теми же. Нельзя также предположить, что вы сможете присвоить себе привилегию – быть свободным от этих правил в математике.

16. Если вы сначала допускаете, что какая-то величина возрастает на нуль и в выражении (х+0) 0 обозначает нуль, то, в соответствии с этим допущением, раз не будет приращения основания, не будет и приращения степени; и, следовательно, из всех членов ряда, составляющего степень бинома, останется только первый член; поэтому при помощи такого способа вы никогда не получите законным образом необходимое вам выражение флюксии. Отсюда вы вынуждены ступить на ложный путь, действуя до определенного момента на основании допущения приращения, а затем сразу же изменяя свое допущение на прямо противоположное (отсутствие приращения). Может показаться, что при осуществлении этого в определенный момент или период требуется большое искусство, поскольку, если бы это второе допущение было сделано до деления на общий делитель о, все бы мгновенно исчезло, и на основании своего допущения вы ничего бы не получали; в то время как благодаря этой уловке – сначала разделить, а потом уже изменить свое допущение, вы сохраняете 1 и nхn-1. Но, несмотря на всю эту ловкость, проявленную для прикрытия ошибки, последняя остается той же самой. Ибо независимо от того, сделаете вы это раньше или позже, как только сделано второе допущение или предположение, в тот же самый миг уничтожается и полностью исчезает прежнее допущение и все то, что вы получили при его помощи. и это справедливо в отношении всего, каков бы ни был объект изучения, во всех сферах человеческого познания; я полагаю, что в любой другой из этих сфер люди едва ли бы допустили подобный ход рассуждений, принятый для доказательства в математике.

17. Быть может, не будет лишним заметить, что метод нахождения флюксии от произведения двух текущих величин, как он изложен в «Трактате о квадратурах», отличается от упомянутого выше, взятого из второй книги «Начал», и по сути совпадает с тем, что используется в дифференциальном исчислении [[1]]. Поскольку предположение о бесконечно уменьшающейся величине и последующее её отбрасывание по сути есть отбрасывание бесконечно малой величины; и, действительно, требуется удивительная острота различения, чтобы суметь отличить исчезающие приращения от бесконечно малых разностей. Возможно, скажут, что величина, будучи бесконечно уменьшенной, становится ничем, и, таким образом, отбрасывается ничто. Но, согласно принятым принципам, очевидно, что никакая геометрическая величина никаким делением или подразделением не может быть исчерпана или сведена к нулю. Принимая во внимание различные уловки и приёмы, используемые великим автором метода флюксий; в скольких смыслах он понимает свои флюксии; и сколькими разными способами он пытается доказать один и тот же пункт; можно было бы склониться к мысли, что он сам сомневался в справедливости своих собственных доказательств и что он не был в достаточной мере доволен ни одним понятием, чтобы неуклонно придерживаться его. По крайней мере, очевидно следующее: он признавал себя удовлетворённым относительно определённых пунктов, которые, тем не менее, не брался доказать другим [[2]]. Проистекало ли это удовлетворение из пробных методов или индукций, которые часто допускались математиками (например, доктором Валлисом в его «Арифметике бесконечностей»), я не берусь определять. Но, какова ни была ситуация с автором, представляется, что его последователи проявили себя более ревностными в применении его метода, нежели точными в исследовании его принципов.

___________

[[1] [Analyse des Infiniment Petits, Part I. prop. 2.]] – АВТОР. Ньютон из «Квадратур» (1704) отличается от Ньютона из «Начал» (1687).]

[[2] [См. Письмо Колинзу, 8 ноября 1676г.]] – АВТОР.

18. Любопытно наблюдать, с какой тонкостью и искусством этот великий гений пытается бороться с непреодолимой трудностью; и сквозь какие лабиринты он старается избежать учения о бесконечно малых; которое, хотя и вторгается в его учение волей-неволей, тем не менее принимается и усваивается другими без малейшего сопротивления; – Лейбниц и его последователи в своём дифференциальном исчислении не делают никакого затруднения, чтобы сначала предположить, а затем отбросить бесконечно малые величины; с какой ясностью в понимании и правильностью в рассуждении, любой мыслящий человек, не предубеждённый в пользу этих вещей, может легко усмотреть. Понятие или идея бесконечно малой величины, как объект, просто постигаемый умом, уже были рассмотрены [[1]]. Теперь я лишь замечу относительно метода избавления от таких величин, что это делается без малейших церемоний. Поскольку во флюксиях пунктом первостепенной важности, который прокладывает путь к остальным, является нахождение флюксии от произведения двух неопределённых величин, так и в дифференциальном исчислении (который метод, как предполагается, был заимствован из первого с некоторыми небольшими изменениями) главным пунктом является получение разности такого произведения. Теперь правило для этого получается путём отбрасывания произведения или прямоугольника разностей. И в целом предполагается, что никакая величина не становится больше или меньше от прибавления или вычитания своей бесконечно малой: и, следовательно, никакая ошибка не может возникнуть от такого отбрасывания бесконечно малых.

___________

[[1] [См. «Сейрис», секции 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35.]]

19. И всё же следует полагать, что какие бы ошибки ни допускались в посылках, пропорциональные ошибки следует ожидать и в заключении, будь они конечными или бесконечно малыми: и что, следовательно, точность геометрии требует, чтобы ничто не было упущено или отброшено. В ответ на это вы, возможно, скажете, что выводы являются точно верными и что, поэтому, принципы и методы, из которых они выведены, также должны быть таковыми. Но этот перевёрнутый способ доказательства ваших принципов через ваши выводы, будучи характерным именно для вас, господа, является также противоречащим правилам логики. Истинность заключения не доказывает ни форму, ни содержание силлогизма истинными; поскольку умозаключение могло быть проведено неверно или посылки могли быть ложными, и тем не менее заключение могло оказаться истинным, хотя и не в силу такого умозаключения или таких посылок. Я утверждаю, что во всех прочих науках люди доказывают свои выводы своими принципами, а не свои принципы – выводами. Но если в вашей науке вы позволите себе этот противоестественный способ действия, следствием будет то, что вам придётся довольствоваться индукцией и сказать прощай демонстрациям. И если вы на это согласитесь, ваш авторитет более не будет указывать путь в вопросах разума и науки.