Сочинения Джорджа Беркли. Том 3. Философские работы с 1734 по 1745

– 20. У меня нет разногласий с вами относительно ваших выводов; они у меня есть только относительно вашей логики и метода. Как вы проводите доказательство? Какие предметы вам хорошо знакомы и ясно ли вы их себе представляете? На основе каких принципов вы действуете, насколько они правильны и как вы их применяете? Необходимо помнить, что меня интересует не истинность ваших теорем, а лишь способ их доказательства: законный он или незаконный, ясный или туманный, научный или экспериментальный. Чтобы исключить всякую возможность вашего неверного суждения обо мне, я прошу разрешения повторить и вновь настаиваю, что я рассматриваю геометра-аналитика как логика, то есть [изучаю] то, каким образом он рассуждает и доказывает; а его математические выводы рассматриваю не сами по себе, а в их связи с посылками; не в отношении того, являются ли они истинными или ложными, полезными или не имеющими значения, а лишь в отношении того, каким образом они выводятся из таких принципов и при помощи таких приёмов умозаключения. А поскольку может показаться необъяснимым парадоксом, что математики выводят правильные заключения, исходя из ложных принципов, – могут прийти к верному выводу и тем не менее ошибаться в посылках, – я попытаюсь конкретно объяснить, почему это может произойти, и покажу, как ошибка может породить истину, хотя и не может породить науку.

– Следовательно, для того чтобы выяснить это положение, предположим, например, что надо провести касательную к параболе, и рассмотрим решение этой задачи при помощи бесконечно малых дифференциалов. Пусть АВ – кривая, абсцисса АР = х, ордината РВ = у, приращение абсциссы PM = dx, приращение ординаты RN = dy. Теперь допустим, что кривая представляет собой многоугольник и, следовательно, BN, то есть приращение (разность кривой), является отрезком прямой, совпадающим с касательной, а дифференциальный треугольник BRN подобен треугольнику ТРВ. Тогда подкасательная РТ будет определяться из пропорции RN: RB = РВ: РТ, то есть dy: dx = y: РТ. Отсюда подкасательная будет равна y dx/dy.

Но здесь и содержится ошибка, возникшая в результате вышеупомянутого допущения, не соответствующего действительности, вследствие чего величина РТ получается больше, чем она есть на самом деле: ибо в действительности не треугольник RNB подобен РВТ, а треугольник RLB, и поэтому первым членом пропорции должен быть не RN, a RL, то есть RN + NL, то есть dy + z. Отсюда истинным выражением для подкасательной должно было бы быть y dx/ (dy + z). Следовательно, когда dy было сделано делителем, была допущена ошибка, так как была взята меньшая, чем на самом деле, величина, и эта ошибка равнялась z, то есть NL, отрезку, заключенному между кривой и касательной.

Далее, в соответствии с характеристикой кривой, уу=рх, где р – параметр, отсюда в соответствии с правилом дифференцирования 2y dy=p dx и dy= p dx/2y. Но если умножить (y+dy) само на себя и сохранить все произведение, не отбрасывая площадь дифференциала, тогда, если подставить возросшие величины в уравнение кривой, окажется, что действительно. Следовательно, была допущена ошибка, когда сочли, что, приведшая к увеличению истинного значения и вытекающая из ошибочного правила дифференцирования. и величина этой второй ошибки Следовательно, обе ошибки равны друг другу и взаимно уничтожаются; первая ошибка, приведшая к уменьшению истинного значения выражения, исправлена второй ошибкой, увеличивающей его значение.

22. Если допустить только одну ошибку, не найдешь правильного решения задачи. Но благодаря двойной ошибке доходишь до истины, хотя и не до науки. Ибо нельзя назвать наукой тот путь, при котором двигаешься вслепую и добираешься до истины, не зная как и при помощи каких средств. Для доказательства равенства обозначим BR или dx как m, a RN или dy как n. На основании 33-й теоремы первой книги «Конусов» [грека] Аполлония [9] и подобия треугольников следует, что 2х: у, как. Аналогично из характеристики параболы следует, что (уу+2уn+nn) =хр+mр, а 2уn+nn=mр; вследствие чего и поскольку будет равно х. Следовательно, подставляя эти значения вместо m и х, мы получим

что после сокращения дает что и требовалось доказать.

23. Конечно, вот отредактированный текст. Математические рассуждения сохранены в полном объёме, исправлены стилистические погрешности и улучшена структура предложений для лучшей читаемости.

Теперь я, прежде всего, замечу, что итог получается правильным не потому, что отброшенная величина dy была бесконечно мала, а потому, что эта ошибка была компенсирована другой ошибкой, противоположной по своему характеру, но равной ей. Во-вторых, замечу: что бы ни было отброшено, как бы мало оно ни было, если оно было действительным и, следовательно, составляло реальную ошибку в посылках, оно вызвало бы соответственную ошибку в итоге. В силу этого ваши теоремы не могут быть непогрешимо правильными, а ваши задачи – точно решёнными, так как сами посылки неточны; в логике является правилом: conclusio sequitur partem debiliorem. Поэтому замечу, в-третьих: когда заключение очевидно, а посылки неясны, или, когда заключение точно, а посылки неточны, мы можем совершенно свободно заявить, что такое заключение очевидно или точно не в силу упомянутых неясных и неточных посылок или принципов, а в силу некоторых иных принципов, о которых сам автор доказательства, возможно, вообще не знал и не думал.

Наконец, замечу: если предположить, что дифференциалы являются конечными величинами, значение которых может быть и очень велико, то и в этом случае итог тем не менее будет прежним ввиду того, что отброшенные величины игнорируются на законном основании – не потому, что они малы, а по другой причине, а именно из-за противоположных по характеру ошибок, которые, взаимно уничтожаясь, в целом приводят к тому, что в действительности ничего не отбрасывается, хотя по видимости что-то и отвергается. И эта причина в равной степени действительна в отношении величин конечных и бесконечно малых, больших и малых – будь то фут, ярд или наименьшее приращение.

24. Чтобы более полно проиллюстрировать это положение, я рассмотрю его в несколько ином свете и, оперируя вплоть до самого заключения конечными величинами, буду использовать тогда только одну бесконечно малую величину. Положим, что прямая MQ пересекает кривую

AT в точках R и S. Положим, что LR – касательная в точке R, AN – абсцисса, NR и OS – ординаты. Продолжим AN до пересечения с О и проведем RP параллельно NO. Положим, что AN=x, NR=y, NO=v, PS=z, поднормаль (subsecant) MN=s. Пусть уравнение y=xx выражает характеристику кривой; предположив, что у и х возрастают на конечное приращение, мы получаем:

у + z = хх+2xv+vv

отсюда, после вычитания предыдущего уравнения, остается z=2xv+vv. На основании подобия треугольников

подставив сюда вместо у и z их значения, мы получаем:

Если предположить, что NO уменьшено до величины бесконечно малой, поднормаль NM будет в этом случае совпадать с подкасательной NL, а v, как величина бесконечно малая, может быть отброшена, отсюда S=NL=, что и является истинным значением подкасательной. и поскольку при его получении была допущена только одна ошибка, т. е. однажды отброшена только одна бесконечно малая величина, то может показаться в противоположность тому, что говорилось ранее, будто можно пренебречь бесконечно малой величиной, или дифференциалом, отбросить его, и тем не менее итог будет истинным и точным, хотя и не была допущена двойная ошибка, т. е. не было исправления одной ошибки при помощи другой, как это имело место в первом случае. Но если тщательно рассмотреть это положение, мы обнаружим, что даже в данном случае допускается двойная ошибка и одна из них компенсирует или исправляет вторую. Ибо, во-первых, мы предполагали, что, когда NO уменьшается до бесконечно малой величины или становится бесконечно малой величиной, тогда поднормаль NM становится равной подкасательной NL. Но это очевидная ошибка, ибо совершенно ясно, что, поскольку секущая не может быть касательной, поднормаль не может быть подкасательной. Пусть разность будет очень мала, все же она будет. А если NO – бесконечно малая величина, даже тогда будет налицо бесконечно малая разность между NM и NL. В силу этого NM или S было слишком мало для вашего допущения (когда вы допускали, что оно равно NL) и эта ошибка была компенсирована второй ошибкой, состоявшей в отбрасывании v, и в результате этой последней ошибки s стала больше, чем ее истинное значение, и вместо него дала значение подкасательной. Таково истинное положение вещей в нашем случае, каким бы замаскированным он ни был. и к этому он сводится в действительности и в основе своей остается тем же самым, даже если мы позволим себе найти подкасательную, сначала определив с помощью уравнения кривой и подобных треугольников общее выражение для всех поднормалей, а затем подведя подкасательную под это общее правило, считая ее поднормалью, когда v приближается к нулю или становится равным ему.

25. По поводу всего примера в целом я замечу, во-первых, что v вообще не может быть равным нулю, поскольку имеется секущая. Во-вторых, одна и та же прямая не может быть и касательной, и секущей. В-третьих, когда v или NO * приближается к нулю, PS и SR также приближаются к нулю, а с ними и пропорциональность подобных треугольников. Следовательно, все выражение, полученное с помощью этой пропорциональности и на ней основанное, приближается к нулю, когда приближается к нулю v. В-четвертых, способ нахождения секущих или их выражения, каким бы общим он ни был, не может с точки зрения здравого смысла распространяться за пределы нахождения именно всех секущих; и поскольку он необходимо предполагает наличие подобных треугольников, то в тех случаях, когда подобных треугольников нет, его применение нельзя даже предполагать. В-пятых, поднормаль всегда будет меньше подкасательной и никогда не может с ней совпадать; допускать подобное совпадение было бы абсурдно, ибо это означало бы допускать, что одна и та же прямая в одно и то же время пересекает и не пересекает другую данную линию; это представляет собой очевидное противоречие, подрывающее гипотезу и служащее доказательством ее ложности. В-шестых, если это доказательство не будет признано, я потребую, чтобы мне назвали причину, почему не это, а какое-либо иное апагогическое доказательство, или доказательство ad absurdum, признано в геометрии, или же между моим доказательством и другими подобными доказательствами должно быть найдено какое-либо реальное различие. В-седьмых, замечу: предположить, что NO или RP, PS я SR являются конечными реальными прямыми, образующими треугольник RPS, чтобы получить пропорции при помощи подобных треугольников, а затем допустить, что таких прямых (а следовательно, и подобных треугольников) не существует, но тем не менее сохранить следствие первого предположения после того, как такое предположение уничтожено прямо противоположным, – это чистая софистика. В-восьмых, хотя в данном случае при помощи несовместимых допущений можно получить истину, тем не менее такая истина не доказана; подобный метод не соответствует правилам логики и правильного мышления; каким бы полезным он ни был, его необходимо считать только предположением, ловким приемом (knack), хитростью, скорее уловкой, но не научным доказательством.

26. Изложенная выше теория может быть далее проиллюстрирована следующим простым и легким примером, в котором я использую приближающиеся к нулю приращения. Положим, АВ=х, ВС=у, BD=o, а хх равен площади ABC; предполагается найти ординату у или ВС. Когда благодаря возрастанию х становится (x+o), тогда хх становится (хх+2хо+оо); а площадь ABC становится ADH, и приращение хх будет равно BDHC, приращению площади, т. е. (BCFD+CFH). и если мы положим, что криволинейное пространство CHF равно qoo, тогда

что при делении на о дает 2x+o=y+qo. и если допустить, что о исчезает, тогда 2х=у, и в этом случае АСН будет прямой, а фигуры ABC, CFH – треугольниками. Но в отношении такого хода рассуждений было уже замечено *: допускать, что о приближается к нулю, т. е. равно нулю, неправомерно и нелогично, если только мы одновременно с самим приращением не отбросим все следствия такого приращения, т. е. все то, чего нельзя получить, коль скоро не допускают такого приращения. Необходимо тем не менее признать, что задача решается правильно и вывод, к которому нас привел этот метод, правилен. Поэтому могут спросить: как же получается, что отбрасывание о не сопровождается никакими ошибками в выводе? Я отвечу: подлинная причина этого очевидна: раз q составляет единицу, qo равно о; и в силу этого

поскольку qo и о, как равные величины с противоположными знаками, взаимно уничтожаются.

27. Хотя, с одной стороны, было бы абсурдным избавляться от о, заявив: «Разрешите мне противоречить самому себе. Разрешите мне опровергнуть свое собственное предположение. Разрешите мне считать доказанным, что нет никакого приращения, хотя я сохраняю величину, которую я вообще не мог бы получить, если бы не предположил наличие приращения», с другой стороны, было бы в равной мере неправильным вообразить, что в геометрическом доказательстве нам может быть позволено допускать ошибки, какими бы незначительными они ни были, или что по самой природе вещей возможно сделать правильный вывод на основе неточных принципов. Поэтому о может быть отброшено не как бесконечно малая величина и не на том основании, что бесконечно малыми величинами можно спокойно пренебрегать, а только потому, что оно уничтожается равной величиной с отрицательным знаком, отсюда (о – qo) равно нулю. и поскольку неправомерно сокращать уравнение путем вычитания из одной его части какой-либо величины, если только она не должна быть уничтожена или если из другой части уравнения не вычитается равная ей величина, то наш способ вести рассуждение необходимо признать в качестве весьма логичного и правильного и в заключение заявить, что, если из равных величин вычесть равные величины или нули, их равенство не нарушится. и это – истинная причина того, что в конечном итоге отбрасывание о не приводит к ошибке, что, следовательно, не должно быть отнесено за счет учения о дифференциалах, бесконечно малых величинах, исчезающих величинах, [механических] моментах или флюксиях.

28. Допустим, имеется самый общий пример и хn равен площади ABC; отсюда при помощи метода флюксий найдем значение ординаты – nхn-1, которое мы примем за истинное, и рассмотрим, как оно было получено. Если мы довольствуемся тем, что придем к выводу самым общим путем, предположив, что найдено * отношение флюксий х и хn, равное 1: nхn-1, и что ордината упомянутой площади считается ее флюксией, мы не увидим ясно свой путь и не поймем, как обнаруживается истина, поскольку, как мы показали ранее, этот метод неясен и нелогичен. Но если мы четко обозначим площадь и ее приращение, разделим последнее на две части BCFD и CFH и будем действовать последовательно при помощи уравнений, составленных из алгебраических и геометрических величин, тогда совершенно четко выявится внутреннее обоснование всего решения. Ибо если хn равен площади ABC, то приращение хn равно приращению площади, т. е. BDHC; другими словами

И поскольку сохраняются только первые члены из каждой части уравнения, noxn-1 = BDFC. Разделив обе части на о или BD, получим noxn-1 = ВС. В силу чего допустим, что криволинейное пространство CFH равно величине ooxn-2 и т. д., которую можно отбросить, и, когда одно отброшено из одной части, а другое – из другой, ход рассуждения становится правильным, а вывод верным. и совершенно безразлично, какое значение вы придадите BD – бесконечно малого дифференциала или большого конечного приращения. Отсюда очевидно, что предположение о том, что подлежащая отбрасыванию алгебраическая величина является бесконечно малой или исчезающей и поэтому ею можно пренебречь, должно было бы привести к ошибке, если бы криволинейные не были бы равными ей и не вычитались бы одновременно из другой части уравнения, в соответствии с аксиомой: если от равных величин отнять равные части, остатки тоже будут равны. Ибо те величины, которыми, по утверждению аналитиков, следует пренебречь, или же которые следует считать исчезающими, в действительности вычитаются. Поэтому, чтобы вывод был верен, абсолютно необходимо, чтобы конечное пространство CFH было равно остатку приращения, выраженному через

равно, как я сказал бы, конечному остатку конечного приращения.

29. Следовательно, какова бы ни была степень, с какой бы то ни было стороной возникнет алгебраическое выражение, а с другой – геометрическая величина, каждая из которых естественным образом подразделяется на три члена. Алгебраическое, или флюксионное, выражение – на такое, которое не включает ни выражения приращения абсциссы, ни какой-либо её степени; другое, которое включает выражение самого приращения; и третье, включающее выражение степеней приращения. Геометрическая величина, или вся увеличенная площадь, также состоит из трёх частей, или членов, – первый из которых есть данная площадь; второй – прямоугольник под ординатой и приращением абсциссы; и третий – криволинейное пространство. И, сравнивая однородные или соответственные члены с обеих сторон, мы находим, что, как первый член выражения является выражением данной площади, так второй член выражения будет выражать прямоугольник, или второй член геометрической величины, а третий, содержащий степени приращения, будет выражать криволинейное пространство, или третий член геометрической величины. Это указание, быть может, может быть далее распространено и с пользою применено теми, у кого есть досуг и любопытство для подобных предметов. Польза, которую я из него извлекаю, состоит в том, чтобы показать, что анализ справедлив не только для приращений или разностей, но он должен быть справедлив и для конечных величин, сколь бы велики они ни были, как было замечено ранее.

30. Таким образом, по-видимому, в целом можно с уверенностью утверждать, что заключение не может быть верным, если для его достижения какая-либо величина обращается в ничто, или ею пренебрегают, – за исключением того, что либо одна ошибка исправляется другой; либо, во-вторых, на одной и той же стороне уравнения равные величины уничтожаются противоположными знаками, так что величина, которую мы намерены отбросить, сначала аннулируется; или, наконец, что из противоположных сторон вычитаются равные величины. И потому избавляться от величин посредством принятых принципов флюксий или разностей не есть ни хорошая геометрия, ни хорошая логика. Когда приращения исчезают, скорости также исчезают. Говорят, что скорости, или флюксии, являются первоначальными и конечными, как приращения зарождающимися и исчезающими. Возьмите, следовательно, отношение исчезающих величин, оно то же самое, что и отношение флюксий. Оно, следовательно, будет служить всем намерениям столь же хорошо. Для чего же тогда вводятся флюксии? Не для того ли, чтобы избегнуть или, вернее, замаскировать использование бесконечно малых величин? Но у нас нет понятия, посредством которого можно было бы постигать и измерять различные степени скорости, кроме пространства и времени; или, когда времена заданы, кроме одного лишь пространства. У нас даже нет понятия о скорости, отвлечённой от времени и пространства. Когда, следовательно, предполагается, что точка движется в заданные времена, у нас нет понятия о больших или меньших скоростях, или о пропорциях между скоростями, но лишь о более длинных или коротких линиях и о пропорциях между такими линиями, порождёнными в равные части времени.

31. Точка может быть пределом линии: линия может быть пределом поверхности: момент может ограничивать время. Но как мы можем постигать скорость с помощью таких пределов? Она по необходимости подразумевает и время, и пространство и не может быть постигнута без них. И если скорости зарождающихся и исчезающих величин, то есть отвлечённые от времени и пространства, не могут быть постигнуты, как же мы можем постигать и демонстрировать их пропорции; или рассматривать их первоначальные и конечные отношения? Ибо рассматривать пропорцию, или отношение, вещей подразумевает, что такие вещи имеют величину; что эти их величины могут быть измерены и их отношения друг к другу известны. Но, поскольку нет меры скорости, кроме времени и пространства, а пропорция скоростей составляется лишь из прямой пропорции пространств и обратной пропорции времён; не следует ли из этого, что рассуждать об исследовании, получении и рассмотрении пропорций скоростей, исключая время и пространство, – значит рассуждать непонятно?

32. Но вы скажете, что в использовании и применении флюксий люди не перенапрягают свои способности для точного восприятия вышеупомянутых скоростей, приращений, бесконечно малых или каких-либо других подобных идей столь тонкой, утончённой и исчезающей природы. И потому вы, быть может, будете утверждать, что проблемы могут быть решены без этих непостижимых предположений; и что, следовательно, учение о флюксиях, что касается практической части, свободно от всех подобных трудностей. Я отвечаю, что если при использовании или применении этого метода этим трудным и тёмным пунктам не уделяется внимание, они тем не менее предполагаются. Они – основания, на которых современники строят принципы, на которых они продвигаются в решении проблем и открытии теорем. С методом флюксий дело обстоит так же, как и со всеми другими методами, которые предполагают свои соответствующие принципы и на них обоснованы; хотя правила могут применяться на практике людьми, которые ни не уделяют внимания, ни, быть может, не знают принципов. Подобным же образом, следовательно, как моряк может практически применять определённые правила, выведенные из астрономии и геометрии, принципы которых он не понимает; и как любой обычный человек может решать различные численные задачи с помощью общеупотребительных правил и операций арифметики, которые он выполняет и применяет, не зная их оснований: даже так нельзя отрицать, что вы можете применять правила флюксионного метода: вы можете сравнивать и сводить частные случаи к общим формам: вы можете действовать и вычислять и решать проблемы посредством него, не только без фактического внимания к основаниям того метода и принципам, от которых он зависит и из которых выведен, или фактического знания их, но даже без того, чтобы когда-либо рассматривать или постигать их.