Сочинения Джорджа Беркли. Том 3. Философские работы с 1734 по 1745

33. Но тогда должно помниться, что в таком случае, хотя вы и можете сойти за искусника, вычислителя или аналитика, вы, однако, не можете по справедливости считаться человеком науки и доказательства. И ни один человек, в силу своей осведомлённости в таких тёмных аналитических приёмах, не должен воображать, что его рациональные способности более развиты, чем те способности других людей, которые упражнялись иным образом и на иных предметах; тем более возводить себя в судьи и оракула относительно вопросов, которые не имеют никакой связи с или зависимости от тех видов, символов или знаков, в управлении которыми он столь осведомлён и искусен. Как вы, будучи искусным вычислителем или аналитиком, не можете, поэтому, считаться искусным в анатомии; или, наоборот, как человек, который может искусно препарировать, может, тем не менее, быть несведущим в вашем искусстве вычисления: даже так вы оба, несмотря на ваше особое умение в ваших соответствующих искусствах, можете быть в равной степени неквалифицированны, чтобы выносить решения по вопросам логики, или метафизики, или этики, или религии. И это было бы верно, даже допуская, что вы понимаете ваши собственные принципы и можете их демонстрировать.

34. Если скажут, что флюксии можно объяснить или выразить при помощи отрезков прямых, им пропорциональных; что поскольку эти отрезки можно отчетливо воспринять, познать и на них можно основываться, то их можно подставить вместо флюксий, а их отношения, или пропорции, рассматривать как пропорции флюксий; что благодаря такому приему теория флюксий становится ясной и полезной, – на это я отвечу: для того чтобы получить эти конечные прямые, пропорциональные флюксиям, необходимо предпринять определенные неясные шаги, которые представить себе невозможно; и пусть эти конечные прямые сами по себе воспринимаются очень ясно, тем не менее необходимо признать, что ход ваших рассуждений не ясен, а ваш метод не научен. Например, положим, что АВ – абсцисса, ВС – ордината, a VCH – касательная к кривой АС; Вb или СЕ – приращение абсциссы, Еc – приращение ординаты, которая, будучи продолжена, пересекает VH в точке Т, а Сс – приращение кривой. Если прямую Сс продолжить до К, образуется три небольших треугольника – прямолинейный СЕс, треугольник со смешанными прямо- и криволинейными сторонами СЕс и прямолинейный треугольник СЕТ. Очевидно, что эти три треугольника отличаются друг от друга: прямолинейный треугольпик СЕс меньше треугольника СЕс со смешанными прямо- и криволинейными сторонами, которые представляют собой три вышеупомянутых приращения; в свою очередь последний меньше треугольника СЕТ. Допустим, что ордината bc перемещается на место ВС, так что точка с совпадает с точкой С, а прямая СК и, следовательно, кривая Сс совпадает с касательной СН. В таком случае треугольник СЕс со смешанными криво- и прямолинейными сторонами, приближающийся к исчезновению, в своей последней форме будет подобен треугольнику СЕТ, а его приближающиеся к нулю стороны СЕ, Еc, Сс будут про-

порциональны СЕ, ЕТ, СТ – сторонам треугольника СЕТ. и в силу этого делается вывод, что флюксии отрезков АВ, ВС и АС, входящие в последнее отношение их исчезающих приращений, пропорциональны сторонам треугольника СЕТ, или, что одно и то же, сторонам треугольника VBC, ему подобного *. Великий автор данного анализа специально замечает и особенно настаивает на том, что точки С и с не должны отстоять друг от друга ни на какой самый малейший интервал, но что для нахождения окончательных пропорций отрезков СЕ, Еc и Сс (т. е. отношения флюксий или скоростей), выраженных конечными сторонами треугольника VBC, точки Сиc должны точно совпадать друг с другом, т. е. быть одной и той же точкой. Следовательно, точка рассматривается как треугольник или же допускается, что в точке образуется треугольник. Понять это представляется совершенно невозможным. Однако находятся люди, которые недовольно морщатся, сталкиваясь с какими-либо непостижимыми тайнами у всех других, в то же время не видят ничего трудного в таких же непостижимостях у себя самих, которые подавятся комаром, но проглотят верблюда.

35. Я не знаю, стоит ли особо отметить, что, может быть, некоторые надеются оперировать символами и допущениями, дабы избежать применения флюксий, [механических] моментов и бесконечно малых величин, действуя с помощью следующею метода. Пусть х – абсцисса кривой, а z – еще одна абсцисса той же самой кривой. Положим так/не, что соответствующие площади равны ххх и zzz, что (z – х) – приращение абсциссы, a (zzz – — ххх) – приращение площади, не обращая внимания на то, насколько велики или малы пи приращения. Разделим теперь (zzz – ххх) на (z – х) и получим частое (zz+zx+-хх); если допустим, что z х, тогда это же самое частное будет равно 3 хх, что в каком случае и будет значением ординаты; таким образом, последнее можно найти независимо от флюксий и бесконечно малых величин. Но здесь прямая подтасовка: ибо, во-первых, мы полагаем, что абсциссы x и z не равны между собой, и без такого предположения нельзя было бы сделать ни одного шага; а во-вторых, мы допускаем, что те же абсциссы равны, а это явная непоследовательность, и это равнозначно тому, что уже рассматривалось ранее *. И, действительно, есть основания опасаться, что все попытки поставить эту трудную для понимания и точную геометрию на верный фундамент и избежать теории скоростей, механических моментов и т. п. окажутся бесплодными до тех пор, пока предмет и цель геометрии не будут поняты лучше, чем, как представляется, понимали до сих пор. Великий автор метода флюксий чувствовал эту трудность и поэтому пустился во все эти изящные (nice) абстракции и геометрическую метафизику, без которых, как он понимал, ничего нельзя сделать на основе общепринятых принципов, и читатель сам может судить, что у него из всею этого получилось в смысле доказательства. Правда, надо признать, что он использовал флюксии, подобно лесам при строительстве здания, которые нужно было отбросить в сторону или от которых нужно было избавиться, когда уже было найдено, что конечные линии пропорциональны эгим флюксиям. Но ведь эти конечные показатели определяются с помощью флюксий. Поэтому все, что получается с помощью таких показателей и пропорций, необходимо отнести за счет флюксий, которые, следовательно, предварительно надо понять. А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений. А что такое эти самые исчезающие приращения? Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули. Разве мы не имеем права назвать их призраками (ghosts) исчезнувших величин?

36. Люди слишком часто внушают самим себе и другим, будто они представили себе и поняли явления, выраженные при помощи знаков, тогда как в действительности они не имеют о них ни малейшего представления, а понимают только сами знаки. и есть основания опасаться, что именно так обстоит дело в данном случае. Скорости исчезающих или же зарождающихся величин могут выражаться

как конечными отрезками определенной величины, так и алгебраическими символами, но я подозреваю, что многие, кто, вероятно, никогда не рассматривал этого положения и считает его само собой разумеющимся, при тщательном его изучении обнаружили бы, что не в состоянии составить какое-либо представление или какое-либо понятие об этих скоростях, вне выражения их такими конечными величинами и знаками.

Положим, прямая КР образуется при движении с постоянным ускорением какой-либо точки и за равные отрезки времени образуются неравные отрезки прямой KL, LM, MN, NO и т. д. [16] Положим также, что а, b, с, d, e и т. д. обозначают скорости точки, образующей прямую, в разные периоды частей или приращений, получаемых таким образом. Легко заметить, что каждое из этих приращений пропорционально сумме скоростей, которыми оно образуется; что, следовательно, полученные несколько сумм скоростей, образованных за равные отрезки времени, могут быть изображены соответственно отрезками KL, LM, MN и т. д., образованными за те же промежутки времени. В равной мере легко сказать, что последняя скорость, образованная за первую частицу времени, может быть выражена символом а, последняя за вторую – b, последняя, образованная за третью, – с и т. д.; что а – скорость LM в statu nascendi, а b, с, d, е и т. д. – скорости приращений MN, NO, OP и т. д. в соответствующих состояниях их зарождения. Можно пойти дальше и считать сами эти скорости текущими (flowing) или возрастающими величинами, взяв скорости скоростей и скорости скоростей скоростей, т. е. первые, вторые, третьи и т. д. скорости ad infinitum; этот последовательный ряд скоростей может быть выражен следующим образом:

Можно назвать их первыми, вторыми, третьими, четвертыми флюксиями. А с целью более удобного выражения можно обозначить переменную текущую прямую KL, KM, KN и т. д. буквой х, а первые флюксиивторые – третьи – и т. д. ad infinitum.

37. Нет ничего легче, как указать названия, символы или выражения для этих флюксий, не трудно также высчитывать и производить действия с помощью таких знаков. Но гораздо более трудным оказывается опустить эти знаки и тем не менее сохранить в наших умах то, что, по нашему предположению, они означают. Рассматривать показатели, будь то геометрические, алгебраические или флюксионные, не трудно. Но, например, составить точное представление о скорости третьего порядка, самой по себе и при помощи ее самой, – Hoc opus, hic labor [17]. Нелегко также составить ясное и четкое представление вообще о любой скорости вне связи со всякой протяженностью во времени и пространстве и в отрыве от нее, а также от всех обозначений, знаков и символов; если же мне позволят судить о других по себе, это просто невозможно. Мне представляется очевидным, что измерения и знаки абсолютно необходимы для того, чтобы понять скорости и рассуждать о них, и что, следовательно, когда мы хотим представить себе скорости просто и сами по себе, нас вводят в заблуждение пустые абстракции.

38. Может быть, некоторые люди вообразят, что было бы легче понимать флюксии, если предположить, что они являются скоростями, с помощью которых образуются бесконечно малые приращения, так что первые флюксии будут скоростями первых приращений, вторые флюксии будут скоростями вторых приращений, третьи флюксии – скоростями третьих приращений и т. д. ad infinitum. Но, не говоря уже о непреодолимой трудности признания или понимания бесконечно малых величин и бесконечно малых взятых от бесконечно малых величин и т. д., ясно, что такое понятие о флюксиях не будет соответствовать точке зрения великого автора, который полагал, что нельзя пренебрегать ни наималейшей величиной, что, в силу этого, теория бесконечно малых приращений не может быть допущена в геометрии, и который совершенно очевидно ввел использование скоростей или флюксий с целью исключить бесконечно малые или же обойтись без них.

39. Позможио, некоторым другим покажется, что у нас будет более правильное представление о флюксиях, если мы допустим конечные неравные изохронные приращения KL, LM, АГХ и т. д. и будем считать и их, и их приращения – в statu nasendli, а также и зарождающиеся приращения тех приращений и т. д., полагая, что первые зарождающиеся приращения пропорциональны первым флюксиям или скоростям, зарождающиеся приращения этих приращений пропорциональны вторым флюксиям, третьи зарождающиеся приращения пропорциональны третьим флюксиям и т. д. А так как первые флюксии являются скоростями первых зарождающихся приращений, то вторые флюксии можно скорее считать скоростями вторых зарождающихся приращений, а не скоростями скоростей. Может показаться, что благодаря такому приему аналогия флюксий может быть лучше сохранена, а само понятие сделано более вразумительным.

40. И, действительно, должно бы казаться, что для получения второй или третьей флюксии уравнения данные флюксии рассматривались скорее не как скорости, а как приращения. Однако представляется, что рассмотрение их иногда в одном смысле, а иногда в другом, то в их собственном виде, то в виде их показателей, в значительной мере вызвало ту путаницу и неясность, которую мы обнаруживаем в теории флюксий. Поэтому может показаться, что это понятие еще можно как-то улучшить и что вместо флюксий флюксий или флюксий флюксий флюксий и вместо вторых, третьих, четвертых и т. д. флюксий данной величины было бы более последовательно и менее вызывало бы возражения, если говорить: флюксия первого зарождающегося приращения, т. е. вторая флюксия; флюксия второго зарождающегося приращения, т. е. третья флюксия; флюксия третьего зарождающегося приращения, т. е. четвертая флюксия, причем имеется в виду, что каждая из этих флюксий соответственно пропорциональна зарождающемуся началу приращения, следующего за тем, флюксией которого она является.

41. Для более четкого понимания всего этого можно принять во внимание, что если конечное приращение LM * разделить на изохронные части Lm, mn, по, оМ, а приращение MN – на части Мр, pq, qr, rN, изохронные предыдущим, то, так как приращения LM, MN пропорциональны суммам их образующих скоростей, соответствующие им части Lm, Мр также пропорциональны соответствующим увеличенным скоростям, которые их образуют. А так как скорость, с которой образуется Мр, превышает ту, с которой была образована Lm, то и часть Мр больше части Lm. и вообще, раз изохронные скорости, образующие отрезки MN, превышают изохронные скорости, образующие отрезки LM, то и отрезки первой больше соответствующих им отрезков второй. и это будет справедливо, какими бы малыми ни были упомянутые отрезки. Следовательно, если LM и MN обе взяты в их зарождающемся состоянии, MN будет больше LM, притом на величину, пропорциональную превышению скорости b над скоростью а. Отсюда мы можем видеть, что в конечном итоге это последнее объяснение флюксий приводит к тому же, что и первое **.

42. Но независимо от всего сказанного надо все же признать, что конечные части Lm или Мр, даже если их взять совсем малыми, пропорциональны не скоростям а и Ь, а каждая – ряду скоростей, меняющихся каждое мгновение, или, что одно и то же, всевозрастающей скорости, с помощью которой эта часть образуется в течение определенной мельчайшей частицы времени; что только зарождающиеся начала или исчезающие окончания конечных величин, которые образуются в мгновение или в течение бесконечно малых отрезков времени, пропорциональны данным скоростям; что, следовательно, для того чтобы представить себе первые флюксии, мы должны представить себе время, разделенное на мгновения, приращения, образованные в течение этих мгновений, и скорости, пропорциональные этим приращениям; для того чтобы представить себе вторые и третьи флюксии, мы должны допустить, что зарождающиеся начала или мгновенные приращения сами имеют также другие мгновенные приращения, пропорциональные соответствующим образующим их скоростям; что скорости этих вторых мгновенных приращений являются вторыми флюксиями, а скорости их зарождающихся мгновенных приращений – третьими флюксиями. и т. д. ad infinitum.

43. Вычтя приращение, образованное за первое мгновение, из приращения, образованного в течение второго мгновения, мы получим приращение приращения. А вычтя скорость, образующую отрезок прямой в первое мгновение, из скорости, образующей отрезок прямой во второе мгновение, получим флюксию флюксии. Подобным же образом, вычтя разность скоростей, образующих отрезок прямой в первые два мгновения, из превышения скорости в третье мгновение над скоростью во второе мгновение, получим третью флюксию. И, действуя аналогичным образом, мы можем перейти к четвертой, пятой, шестой и т. д. флюксиям. А если мы обозначим скорости первого, второго, третьего, четвертого мгновений а, b, с, d, то ряд флюксий будет такой же, какой приводился выше: а.b – а.с – 2b+a.d – 3с+3b – a, ad infinitum, т. е. ad infinitum.

44. Таким образом, флюксии можно рассматривать в разном свете и в различных видах, но, представляется, все они в равной мере трудны для понимания. И, действительно, раз невозможно представить себе скорость без пространства и времени, без конечного значения длины и продолжительности *, то понять даже первые флюксии, должно быть, выше человеческих возможностей. А если первые непостижимы, то что же мы должны сказать в отношении вторых, третьих и т. д. флюксий? Возможно, тот, кто в состоянии представить себе начало начала или конец конца несколько раньше первого или позже второго, будет достаточно проницателен, чтобы понять эти вещи. Но я полагаю, что большинство людей считает невозможным понять их в каком бы то ни было смысле.

45. Можно было бы подумать, что люди должны бы выражаться как можно более точно о таком тонком предмете. и тем пе менее, как было замечено раньше, мы можем часто наблюдать, что показатели флюксий или символы, представляющие флюксии, ошибочно принимаются за сами флюксии. Разве не так обстоит дело в том случае, когда сразу же после того, как флюксии флюент объявлены скоростями их возрастания, а вторые флюксии – изменениями первых флюксий или скоростей, нам говорят, что * представляет собой ряд величин, из которых каждая последующая величина является флюксией предыдущей, а каждая предыдущая является флюентой (fluent), в отношении которой следующая за ней является ее флюксией?

46. Можно легко себе представить различные ряды величин и выражений, геометрических и алгебраических, в виде линий, поверхностей, образов, которые можно продолжать без конца или предела. Но не так-то легко представить себе ряд либо просто скоростей, либо просто зарождающихся приращений, взятых отдельно от них и им соответствующих. Может быть, некоторые могли бы прийти к той мысли, что автор имел в виду ряд ординат, в котором каждая ордината была флюксией предыдущей и флюентой [интегралом] (fluent) последующей, т. е. что флюксия одной ординаты была сама ординатой другой кривой и что флюксия этой последней ординаты была ординатой еще одной кривой и т. д. ad infinitum. Но кто в состоянии представить себе, как флюксия (будь то скорость или зарождающееся приращение) ординаты может быть сама ординатой? Или, более того, – что каждая предыдущая величина или интеграл относится к своей последующей или флюксии как площадь криволинейной фигуры к своей ординате, в соответствии с чем автор замечает, что каждая предыдущая величина в таком ряду является площадью криволинейной фигуры, абсциссой которой является z, а ординатой – следующая за ней величина?

47. В целом представляется, что скорости исключены, и вместо них введены площади и ординаты. Но как бы целесообразны ни были такие аналогии или такие выражения для облегчения современных методов квадратур, мы всё же не обнаружим, что они проливают какой-либо свет на изначальную подлинную природу флюксий; или что они позволяют нам сформировать на их основе верные представления о флюксиях, рассматриваемых самих по себе. Во всём этом общее конечное устремление автора вполне ясно, но его принципы туманны. Однако, возможно, его последователи не слишком глубоко анализируют и обсуждают теории великого автора. Как уже отмечалось, они скорее стремятся использовать его идеи на практике, чем понять их суть. Их больше интересует применение правил и форм, чем проникновение в принципы и идеи автора. Тем не менее, несомненно, что для того, чтобы следовать за ним в его квадратурах, они должны находить флюэнты по флюксиям; а для этого они должны уметь находить флюксии по флюэнтам; а для того, чтобы находить флюксии, они должны сначала знать, что такое флюксии. В противном случае они действуют без ясности и без научного понимания. Таким образом, прямой метод предшествует обратному, и знание принципов предполагается в обоих случаях. Но что касается оперирования согласно правилам и с помощью общих форм, первоначальные принципы и причины которых не поняты, то это следует считать сугубо техническим умением. Поэтому, какими бы глубокими и метафизическими ни были принципы, они должны быть изучены всяким, кто желает постигнуть учение о флюксиях. И ни один геометр не вправе применять правила великого автора, не поразмыслив предварительно над его метафизическими идеями, из которых они были выведены. Эти [идеи], сколь бы ни были они необходимы для обретения научного знания – которое никогда не может быть достигнуто без точного, ясного и строгого понимания принципов – тем не менее, некоторыми беззаботно пропускаются; в то время как внимание задерживается и сосредотачивается лишь на выражениях, с которыми обращаются с великим искусством и ухищрениями, чтобы из них получить другие выражения методами подозрительными и непрямыми (мягко говоря), если рассматривать их сами по себе, как бы они ни были рекомендованы Индукцией и Авторитетом – двумя мотивами, которые признаются достаточными для порождения разумной веры и моральной убеждённости, но не более того.

48. Вы, возможно, надеетесь уклониться от силы всего сказанного и прикрыть ложные принципы и непоследовательные рассуждения общим предлогом, что эти возражения и замечания являются Метафизическими. Но это тщетная уловка. Что касается простого смысла и истинности того, что выдвинуто в предыдущих замечаниях, я апеллирую к пониманию всякого непредвзятого разумного читателя. К нему же я апеллирую, являются ли отмеченные моменты не самой непостижимой метафизикой. И метафизикой не моей, а вашей собственной. Я не хочу, чтобы было понято, будто я делаю вывод, что ваши идеи ложны или тщетны потому, что они метафизичны. Ничто не является истинным или ложным по этой причине. Мало помогает то, называется ли некий пункт метафизическим или нет. Вопрос в том, ясен он или туманен, правилен или ошибочен, хорошо или плохо выведен?

49. Хотя мгновенные приращения, нарождающиеся и исчезающие величины, флюксии и бесконечно малые всех степеней суть на деле столь призрачные сущности, столь трудные для отчётливого представления или постижения, что (мягко говоря) они не могут быть допущены в качестве принципов или объектов ясной и строгой науки; и хотя эта туманность и непостижимость вашей метафизики сама по себе была бы достаточна, чтобы ослабить ваши притязания на очевидность; тем не менее, если я не ошибаюсь, было далее показано, что ваши умозаключения не более справедливы, чем ваши концепции ясны, и что ваша логика так же уязвима для критики, как и ваша метафизика. Таким образом, по всей видимости, в целом ваши выводы не достигаются путём правильного рассуждения от ясных принципов: следовательно, деятельность современных аналитиков, сколь бы полезна она ни была в математических вычислениях и построениях, не приучает и не способствует тому, чтобы ум ясно постигал и справедливо заключал; и, следовательно, вы не имеете права в силу таких привычек поучать вне вашей собственной сферы, за пределами которой ваше суждение должно значить не более, чем суждение других людей [1].

___________

[1] Неэффективность современного математического анализа как упражнения для духовной жизни человека и, соответственно, односторонность культуры, которую он обеспечивает, является общим местом в педагогической и философской критике. Математики-«узкие специалисты» доводят до состояния атрофии способности, которые заняты конечными проблемами конкретной реальности. Беркли осуждает одновременно и метафизическую непоследовательность, и математическую необоснованность некоторых математических вольнодумцев.

– — – — —

50. Уже долгое время я подозревал, что эти современные аналитические методы не являются научными, и дал некоторые намёки на это публике около двадцати пяти лет тому назад. С тех пор я был отвлечён другими занятиями и полагал, что могу употребить себя лучше, чем на выведение и собирание воедино моих мыслей по столь тонкому предмету. И хотя в последнее время от меня потребовали подтвердить мои предположения; тем не менее, поскольку лицо, сделавшее этот вызов, не кажется достаточно зрело мыслящим, чтобы понять ни ту метафизику, которую оно хочет опровергнуть, ни ту математику, которую оно желает отстаивать, я должен был бы избавить себя от труда писать для его вразумления. И я не стал бы теперь утруждать ни вас, ни себя этим обращением после столь долгого перерыва в этих занятиях, если бы не желание предотвратить, насколько это в моих силах, ваше навязывание ложных идей самим себе и другим в вопросах гораздо более высокого значения и важности. И для того, чтобы вы могли яснее постичь силу и замысел предыдущих замечаний и продолжить их далее в ваших собственных размышлениях, я присовокуплю следующие Вопросы: —