Методика преподавания математики в начальной школе

2. Виды определений.

По способу выявления содержания понятия различают явные и неявные определения.

К неявным определениям относят остенсивные. Это определения, раскрывающие существенные свойства (признаки) предметов путем указания, показа, демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают.

Например, при ознакомлении с алгебраическими понятиями пользуются остенсивными определениями так:

4 · 7 < 4 · 9       8 · 7 = 56

23 + 8 > 30      9 · 6 = 6 · 9

93 – 8 < 93 – 6      46 + 7 = 62 – 9

Это неравенства.      Это равенства.

Наиболее часто применяются остенсивные определения при изучении геометрических понятий.

Остенсивные определения характеризуются незавершенностью. Поэтому впоследствии требуется подробное изучение этих понятий.

Также применяют описание или сравнение объектов.

К неявным определениям относят и контекстуальные – через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл понятия.

Через текст устанавливается связь определяемого понятия с другими, уже известными понятиями, раскрывая его содержание.

Например, при изучении понятия уравнения (2 класс):

– 5 = 4

Из какого числа нужно вычесть 5, чтобы получилось 4?

Обозначим неизвестное число латинской буквой х:

х – 5 = 4 – это уравнение.

Решить уравнение – это значит найти неизвестное число. В данном уравнении неизвестное число равно 9, так как 9 – 5 = 4.

Объясни, почему числа 0, 10, 8 не подходят.

3. Определение через род и видовое отличие.

Среди явных определений в математике чаще всего используются определения через род и видовое отличие.

Например: «Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые».

В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде:

а есть (по определению) b или а <=> b

опр.

Читают запись так: «а равносильно b по определению» или «а тогда и только тогда, когда b».

В определении прямоугольника можно выделить в определяющем понятии:

а) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник»;

б) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.

Видовое отличие – это свойство (одно или несколько), которые позволяют выделять определяемые объекты из объема родового понятия.

Это можно показать на схеме:

Определяемое понятие <=> Родовое понятие + Видовое отличие

Определяющее понятие

Схему можно заменить формулой: а <=> с + Р

опр.      b

Формулируя определения понятий через род и видовое отличие, применяют следующие правила:

1) определение должно быть соразмерным;

2) в определении не должно быть порочного круга;

3) определение должно быть ясным;

4) одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая правила можно по-разному.

Натуральные числа и 0.

Методика изучения нумерации натуральных чисел и 0 в начальном курсе математики

План:

1. Из истории возникновения и развития понятий натурального числа.

2. Отрезок натурального ряда. Счет элементов конечного множества.

3. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля.

1. Из истории возникновения и развития понятий натурального числа и нуля

В начальной школе большое внимание уделяется изучению нумерации целых неотрицательных чисел, а также действий над ними. Это является одной из центральных тем курса начальной математики, так как всю жизнь человек пользуется различного рода вычислениями, счетом предметов и т.д. Следовательно, учитель должен хорошо представлять себе, с какой системой счисления он работает, каковы ее особенности и как она появилась.

В школьном учебнике математики программы «Перспектива» 2 класс, 2 часть под редакцией Л.Г. Петерсон для учащихся начальных классов кратко, но емко изложена эта история.

Еще в самые отдаленные времена людям понадобились арифметические знания, чтобы определять, когда надо засевать поля, начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать; сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары. Однако первобытные люди не умели считать. И вот много тысяч лет тому назад древние пастухи стали делать из глины кружки – по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по одному кружку каждый раз, когда очередное животное проходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать.

Но в стаде у первобытных людей были не только овцы – они пасли и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось делать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок, камушков, зарубок вели учет собранного урожая. Они отмечали, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Складывая и вычитая множества предметов, они решали простейшие задачи на сложение и вычитание. Так, еще не умея считать, древние люди занимались арифметикой. Перекладывать камушки и глиняные фигурки с места на место было довольно утомительным занятием. Но прошло много тысячелетий, прежде чем люди научились пересчитывать предметы. Для этого им пришлось придумывать названия для чисел.

О том, как появились имена у чисел, ученые узнают, изучая языки различных племен и народов. Например, оказалось, что «у нивхов, живущих на Сахалине, числительные зависят от того, какие предметы считают. Важную роль играет форма предмета, так что по-нивсхи в сочетаниях «два яйца», «два камня», «два глаза» и так далее числительные различны. Одному и тому же русскому слову «два» у них соответствует несколько десятков различных слов. Нечто подобное было и древних людей. И должно было много столетий, а может быть и тысячелетий, прежде чем одни и те же числительные стали применять к предметам любого вида. Вот тогда и появились общие названия для чисел. Сначала названия получили только числа 1 и 2. Название для числа «один» связывалось обычно со словом «солнце», а название для числа «два» – с предметами, встречающимися попарно: крыльями, ушами и так далее. Но бывало, что числам 1 и 2 давали иные имена. Иногда их связывали с местоимениями «я» и «ты». А были языки, где «один» звучало так же как «мужчина», а «два» – как «женщина». У некоторых племен еще совсем недавно не было других числительных, кроме «один» и «два». А все, что шло после двух, называлось «много» Но потом понадобилось называть и другие числа. Ведь и собак у охотника, и стрел у него, и овец у пастуха может быть больше, чем две. И тут придумали замечательный выход: числа стали называть, повторяя несколько раз названия для единиц и двоек».

На языке некоторых папуасских племен, живущих на острове Новая Гвинея в Тихом океане, и сейчас числительное «один» звучит «урапун», «два» – «окоза», а число 3 они называют «оказа – урапун», число 4 «окоза – окоза». Так они дошли до числа 6, которое получило имя «окоза – окоза – окоза». Позднее другие племена дали особое имя числительному, которое мы называем «три». А так как до того они считали «один», «два», «много», то это новое числительное стали применять вместо слова «много». Иногда числом 3 обозначали окружающий человека мир – его делили на земное, подземное и небесное царства. Поэтому число 3 стало у многих народов священным. Когда они придумывали легенды о богах, то выделяли из них трех самых главных.

По нашему мнению, в русских сказках число 3 также играло особую роль. Во многих из них участвуют три брата, герой сражается с трехглавым змеем, проходит 3 царства – медное, серебряное и золотое. Число 4 встречается в сказках куда реже. Когда – то за числом 4 и в русском языке начиналась необозримая область «много».

На более поздних этапах в роли слова «много» выступало число 7. Об этом говорят различные пословицы и поговорки: «Семеро одного не ждут», «Семь раз отмерь – один раз отрежь», «Один с сошкой – семеро с ложкой», «Семь бед – один ответ». Так постепенно люди осваивали счет.

Первые названия чисел некоторые племена стали применять 20 – 25 тысяч лет тому назад. А вот слово для обозначения числа 1000 возникло лишь 5 – 7 тысяч лет назад.

Людям приходилось считать на пальцах очень большие совокупности предметов к счету привлекали больше участников. Один считал единицы, второй – десятки, а третий – сотни, т.е. десятки десятков. Он загибал один палец, лишь после того, как у второго участника счета оказывались загнутыми все пальцы обеих рук. Сначала говорили так: пять пальцев третьего человека, восемь пальцев второго и шесть пальцев первого. Но ведь это сколько времени надо произносить! Поэтому постепенно стали произносить короче. Вместо «палец второго человека» – появилось слово «десять», а вместо «палец третьего человека» – «сто». Вот и получилось: пятьсот восемьдесят шесть.

Счет единицами, затем десятками десятков, а там десятками сотен и так далее лег в основу системы счисления, принятой почти у всех народов мира. Она называется десятичной системой.

Сейчас десятичная система счисления применяется почти повсеместно. Но и теперь есть еще племена, которые довольствуются при счете пальцами одной руки. У них система счета оказалась пятеричной. В странах, где люди ходили босиком, по пальцам легко было считать до 20. Поэтому довольно большое распространение получила двадцатеричная система счета. Следы этого сохранились, например, во французском языке, где слово «восемьдесят» звучит как «четыре раза двадцать».

Самым серьезным соперником десятичной системы счета оказалась двенадцатеричная. Вместо десятков применяли при счете дюжины, т.е. группы из двенадцати предметов. Во многих странах даже теперь некоторые товары, например, ножи, ложки, вилки, пр продают дюжинами.

Долгое время после того, как появились названия чисел, люди их не записывали. Причина для этого была самая уважительная – они еще не умели писать. Поэтому, если кому-нибудь надо было переслать другому человеку сведения, где участвовали числа, прибегали к зарубкам на дереве или на кости, к узелкам на веревках, рисункам на мягкой глине и так далее. Такие знаки уже нельзя было перекладывать с места на место, убирать одни и добавлять другие. Вместо этого приходилось думать, мысленно выполнять операции над знаками.

Знаки на глине обозначали не числа, а предметы – головы скота, мешки с зерном, кувшины масла. Их приходилось изображать столько же, сколько было предметов. С этим еще можно было мириться, пока учет велся в пределах одного хозяйства, одной деревни. Но когда возникли государства, старые методы обозначения чисел стали невыгодными. Для записи больших чисел уже нельзя было обойтись ни зарубками на бирках, ни узелками, ни глиняными фигурками.

И вот примерно 5 тысяч лет тому назад было сделано замечательное открытие, люди догадались, что можно обозначать знаком не одну голову скота, а сразу 10 или 100 голов, не один мешок зерна, а сразу 6 или 60 мешков.

Например, египтяне обозначали десяток знаком

(единицу они обозначали просто вертикальной черточкой , как это делаем и мы), десять десятков, то есть сотню – знаком . Появились знаки для тысячи (цветок лотоса), десятка тысяч (поднятый кверху палец), ста тысяч (сидящая лягушка) и миллиона (человек с поднятыми руками).

Писать много раз один и тот же знак, разумеется, весьма неудобно. Более экономной является позиционная система записи чисел, где имеет значение не только начертание цифры, но и ее позиция, положение среди других цифр. Первая позиционная система записи чисел появилась в Вавилоне. Единица в ней обозначалась клином

, а десяток – знаком . В основном разница между вавилонской и современной записью чисел была в одном: вместо числа 10 вавилоняне приняли за основу системы счисления число 60. Но было еще одно отличие, делавшее вавилонскую систему записи не совсем удобной: вавилоняне долгое время не знали нуля.

Мы рассмотрели историю возникновения систем счисления, а теперь мы рассмотрим одно из важнейших чисел этой системы – число нуль.

Первыми нуль был придуман вавилонянами примерно две тысячи лет тому назад. Но они применяли его лишь для обозначения пропущенных разрядов в середине числа. Писать нули в конце записи числа они не догадались. В Индии примерно полторы тысячи лет тому назад нуль был присоединен к девяти цифрам и появилась возможность обозначать этими десятью цифрами любое число, как бы велико оно было. И самое главное, запись таких гигантских чисел стала довольно короткой. Если бы живший 30 тысячелетий тому назад древний человек имел представление о миллионе и захотел бы изобразить это число с помощью зарубок на волчьих костях, ему пришлось бы истребить 20 тысяч волков. А для записи миллиарда не хватило бы волков во всех европейских лесах.

Индийской системой обозначений мы пользуемся до сих пор. Это не значит, что индийские цифры имели с самого начала современный вид. В течение многих столетий, переходя от народа к народу, они много раз изменялись, пока приняли современную форму. Арабы заимствовали у индийцев цифры и позиционную десятичную систему записи чисел. Европейцы в свою очередь узнали ее от арабов. Поэтому наши цифры, в отличие от римских, стали называться арабскими. Правильнее было бы назвать их индийскими. Они употребляются в нашей стране, начиная примерно с ХVII века.

Математики Древней Греции долгое время пользовались буквенной нумерацией и нуля не применяли. Слово нуль они перевели на свой язык говорили «сифр». В Х – ХII веках индийская система счисления через арабов проникла в Европу, слово сифр не перевели, а немного видоизменили сначала в слово шифр, а позже в слово цифра.

Самый древний документ в Европе, в котором для нуля имеется свой знак (0), относится к IX в. В одной из книг, написанной на латинском языке в XIII веке, нулем назван «кружок», или цифра, или знак ничего. С тех пор за ним утвердилось название «фигура нуль», что означало «никакой знак». Словом цифра стали называть знаки, обозначающие число единиц в любом разряде, в том числе цифрой назвали и единицу, а позже и сам нуль.

В первом русском учебнике «Арифметика» Л.Ф.Магницкого, напечатанном в 1689г., нуль назван цифрой или ничем. Спустя несколько лет и в России знак 0 стали называть нулем, а знаки чисел 1,2,3,4…9 называли цифрами. Однако и на этом открытие нуля не закончилось, хотя он приобрел свой вид, получил название, обрел свое место. Но не было решено – нуль цифра или число; если число, то какое: четное или нечетное?

В результате длительных обсуждений математике пришли к заключено: нуль – это число, обозначают его цифрой 0, к натуральному ряду он не принадлежит. С нулем можно производить все действия, за исключением деления на нуль.

Как мы узнали из исторической справки, данной профессором Л.П.Стойловой, о возникновении понятия числа было важнейшим моментом в развитии математики. Появилась возможность изучать эти числа независимо от тех конкретных задач, в связи с которыми они возникли. Теоретическая наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название «арифметика». Слово «арифметика» происходит от греческого arithmos, что значит «число». Следовательно, арифметика – это наука о числе.

Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии и Египте. Накопленные в этих странах математические знания были развиты и продолжены учеными Древней Греции. В средние века большой вклад в развитие арифметики внесли математики Индии, стран арабского мира и Средней Азии, а начиная с ХIII века – европейские ученые.

Термин «натуральное число» впервые употребил в V веке римский ученый А. Боэций, который известен как переводчик работ известных математиков прошлого на латинский язык и как автор книги «О введении в арифметику», которая до ХVI века была образцом для всей европейской математики.

Во второй половине ХIХ века натуральные числа оказались фундаментом всей математической науки, от состояния которого зависела и прочность всего здания математики. В связи с этим появилась необходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа, в систематизации того, что с ним связано.

2. Отрезок натурального ряда. Счет элементов конечного множества

      Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке: имеется первый элемент, для каждого имеется последующий и предыдущий. Т.е. натуральное число имеет порядковый смысл. Но число имеет и количественный смысл.

С этой целью используется понятие отрезка натурального ряда.

Определение: Отрезком Na натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Это записывается так: Na ={ х | х € N и х ≤ а}.

Например: N7 ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Отрезок натурального ряда обладает двумя свойствами:

1) любой отрезок натурального ряда Na содержит единицу (по аксиоме);

2) если число х содержится в отрезке Na и х ≠ а, то и непосредственно следующее за ним число х + 1 также содержится в Na.

Действительно, если х € Na и х ≠ а, то х < а. А это значит, что существует такое натуральное число с, что а = х + с.

Если с = 1, то а = х + 1. Следовательно, х + 1 содержится в Na.

Если с > 1, то с – 1 – натуральное число, и следовательно,

а = х + с =(х + 1) + (с – 1). Но тогда х + 1 < а, т.е. х + 1 – натуральное число, принадлежащее отрезку Na.

Для выполнения счета элементов в множестве важно определение конечного множества:

Множество А называют конечным, если оно равномощно некоторому отрезку Na натурального ряда.

Если посчитать количество сторон в квадрате, то это конечное множество В, т.к. оно равномощно отрезку N4 ={1, 2, 3, 4}, В ~ N4.

Определение счета: Счетом называется установление взаимно-однозначного соответствия между каждым предметом данного множества и словами-числительными, называемыми в определенной последовательности (последовательности N – натурального ряда чисел).

Результат счета не зависит от порядка, в котором считаются элементы данного множества.

В слове квадрат можно посчитать буквы в разном порядке: слева направо и справа налево. Количество букв не изменится – 7.

В математике дают определение числу, полученному при счете так:

Если непустое конечное множество А равномощно отрезку Na, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут

n(А) = а .

Значит, множество сторон квадрата n(А) = 4.

В процессе счета используют и порядковые и количественные числительные. Они взаимосвязаны: элементы множества упорядочиваются с помощью отрезка натуральных чисел: первый, второй, третий, … и т.д.

А

первый второй третий четвертый       пятый

После того как каждый элемент пронумерован, можно дать ответ на вопрос: «Сколько элементов в множестве?»

Но можно при счете использовать и количественные числительные. При этом мы называем количественное число (один, два, три, … и т.д.), показывая все предметы, обозначаемые этим числительным.

А

один

два

три

четыре

      пять

При порядковом счете указывается каждый элемент, а при количественном – группы предметов.

При счете важно знать правила правильного счета:

1) счет начинается с единицы;

2) нельзя пропускать ни одного предмета;

3) нельзя предметы указывать дважды;

при счете используются порядковые числительные, последнее числительное обозначает количество предметов в данном множестве.

3. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля

Если выполнять счет, то все непустые множества можно разбить на классы равномощных множеств (отношение равномощности является отношением эквивалентности). Множества одного класса могут быть различными по своей природе, но содержать одинаковое число элементов. Это число будет общим свойством классов конечных множеств:

n(А) = а, n(В) = в.

Если n(В) = а, то множества А и В равномощны.

Значит, с теоретико-множественной точки зрения, натуральное число – это общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Число «нуль» с теоретико-множественной позиции – число элементов пустого множества, т.е. множества не содержащего ни одного элемента:

0 = n(Ø).

Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать:

1) как число элементов в множестве А, получаемое при счете: а = n(А), причем А ~ Nа;

2) как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Теоретико-множественный смысл отношения «меньше» на множестве натуральных чисел

Устанавливая связь между конечными множествами и натуральными числами, можно дать теоретико-множественное толкование отношения «меньше».

В аксиоматической теории это отношение определяется таким образом:

а < b <=> (Ɏ с ЄN) [а + с = b].

Если а < b, то это означает, что отрезок натурального ряда чисел Nа является собственным подмножеством отрезка Nb, т.е.

Nа c Nb и Nа ≠ Nb.

Справедливо и обратное утверждение, что: если Nа – собственное подмножество Nb, то а < b.

Тем самым отношение «меньше» приобретает смысл:

а < b в том и только том случае, когда отрезок натурального ряда чисел Nа является собственным подмножеством отрезка Nb:

а < b <=> Nа c Nb и Nа ≠ Nb.

Например: 5 < 8 следует из того, что А = {1, 2, 3, 4, 5}; В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};