Математическое моделирование исторической динамики

§6. ТУПИК ДЕТЕРМИНИЗМА

„Если ты в меньшинстве – и даже в единственном числе, – это не значит, что ты безумен”.(Дж. Оруэлл)

Из шести уровней человеческого знания пять низших имеют доступную для понимания форму. Все они могут быть представлены в порядке усложнения:

1. Самый низкий, биологический уровень представляет собой чувственное восприятие, наивная, чаще всего, иррациональная реакция на опыт.

2. Формальное знание соответствует представлениям об опыте через аксиоматический наследственный принцип.

3. Отдельное, справедливое революционно-аксиоматическое открытие, именуемое гипотезой и низвергающее совокупность формальных знаний.

4. Высшая гипотеза или канторовский тип, порожденный последовательностью и упорядочением справедливых гипотез в единое множество.

5. Представление о поддающейся упорядочению последовательности высших гипотез различных качеств, именуемое „выдвижением гипотезы высшей гипотезы”95.

6. Уверенность в существовании высшего, вневременного порядка, который включает выдвижение гипотезы высшей гипотезы таким образом, каким высшая гипотеза включает гипотезу.

Область знания превращается в точную науку только тогда, когда она обретает свой математический аппарат, позволяющий осуществлять переход с одного уровня познания на другой. Он становится необходим при достижении третьего уровня, когда научная дисциплина сталкивается с количественным описанием динамических процессов, протекающих в сложных системах96. На рубеже XIX века достижения в области классической механики были настолько впечатляющими, что научное сообщество пришло к определённому консенсусу о Вселенной, как единой системе. Эту доктрину сформулировал Лаплас97: „Состояние системы природы в настоящем есть, очевидно, следствие того, каким оно было в предыдущий момент, и если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами вселенной, то он сможет установить соответствующие положения, движения и общие воздействия этих объектов в любое время в прошлом и ли будущем”.

Понадобился длительный путь развития науки, чтобы изменить мировоззрение и поставить под сомнение лапласовское представление о мироздании. В области общественно-социальных дисциплин долгое время научный детерминизм сохранял свои позиции, не считая возможным использовать динамические модели. Причиной этому было не столько академическое филистёрство, сколько политизация социальных наук. Системный анализ общественных проблем, использующий математическое моделирование, только частично позволяет преодолеть эти догмы и предубеждения.

Как показывает опыт, расчленение единого целого на части позволяет явление изучать в деталях и формализовать протекающие процессы в виде формул и алгоритмов, реализованных в моделях. Независимо от своей природы любая из них упрощает реальность. Таким образом, модель может быть оценена не столько по степени своей сложности, сколько в сравнении со своими аналогами по степени адекватности и экономичности. Первой по этому пути пошла физика, которая традиционно имела дело с системами и явлениями, имеющие немного взаимодействующих идентичных элементов, изолированных от внешней среды. Эта относительная простота позволила установить фундаментальные законы природы и делать точные количественные предсказания, проверяемые экспериментально, в том числе и для относительно сложных систем. Подобный путь развития знания, основанный на выделении и изолированном изучении простых объектов, в социальных науках был до недавнего времени не применялся.

В естествознании имеется много примеров моделей, в основе которых лежит отрицание очевидного98. История не является исключением из общего правила. По мере своего развития, она разделилась в ряд смежных дисциплин, изучающих при помощи моделирования отдельные аспекты процесса: социальные, экономические, демографические, информационные и т.д. Для истории периодические, циклические процессы очень естественны и органичны. В зависимости от их природы их длительнось может составлять века, десятки лет или месяцы. С их появлением устанавливается естественный временный масштаб – период колебаний, описываемый математическим аппаратом, поскольку выход на периодический режим можно описать системой двух простых дифференциальных уравнений.

Следуя бритве Оккама, даже наиболее простые имитации исторического процесса могут дать некоторый позитивный результат. Любое моделируемое общество состоит одного вида схожих элементов- индивидов, они образуют внутри него сложные комбинации в виде различных групп, которые по-разному взаимодействуют между собой и подвергаются воздействию внешней среды. Таким образом, использование динамических моделей для имитации исторических процессов открывает большие возможности для формализации исторической науки. Предполагая, что исторический процесс имеет общую основу с остальными природными явлениями и, следовательно, схожие законы, можно сформулировать задачу построения обобщённой модели развития социума и выделить научные дисциплины, результатами которых можно использовать для моделирования исторических процессов. Это – экономические дисциплины, история99, этнография, социология, информатика и теория управления100. Каждая из указанных областей знания имеет свою аксиоматику и методологический аппарат, которые могут быть взаимно увязаны. В частности, „экономистам принадлежит та заслуга, что они первыми отметили произвольный характер общественной жизни, что они показали, как под влиянием принуждения она уклоняется от естественного направления, вытекая нормально не из навязанного извне порядка, но из свободной внутренней работы” 101.

Все используемые модели условно можно разделить на линейные и нелинейные. Первые из них наиболее распространены и имеют множество приложений в инженерных и социальных науках, что является их несомненным достоинством. Например, неформальные вербальные модели могут использоваться при прогнозировании в тех случаях, когда предполагается, что социальные механизмы действуют линейно. Вследствие своей простоты линейные модели имеют слабые места и множество других недостатков. В частности, к ним относится неопределённость в выборе длины идентификационного интервала, разнообразие критериев оптимальности и, как следствие, невозможность качественного сравнения. Многофакторность и многовариантность социально-экономических процессов102 не позволяют выработать чёткий алгоритм, оптимизирующий плавный переход системы из одного состояния в другое. Естественно, что использование линейной модели при анализе подобных явлений сразу выдаёт ошибку.

Математическая модель управления переходом из одного состояния в другое, которая содержит элементы, реагирующие на неустойчивость, не нарушая её стабильности, является более продуктивной. На практике этот эффект реализуется посредством установления обратной связи (ОС), которая теоретически должна сглаживать негативные тенденции, возникающие вследствие непредсказуемости воздействия внешней среды. Одновременно с ОС следует установить пределы вмешательства общественного регулятора, которым в последнее время всё чаще выступает государство или механизмы, заменяющие и дополняющие его. При некоторой идеализации изучаемой системы и её причинно-следственные связи, она может быть представлена в виде сложной системы и, в частности, описана с помощью аппарата теории игр103.

По степени своей сложности модели можно разделить на два типа: локальные и глобальные. Первые из них ориентированы на изучение конкретных задач, в то время как вторые пытаются представить картину некоего социума в целом. Представляя собой многоуровневую систему, подобные модели воспроизводят не только её динамику, но и поведение входящих в неё подсистем, что подразумевает их изоморфизм. При его отсутствии многоуровневых систем следует разделять на блоки, охватывающие один-два уровня и только после их раздельного анализа объединять.

Функционирование этносоциальных и экономических систем представляет собой самообучающийся процесс, переводящий их с одной эволюционной траектории на другую. Наличие нескольких из них предполагает возможность выбора. Следовательно, выработка оптимальных многовариантных оптимальных стратегий регулятора на основании анализа предыдущих итераций должна операться на принцип Беллмана104. Для описания всего процесса функционирования такой системы применим аппарат процессов Маркова, Байесовское программирование и другие подобные им процедуры, позволяющие учитывать многовариантность и стохастичность всей системы и её элементов.

При анализе этносоциальные процессы целесообразно опираться на принципы фальсификационизма и на его основании критически пересмотреть современные теории и связанные с ними дисциплины. Не отрицая наличие рационального звена в современных экономических моделях и теориях, их следует их „вывернуть на изнанку”, переосмыслить и использовать их в построении принципиально новой модели социальной системы и переход к другим методам управления ею105.

События 2022-23 годов показали, что изначальный тезис экономической теории о том, что экономический базис определяет надстройку, а марксистский тезис, что „Политика есть концентрированное выражение экономики “106, оказались неверными. Предугадав это явление, Жан Бодрийяр107 вёл в обиход понятия гиперреальность и симулякр. В его понимании, повторение любого события или действия существует в трех формах: копии, функционального аналога и собственно симулякра. Последнее явление является всего лишь подражанием и работает по принципу символического обмена108. Эпоха гиперреальности характеризуется утратой реальности: надстройка определяет базис, труд не производит, а социализирует, представительная власть уже никого не представляет. Учитывая все эти обстоятельства, „единственное незатронутое дело – это смерть, на чем зиждется власть и экономия”.109

§7. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

„Движение каравана определяет шаг самого медлительного осла” (Омар Хайам?)

Динамические модели позволяют описать намного более широкий спектр возможных траекторий и обладают важным преимуществом – наличием обратной связи, позволяющей системе саморегулироваться. Таким образом, формальный математический аппарат незаменим, когда надо строго связать набор предположений относительно системы с прогнозами ее динамики, описываемых параметрами. Например, в экономико-демографических моделях это число людей и ресурсы, которые производит общество, в социально-политических это также население и политическая стабильность110, военно-политических – военно-технический потенциал, мобилизационные ресурсы и логистика. В них в качестве динамических переменных могут выступать геополитическая мощь и энтропия. Они обычно характеризуются нелинейными обратными связями, часто действующими с различными запаздываниями во времени.

Нелинейные модели являются более богатыми в функциональном смысле. В связи с этим существует настоятельная необходимость включения в инструментарий социально-экономического моделирования логистических уравнений, отражающих запаздывание во времени111. Их применение обеспечивает динамическое разнообразие, которое позволяет преодолеть ограниченность линейных систем, описывющих динамические процессы. В них также применяются временные лаги, но сложность математического аппарата112 не позволяет широко его применять.

Например, макроэкономическое моделирование с запаздыванием113 было использовано при исследовании тенденций развития и прогноз будущего развития после вмешательства регулятора. В частности, Р. Гудвин предложил ввести нелинейность запаздывания таким образом, чтобы полученные уравнения имели устойчивый предельный цикл. Его экономические предположения и модель вызвали ряд критических замечаний, а полвека спустя выяснилось, что им в математических преобразованиях допущена ошибка114. Вследствие этого вывод Гудвина о существовании единственного устойчивого цикла оказался ошибочным. Данный пример иллюстрирует, что применение математического аппарата с недостаточно развитой теорией может привести к неадекватным выводам, но является стимулом для дальнейшего прогресса науки.

Возможность научного изучения кризисов долгое время подвергалась сомнению в силу неповторимости и уникальности таких явлений. При их детальном изучении обнаружено много общего и, в частности, доказано, что любое событие – результат самоорганизации открытой системы. Дальнейшие исследования данной проблемы привели к появлению теории катастроф, объединившей две математические дисциплины – теорию гладких отображений115 и теорию бифуркаций динамических систем. Для дальнейшей работы введём некоторые необходимые понятия. Пусть   и  – пространства переменных   и соответственно, D* и D – области в   и . Всякое отображение  определяется функциями (*). Отображение f называется гладким, если функции (*) являются гладкими функциями116.

Понятие динамической системы – одна из многих полезных теоретических абстракций117. Реальные объекты и системы могут рассматриваться как динамические системы только в определённом приближении и в той мере, в какой при описании их динамики можно игнорировать их структуру и взаимодействие с окружающей средой. О динамической системе говорят в том случае, если можно указать такой набор величин, характеризующих состояние системы, что их значения в любой последующий момент времени определяются по определённому правилу из исходного набора значений. Они называются динамическими переменными, а правило – оператором эволюции системы, который можно представить в виде вектора. Если её состояние задаётся набором из n величин, то динамику системы118 можно представить, как движение точки по траектории в n-мерном фазовом пространстве. В случаях, когда изучается система с дискретным временем, описываемае рекуррентными отображениями, фазовой траекторией является некоторая дискретная последовательность точек в фазовом пространстве.

Выделяют два вида динамических систем – консервативные и диссапативные. Свойство консервативности в физике понимается как закон сохранения энергии. Диссапативная система – это совокупность устойчивых состояний, возникающая в неравновесной среде при рассеивании энергии, которая поступает извне. Благодаря своим свойствам, она часто называется стационарной открытой системой или неравновесной открытой системой. Если мы имеем ансамбль (некоторое количество) идентичных динамических систем, у которых заданы единое фазовое пространство и оператор её эволюции, а отличаются они только начальными условиями. В фазовом пространстве они отображены виде облака отображаемых состояний. С течением времени каждая из систем будет менять свои координаты и перемещаться в фазовом пространстве в соответствии с оператором эволюции, вследствие чего форма облака будет меняться. В случае, когда его объём будет постоянным, система является консервативной и описывается уравнениями Гамильтона. Гамильтонова система с дискретным временем в самом общем случае может быть неявно выражена через производящую функцию с n переменными.

Схема 2. Консервативная (а) и диссипативная (б) системы

Диссипативные системы характеризуются тем, что с течением времени облако отображающих точек съёживается и концентрируется в одном или нескольких аттракторах119 – подмножествах фазового пространстранства (траекториях). С точки зрения динамики это означает, что режим, возникший в системе, предоставленной самой себе, через некоторый период времени не зависит от её начального состояния120. Каждый аттрактор инвариантен121, т.е. траектория, начавшаяся в нём, за его пределы не выходит. При наличии в фазовом пространстве двух или более аттракторов имеет место мультистабильность, а множество точек фазового пространства, из которых траектории выводят на аттрактор – его бассейном.

В реальном времени часто возникают переменные состояния, вблизи которых законы, управляющие дальнейшим состоянием данной системы, резко, т.е. без промежуточных переходов, меняются, вследствие чего происходит резкое изменение её характеристик. Этот феномен определяется как динамический хаос. Его природа – наличие состояний неустойчивости внутри любой динамической системы существует область, где внешнее возмущение вызывает наибольшие последствия. Она возникает там, где системные объекты удовлетворяют определению открытости122, и порождает нелинейность. Это явление состоит в том, что отклик системы непропорционален силе воздействия на нее123, т.е. реакции на возмущения непропорциональны этим изменениям. Хаотические режимы характеризуются нерегулярным изменением динамических переменных во времени. В диссипативных системах хаос ассоциируется с наличием в фазовом пространстве странных аттракторов: фрактальных множеств, притягивающих к себе траектории из некоторой прилежащей области.

В процессе своего развития каждая система проходит две стадии: эволюционную (иначе называемую адаптационной) и революционную (скачок, катастрофа). В эволюционный период происходит медленное накопление количественных и качественных изменений параметров системы и ее отдельных элементов. В результате этого происходит скачкообразный переход количества в качества, после которого из элементов старой системы формируется новая. Она, определяется неким аттрактором, образовавшимся в процессе адаптации уцелевших элементов к изменившимся условиям внешней среды.

  В точке бифуркации происходит скачкообразное изменение системы, вызваное колебаниям. Она представляет собой переломный, критический момент в развитии системы во времени и пространстве, когда происходят качественные, скачкообразные, внезапные изменения в развитии системы. При бифуркации осуществляется выбор траектории дальнейшего движения, т.е. происходит катастрофа. Множества, характеризующие значения параметров системы на альтернативных траекториях, определяются как аттракторы. В их качестве аттрактора могут выступать состояние равновесия, периодическая траектория и странный аттрактор (хаос). Когда в точке бифуркации происходит катастрофа, систему (или её часть) притягивает один из аттракторов, и она в точке бифуркации может стать хаотической и разрушиться, перейти в состояние равновесия или выбрать путь формирования новой упорядоченности, т.е. выступает в новом качестве.

Как правило, неустойчивость возникает в виде нестандартного воздействия на систему или появлении нового компонента. В точке бифуркации неустойчивость усиливается благодаря колебаниям системы. Подавляемые в устойчивом состоянии, они в результате нелинейных процессов переводят параметры системы за критические значения и инициируют скачкообразный переход в новое устойчивое состояние с меньшей энтропией. После этого цикл "плавное развитие – скачок", "эволюция – революция", "устойчивость – неустойчивость" повторяется.

Противоречие между консервативными и активными частями системы постепенно нарастает и приводит к тому, что даже малые флуктуации приводят к катастрофе. В революционной фазе поведение системы и её отдельных элементов приобретает труднопредсказуемый характер. Такое неадекватное поведение вызывается не только внутренними флуктуациями, силу и направленность которых можно прогнозировать на основании истории развития и современного состояния, но и внешними, имеющими случайный характер. После формирования новой структуры „обновлённая” система снова вступает на путь плавных изменений, и цикл повторяется.