Наука логики

Он должен быть пределом отношения друг к другу тех двух приращений, на которые по сделанному допущению увеличиваются две переменные величины, соединенные в одном уравнении, из коих одна рассматривается как функция другой; приращение берется здесь вообще неопределенным, и постольку о бесконечно-малом нет еще и речи. Но прежде всего путь, которым отыскивается этот предел, приводит к тем же непоследовательностям, которые имеются в других методах. Этот путь именно таков. Если y = fx, то при переходе у в y-/-k fx должна переходить в fx-/-ph-f-qh2-\-r№ и т. д. Следовательно, k=ph-/-qh2 и т. д., и p-/-qh-rh2 и т. д. Если теперь k и h исчезадют, то исчезает и второй член ряда кроме? каковое? и оказывается пределом отношения этих двух приращений. Отсюда видно, что h как определенное количество полагается = 0, но что вследствие этого еще не обращается вместе с тем в – j, а остается некоторым отношением. И вот представление предела должно доставить ту выгоду, что оно устранит заключающуюся в этом непоследовательность; должно вместо с тем быть не действительным отношением, которое было бы, а лишь тем определенным значением, к которому отношение может приближаться бесконечно, т. е. так, чтобы разность могла стать меньше всякой данной разности. Более определенный смысл приближения касательно того, что собственно должно сближаться между собою, будет рассмотрен ниже. – Но что количественное различие, определяемое не только как могущее, но и как долженствующее быть менее всякой данной величины, уже больше не есть количественное различие, это само собою ясно; это так же очевидно, как только что-нибудь может быть очевидным в математике; но этим мы не пошли дальше. Напротив, если Р, т. е. принимается за некоторое определенное количественное отношение, как это и есть на самом деле, то, наоборот, получается затруднение для предположения, что h = 0, предположения, единственно путем которого и по k получается р. Если же согласиться, что = 0 и в самом деле, раз й = 0, то само собою k также делается = 0, ибо приращение k к у имеет место лишь при условии существования приращения? – то надо было бы спросить, что представляет собою которое есть некоторое совершенно определенное количественное значение. На этот вопрос сразу же получается простой, сухой ответ, гласящий, что оно есть коэфициент, и нам указывают, путем какого вывода он возникает, – известным определенным образом выведенная первая производная функция некоторой первоначальной функции. Если удовольствоваться этим ответом, как и в самом деле Лагранж по существу дела удовольствовался им, то общая теория науки диференциального исчисления и непосредственно сама та одна форма, которая называется теорией пределов, освободилась бы от приращений, а затем и от их бесконечной или какой угодно малости, от трудности, состоящей в том, что кроме первого члена или, вернее, лишь коэфициента первого члена, все остальные члены ряда, которые неминуемо появляются благодаря введению этих приращений, снова устраняются; да помимо этого она очистилась бы также и от всего связанного с этим дальнейшего, от формальных категорий прежде всего бесконечного, бесконечного приближения, а затем и от дальнейших здесь столь же пустых категорий непрерывной величины и всех еще других, которые считается нужным Категория непрерывной или текучей величины появляется вместе с рассмотрением внешнего и эмпирического изменения величин, приведенных некоторым уравнением в такую связь, что одна есть функция другой; но так как научным предметом диференциального исчисления служит известное (обыкновенно выражаемое через диференциальный коэфициент) отношение, каковая определенность может быть названа также и законом, то для этой специфической определенности простая непрерывность есть отчасти чужеродный аспект, отчасти же во всяком случае абстрактная, а здесь – пустая категория, так как ею ничего не выражается ввести, как например, стремление, становление, повод к изменению. Но в таком случае требовалось бы показать, какое еще значение и ценность, т. е. какую связь и какое употребление для дальнейших математических целей имеет помимо того, для теории совершенно достаточного сухого определения, что оно есть не что иное, как полученная путем разложения бинома производная функция; об этом будет сказано во втором примечании. – Здесь же мы ближайшим образом дадим разбор той путаницы, которую вышеприведенное столь обычное в изложениях употребление представления о приближении внесло в понимание собственной, качественной определенности того отношения, в котором было ближайшим образом все дело.

Мы показали, что так называемые бесконечно малые разности выражают собою исчезание членов отношения как определенных количеств и что то, что после этого остается, есть их количественное отношение, исключительно лишь поскольку оно определено качественным образом; качественное отношение здесь настолько не теряется, что оно скорее есть именно то, что получается благодаря превращению конечных величин в бесконечные. В этом, как мы видели, состоит вся суть дела. – Так например, в последнем отношении исчезает определенные количества абсциссы и ординаты. Но члены этого отношения остаются по существу один – элементом ординаты, а другой – элементом абсциссы.

Так как здесь применяют обычный способ представления, состоящий в том, что одна ордината бесконечно приближается к другой, то одна ордината, раньше отличная от о законе непрерывности. – В какие формальные дефиниции при этом кроме того впадают, показывает остроумное общее изложение моим уважаемым коллегой проф. Дирксеном основных определений, употребляемых для вывода диференциального исчисления, изложение, которое он дает в связи с критикой некоторых новых сочинений по этой науке, помещенной в[47] другой ординаты, переходит в последнюю, а раньше различная абсцисса переходит в другую абсциссу; но ордината по существу не переходит в абсциссу и абсцисса не переходит в ординату. Оставаясь и далее в рамках этого примера переменных величин, следует сказать, что элемент ординаты должен быть понимаем не как отличие одной ординаты от другой ординаты, а как отличие или качественное определение величины относительно элемента абсциссы; принцип одной переменной величины и принцип другой находятся во взаимном отношении между собой.

Различие, не будучи уже больше различием конечных величин, перестало быть многообразным внутри самого себя, оно сжалось в простую интенсивность, в определенность одного качественного момента отношения относительно другого.

Но эта суть дела затемняется тем обстоятельством, что то, что мы только что назвали элементом, например, ординаты, понимается затем как разность или приращение, в том смысле, что оно будто бы есть лишь различие между определенным количеством одной ординаты и определенным количеством другой. Предел здесь, следовательно, не имеет смысла отношения; он считается лишь тем последним значением, к которому другая величина того же рода постоянно приближается таким образом, что она может сколь угодно мало отличаться от него и что последнее отношение есть отношение равенства. Таким образом, бесконечно малая разность оказывается как бы неустойчивостью различия (das Schweben eines Unterschieds) одного определенного количества от другого и ее качественная природа, по которой dx есть по существу определение отношения не к х, а к dy, отступает в представлении на задний план. В диференциальном исчислении заставляют dx2 исчезнуть относительно dx, но еще больше исчезает dx относительно х, а это поистине означает: dx находится в отношении лишь % dy. – В таких изложениях геометры стараются преимущественно о том, чтобы сделать понятным приближение некоторой величины к ее пределу, и держаться того аспекта различия одного определенного количества от другого, в котором оно не есть различие и, однако, все еще есть различие. Но помимо всего прочего приближение есть само по себе ничего не говорящая и ничего не делающая понятным категория; уже dx оставил приближение позади себя, он ни близок ни более близок, и бесконечная близость сама есть лишь отрицание близости» и приближения.

Стало быть, поскольку вышло так, что приращения или бесконечно-малые разности рассматриваются лишь со стороны определенного количества, которое в них исчезает, и лишь как его предел, их понимают при этом как безотносительные моменты. Из этого вытекало бы не выдерживающее критики представление, будто в последнем отношении дозволительно приравнивать между собою, например, абсциссу с ординатой, или же синус, косинус, тангенс, sinus versus и что угодно еще. – Может казаться, что такое представление получает силу в том случав, когда дуга рассматривается как касательная; ибо и дуга, конечно, тоже несоизмерима с прямой линией и ее элемент имеет прежде всего другое качество, чем элемент прямой линии.

Может показаться еще более бессмысленным и недозволительным, чем смешение абсциссы, ординаты, sinus versus, косинуса и т. д. принимать круглые квадраты, принимать часть дуги, хотя бы и бесконечно малую, за кусочек касательной и, следовательно, трактовать ее как прямую линию. – Однако такую трактовку следует по существу отличать от вызвавшего порицание смешения; она имеет свое оправдание в том, что в том треугольнике, который имеет своими сторонами элемент некоторой дуги и элемент ее абсциссы и ординаты, отношение остается тем же самым, как если бы элемент дуги был элементом прямой линии, касательной; углы, составляющие существенное отношение, т. е. то отношение, которое сохраняется в этих элементах:, когда мы абстрагируемся от присущих им конечных величин, суть те же самые. – Можно выразиться об этом? таким образом, что прямые линии как бесконечно малые стали кривыми линиями, и отношение между ними при их бесконечности стало отношением между кривыми. Так как согласно дефиниции прямой линии она есть кратчайшее расстояние «между двумя точками, то ее отличие от кривой линии основано на определении множества, на меньшем множестве различимого в этом расстоянии, что, стало быть, есть количественное определение. Но это определение в ней исчезает, когда мы принимаем ее за интенсивную величину, за бесконечный момент, за элемент; а вместе с тем исчезает и ее отличие от кривой линии, основанное исключительно только на различии определенного количества. – Следовательно, как бесконечные, прямая линия и дуга не сохраняют никакого количественного отношения друг к другу и тем самым на основании принятой дефиниции не имеют больше также и никакого качественного отличия друг от друга, а первая переходит во вторую.

Родственным и, тем не менее, отличным от приравнивания разнородных определений оказывается само по себе неопределенное и совершенно безразличное допущение, что бесконечно малые части одного и того же целого равны «между собою. Однако примененное к разнородному внутри себя предмету, т. е. к такому предмету, который обременен существенною неравномерностью количественных определений, это допущение порождает содержащееся в теореме высшей механики своеобразно превратное утверждение, гласящее, что в равные и притом бесконечно малые промежутки времени проходятся бесконечно малые части кривой в равномерном движении, причем утверждение это касается такого движения, в котором в равные конечные, т. е. существующие части времени, проходятся конечные, т. е. существующие неравные части кривой, т. е., стало быть, касается движения, которое как существующее неравномерно и признается таковым. Эта теорема есть словесное выражение того, что должен означать собою аналитический член, получающийся в приведенном выше разложении формулы неравномерного, но, впрочем, соответствующего некоторому закону движения. Более ранние математики старались выразить результаты вновь изобретенного исчисления бесконечно малых, которое и без того всегда имело дело с конкретными предметами, в словах и предложениях и представить их в геометрических обозначениях, главным образом для того, чтобы применять их для вывода теорем по обычному способу доказательства. Члены математической формулы, на которые анализ разлагал величину предмета, например, движения, получали, таким образом, предметное значение, например, значение скорости, ускоряющей силы и т. п.

Они должны были согласно такому значению доставлять правильные положения, физические законы, и сообразно их аналитической связи, должны были определяться также и их объективные связи и отношения, как например, должно было именно определяться, что в равномерно ускоренном движении существует особая пропорциональная временам скорость, к которой кроме того всегда присоединяется приращение, сообщаемое силой тяжести. Такие предложения выставляются в новой, получившей аналитическую форму механике исключительно как результаты исчисления, причем она не заботится о том, имеют ли они сами по себе самостоятельный реальный смысл, т. е. такой смысл, которому соответствует некоторое существование, не заботится также и о том, чтобы это доказать. Трудность сделать понятной связь таких определений, когда их берут в определенно реальном смысле, например, объяснить переход от просто равномерной скорости к равномерному ускорению, считается совершенно устраненной аналитическим рассмотрением, в котором сказанная связь есть простое следствие отныне прочного авторитета действий исчисления. Нахождение единственно только путем вычисления законов, выходящих за пределы опыта, т. е. таких предложений о существовании, которые сами не имеют существования, выдается за торжество науки. Но в первое, еще наивное время исчисления бесконечно-малых математики всячески старались указать и обосновать самостоятельный реальный смысл этих представленных в геометрических построениях определений и положений и применять их в таком смысле для доказательства главных положений, о которых шла речь (ср. Ньютоново доказательство основного положения его теории тяготения в Princ. mathemat. philosophiae naturalis, Hb. I, sect. II, prop. I, с астрономией Шуберта (изд. 1-е, т. III, параграф 20), где он вынужден признать, что дело обстоит не совсем так, т. е. что в (пункте, составляющем самый нерв доказательства, дело обстоит не так, как это принимает Ньютон).

Нельзя отрицать, что в этой области» многое, преимущественно при помощи тумана, напущенного бесконечно малыми, было допущено в качестве доказательства ни на каком другом основании, как только потому, что то, что получалось, всегда было заранее известно, и доказательство, построенное таким образом, что получался уже известный вывод, давало по крайней мере видимость некоторого остова доказательства, видимость, которую все же предпочитали простой вере или опытному знанию. Но я не колеблясь решаюсь сказать, что рассматриваю эту манеру только как простое фокусничество и шарлатанничание доказательствами, и причисляю к такого рода фокусничанию даже ньютоновы доказательства и, в особенности, те из них, которые принадлежат к только что приведенным, за которые превозносили Ньютона до небес и ставили выше Кеплера, утверждал, что первый доказал математически то, что второй нашел лишь опытным путем.

Пустой остов таких доказательств был воздвигнут с целью доказать физические законы. Но математика вообще не может доказать количественных определений физики, поскольку они суть законы, имеющие своим основанием качественную природу моментов; математика не может этого сделать по той простой причине, что она не есть философия, не исходит из понятия, и поэтому качественное, поскольку оно не почерпается лемматически из опыта, лежит вне ее сферы. Отстаивание чести математики, настаивание на том, что все встречающиеся в ней положения должны быть строго доказаны, заставляло ее часто забывать свои границы. Так, например, казалось противным ее достоинству просто признать опыт источником и единственным доказательством встречающихся в ней опытных положений. Позднее было достигнуто более определенное сознание этой истины; но до тех лор, пока сознание не уяснит себе различие между тем, что может быть доказано, и тем, что может быть лишь заимствовано из другого источника, равно как и различие между тем, что представляет собою лишь член аналитического разложения, и тем, что представляет собою физическое существование, до тех лор научность не сможет достигнуть строгой и чистой позиции. – А что касается указанного остова ньютоновых доказательств, то его без сомнения еще настигнет такой же справедливый суд, который настиг другое необоснованное искусственное построение Ньютона, состоявшее из оптических экспериментов и связанных с ними умозаключений.

Прикладная математика еще полна такого рода варевом из опыта и рефлексии. Но подобно тому, как уже с довольно давних пор стали фактически игнорировать в науке одну часть ньютоновской оптики за другой, причем, однако, совершают ту непоследовательность, что продолжают держаться, хотя и в противоречии с этим, прочих частей ее, точно так же является фактом, что часть упомянутых обманчивых доказательств уже сама собою пришла в забвение или заменена другими доказательствами.

Примечание 2 Цель диференциального «исчисления, выведенная из его приложения В предшествующем примечании мы рассмотрели отчасти определенность понятия бесконечно малого, применяемого в диференциальном исчислении, отчасти же основу его введения в последнее. И то и другое суть абстрактные и потому сами по себе также и легкие определения. Так называемое приложение представляет больше трудностей, равно как и более интересную сторону; элементы этой конкретной стороны составят предмет настоящего примечания. – Весь метод диференциального исчисления полностью дан в положении, что dxn = пхп-г dx или f (x + 0-fx=P т. е. равняется коэфициенту первого члена двучлена (х+dx)n или (х-f)[48], разложенного по степеням dx или /.

Дальше нечему учиться новому; вывод ближайших форм, диференциала произведения, показательной функции и т. д. получается из этой формулы механически; в короткое время, в каких-нибудь полчаса – с нахождением диференциалов дано также и обратное, нахождение первоначальной функции на основании диференциалов, интегрирование – можно овладеть всей теорией. Задерживает на ней дальше лишь старание усмотреть, сделать для себя понятным, каким образом после того, как одна сторона задачи, нахождение этого коэфициента, решена так легко аналитическим, т. е. совершенно арифметическим способом, посредством разложения функции переменной величины, получившей через приращение форму двучлена, оказывается правильной также и другая сторона, а именно, отбрасывание всех членов возникающего ряда, кроме первого. Если бы оказалось, что единственно только этот коэфициент и нужен, то с его нахождением было бы покончено, как мы сказали, менее чем в полчаса со воем, что касается теории, и отбрасывание прочих членов ряда представляло бы так мало затруднений, что скорее, наоборот, о них, как о членах ряда (как второй, третьей и т. д. производной функции, их определение равным образом уже закончено с определением первого члена), вовсе и не было бы речи, так как в них совершенно нет надобности.

Можно здесь предпослать то замечание, что по методу диференциального исчисления сразу видно, что он изобретен и установлен не как нечто самодовлеющее; он не только не обоснован сам по себе, как особый способ аналитического действия, но насильственность, заключающаяся в том, что прямо отбрасываются члены, получающиеся посредством разложения функции, несмотря на то, что все это разложение признается полностью относящимся к делу ибо дело именно и усматривается в различии разложенной функции переменной величины (после того, как ей придана форма двучлена) от первоначальной функции, – скорее совершенно противоречит всем математическим принципам.

Как потребность в таком образе действий, так и отсутствие внутреннего его оправдания сразу же указывают на то, что его источник и основание находятся где-то вне его.

Это не единственный случай в науке, когда то, что в качестве элементарного ставится вначале и из чего, как предполагается, должны быть выведены положения данной науки, оказывается неочевидным и имеющим, наоборот, свой повод и обоснование в последующем. История возникновения диференциального исчисления показывает, что оно получило свое начало преимущественно в различных так называемых методах касательных, которые представляли собою как бы кунштюки; характер действия после того, как он был распространен также и на другие предметы, был осознан позднее и получил выражение в абстрактных формулах, которые теперь старались также возвести в ранг принципов.

Мы показали выше, что определенность понятия так называемых бесконечно-малых есть качественная определенность таких количеств, которые ближайшим образом, как определенные количества, положены находящимися в отношении друг к другу, а затем в связи с этим следовало эмпирическое исследование, ставившее себе целью обнаружить эту определенность понятия в тех имеющихся описаниях или дефинициях бесконечно малого, которые берут его как бесконечно малую разность и тому подобное. – Мы это сделали лишь для того, чтобы достигнуть абстрактной определенности понятия как таковой.

Дальнейший вопрос состоит в том, какой характер носит переход от нее к математической форме и ее приложению. Для этой цели нужно сначала еще далее развить теоретическую сторону, определенность понятия, которая окажется в себе самой не совсем бесплодной; затем следует рассмотреть отношение ее к приложению и доказать относительно их обоих, насколько это здесь уместно, что получающиеся общие выводы вместе с тем соответствуют тому, что является существенным в диференциальном исчислении, и тому способу, каким оно достигает своей цели.

Прежде всего следует напомнить, что мы уже разъяснили мимоходом ту форму, которую рассматриваемая нами теперь определенность понятия имеет в области математики».

Мы сначала обнаружили качественную определенность количественного в количественном отношении вообще; но помимо этого уже при выводе различных так называемых видов счета (см., относящееся к этому примечание) мы, забегая вперед, указали, что именно в степенном отношении, которое нам предстоит рассмотреть ближе в своем месте, число через приравнение моментов его понятия, единицы и численности) положено, как возвратившееся к себе самому, и тем самым получает в себе самом момент бесконечности, для-себя-бытия, т. е. определяемости самим собою. Ясно выраженная качественная определенность величин принадлежит поэтому, как равным образом было уже упомянуто выше, по существу степенным определениям, а так как специфическая черта диференциального исчисления заключается в том, что оно оперирует качественными формами величин, то свойственным ему математическим предметом необходимо должно быть рассмотрение форм степеней, и все задачи и их решения, для которых применяется диференциальное исчисление, показывают, что интерес сосредоточивается в них единственно лишь на разработке степенных определений как таковых.

Как ни важна эта основа и хотя она сразу же выдвигает на первый план нечто определенное вместо чисто формальных категорий переменных, непрерывных или бесконечных величин и т. п. или функций вообще, она все же еще слишком обща; ведь с тем же самым имеют дело и другие действия; уже возвышение в степень и извлечение корня, а затем действия над показательными функциями и логарифмами, ряды, уравнения высших степеней интересуются и занимаются исключительно отношениями, основанными на степенях. Нет сомнения, что все они в своей совокупности составляют систему учения о степенях; но ответ на вопрос, какие именно из этих отношений, в которые могут быть поставлены степенные определения, суть те, которые составляют собственный предмет и интерес диференциального исчисления, должен быть почерпнут из него самого, т. е. из его так называемых приложений.

Последние и составляют на самом деле самую суть, действительный способ действия в математическом разрешении известного круга проблем; этот способ действия существовал раньше теории или общей части, и приложением оно было назвало позднее лишь по отношению к созданной впоследствии теории, которая ставила себе целью отчасти установить общий метод этого способа действия,» отчасти же дать ему принципы, т. е. оправдание. Какими тщетными были, для господствовавшего до сих пор понимания этого способа действия, старания найти принципы, которые действительно разрешили бы выступающее здесь противоречие, а не извиняли бы или не прикрывали бы его ссылками на незначительность того, что согласно математическим правилам необходимо, но здесь должно быть отбрасываемо, или, что сводится к тому же, ссылками на возможность бесконечного или какого угодно приближения и т. п., – это мы показали в предшествующем примечании. Если бы всеобщее этого способа действия было абстрагировано из той действительной части математики, которая именуется диференциальным исчислением, иным образом, чем это происходило до сих пор, то эти принципы и труд, затраченный над их установлением, оказались бы столь же излишни, сколь они, взятые сами по себе, оказываются чем-то неправильным и остающимся противоречивым.

Если будем доискиваться этого своеобразия путем простого обозрения того, что имеется в этой части математики, то мы найдем в качестве ее предмета а) уравнения, в которых какое угодно число величин (мы можем здесь остановиться вообще на двух) связано в одно определенное целое, так что эти величины, во-первых, имеют свою определенность в эмпирических величинам, как твердых пределах, а затем, в определенной связи как с последними, так и между собою, как это вообще имеет место в уравнениях; но так как здесь имеется лишь одно уравнение для обеих величин (в том случае, если величин более двух, то и число уравнений соответственно увеличивается, но всегда число уравнений будет меньше числа величин), то это – уравнения неопределенные. Во-вторых, они связаны так, что одна из тех черт, которые характерны для того способа, каким эти величины имеют здесь свою определенность, заключается в том, что они (по крайней мере одна из них) даны в уравнении в степени высшей, чем первая степень.