- -
- 100%
- +
Было указано, что так называемые бесконечно малые разности выражают собою исчезание членов отношения, как количеств, и что то, что остается за сим, есть их количественное отношение лишь постольку, поскольку оно определено качественно; качественное отношение при этом в такой мере сохраняется, что оно оказывается именно тем, что возникает через переход конечных величин в бесконечные. В этом состоит, как мы видели, вся суть дела. Так, напр., в последнем отношении, исчезают, как количества, абсцисса и ордината; но члены этого отношения остаются по существу один – элементом ординаты, другой – элементом абсциссы. По обычному способу представления, состоящему в том, что одна ордината бесконечно приближается к другой, первая ордината переходит во вторую, а соответствующая первой абсцисса – в соответствующую второй; но во всяком случае ордината не переходит в абсциссу, а абсцисса в ординату. Но элемент ординаты, если оставаться при этом примере переменных величин, должен быть понимаем, не как разность одной ординаты от другой, а как различение или качественно-количественное определение относительно элемента абсциссы; принцип одной переменной величины относительно другой проявляется в их взаимном отношении. Различение, поскольку оно не есть уже различение конечных величин, перестало быть многообразным внутри себя самого; оно совпало в простую интенсивность, в определенность одного качественного момента отношения относительно другого.
Эта суть дела затемняется, однако, тем, что то, что, называется элементом, положим, ординаты, понимается, как разность или приращение, как будто оно есть только количественное различение одной ординаты от другой. Предел тем самым не имеет смысла отношения: он означает лишь то последнее значение, к которому другая однородная величина постоянно приближается так, что она может отличаться от него на наименьшую желаемую величину, и что последнее отношение есть отношение равенства. Таким образом, бесконечно малая разность оказывается как бы видимостью различия одного определенного количества от другого, и представление качественной природы, по которой dx есть по существу не определение отношения его к х, но к dy, отступает назад. dx2 исчезает перед dx, но также исчезает dx перед х, что по истине значит, что dx имеет отношение лишь к dy. При таком изложении дела геометры стараются преимущественно о том, чтобы сделать понятным приближение некоторой величины к ее пределу и остановиться на таком различении определенного количества от определенного количества, которое уже не есть различение и вместе с тем есть различение. Но приближение есть для себя, помимо того, ничего не говорящая и ничего не объясняющая категория; dx имеет приближение уже за собою, он не близок и не есть ближайшее; бесконечная близость есть сама лишь отрицание близости и приближения.
Поэтому, коль скоро дело сводится к тому, что приращения или бесконечно малые разности рассматриваются лишь со стороны определенного количества, которое в них исчезает, и лишь как его предел, то они понимаются, как безотносительные моменты. Отсюда можно бы было вывести неосновательное предположение, будто дозволительно в последнем отношении приравнивать между собою, например, абсциссу с ординатою, или синус, косинус, тангенс, sinus versus и т. п. По-видимому, это представление получает силу, когда дуга рассматривается, как касательная, ибо дуга, конечно, несоизмерима с прямою линиею, и ее элемент имеет прежде всего другое качество, чем элемент прямой линии. Еще нелепее и недозволительнее смешение абсциссы, ординаты, sinus versus и т. д., когда представляется quadrata rotundis, когда хотя бы бесконечно малая часть дуги принимается за участок касательной, и тем самым с нею поступают, как с прямою линиею. Но такой образ действий следует по существу отличать от вызывающего порицание смешения; он оправдывается тем, что в том треугольнике, стороны которого суть элемент дуги и элемент абсциссы и ординаты, отношение остается тем же, как если бы элемент дуги был элементом прямой линии, касательной; углы, образующие существенное отношение, т. е. то, которое сохраняется при этих элементах, если отвлечься от свойственных им конечных величин, те же самые. Можно выразить это также таким образом, что прямые линии, как бесконечно малые, стали кривыми линиями, и их отношение при их бесконечности стало отношением кривых. Так как по определению прямой линии она есть кратчайшее расстояние между двумя точками, то ее отличие от кривой линии основывается на определении множества, на меньшем множестве различимого в этом расстоянии, что есть также определение количества. Но это определение в ней исчезает, коль скоро она принимается за интенсивную величину, за бесконечный момент, за элемент; а с тем вместе исчезает и ее отличие от кривой линии, основанное исключительно на различии определенного количества. Следовательно, как бесконечные, прямая линия и дуга не состоят ни в каком количественном отношении и потому на основании принятого определения не имеют и никакого качественного различия, но переходят одна в другую.
Сродным и однако различным от отожествления разнородных определений оказывается само по себе неопределенное и совершенно безразличное утверждение, будто бесконечно малые части одного и того же целого равны между собою; но примененное к разнородному в себе, т. е. причастному существенной неравномерности количественных определений предмету, оно приводит к существенному противоречию, содержащемуся в высшей механике, которая учит, что в равные, притом бесконечно малые времена, в бесконечно малых частях кривой происходит равномерное движение, как часть такого движения, которое в равные конечные, т. е. существующие части времени проходит конечные, т. е. существующие неравные части кривой, следовательно, движение, которое, как существующее, неравномерно и признается за таковое. Это предложение есть словесное выражение того, что должен означать собою аналитический член, получающийся через вышеупомянутое развитие формулы, хотя неравномерного, но подчиненного некоторому закону движения. Более старые математики старались выразить результаты вновь изобретенного исчисления бесконечных, которое притом всегда имело дело с конкретными предметами, в словах и предложениях и изобразить их геометрически, главным образом, для того, чтобы употреблять их для обычного способа доказательства теорем. Члены математической формулы, в которую анализ разлагал величину предмета, например, движения, получали таким образом предметное значение, например, скорости, ускоряющей силы и т. п.; по этому значению они должны были приводить к правильным положениям, к физическим законам, и по их аналитической связи должны были определяться и их объективные связи и отношения, например, то, что в равномерно ускоренном движении существует особая пропорциональная временам скорость, к которой, кроме того, всегда присоединяется приращение, зависящее от силы тяжести. Такие предложения в новом аналитическом виде механики получались исключительно, как результаты вычисления независимо от того, имеют ли они для себя реальный, т. е. соответствующий некоторому существованию смысл и от доказательства этого; затруднение сделать понятною связь таких определений, когда они употреблялись в вышеупомянутом реальном смысле, например, объяснить переход от той ложно равномерной скорости к равномерному ускорению, считалось поэтому совершенно устраненным через аналитическую разработку, в которой сказанная связь есть простое следствие установленного раз навсегда прочного авторитета действий вычисления. Считалось торжеством науки нахождение путем простого возвышающегося над опытом вычисления законов, т. е. предложений о существовании, самих не имеющих существований. Но в первое еще наивное время исчисления бесконечных старались найти и оправдать реальный смысл таких определений и положений, изображенных в геометрических построениях, и применить их в этом смысле к доказательству главных положений, о которых шла речь[19].
Нельзя отрицать, что в этой области многое, преимущественно при пособии тумана, напущенного бесконечно малыми, считалось за доказательство только потому, что то, что получалось, всегда было уже заранее известно, и что доказательство, построенное таким образом, что получался подобный вывод, имело по крайней мере видимость остова доказательства, видимость, которую все же предпочитали простой вере или опытному знанию. Но я без всякого колебания признаю эту манеру не за что иное, как за простое фокусничество и шарлатанство доказательством, и причисляю сюда и ньютоновы доказательства, особенно такие, как вышеприведенное, за которое Ньютона возвысили до небес и превознесли над Кеплером, утверждая, что первый математически доказал то, что второй нашел лишь путем опыта.
Пустой остов таких доказательств воздвигнут для того, чтобы доказать физические законы. Но математика вообще не может доказать количественных определений физики, так как последние суть законы, обоснованные на качественной природе моментов; не может сделать этого по той простой причине, что математика не есть философия, не исходит от понятий, и что поэтому качественное, если только оно не почерпается лемматически из опыта, лежит вне сферы математики. Поставление достоинства математики в том, что все входящие в нее положения должны быть строго доказаны, часто побуждало забывать о ее границе; таким образом, казалось несогласным с ее достоинством считать опыт источником и единственным доказательством опытных предложений; позднее сознание этой истины более развилось; но прежде, чем будет выяснено различие того, что математически доказуемо, и что может быть взято лишь извне, как, например, того, что есть лишь член аналитического развития, и что – физическое существование, научность не может считаться достигшею строгого и чистого состояния. А упомянутому остову ньютонова доказательства противоречит уже то право, которое признано за другим неосновательным искусственным ньютоновым построением из оптических опытов и связанных с ними выводов. Прикладная математика еще полна смешением поровну опыта и рефлексии; но подобно тому, как уже довольно давно одна за другою части этой (ньютоновой) оптики стали фактически игнорироваться наукою с тою, однако, непоследовательностью, что прочие ее части, хотя и с противоречием тому, еще сохраняются, – также точно является фактом, что часть этого обманчивого доказательства сама собою уже пришла в забвение или заменена другими доказательствами.
Примечание 2-е
Цель дифференциального исчисления, выведенная из его приложения
В предыдущем примечании рассмотрены отчасти определенность понятия бесконечно малого, находящего употребление в дифференциальном исчислении, отчасти основания его введения в это исчисление; то и другое суть отвлеченные и потому легкие определения; но так называемое приложение представляет более трудностей, равно как более интересных сторон; элементы этой конкретной стороны должны составить предмет настоящего примечания. Весь метод дифференциального исчисления сводится к положению dxn=nxn-1dx или иначе (f(x+i)—fx)/i=P, т. е. равно коэффициенту первого члена двучлена x+d, x+i, развитого по степеням dx или i. Далее нечему учиться новому; вывод ближайших форм дифференциала произведения, степени и т. д. вытекает отсюда механически; в короткое время, в каких-нибудь полчаса – с нахождением дифференциалов дано также и обратное, нахождение по ним первоначальной функции, интегрирование – можно освоиться со всею теориею. Задерживает на ней долее лишь стремление усмотреть, сделать понятным, каким образом после того, как одна сторона задачи, нахождение этого коэффициента решена так легко аналитическим, т. е. совершенно арифметическим путем через развитие функции переменной величины, получившей форму двучлена путем приращения, оправдывается и другая ее сторона, именно опущение прочих членов полученного ряда. Если бы было признано, что единственно в этом коэффициенте и есть нужда, то с его нахождением все, что касается теории, было бы, как сказано, закончено менее, чем в полчаса, и опущение прочих членов ряда не представляло бы никакого затруднения, так как о них, как о членах ряда (как вторая, третья и т. д. производные функции, они находят свое определение уже при определении первой), вовсе не поднималось бы речи, ибо в них не было бы никакой надобности.
Можно предпослать здесь то замечание, что при рассмотрении метода дифференциального исчисления сейчас же бросается в глаза, что он изобретен и установлен не ради себя самого; он не только не обоснован для себя, как особый способ аналитического действия, но необходимость опускать члены, получающиеся через развитие функции, несмотря на то, что все это развитие в целом признается относящимся к делу – ибо дело именно состоит в различении развитой функции переменной величины, после придания ей вида двучлена, от первоначальной функции – совершенно, напротив, противоречит всем основоположениям математики. Как потребность в таком образе действия, так и недостающее ему самому в себе оправдание, сейчас же указывают на то, что его источник и основание находятся где-то вне его. Вообще в науке бывают случаи, когда то, что заранее установлено, как элементарное, и из чего выводятся предложения науки, оказывается неочевидным и требующим, напротив, для себя повода и обоснования в том, что вытекает из него. История дифференциального исчисления показывает, что оно имело свое начало в различных так называемых методах касательных, которые представляли собою как бы фокусы; этот образ действия, распространенный и на другие предметы, был возведен затем в сознание и выражен в отвлеченных формулах, которым старались придать значение принципов.
Было показано, что определенность понятия так называемых бесконечно малых есть определенность качественно-количественная, которая ближайшим образом положена, как отношение между определенными количествами, с чем связывается эмпирическая попытка обнаружить эту определенность понятия в тех описаниях или определениях, которые находят в бесконечно малом, поскольку оно признается за бесконечно малую разность или за что-либо другое подобное. Это совершается лишь в интересе отвлеченной определенности понятия, как таковой; дальнейший же вопрос должен состоять в том, как отсюда перейти к математической форме и ее приложению. В конце концов, нужно разработать еще далее теоретическую сторону, определенность понятия, которая сама по себе не окажется бесплодною; затем должно рассмотреть отношение ее к ее приложению, и как в том, так и в другом случае показать, насколько это здесь уместно, что получающиеся общие выводы соответствуют тому, чем занимается дифференциальное исчисление, и тому способу, которым оно пользуется.
Прежде всего следует напомнить о том, что форма, свойственная в математике рассматриваемой теперь определенности понятия, уже более или менее изъяснена. Качественная определенность количественного, во-первых, вообще обнаружена в количественном отношении, но уже при рассмотрении различных так называемых действий счета (ср. соотв. примеч.) было предусмотрено, что подлежащее еще потом в своем месте рассмотрению степенное отношение есть то, в чем число через приравнение моментов своего понятия, единицы и определенного числа, положено, как возвратившееся к себе, и что тем самым в нем содержится момент бесконечности, бытие для себя, т. е. определения самим собою. Ясно выраженная качественная определенность величин присуща поэтому, как также было указано, существенным образом степенным определениям, и так как специфическая особенность дифференциального исчисления состоит в действиях над качественными формами величин, то свойственный ему математический предмет состоит в обращении с формами степеней, и все задачи и их решения, с которыми имеет дело дифференциальное исчисление, показывают, что интерес сосредоточивается в них единственно на разработке степенных определений.
Как ни важна эта основа, и хотя она сейчас же выдвигает на первое место нечто определенное вместо совершенно формальных категорий переменных, непрерывных или бесконечных величин и т. п., или функций вообще, но она еще слишком обща, с тем же имеют дело и другие действия; уже возвышение в степень и извлечение корней, за сим учение о показательных величинах и логарифмах, ряды, уравнения высших степеней имеют интерес и приложение также лишь к отношениям, основанным на степенях. Без сомнения, все это в своей совокупности составляет систему учения о степенях; но какие именно из различных отношений, в коих положены степенные определения, суть те, которые составляют собственный предмет и интерес для дифференциального исчисления, это должно быть выведено из него самого, т. е. из так называемых его приложений. Последние и составляют поистине самую суть дела, действительный прием математического разрешения известного круга задач; этот прием возник ранее, чем теория или общая часть, и был впоследствии назван приложением лишь в виду позднее созданной теории, которая имела целью установить его общий метод, а также дать ему принципы, т. е. оправдание. Как тщетно было старание найти при современном понимании этого приема такие принципы, которые действительно разрешали бы возникающее при этом противоречие, а не извиняли бы или прикрывали бы его указанием на незначительность математически необходимого, а между тем при этом приеме опускаемого члена, или на сводящуюся к тому же возможность бесконечного или любого приближения и т. п., – это было указано в предыдущем примечании. Если бы в той действительной части математики, которая именуется дифференциальным исчислением, общие начала метода были отвлеченно изложены и иначе, чем это делалось доселе, то сказанные принципы и труд над ними оказались бы столь же излишними, так как в них самих есть нечто ложное и противоречивое.
Если мы исследуем своеобразие этой части математики путем простого выделения того, что в ней существует, то ее предметом окажутся α) уравнения, в которых любое число величин (мы можем здесь вообще остановиться на двух) связано в определенное целое так, что, во-первых, их определенность состоит в эмпирических величинах, как их постоянных пределах, и затем в способе связи как с последними, так и между собою, как это вообще имеет место в уравнениях; но так как для обеих величин дано лишь одно уравнение (то же справедливо относительно многих уравнений со многими величинами в том смысле, что число уравнений всегда менее, чем число величин), то это уравнения неопределенные; а во-вторых, что одна из сторон, сообщающая величинам их определенность, состоит в том, что они (по крайней мере одна из них) даны в уравнении в степени высшей, чем первая степень.
Здесь нужно сделать несколько замечаний; во-первых, что величины по первому из вышеизложенных определений имеют вполне лишь свойства таких переменных величин, какие встречаются в задачах неопределенного анализа. Они неопределенны, но так, что если одной почему-либо сообщается вполне определенное т. е. числовое значение, то и другая становится определенною; таким образом, одна из них есть функция другой. Категории переменных величин, функций и т. п. имеют поэтому для той специфической определенности, о которой здесь идет речь, лишь формальное значение, так как этим категориям свойственна общность, не содержащая еще того специфического, к коему направлен весь интерес дифференциального исчисления, равно как из них нельзя вывести этого специфического и через анализ; это суть простые, незначительные, легкие определения, которые становятся трудными лишь постольку, поскольку в них включают для того, чтобы затем вывести из них, то, что им несвойственно, именно специфическое определение дифференциального исчисления. Что касается далее т. наз. постоянной величины, то о ней следует сказать, что она есть ближайшим образом безразличная эмпирическая величина, имеющая для переменных величин определяющее значение лишь по своему эмпирическому определенному количеству, как предел их минимума и максимума; но способ соединения постоянной величины с переменными есть один из моментов для природы той частной функции, которую образуют эти величины. Наоборот, постоянные величины суть сами функции; поскольку, например, прямая линия имеет значение параметра параболы, то это значение приводит к тому, что линия есть функция y2/x; точно также в развитии двучлена постоянная величина, как коэффициент первого члена ряда, есть сумма корней, второго – сумма их произведений по два и т. д., т. е. эти постоянные суть здесь вообще функции корней; там, где в интегральном исчислении постоянная определяется из данной формулы, она считается ее функциею. Эти коэффициенты будут рассмотрены нами далее еще и в другом определении, как функции, конкретное значение которых составляет их главный интерес.
Но главное, в чем рассмотрение переменных величин в дифференциальном исчислении отличается от их свойств в неопределенных задачах, состоит в том вышеприведенном указании, что по крайней мере одна из этих величин или все они должны иметь степень выше первой, причем опять-таки безразлично, все ли они имеют высшую степень или неравные степени; та специфическая неопределенность, которая им тут свойственна, состоит единственно в том, что они суть функции одна другой именно в таком-то степенном отношении. Тем самым изменение переменных величин определяется качественно и, стало быть, непрерывно, и эта непрерывность, которая есть для себя опять-таки лишь формальная категория некоторого тожества вообще, некоторой сохраняющейся в изменении саморавной определенности, имеет здесь свой определенный смысл и именно исключительно в степенном отношении, показатель которого не есть определенное количество, и которое образует собою не количественную, постоянную определенность отношения переменных величин. Поэтому можно и против другого вида формализма заметить, что первая степень есть степень лишь в отношении к высшим степеням; для себя же х есть лишь некоторое неопределенное количество. Поэтому не имеет смысла дифференцировать для себя уравнения прямой линии у=ах+b или ложно равномерного движения s=ct; если из у=ах или даже из у=ах+b получается а=dy/dx или из s=ct получается ds/dt=с, то в такой же мере тангенс есть а=y/x или ложная скорость s/t=с. Последняя выражается через dy/dx в связи с тем, что получается при развитии формулы равномерно ускоренного движения; но что в системе такого движения имеется момент движения простого, ложно равномерного, т. е. не определенного высшею степенью момента движения, – это есть, как замечено выше, лишь пустое, единственно на рутине метода основанное предположение. Если метод исходит от представления приращения переменной величины, то, конечно, может испытывать приращение и такая величина, которая есть функция первой степени; но когда для нахождения дифференциала берется различие возникшего таким образом второго уравнения от данного, то сейчас же и обнаруживается пустота действия в том, что, как сказано, уравнение до и после него остается для т. наз. приращения тем же, чем и для переменной величины.
β) Сказанным определяется природа подлежащих действию уравнений, и надлежит лишь показать, к какому интересу направляется это действие. Это рассмотрение может дать лишь уже известные результаты, к каким по форме приводит особенно понимание этого предмета Лагранжем; но я прибегнул к столь элементарному изложению для того, чтобы устранить тут всякую примесь посторонних определений. Основанием для действий над уравнениями указанного вида оказывается то, что степень внутри ее самой понимается, как отношение, как система определений отношения. Степень выяснилась выше, как число, поскольку она пришла к тому, что ее изменение определяется ею самою, что ее моменты, единица и определенное число, совершенно тожественны и, как ранее указано, ближайшим образом в квадрате, а более формально, что не составляет здесь разницы, в высших степенях. Но степень, поскольку она есть число, – хотя бы мы и предпочитали выражение величина, как более общее, она в себе есть все же число – множество или изображена, как сумма, может ближайшим образом внутри себя самой быть разложена на любое множество чисел, которые как одно относительно другого, так и относительно их суммы, имеют только то определение, что они в своей совокупности равны ей. Но степень может быть изображена также, как сумма таких различий, которые определяются формою степени. Если степень принимается за сумму, то также понимается и ее основное число, корень, и может подлежать любому разнообразному разложению, причем это разнообразие есть безразличное эмпирически количественное. Сумма, каковою должен быть корень, сведенная к ее простой определенности, т. е. к ее истинной общности, есть двучлен; всякое дальнейшее умножение числа членов есть простое повторение того же определения и потому нечто пустое[20]. Тем самым единственно достигается качественная определенность членов, которая получается через потенцирование принимаемого за сумму корня, и эта определенность заключается единственно в изменении через потенцирование. Эти члены суть поэтому всецело функции возвышения в степень и степени. А это изображение числа, как суммы и множества таких членов, которые суть функции возвышения в степень, и тем самым интерес найти форму таких функций и далее сумму множества таких членов, поскольку это нахождение должно зависеть только от сказанной формы, и составляют, как известно, особое учение о рядах. Но при этом существенно отличать еще дальнейший интерес, именно, отношение самих лежащих в основе величин, – определенность которых, поскольку они суть некоторый комплекс, т. е. в данном случае уравнение, заключает в себе степень, – к функциям их возвышения в степень. Это отношение, понимаемое совершенно отвлеченно от вышеназванного интереса суммы, выяснится, как тот исходный пункт, который единственно вытекает из действительной науки и указывается дифференциальным исчислением.