Гармония и соразмерность – воплощение Разумного Замысла

1. Гармония в природе

Вергилий: Добрый день, Горацио. Я вижу, ты снова любуешься цветами.

Горацио: День добрый, учитель. Да, действительно трудно не любоваться этой красотой и гармонией. Я чуть было не сказал, этим удивительным творением природы, но, вспомнив нашу недавнюю беседу, воздержался.

Вергилий: И правильно сделал, мой друг. Ведь только человек в этом мире может в полной мере оценить и красоту, и гармонию. А ты знаешь, что у слова «гармония» есть вполне научное определение.

Горацио: Неужели! Я думал, такого рода слова – удел поэтов и философов.

В.: Ну начнем с того, что гармония (др.-греч. ἁρμονία, лат. harmonia) – созвучие, согласие, противоположность хаосу. В эстетике – это одна из форм прекрасного, понятие, означающее упорядоченность многообразия, целостность, обладающая согласованностью частей и уравновешенностью их напряженности. Гераклит видел гармонию мира в его внутреннем напряженном единстве. Он говорил: «Расходящееся сходится, и из различного образуется прекраснейшая гармония» [1].

Г.: Да, это неплохое определение, но при чем здесь напряженность?

В.: Простой моделью гармонии в этом смысле является лук, у которого тетива стягивает в напряженное единство концы изогнутой деревянной палки. Этот образ гармонии, может быть, впервые увидел охотник далекого прошлого и услышал музыкальный звук, выпустив стрелу. Возможно, так родились первые струнные инструменты и рождаемая ими гармония. Платон говорил: «Нет красоты ни в чем без гармонии» [2].

Г.: С этим я полностью согласен. Но вы обещали также и научное определение.

В.: Пожалуйста, вот оно. Гармония – это глобальный принцип согласования разнородных и даже противоположных, конфликтных элементов, приведения их в единое целое [1].

Г.: Ну это как-то чересчур. Как можно говорить о разнородности, противоположности и каких-то конфликтных элементах в этом прекрасном цветке? И еще вот что: кто это приводит конфликтные элементы в единое целое?

В.: Начнем с твоего последнего вопроса. Сдается мне, ты сам знаешь ответ – на примере лука.

Г.: Ну да, это человек, но в природе?

В.: И на этот вопрос ты знаешь ответ.

Г.: Учитель Вергилий, мне кажется, уже и задавать вопросы не надо, если вы уверены, что я знаю на них ответы.

В.: Не на все, Горацио. Но на этот ты знаешь. Разумеется, это Тот, Кто создал все это. Ведь само по себе ничего бы не смогло соединиться в гармоничное единство.

Г.: Да, верно… Это – Творец.

В.: А теперь ответ на твой первый вопрос. Всегда надо помнить, что этот цветок появился из маленькой невзрачной зеленой почки. Теоретически ничто не предвещало ничего прекрасного и гармоничного. И если бы случилась засуха, то эта почка просто пожелтела бы и отвалилась. То есть в данном случае произошло разрешение конфликта между законом энтропии и той жизненной силой (а можно сказать заложенных программ для роста и развития), которая таилась в этом цветке.

Г.: Да, я помню про энтропию, про то, что есть стремление каждой вещи к беспорядку и хаосу.

В.: В общем-то, да. Как мы уже говорили, жизнь противостоит энтропии, т. е. разрушению, распаду. Все, что заложено в этом цветке, направлено на то, чтобы он был прекрасен и гармоничен.

Г.: Да, но с какой целью?

В.: Хотя бы для того, чтобы человек им любовался.

Г.: Вы хотите сказать, что в данном случае цель оправдывает средства?

В.: Почему бы и нет? Помнишь, как написано в Св. Писании: «Все соделал Он прекрасным в свое время». Творец любит прекрасное и дарит это нам. Люди всегда это понимали или чувствовали, пусть даже подсознательно.

Г.: Наверное, потому что человек сам есть продукт замысла и творения.

В.: Конечно, ведь только человек наделен творческим разумом и чувством прекрасного. Ни одному животному это недоступно.

Г.: Красота и гармония – это удел разума?

В.: Само собой. И возвращаясь к этому цветку как свидетелю того, что в основе его создания тоже находится Разум…

Г.: Разум? Но цветок ведь растет из почвы сам по себе и нуждается разве что в заботливом садовнике, который бы его поливал и удалял сорняки.

2.

Симметрия – основа гармонии

В.: Мой друг, мы видим всего лишь конечный продукт (результат) Творения. Все было запущено несколько тысяч лет назад, а мы свидетели всего лишь этого короткого настоящего. Хотя, конечно, можно запечатлеть эту красоту, скажем, написав картину или сфотографировав. Но нам с тобой надо двигаться дальше. Знаешь ли ты, что видимое проявление гармонии в природе – это симметрия?

Г.: Я где-то читал, что симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир.

В.: Симметрия в широком смысле означает соответствие, неизменность, проявляемые при каких-либо изменениях, преобразованиях (физического положения, энергии, информации). Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве. Двусторонняя симметрия означает, что правая и левая стороны относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

Г.: К сожалению, симметрия в природе нарушается довольно часто. Цветы засыхают, плоды подвергаются гниению, листья опадают.

В.: Горацио, на протяжении тысячелетий в ходе общественной практики и познания законов природы накоплены многочисленные данные, свидетельствующие о наличии в окружающем мире двух тенденций: с одной стороны, к строгой упорядоченности, гармонии, а с другой – к их нарушению, к возрастанию энтропии.

Г.: Энтропия, как всегда, все портит.

В.: Ты становишься ворчлив, мой юный друг. Будь оптимистичнее. Человек наделен творческим разумом, и он много чего может исправить.

Г.: И нарушение симметрии тоже?

В.: Вот послушай, что пишет о симметрии известный ученый Дж. Ньюмен: «Симметрия устанавливает забавное и удивительное родство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, теорией групп, инвариантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности…» [цит. по: 3].

Г.: Список впечатляет… Похоже, симметрия присутствует везде.

3

. Виды симметрии

В.: Ты же сам об этом говорил недавно. А если немного поподробнее, то существуют две большие группы симметрий.

К первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.

Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе доступной нам картины или структуры мира: ее можно назвать физической симметрией.

Г.: А эти две группы как-то связаны между собой?

В.: Ну конечно, мой друг. Первая группа представляет частный случай, вторая – более масштабна.

Г.: На первый взгляд, вторую группу вообще трудно связать с тем, что обычно понимается под словом «симметрия».

В.: Это только на первый взгляд, Горацио. Ведь само слово «симметрия» имеет двойственное толкование.

Г.: Дальше в лес – больше дров…

В.: В одном смысле симметричное означает нечто весьма пропорциональное, сбалансированное. Симметрия показывает тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое.

Г.: Можно пример, а то я не поспеваю за вами.

В.: Как пример можно привести человеческое тело, где согласование многих частей, не только внешних, но и внутренних, приводит к образованию единого целого – тела человека. Нарушение внутреннего согласования приводит к смерти, нарушению симметрии. Еще Аристотель говорил о симметрии как о таком состоянии, которое характеризуется соотношением крайностей. Из этого высказывания следует, что Аристотель, пожалуй, был ближе всех к открытию одной из самых фундаментальных закономерностей природы – закономерности ее двойственности [3].

Г.: То есть созидания и разрушения?

В.: Да. Второй смысл слова «симметрия» – равновесие. Когда, например, канатоходец идет по туго натянутому тросу, он должен двигаться так, чтобы его левая сторона была симметрична правой, иначе он упадет. Этот принцип симметрии соблюдается человеком в его технических устройствах, предназначенных к передвижению. Для самолета, корабля, автомобиля, мотоцикла и других транспортных средств этот принцип симметрии очень важен. Если не будет конструктивного равновесия, самолет разобьется, а кораблем и автомобилем будет почти невозможно управлять, а на мотоцикле – двигаться.

Г.: Это очень практический принцип, и здесь я полностью согласен.

В.: Следует также отметить, что некое общее начало присутствует во всем мироздании. Его можно назвать эстетическим принципом симметрии. С точки зрения теоретической физики, наш мир построен по определенным законам красоты и порядка. Эти красота и порядок просматриваются как во Вселенной (спиральные галактики, фрактальная структура Вселенной) [4], так и в микромире (строение атомов и элементарных частиц). Именно идеей красоты, которая на математическом языке выражается законами симметрии, пронизано все мироздание.

Г.: Учитель Вергилий, а что такое «фрактальная структура»?

В.: Фракталы – это структуры, части которых похожи на целое. Фракталы являются своего рода моделями, отражающими многообразие природных явлений, о которых мы говорили раньше и которые однозначно свидетельствуют о Разуме, создавшем их.

Г.: Возможно, я тугодум, но для меня все еще неясно, что представляют собой фракталы. Может быть, какой-нибудь бытовой пример поможет?

В.: Хорошо, Горацио. Ты рассматривал вблизи цветную капусту или брокколи? Представляешь, что это такое?

Г.: Я знаю, что блюда из этих овощей довольно вкусные, особенно когда готовит моя мама.

В.: Нет, Горацио, гастрономия здесь не к месту. И тот и другой сорт капусты представляют типичный пример фрактальной структуры.

Г.: Да что вы говорите! Никогда бы не подумал. А я думал, что она годится только в пищу.

В.: Если отломить от кочана цветной капусты или от брокколи одну веточку, то можно увидеть, что она очень похожа на целую капусту. Если от этой веточки отломить ее часть, то опять же мы увидим, что и эта небольшая веточка является почти точной копией целого кочана. А если мы продолжим нашу экзекуцию над этой капустой и снова отделим совсем крохотную веточку от этой последней части, то и тогда обнаруживается ее поразительное сходство с целой капустой (рис. 1, 2).

Рис. 1. Цветная капуста как фрактальная система

Рис. 2. Последовательное отделение веточек цветной капусты для понимания ее фрактальной структуры

Г.: Это поразительно, насколько бытовые примеры помогают в понимании структуры мироздания, а с помощью сухой математики дается понимание красоты этого мира.

В.: Значит, она не такая уже сухая, мой друг. «Основанием для такого утверждения может служить тот факт, что все физические взаимодействия, как теперь стало очевидно, по своей сути есть проявление и даже средство для поддержания в природе присущего ей набора определенных скрытых симметрий. Под последними в физике понимается неизменность ее законов относительно некоторого калибровочного преобразования» [5].

Г.: Сочетание последних двух слов не очень понятно. Поясните, пожалуйста, что автор подразумевает под «калибровочным преобразованием»?

В.: Я думаю, здесь имеется в виду некая внутренняя, невидимая для человека структура нашего мира, созданная специально для того, чтобы весь мир функционировал как единое целое. Это очень важно для его стабильности и в конечном счете необходимо для поддержания жизни.

Г.: А что это за структура?

В.: На этот вопрос у меня пока нет ответа, мой друг.

Г.: Хорошо, тогда вернемся к симметрии. Из нашего разговора я понял, что для симметрии в природе характерны такие свойства, как упорядоченность, повторяемость и гармония.

В.: Ты правильно понял, Горацио. Человек в своем творчестве старается подражать принципам симметрии окружающего мира. Если это ему удается, принято говорить, что получилось красиво, гармонично, изысканно. Если не получается достичь симметрии, то говорят, что получилось некрасиво, уродливо, безвкусно.

Г.: Это совершенно точно. Ведь на самом деле некоторые предметы, созданные человеком, можно назвать красивыми, но есть и такие, которые можно охарактеризовать как уродливые.

В.: Ты знаешь, Горацио, понятие красоты постоянно меняется. То, что казалось красивым, скажем, лет сто-двести назад, сейчас кажется, мягко говоря, не очень красивым.

Г.: Что вы хотите этим сказать?

В.: Я имею в виду изделия человеческих рук, например, одежду, обувь, предметы обихода, автомобили и другие.

Г.: Да, действительно. На них иногда ставят ярлык «устаревшие». Кстати, я где-то читал про так называемое золотое сечение. Помнится, текст был очень восторженный. Что это такое? И имеет ли это отношение к той теме, о которой мы беседуем?

4. Деление отрезка в заданной пропорции и золотое сечение

В.: Этот термин заслуживает того, чтобы о нем поговорить поподробнее. Ну прежде всего сам термин «золотое сечение» появился в литературе где-то в первой половине XIX века. Но само число, о котором пойдет речь, было известно еще до Рождества Христова. И конечно, все началось в Древней Греции – родине философии и математики.

Г.: Да, в то время там жили выдающиеся философы и математики.

В.: А также великие скульпторы и астрономы. Но именно Евклид разделил отрезок прямой на две части, где вся прямая относится к большему отрезку так же, как больший отрезок относится к меньшему.

Г.: И что из этого следует?

В.: Во-первых, на любом данном отрезке прямой есть только одна точка, которая делит эту прямую именно в этом соотношении. Во-вторых, если уравнение выполняется, то оно равно числу 1,618.

Г.: По правде говоря, на слух не очень понятно насчет этих пропорций. А можно это изобразить в виде схемы?

В.: Ну разумеется. Если мы обозначим всю прямую как АВ, большой отрезок как АС, а малый как СВ, то уравнение, о котором я говорил, будет иметь такой вид: АВ/АС = АС/СВ (рис. 3).

Рис. 3. Линия, разделенная на два неравных отрезка

Г.: А как это можно представить в виде конкретных цифр?

В.: Ну, скажем, вся линия АВ = 233 см, большой отрезок АС = 144 см, а соответственно малый СВ = 89 см. Тогда наше уравнение примет следующий вид: 233/144 = 144/89 = 1,618.

Г.: Как это у вас ловко получилось разделить эту линию именно так, что уравнение выглядит идеально?

В.: Ну до идеального здесь еще далековато. Почему я взял именно эти цифры, ты поймешь потом, а здесь я хочу сказать, что вот эта самая цифра 1,618 и есть та самая золотая пропорция, или золотое сечение. Хотя это и округленное значение.

Г.: У меня два вопроса. Почему эту самую обычную цифру назвали так звучно, и зачем вы ее округлили, учитель Вергилий?

В.: По поводу твоего второго вопроса. Я сделал это для того, чтобы уравнение сошлось и выглядело красиво. На самом деле это иррациональное число. Оно и не целое, и не дробное, и никогда не может быть вычислено совершенно точно.

Г.: Похоже, что это довольно загадочное число. А что относительно моего первого вопроса?

В.: Об этом мы поговорим немного позднее, а здесь я хотел показать, что деление этого отрезка на два для получения необходимых соотношений возможно с применением прямоугольного треугольника. Надо только выполнить одно важное условие. Малый катет должен быть вдвое короче большего (рис. 4).

Рис. 4. Прямоугольный треугольник как средство расчета золотой пропорции [6]

Г.: А как это будет выглядеть графически?

В.: Чтобы разделить данный отрезок AB в пропорции 1,618, необходимо отметить на стороне АD отрезок DE, равный половине AB, а затем отметить на отрезке AB точку C такую, чтобы отрезок AC был равен AE. Точка C и будет делить отрезок AB в искомой точке (рис. 4).

Г.: О! Это, оказывается, очень просто. А как проверить, что этот отрезок разделен правильно, то есть отношение АС к СВ равно 1,618.

В.: Для этого надо произвести дополнительные расчеты. Это займет определенное время (Приложение 1) [6].

Г.: М-да. Я вижу, что это не так-то просто, но, наверное, если посидеть, то и здесь все будет понятно. Но у меня остается еще один вопрос. Почему вы назвали число 1,618 иррациональным?

В.: У тебя есть калькулятор, Горацио?

Г.: Конечно, ведь смартфон всегда со мной.

В.: Тогда раздели цифры, которые мы использовали вначале для получения этого знаменитого числа: 233 на 144.

Г.: Получается 1,6180555555555. Дальше у меня не хватает места.

В.: И никогда не хватит. Ряд цифр после запятой бесконечен.

Г.: А что все это дает? Все эти манипуляции ради какого-то числа, которое и подсчитать толком невозможно.

5. Ряд цифр Леонардо Пизанского

В.: Подожди, мой юный друг. Еще немного терпения, и поймешь не только всю удивительную значимость этого числа, но и последовательность цифр, которые его образуют. Итак, приблизительно 800 лет назад, в эпоху раннего Средневековья, жил математик, которого звали Леонардо Пизанский (ок. 1170 – ок. 1250). Он стал известен, когда опубликовал свой труд Liber abaci. В этом труде он как раз и привел ту самую последовательность чисел, которые образуют линию цифр, каждая из которых является суммой двух предыдущих чисел.

Г.: А что это за последовательность?

В.: Этот числовой ряд теперь называется рядом Фибоначчи и представлен следующими цифрами 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10 946, 17 711… Можно легко заметить, что каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. И этот ряд, как ты можешь догадаться, бесконечен (рис. 5).

Рис. 5. Этот загадочный ряд Фибоначчи

Г.: Я сложил. Да, действительно, это так. Но почему Фибоначчи? Ведь этого математика звали Леонардо Пизанский.

В.: Этот псевдоним ему присвоили гораздо позже, очевидно, в XVIII веке, – так же, как и его числу 1,618 было дано имя «Божественная пропорция», а затем стали называть «Золотая пропорция», или «Золотое сечение».

Г.: Так что же такого особенного в этом числе?

В.: А вот что. Каждое число из ряда Фибоначчи, разделенное на предыдущее, имеет значение, стремящееся к уникальному показателю, которое составляет 1,618.

Г.: Что-то у меня не получается. Если разделить 3 на 2 получается 1,5.

В.: Дело в том, что это число становится все более точным при последующих – бо́льших – значениях этого ряда.

Г.: Да, верно! Если разделить 17711 на 10946, получается 1,6180339850173 (если округлить, будет, конечно, 1,618). Я помню, что вы назвали это число иррациональным. Интересно, а как синьор Леонардо додумался до всех этих закономерностей?

В.: С помощью кроликов.

Г.: Кроликов? Он, что, экспериментировал с кроликами?

В.: Ну не с живыми, конечно. Это был модельный эксперимент, чисто математический. Кролики ведь очень быстро размножаются. Каждые 5–6 месяцев крольчиха может приносить приплод. Вот он и сформулировал определенную задачу, по которой у первой пары кроликов рождается один кролик, крохотный, конечно (это цифра 3). Через полгода подросший кролик тоже может вступить в этот фермерско-математический эксперимент и принять участие в формировании заданного ряда чисел (это будет 5). Затем у этих пяти кроликов приплод будет 3, и будет уже 8 кроликов, и т. д. [7]. Синьор Леонардо несколько упростил задачу и слегка ее идеализировал. Он предположил, что пара кроликов может приносить одного малыша, в то время как в реальной жизни одна крольчиха за один помет может принести 6–12 крольчат (рис. 6).

Рис. 6. Первые три кролика из ряда Фибоначчи

Г.: Но, возможно, в то время (все-таки 800 лет – срок немалый!) кролики были не столь плодовиты, а последующая селекция значительно повысила их плодовитость.

В.: Возможно, ты прав, Горацио. В любом случае это был математический эксперимент, и он дал, как видишь, очень плодотворные результаты.

Г.: Похоже, синьор Леонардо Пизанский был выдающимся математиком.

В.: Конечно. Но это еще далеко не все. В этом ряду чисел сразу бросается в глаза еще одна закономерность. Сумма двух соседних чисел дает следующее число этого ряда.

Г.: Как это понять?

В.: Возьмем для примера цифры из этого же ряда. Например, 4181 + 6765 = 10 946.

Г.: Это действительно какой-то особенный ряд!

В.: Шли века, и целая плеяда математиков, философов, художников и даже биологов открывала все новые и новые чудесные свойства как самого ряда Фибоначчи, так и его уникального золотого сечения. С 1963 года ежеквартально выходит журнал The Fibonacci Quarterly, где публикуются все самые последние изыскания в области этого удивительного ряда чисел.

Г.: Интересно, какое все-таки отношение эти числа имеют к биологии, если не считать, конечно, виртуального опыта с кроликами?

В.: Об этом чуть-чуть попозже. Но это еще не все. Помнишь, мы с тобой уже экспериментировали с делением отрезка на две части?

Г.: Конечно.

В.: Как ты теперь, очевидно, догадываешься, я взял готовые цифры из ряда Фибоначчи. И только поэтому все сошлось очень хорошо. Мы получили искомое число – 1,618. Интересная особенность этого ряда состоит еще и в том, что соотношение двух величин, например, когда бо́льшая величина относится к меньшей, равно сумме этих двух величин к бо́льшей, которые дают все ту же неизменную цифру 1,618. Эту закономерность можно представить в виде более общей следующей формулы:

A/B = (A + B)/A, где A – бо́льшая величина, а B – меньшая [6].

Г.: А можно показать это на конкретном примере?

В.: Хорошо. Возьмем все те же цифры, с которыми ты упражнялся: 144 и 89. Подставляем их в эту формулу: 144/89 = (144 + 89)/144 и получаем все то же значение – 1,618.