Псевдогиперболоид 2-го порядка – универсальная платформа управления волнами

Введение

Представьте себе обычный объектив фотоаппарата или мощный телескоп. Их история насчитывает столетия, и человечество давно привыкло к тому, что именно выпуклые поверхности помогают собирать свет в нужную точку, будь то наблюдение за звездами или создание великолепных снимков.

Но есть ли предел совершенствованию этих привычных инструментов?

Уже долгое время считалось само собой разумеющимся, что положительные искривления поверхности – это своего рода стандарт, проверенный временем. Вы наверняка видели подобное на примере выпуклой линзы или телескопа. Тогда как нулевое искривление, такое как обычная плоскость, кажется простым и понятным.

Но отрицательные искривления воспринимаются совсем иначе. Часто ассоциируясь лишь с миром теоретической математики, такие поверхности казались экзотичными и малопригодными для реального применения.

Тем не менее, настоящая революция начинается тогда, когда мы осознаем всю глубину потенциала отрицательной кривизны. Оказывается, эта сфера далеко не ограничивается абстракциями теоретической математики.

Псевдориперболоид 2-го порядка является одной из уникальных псевдоповерхностей с переменной отрицательной кривизной.

Реализация псевдоповерхностей различных порядков, таких как псевдогиперболоиды, открывает абсолютно новые горизонты управления волнами, будь то электромагнитные колебания или звуковые частоты.

Книга знакомит с новым взглядом на возможности псевдогиперболоида 2-го порядка, как одного из множества существующих псевдоповерхностей переменной отрицательной кривизны и показывает, каким образом он может революционизировать самые разные технологии.

1. О поверхностях с переменной отрицательной кривизной

Поверхности с переменной отрицательной кривизной представляют собой особый класс геометрических объектов, обладающий рядом уникальных физических свойств, которые открывают совершенно новые возможности в различных научных дисциплинах и технических приложениях. Прежде всего, стоит отметить характерные признаки таких поверхностей:

– Форма поверхности. Любая точка внутри поверхности имеет различную отрицательную кривизну.

– Применение. Благодаря своей структуре, поверхности с отрицательной кривизной проявляют замечательные свойства в обработке и контроле волн разной природы (свет, звук, электромагнитные поля).

Поверхностей с переменной отрицательной кривизной классифицируются по способам построения

Основой псевдоповерхностей переменной отрицательной кривизной являются псевдоповерхности второго порядка.

Псевдоповерхности второго порядка имеют общие принципы построения. Все поверхности строятся по единой схеме. Берется базовый профиль (например, парабола, гипербола, эллипс). Он зеркально копируется и может раздвигаться на некоторое расстояние по оси фокусов. Полученная фигура вращается вокруг новой оси, параллельной оси фокусов и смещенной на R. Таким образом формируются псевдоповерхности второго порядка. Визуально они представляют собой две перевёрнутые воронки, соединённые основаниями, или имеют небольшой зазор. Имеют переменную отрицательную кривизну стенок.

Классификация псевдоповерхностей основана на особенностях их образующих:

– Псевдосферы второго порядка – образующая – сегменты окружности.

– Псевдопарболоиды второго порядка – образующая – параболические сегменты.

– Псевдогиперболоиды второго порядка – образующая – сегмент гиперболы.

– Псевдоэллипсоиды второго порядка – образующая – эллиптические сегменты.

Каждый тип псевдоповерхности имеет свою собственную структуру и набор особенностей, влияющих на физическую динамику взаимодействия с волнами.

Начнём рассматривать псевдоповерхности с псевдогиперболоида второго порядка

2. Псевдогиперболоид 2-го порядка – универсальная платформа управления волнами в диапазоне от инфразвука до света

Предлагается принципиально новая поверхность второго порядка, не имеющая аналогов в научных источниках с интересными геометрическими свойствами, которые позволяют создать более мощные и компактные источники и детекторы направленного электромагнитного излучения в диапазоне частот от СВЧ и до оптического.

Псевдогиперболоид можно отнести к поверхностям второго порядка, которые описываются уравнениями второй степени и обладают особыми геометрическими свойствами, такими как наличие точек фокусировки и симметрии.

Из геометрии известно:

1. Гиперболоид – это поверхность, образуемая вращением гиперболы вокруг одной из ее осей, см. рис. № 1.

Рис. № 1. Гиперболоид.

2. Псевдосфера – это поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты, см. рис. № 2.

Рис. № 2. Псевдосфера.

“Объединим” две поверхности и получим новую поверхность вращения – псевдогиперболоид, см. рис. № 3.

Рис. № 3. Псевдогиперболоид.

Псевдогиперболоидом можно назвать разомкнутую объёмную полость с переменной отрицательной кривизной, которая образована вращением разомкнутой трактрисы в виде двух усеченных симметричных гипербол относительно оси симметрии.

Рассмотрим разомкнутую трактриса в виде двух усеченных симметричных гипербол, описываемых уравнением:

\frac{y^2}{1}-\frac{x^2}{1} =1

где a = b = 1.

При осевом вращении разомкнутой трактриссы относительно оси симметрии гипербол, получается поверхность вращения с вогнутыми стенками (отрицательная кривизна), потенциально способная фокусировать и направлять волновую энергию.

Рис. № 4. Разомкнутая трактриса в виде двух усеченных симметричных гипербол.

Ход лучей внутри песвогиперболлоида

В соответствии с законами геометрической оптики, волна, падающая на вогнутую криволинейную поверхность (с отрицательной кривизной), будет отражаться в направлении фокуса. В предложенной конструкции форма поверхности заставляет многократно отражающиеся волны огибать ось фокусов, всё больше концентрируясь в плотно локализованный осевой фокусный фронт распространения.

Внутри псевдогиперболоида присутствуют одновременно два типа лучевых распространений:

Лучи, направленные в фокусы

В идеальных условиях, согласно фокальному свойству гиперболы – луч, направленный на один из фокусов (F2), отражается на второй фокус (F1). Если продолжить этот луч дальше, то можно заметить, что он последовательно направляется к обоим фокусам. И в пределе, когда ветви гиперболы становятся прямыми (по оси фокусов F1-F2) – попадает в ловушку. Произойдет концентрация лучей по оси фокусов гиперболы F1-F2 в идеальных условиях.

Рис. № 5. Распространение лучей, направленных в фокус псевдогиперболоида.

Лучи, проходящие в направлении, отличном от прямого попадания в фокус

Если луч входит с некоторым углом к оси резонатора (оси фокусов), но не попадает непосредственно в фокус или не направлен точно на него, он все равно будет отражаться от вогнутых стенок. При этом возможны два сценария:

а) Периодическая фокусировка

В отличие от сферических или параболических зеркал, где не все лучи собираются строго в один фокус, для гиперболической поверхности фокальные свойства более устойчивые. Даже если луч не направлен в точности на фокус, после первого отражения – он может быть направлен в сторону второго фокуса и с каждым проходом концентрироваться также всё ближе к диаметральной оси фокусов. Часть боковых лучей может после нескольких касаний стенок отразиться за пределы псевдогиперболоида.

Рис. № 6. Распространение лучей, направленных с небольшим отклонением в фокус

б) Спиралевидное/гелиоидное сближение с осевой областью

Вне граничных лучей, попадающие на стенки под углом, в большинстве случаев будут многократно отражаться, “обтекая” ось резонатора спиралью. Это распространено во многих волноводных или резонаторных системах. Отражения постепенно приближают траекторию луча к центральной оси, из-за формы вогнутых стенок.

Таким образом получается, что даже если начально луч не направлен прямо на фокус, многократные отражения будут стремиться «втянуть» его в центральную продольно-пропускающую зону. При определённых условиях (параметры усечения, длина волны, угол входа) сосредоточиваются в цилиндрической оси фокусов.

Поскольку форма псевдогиперболоида действует как своеобразная "геометрическая линза", лучи, входящие под различными углами, в большинстве случаев перераспределяются внутрь вдоль оси фокусов. За счёт оболочечной формы и отрицательной кривизны, траектории этих лучей не расходятся наружу, как, например, в плоских или выпуклых отражателях, а направляются внутрь, где могут войти в зону устойчивой продольной передачи.

Механизм можно сравнить с оптической воронкой – структура, втягивающая световые лучи к своей оси. Только в данном случае фокус существует не как точка, а как цилиндрическая область, к которой стремятся лучи.

На длинах волн, сопоставимых с размерами полости, появляется интерференционная картина с устойчивыми модами (стоячими волнами) вдоль оси. Даже внефокусные фронты, входящие на стенку, будут участвовать в формировании мод, которые сконцентрированы вдоль фокусной оси.

Основные свойства псевдогиперболоида

1. Новая геометрическая поверхность второго порядка, разомкнутая, с переменной отрицательной кривизной.

2. Внутренние стенки создают фокусирующий эффект вдоль цилиндрической фокальной оси.

Возможные направления применения:

Антенны и излучатели нового типа.

Детекторы и приёмники нового типа.

Вывод

Псевдогиперболоид обладает уникальным свойством фокусирующей и направляющей ловушки: он не «выбрасывает» энергию в разные стороны, как это происходит в обычных формах, а наоборот – стремится собрать любое излучение, попавшее внутрь, в узкий цилиндрический пучок фокусов.