Приключения Майкла и Константина

Но за пределами всего этого стоит недостижимый кардинал. Его невозможно достичь никакими преобразованиями снизу. Концептуальный скачок от ничего до первой бесконечности – то же самое, что скачок от первой бесконечности до недостижимого кардинала.

∞n, < недостижимость (inaccessible) где n – любая мыслимая мощность бесконечности.

Существует такое множество, величину которого нельзя описать принятым ранее математическим языком. Такое множество называют неописуемой недостижимостью (Indescribable Inaccessible). Такую недостижимость мы даже не можем выразить, используя значок "∞", как мы сделали это с обычной недостижимостью, ведь согласно определению – это невозможно. Математики лишь утверждают, что:

Недостижимость < Неописуемая недостижимость.

И всё изложенное выше содержится лишь в среднем нарративе бесконечно малой частицы. В одном из таких средних нарративов содержится также алеф-бесконечность пространственных измерений, недостижимый кардинал измерений и т.д. В общем, там находится всё, что было написано ранее в виде измерений.

В математике есть и другие придуманные аксиомы, которые создают ещё большие недостижимости. Вот их неполный перечень, расставленный в порядке возрастания:

недостижимость (INACCESSIBLE)

гипер-недостижимость (HYPER-INACCESSIBLE)

n-гипер-недостижимость (N-HYPER-INACCESSIBLE)

слабо компактная недостижимость (WEAKLY COMPACT INACCESSIBLE)

неописуемая недостижимость (INDESCRIBABLE INACCESSIBLE)

несворачиваемая недостижимость (UNFOLDABLE INACCESSIBLE)

итерируемая недостижимость (INEFFABLE INACCESSIBLE)

рамсеевкая недостижимость (RAMSEY INACCESSIBLE)

измеримая недостижимость (MEASURABLE INACCESSIBLE)

сильная недостижимость (STRONG INACCESSIBLE)

сильно компактная недостижимость (STRONGLY COMPACT INACCESSIBLE)

сверхсильная недостижимость (SUPERSTRONG INACCESSIBLE)

сверхкомпактная недостижимость (SUPERCOMPACT INACCESSIBLE)

расширяемая недостижимость (EXTENDIBLE INACCESSIBLE)

n-сверхсильная недостижимость (N-SUPERSTRONG INACCESSIBLE)

почти гигантская недостижимость (ALMOST HUGE INACCESSIBLE)

гигантская недостижимость (HUGE INACCESSIBLE)

сверхгигантская недостижимость (SUPERHUGE INACCESSIBLE)

n-гигантская недостижимость (N-HUGE INACCESSIBLE)

разрядовая недостижимость (RANK-INTO-RANK INACCESSIBLE)

Но давайте не забегать вперёд.

Махло кардинал – это кардинал, для которого множество всех возможных регулярных кардиналов меньших него стационарно. Разберём детальнее, что это значит. Для каждой последовательности регулярных кардиналов можно определить предельный кардинал, который так же будет предельным ординалом:

ℵ0, ℵ1, ℵ2, ℵ3, …, ℵω

I, ℵI+1, ℵI+2, ℵI+3, …, ℵI+ω

I2, ℵI2+1, ℵI2+2, ℵI2+3, …, ℵI2+ω

I, I2, I3, I4, …, Iω

I(2,0), I(2,1), I(2,2), I(2,3), …, I(2,ω)

I(1,0), I(2,0), I(3,0), I(4,0), …, ψI(ω,0)(0)

I(1,0), I(1,0,0), I(1,0,0,0), I(1,0,0,0,0), …, ψI(1ω)(0)

Тогда Махло кардинал, будет таким, который будет больше любого такого предельного кардинала, так чтобы множество регулярных кардиналов было для него стационарным. То есть Махло кардинал является пределом для всех регулярных ординалов меньше него, но и для их клубного сомножества предельных ординалов Махло кардинал тоже будет пределом, являясь бо́льшим по отношению к каждому члену этого клуба. Из этого следует, что по своим свойствам Махло кардинал так же должен быть регулярным, то есть соответствовать требованию: cf(М) = М (здесь и далее, будем обозначать Махло кардинал и соответствующий ему минимальный ординал большой буквой М). Регулярность Махло кардинала доказывается от обратного, вкратце, если бы он не был регулярным, то должен был бы существовать меньший по величине регулярный ординал, с помощью которого его можно было бы образовать, и тогда он являлся бы частью клуба предельных кардиналов, но как мы помним по определению он является для всех них пределом, значит не входит в их множество, и следовательно больше их. Ну а раз Махло кардинал является регулярным и при этом он предел, значит он так же предельный, тогда получается что по своим свойствам он ещё и недостижимый (которые по определению регулярные и предельные одновременно). Тем не менее, он будет больше любого ранее определённого нами недостижимого кардинала или гипер-недостижимого кардинала с любой мыслимой степенью недостижимости (потому что они всегда регулярные, а значит где-то за ними есть предельный кардинал из клубного сомножества; Махло кардинал же по определению является пределом и для тех и для других). Получается что множество всех мыслимых недостижимых и гипер-недостижимых кардиналов меньших него так же стационарно для Махло кардинала, как и множество всех регулярных кардиналов меньше него. То есть уже нет никаких сомнений, что Махло кардинал будет больше любого недостижимого, которого мы способны выразить с помощью иерархии Веблена, или какой-либо иной иерархии, способной учитывать степени недостижимости. Значит он идеально подходит нам в качестве диагонализатора для ординальной коллапсирующей функции.

Махло кардинал для которого стационарно множество регулярных алеф-кардиналов (и соответственно слабонедостижимых тоже) будет называться Слабым Махло кардиналом, а Махло кардинал для которого стационарно множество регулярных бет-кардиналов (и соответственно сильнонедостижимых тоже) будет называться Сильным Махло кардиналом. Если предположить правильность континуум-гипотезы, то Слабый Махло кардинал и Сильный Махло кардинал это один и то же кардинал, однако если предположить ложность континуум-гипотезы, то так же как это было с недостижимыми: Слабый Махло кардинал < Сильный Махло кардинал, и мы так же не можем предположить насколько первый меньше второго, он может быть даже меньше континуума (ב1).

Функция Бухольца принимала в себя два аргумента: ψπ(n) – где π – это регулярный кардинал, на основе которого происходит коллапсирование, а n – это ординал, основной аргумент функции, который собственно и коллапсируется, он может быть любым, но не должен превосходить по кардинальности π. В целом функция ψπ(n), в случае |n| = π, на выходе понижала кардинальность n, но увеличивала рекурсию получившегося ординала, так что ψΩk+1(Ωk+1) = εΩk+1, и ψΩk(Ωk+α) = ωψΩk(Ωk)+α.

Здесь придём к функции Ратъена. На самом деле это не одна, а целых две функции, и кроме ψ-функции Ратъен определил еще и χ-функцию. Принципиальное отличие между ними заключается в том, что если ψ-функция возвращает любые ординалы, то χ-функция возвращает всегда только регулярные ординалы. По определению, если n < I, то χ(n) – возвращает n-ный несчетный регулярный ординал (считая с нуля). Тут важно отметить, что ω-ный регулярный ординал это ωω+1, потому что, как вы должны помнить из прошлой части, |ωω| = ℵω – регулярным не является. Следовательно, пользуясь обозначениями коллапсирующей функции, мы получим следующие преобразования: χ(0) = Ω, χ(1) = Ω2, χ(2) = Ω3, χ(ω) = Ωω+1, χ(Ω) = χ(χ(0)) = ΩΩ+1, χ(Ω) = χ(χ(1)) = ΩΩ+2, χ(ΩΩΩΩ…) = Ω(ΩΩΩ…+1) = ΩФ(1,0)+1, и т.д. В целом, принципы коллапсирования позволяют определить общее свойство χ(n) = Ωn+1, гласящее что n-ный несчётный кардинал равен кардиналу, который предшествует n-ному несчетному регулярному кардиналу. Однако работает это свойство только пока аргумент функции меньше недостижимого кардинала (n < I).

Общее свойство коллапсирования теперь стало следующим:

ψχ(k)(α) = ωΩk+β, где α = k+β – если α > k, k – предельный ординал или ноль.

ψχ(k)(α) = ωΩk+β+1, где α = k+β – если α > k, k – очередной ординал.

ψχ(k)(α) = ωΩα – если α ≤ k, k – предельный ординал или ноль.

ψχ(k)(α) = ωΩα+1 – если α ≤ k, k – очередной ординал.

Бесконечно тетрированный Махло ординал в виде бесконечной степенной башни внутри функции Ратъена, который также можно записать как ψ(εM+1), это особенный ординал, который носит имя Ординал Ратъена.

Майкл и Константин случайно наткнулись на мир, соответствующий этим математическим требованиям.

Майкл и Константин решили отдохнуть от исследований и телепортировались в другое измерение для развлечения. Их приключения начались с первого прыжка в параллельное измерение, где они обнаружили совершенно новые ландшафты и создания. В одном из измерений они оказались в мире, где все предметы обладали живым сознанием. Они познакомились с деревьями, которые могли говорить и дарить свои советы, и с реками, которые имели свои настроения и эмоции. Майкл и Константин провели много времени, изучая этот удивительный мир и узнавая о его уникальных особенностях. Казалось бы, всё отлично, но…

– Если вы одушевлённые, что тогда у вас неодушевлённое? – С интересом спросил Майкл

– Вы имеете ввиду животных? – Поинтересовалось дерево.

– “Животных”?! У вас животные и растения поменялись местами? А что насчёт людей? Вы используете их как стол? – Съязвил Майкл Браун.

– Не, у нас люди крайне многофункциональны, например, из крови мы делаем вино, а вам то это виднее, потому что я очень пьяно. Мне видятся ожившие люди – Сказало дерево решив, что оно словило белочку.

– А этот мир всё-таки криповый, если разобраться – Подметил Константин.

Майкл и Константин решили прогуляться по миру, но все предметы увидев их, резко запаниковали.

– Не с места! А то стрелять буду! – Пригрозил пистолет

– Я думаю, жалкие гномики, которые вылетают из твоего лица, желая принять наше существование близко к сердцу не остановят нас. – С нахальной улыбкой крикнул Константин в ответ.

– Мы вовсе не гномы, дылда ты паранормальная! Мозгов у тебя походу нет, раз ты так высказываешься пистолету при исполнении. А жаль, так хотелось их превратить в вкуснейшую кашицу – Высоким голоском сказала пуля, залезая в дуло пистолета.

Пистолет издал громоподобный выстрел, но сила Константина была настолько могуча, что взмахнув рукой он создал порыв ветра, вернувший пулю обратно в дуло, взорвав живой пистолет на кусочки.

– У меня есть некое подозрение что нам тут не рады, – сказал Майкл и учёные ушли отсюда.

Учёные отправились в почти самый высший нарратив бесконечно малой частицы. И в нём они нашли суперкомпактный (сверхкомпактный) кардинал.

Суперкомпактный кардинал – это концепция из теории множеств, раздела математики, который имеет дело с наборами объектов, называемых множествами. В частности, суперкомпактные кардиналы – это большие кардиналы, которые обладают определёнными свойствами, которые делают их полезными для установления результатов согласованности в рамках теории множеств и для изучения структуры теоретико-множественной вселенной.

Кардинальное число κ считается суперкомпактным, если оно обладает следующим свойством: для любого набора структур {M}, каждая из которых имеет размер меньше, чем κ, и любого унарного предиката (свойства элементов) φ, существует элементарное вложение из вселенной V в более крупную структуру N, такое, что N является структурой размера κ, φ выполняется для элемента из N тогда и только тогда, когда оно выполняется для элемента из V, а критическая точка (наименьший порядковый номер, перемещаемый вложением) меньше, чем κ.

Проще говоря, кардинальное число κ является суперкомпактным, если оно достаточно велико, чтобы любое свойство (описываемое унарным предикатом), которое справедливо для структур меньшего размера, могло быть сохранено и расширено до структуры большего размера κ.

Расширяемый кардинал – это понятие из теории множеств, в частности, из области аксиом большого кардинала. Это утверждения, утверждающие существование определенных видов больших кардинальных чисел с определенными свойствами. Концепция расширяемого кардинала относится к изучению согласованности и структуры математической вселенной, особенно в рамках теории множеств.

Кардинальное число κ считается расширяемым, если существует нетривиальное элементарное вложение j из вселенной V в транзитивную внутреннюю модель M такое, что j (κ) > κ. Здесь "нетривиальный" означает, что вложение не является тождественным отображением, а "элементарное вложение" подразумевает, что вложение сохраняет все утверждения первого порядка о множествах. Проще говоря, расширяемый кардинал κ достаточно велик, чтобы существовал способ "растянуть" универсум за пределы κ значимым образом.

Измеримый кардинал является фундаментальным понятием в теории множеств, особенно в области аксиом больших кардиналов. Эти аксиомы предполагают существование определенных типов больших кардиналов со специфическими свойствами. Измеримые кардиналы особенно важны из-за их глубокого значения для структуры и согласованности теории множеств и математики в целом.

Кардинальное число κ считается измеримым, если существует неосновной κ-полный ультрафильтр (также известный как мера) на множестве степеней κ. Проще говоря, измеримый кардинал κ достаточно велик, чтобы существовал способ определить нетривиальное понятие "размера" или "объёма" для подмножеств κ, удовлетворяющих определённым свойствам.

Но в конце концов учёные поднялись до самой вершины бесконечно малой частицы и, к их большому удивлению, они обнаружили нечто невероятное – существо, которое они назвали Богом Микроляндии. Встреча учёных Майкла и Константина с Богом Микроляндии была одним из самых удивительных и захватывающих моментов в их научной карьере. Они не видели бога, но могли общаться с ним.

Бог Микроляндии оказался существом с высоким самомнением и непомерным эго. Он утверждал, что является источником всей энергии и создателем всего мира. Он считал себя непревзойдённым и непостижимым, и не признавал никакой власти или авторитета.

– Итак, ты утверждаешь, что создал всё существующее, и нет никого выше тебя? – Подытожил Константин.

– Верно, дитя моё. Я создал всё, я создал всех вас. Вы удостоены великой чести общаться с вашим творцом. Я управляю вашими жизнями, вашим сознанием, вашей сущностью. – Отвечал спокойным божественным голосом Бог Микроляндии.

– Но чем ты являешься? Я имею ввиду, есть выражения, такие как “Бог есть любовь” и прочая ерунда…

– Ваш разум не способен воспринять моё бытие. Вы можете знать только, чем я не являюсь. Любые концепции неприменимы по отношению ко мне, ибо я стою за пределами всего. Творение не способно познать своего творца.

Майкл и Константин были поражены этим открытием. Они не только столкнулись с новым видом существа, но и столкнулись с его невероятным самомнением. Они понимали, что это открытие может иметь огромное значение для науки и философии, и решили продолжить исследование Бога Микроляндии. Учёные знали об апофатическом богословии, но не ожидали обнаружить его так скоро.

Они провели долгие часы в общении с Богом Микроляндии, задавая ему вопросы о происхождении Вселенной, физических законах и смысле жизни. Хотя Бог Микроляндии продолжал утверждать свою непостижимость, он также начал задумываться о своей роли во Вселенной и о возможности существования других существ, равных ему.

В результате этой встречи, Майкл и Константин расширили свои знания о фундаментальных законах природы и философии, а также получили новые перспективы на исследование Вселенной. Они продолжали свою научную работу, используя полученные знания и опыт, чтобы продвигаться вперёд и открывать новые горизонты в науке.