Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера

С использованием симметричных простых чисел, может быть и решена тернарная проблема Гольдбаха, сформулированная им в 1742 году. Его предположение, что всякое нечетное число, большее 5 можно представить в виде суммы трех простых, решается следующим способом.

7.1. Представление нечетных чисел в виде суммы трех простых чисел.

Представим нечетное число в виде

nch=2n+1. (7.1)

Тогда, используя результаты, полученные в разделе 5, можно записать следующее представление

2n=p1+p'2, (7.2)

где p1, p'2 – симметричная пара простых чисел.

Подставив (7.2) в (7.1) получим

nch= p1+p'2+1. (7.3)

Очевидно, что p'2+1 является четным числом и, следовательно, к нему также можно применить разложение в виде суммы двух чисел, т.е.

p'2 + 1= p2 + p3, (7.4)

где p2, p3 – симметричная пара простых чисел.

Далее подставляя (7.2), (7.3) и (7.4) в (7.5) окончательно получаем

nch= p1+ p2+p3, (7.5)

где p1, p2, p3 – числа симметричных пар.

Таким образом, сформулируем

Теорему 7: Любое нечетное число представимо в виде суммы трех простых чисел.

Доказательство приведено выше.

Исходя из свойств нечетных чисел и доказанных выше утверждений и теорем, можно утверждать, что нечетное составное число невозможно по природе представить в виде суммы двух простых чисел.

Возможно ли представление нечетного числа в виде суммы трех простых чисел.

7.2. Представление нечетных чисел в виде суммы двух других чисел.

Рассмотрим выражение нечетного числа (7.1).

Разделим его на 2 и получим

nch/2=n+½. (7.6)

Очевидно, что число (7.6) на числовой оси ряда действительных чисел находится точно в середине отрезка [n, n+1], такого, что сумма чисел, находящихся на концах отрезка будет равна нечетному числу nch.

Тогда, если обозначить число n как a1, а число n+1 как b1, то их сумма будет равна a1+ b1=2n+1.

В этом случае число n можно принять ближайшим левым числом к центру симметрии, а число n+1 является ближайшим правым числом симметрии.

Двигаясь от центра симметрии можно получить множество симметричных пар, ai и bi, таких, что ai + bi=2n+1, где i = 1,2,3… n. Очевидно, что числа симметричных пар ai и bi имеют разную четность.

8. Алгоритм представления четных чисел в виде двух простых чисел.

При заданном четном числе алгоритм представления его в виде суммы двух простых чисел будет следующим.

8.1. Разделим четное число ch на два и получим новое число n.

8.2. По таблице симметричных пар простых чисел находим место нахождения числа n.

8.3. Двигаясь по горизонтальной строке влево до крайнего левого столбца находим значение первого простого числа p1.

8.4. Двигаясь по вертикальному столбцу вверх до крайней верхней строки находим значение второго простого числа p2.

8.5. Записываем 1-ое представление четного числа в виде суммы двух простых чисел следующим образом:

ch= p1+ p2.

8.6. По таблице симметричных пар простых чисел находим следующее местонахождение числа n и переходим к п. 8.3. Если такого элемента не находим, то переходим к п. 8.7.

8.7. Переписываем все полученные представления четного числа в виде суммы двух простых чисел.

9. Представление простых чисел

Результаты предыдущей главы позволяют исследовать задачу представления простых чисел в виде суммы нескольких других простых чисел.

9.1. Представление простых чисел в виде суммы трех простых чисел.

Действительно, в разделе 8 было показано, что любое нечетное число представимо в виде суммы трех простых чисел. Следовательно, и любое простое число также представимо в виде суммы трех простых чисел, так как множество простых чисел одновременно является и подмножеством нечетных чисел.

Пусть нечетное число является простым

Тогда, согласно теореме 7 разложение простого числа p запишем

p = p1 + p2 + p3, (9.1)

где p1, p2, p3 – простые числа.

Не сложно показать, что

p> = p1 > p2 > p3, (9.2)

Следует заметить, что представление простого числа p в виде суммы трех простых чисел p1, p2, p3 является не единственным.

Рассмотрим далее следующие три суммы p1+ p2, p1+ p3, p2+ p3, из которых можно записать три интересных выражения

p1+ p2 = 2n1;

p1+ p3 = 2n2; (9.3)

p2+ p3 = 2n3.

Не трудно видеть, что суммы правых и левых частей выражения (9.3) равны, т.е.

p = p1+ p2+ p3= n1+ n2 +n3. (9.4)

Числа n1, n2, n3 обладают следующими интересными свойствами.

1) Числа n1, n2, n3 являются центрами симметрии:

n1 – для p1+ p2;

n2 – для p1+ p3; (9.5)

n3 – для p2+ p3.

2) Из чисел n1, n2, n3 может быть такое сочетание, что все они нечетные, либо два четных, а одно нечетное.

3) Выполняется следующее равенство

(p1 – n1) + (p2 – n2) + (p3 – n3) = 0. (9.6)

Из равенства (9.6) вытекает следующее неравенство

n1> n2 >n3. (9.7)

Действительно из неравенства (9.2) p1 > p2 > p3 можно записать p1 > p2, p1 > p3; p2>p3. Отсюда следует, что p1 + p2> p1+ p3, а это значит с учетом (9.2) и n1 >n2. Аналогично имеем p1 + p3 > p2 + p3, что означает с учетом (9.2) n2 > n3, доказывающее неравенство (9.7).

9.2. Слабая гипотеза Гольдбаха.

Полученные выше результаты позволяют записать следующую теорему.

Теорема 8. Любое простое число больше семи представимо в виде суммы трех простых чисел.

Доказательство теоремы очевидно из рассуждений раздела 6.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Иэн Стюарт. Территория простых чисел. Проблема Гольдбаха // Величайшие математические задачи. – М.: «Альпина нон-фикшн», 2016. – 460 с. – ISBN 978-5-91671-507-1.

2. П.Л. Чебышев. О простых числах. – Санкт-Петербург, 1850, с. 33

3. A. M. Legendгe. Essai sur la theorie de Nombres, 2nd edition.– Paris, 1808, p. 394.

4. Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 125—129 Архивная копия от 1 июля 2019 на Wayback Machine