Уникальная формула и алгоритм в квантовых вычислениях. Открытие новой парадигмы

Мною разработана уникальная формула $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ описывает операцию, которая изменяет состояние системы кубитов в зависимости от данного вектора $\boldsymbol {\theta} $ и исходных входных данных $\boldsymbol {x} $. Она состоит из трех основных элементов: оператора Адамара $H^ {n} $, операции сложения по модулю 2 и повторного применения оператора Адамара.

Определение переменных:

– $\boldsymbol {x} $ – входные данные

– $\boldsymbol {\theta} $ – набор параметров для вращения кубитов

– $\boldsymbol {p} $ – заданный набор параметров для вращения кубитов

– $n$ – количество кубитов в системе

Оператор Адамара $H^ {n} $ применяется ко всем кубитам в системе. Он записывается как сумма последовательностей битовых строк и приводит каждый кубит в состояние $\frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) $.

Операция сложения по модулю 2 $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$ выполняется побитово для каждого бита входного вектора $\boldsymbol {x} $ и соответствующего ему бита вектора $\boldsymbol {p} $. Результат этой операции используется для изменения состояния каждого кубита в системе.

Затем оператор Адамара $H^ {n} $ применяется повторно для системы кубитов, что возвращает каждый кубит в изначальное состояние, где вероятности нахождения в каждом из двух базисных состояний равны $1/2$.

Формула $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ обладает уникальными свойствами и может быть использована в различных квантовых алгоритмах для обработки данных и решения определенных задач, таких как поиск, факторизация чисел и многие другие.

Краткое описание формулы

Формула $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ описывает операцию, которая изменяет состояние системы кубитов в зависимости от входных данных $\boldsymbol {x} $ и набора параметров $\boldsymbol {\theta} $. Она состоит из трех основных компонентов: оператора Адамара $H^ {n} $, операции сложения по модулю 2 и повторного применения оператора Адамара.

Оператор Адамара $H^ {n} $ применяется ко всем кубитам в системе и приводит каждый кубит в равновероятное суперпозиционное состояние $\frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) $. Таким образом, каждый кубит занимает два возможных состояния с равной вероятностью.

Операция сложения по модулю 2 $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$ выполняется побитово для каждого бита входного вектора $\boldsymbol {x} $ и соответствующего ему бита вектора $\boldsymbol {p} $. Результат этой операции применяется для изменения состояния каждого кубита в системе.

Затем оператор Адамара $H^ {n} $ применяется повторно для системы кубитов, возвращая каждый кубит в изначальное состояние. Таким образом, каждый кубит в системе имеет вероятности нахождения в каждом из двух базисных состояний, равные $1/2$.

Формула $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $, благодаря сочетанию оператора Адамара и операции сложения по модулю 2, обладает уникальными свойствами и позволяет эффективно обрабатывать данные и решать различные задачи в квантовых алгоритмах.

Уникальные свойства формулы

Уникальные свойства формулы $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $

Формула $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ обладает рядом уникальных свойств, которые делают её значимой и полезной в квантовой информатике. Некоторые из этих свойств включают:

1. Эффективность: Формула $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ сочетает в себе оператор Адамара, который может быть эффективно применен ко всем кубитам в системе, и операцию сложения по модулю 2, которая выполняется побитово. Это позволяет достичь эффективного изменения состояния системы кубитов и обработки входных данных.

2. Универсальность: Формула $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ может быть применена в различных квантовых алгоритмах и задачах. Она может быть использована для обработки данных, решения оптимизационных задач, поиска, факторизации чисел и других задач.

3. Уникальность: Формула $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ представляет собой комбинацию оператора Адамара и операции сложения по модулю 2, что делает её уникальной и отличающейся от других формул в квантовой информатике. Это создает новые возможности и перспективы в разработке квантовых алгоритмов.

4. Применимость в реальных системах: Формула $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ может быть реализована на реальных квантовых системах, таких как квантовые компьютеры. Её применение не ограничивается только теоретическими выкладками, что делает её важным инструментом для решения реальных задач.

Эти уникальные свойства формулы $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ предоставляют возможности для разработки эффективных квантовых алгоритмов и решения сложных задач.

Определение переменных в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $

В формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ используются следующие переменные:

1. $\boldsymbol {x} $ – входные данные:

– $\boldsymbol {x} $ представляет собой вектор, содержащий набор битовых значений.

– Каждый бит вектора $\boldsymbol {x} $ соответствует состоянию одного кубита в системе.

– Набор входных данных $\boldsymbol {x} $ может быть использован для итеративного выполнения формулы и обработки данных в квантовом алгоритме.

2. $\boldsymbol {\theta} $ – набор параметров для вращения кубитов:

– $\boldsymbol {\theta} $ также представляет собой вектор, содержащий набор параметров.

– Каждый параметр $\theta_i$ вектора $\boldsymbol {\theta} $ определяет угол вращения соответствующего кубита в системе.

– Эти параметры могут регулировать влияние каждого кубита на результат формулы $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ и позволять тонкую настройку квантового состояния системы.

3. $\boldsymbol {p} $ – заданный набор параметров для вращения кубитов:

– $\boldsymbol {p} $ представляет собой также вектор, содержащий заданный набор параметров.

– Как и вектор $\boldsymbol {\theta} $, каждый параметр $p_i$ вектора $\boldsymbol {p} $ определяет угол вращения соответствующего кубита в системе.

– Этот заданный набор параметров $\boldsymbol {p} $ используется в операции сложения по модулю 2 $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$.

4. $n$ – количество кубитов в системе:

– $n$ представляет собой число кубитов, на которых применяется формула $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $.

– Количество кубитов влияет на размерность входных данных $\boldsymbol {x} $, наборов параметров $\boldsymbol {\theta} $ и $\boldsymbol {p} $, а также на размерность состояния системы кубитов.

Определенные выше переменные $\boldsymbol {x} $, $\boldsymbol {\theta} $, $\boldsymbol {p} $ и $n$ играют важную роль в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $, определяя входные данные, параметры вращения кубитов и размерность системы кубитов.

Определение переменной $\boldsymbol {x} $

Определение переменной $\boldsymbol {x} $ в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $:

В формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $, переменная $\boldsymbol {x} $ представляет собой входные данные для операции. Она представляет собой вектор, содержащий набор битовых значений, где каждый бит соответствует состоянию одного кубита в системе.

Подобно классической битовой последовательности, элементы вектора $\boldsymbol {x} $ могут принимать значения 0 или 1. Величина и размер вектора $\boldsymbol {x} $ зависят от конкретного применения формулы и количества кубитов в системе.

Набор входных данных $\boldsymbol {x} $ является необходимым элементом формулы $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $, поскольку он определяет состояние исходных кубитов перед применением оператора Адамара и операции сложения по модулю 2.

Входные данные $\boldsymbol {x} $ могут быть представлены в виде двоичной последовательности или битовой строки, где каждый бит соответствует состоянию одного кубита в системе.

Пример:

Если у нас есть система из 3 кубитов, то вектор $\boldsymbol {x} $ будет иметь размер $n = 3$ и может быть представлен, например, следующей битовой строкой: $\boldsymbol {x} = 011$. Здесь первый бит равен 0, второй бит равен 1, а третий бит равен 1. Это означает, что первый кубит в системе находится в состоянии $|0\rangle$, второй и третий кубиты находятся в состоянии $|1\rangle$.

Использование переменной $\boldsymbol {x} $ в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ влияет на изменение состояния кубитов и результат операции. Результат формулы будет зависеть от конкретных значений и комбинации битов в векторе $\boldsymbol {x} $.

Определение переменной $\boldsymbol {\theta} $

Определение переменной $\boldsymbol {\theta} $ в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $:

В формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $, переменная $\boldsymbol {\theta} $ представляет собой набор параметров для вращения кубитов в системе. Она также представляет собой вектор, содержащий набор углов $\theta_i$, где каждый угол соответствует вращению соответствующего кубита.

Число и размер углов вектора $\boldsymbol {\theta} $ зависит от конкретного применения и количества кубитов в системе. Каждый угол определяет угол вращения для соответствующего кубита в системе. Углы могут быть представлены в радианах или других удобных единицах измерения.

Набор параметров $\boldsymbol {\theta} $ используется для управления вращением кубитов в системе. Как каждый кубит в системе вращается в соответствии с соответствующим углом $\theta_i$ из вектора $\boldsymbol {\theta} $, это оказывает влияние на состояние каждого кубита и, следовательно, на общий результат операции формулы $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $.

Пример:

Предположим, у нас есть система из 2 кубитов. Тогда вектор $\boldsymbol {\theta} $ может иметь размер $n = 2$ и содержать углы вращения для каждого кубита: $\boldsymbol {\theta} = (\theta_1, \theta_2) $.

Например, $\boldsymbol {\theta} = \left (\frac {\pi} {2}, \frac {\pi} {4} \right) $. Здесь первый кубит поворачивается на угол $\frac {\pi} {2} $, а второй кубит поворачивается на угол $\frac {\pi} {4} $. Эти углы определяют вращение каждого кубита и влияют на итоговое состояние кубитов после применения формулы.

Параметры $\boldsymbol {\theta} $ в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ позволяют управлять поведением системы кубитов и настраивать их состояния в соответствии с конкретными потребностями и задачами. Значения и комбинации параметров $\boldsymbol {\theta} $ будут влиять на финальный результат операции формулы.

Определение переменной $\boldsymbol {p} $

Определение переменной $\boldsymbol {p} $ в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $:

В формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $, переменная $\boldsymbol {p} $ представляет собой заданный набор параметров для вращения кубитов в системе. Она также представляет собой вектор, содержащий набор углов $p_i$, где каждый угол соответствует вращению соответствующего кубита.

Число и размер углов вектора $\boldsymbol {p} $ зависит от конкретного применения и количества кубитов в системе. Каждый угол определяет угол вращения для соответствующего кубита в системе. Углы могут быть представлены в радианах или других удобных единицах измерения.

Набор параметров $\boldsymbol {p} $ является фиксированным и предварительно заданным. В отличие от переменной $\boldsymbol {\theta} $, которая является настраиваемым набором параметров, $\boldsymbol {p} $ задает конкретные углы поворота для каждого кубита в системе.

Операция сложения по модулю 2 $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$ выполняется побитово между входным вектором $\boldsymbol {x} $ и вектором $\boldsymbol {p} $. Результат этой операции используется для изменения состояния каждого кубита в системе посредством вращения соответствующего кубита на определенный угол, определенный вектором $\boldsymbol {p} $.

Пример:

Предположим, у нас есть система из 3 кубитов. Тогда вектор $\boldsymbol {p} $ может иметь размер $n = 3$ и содержать углы вращения для каждого кубита: $\boldsymbol {p} = (p_1, p_2, p_3) $.

Например, $\boldsymbol {p} = \left (\frac {\pi} {4}, \frac {\pi} {3}, \frac {\pi} {2} \right) $. Здесь первый кубит поворачивается на угол $\frac {\pi} {4} $, второй кубит поворачивается на угол $\frac {\pi} {3} $, а третий кубит поворачивается на угол $\frac {\pi} {2} $. Эти углы влияют на изменение состояния кубитов после применения операции сложения по модулю 2.

Переменная $\boldsymbol {p} $ в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ задает набор фиксированных параметров для вращения кубитов и влияет на изменение их состояний в процессе выполнения операции. Значения и комбинации параметров $\boldsymbol {p} $ могут быть использованы для достижения определенной функциональности или решения конкретных задач.

Определение переменной $n$

Определение переменной $n$ в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $:

В формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $, переменная $n$ представляет собой количество кубитов в системе. Она определяет размерность и масштаб системы, на которую применяется операция.

Количество кубитов $n$ является целым числом и указывает на общее количество кубитов, на которых применяется формула $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $. Данное значение может различаться в разных квантовых системах, а его выбор зависит от требуемой конфигурации и функциональности квантовой системы.

Переменная $n$ оказывает влияние на различные аспекты формулы $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $, включая размерность входных данных $\boldsymbol {x} $, размерность наборов параметров $\boldsymbol {\theta} $ и $\boldsymbol {p} $, а также на размерность состояния системы кубитов.

Пример:

Если у нас есть система из 4 кубитов, то переменная $n$ будет равна 4. Это означает, что формула $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ будет применяться к системе из 4 кубитов, и каждый кубит будет иметь свое состояние и вклад в общий результат.

Переменная $n$ в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ определяет размер и характеристики системы кубитов, на которую применяется операция. Вводя переменную $n$, мы имеем возможность адаптировать формулу к разным системам с разными количествами кубитов и реализовывать различные квантовые алгоритмы и задачи.

Определение оператора Адамара ($H^ {n} $) в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $:

Оператор Адамара $H^ {n} $ является одним из основных операторов в квантовой информатике и применяется к системе из $n$ кубитов. Он приводит каждый кубит в равновероятное суперпозиционное состояние.

Определение оператора Адамара для системы из $n$ кубитов:

$$H^ {n} = \frac {1} {\sqrt {2^ {n}}} \sum_ {\boldsymbol {y}} (-1) ^ {\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y}} |\boldsymbol {y} \rangle,$$

где:

– $\boldsymbol {y} $ – битовые строки длины $n$

– $\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y} $ – скалярное произведение битовых строк $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {y} $

– $|\boldsymbol {y} \rangle$ – состояние кубитов, соответствующее битовой строке $\boldsymbol {y} $

Оператор Адамара применяется ко всем кубитам в системе и выполняет следующие действия:

– Каждый кубит переходит в состояние $\frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) $

– Входные данные $\boldsymbol {x} $ используются в операции сложения по модулю 2, чтобы определить, будет ли на кубите выполняться операция инверсии (смены знака)

Оператор Адамара $H^ {n} $ является важной частью формулы $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $. Он создает начальное состояние системы кубитов и подготавливает их для последующих операций в формуле.

Оператор Адамара $H^ {n} $ для системы из $n$ кубитов

Определение оператора Адамара ($H^ {n} $) для системы из $n$ кубитов в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $:

Оператор Адамара $H^ {n} $ применяется ко всем $n$ кубитам в системе и приводит каждый кубит в равновероятное суперпозиционное состояние.

Математически, оператор Адамара для системы из $n$ кубитов ($H^ {n} $) задается следующим выражением:

$$H^ {n} = \frac {1} {\sqrt {2^n}} \sum_ {\boldsymbol {y}} (-1) ^ {\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y}} |\boldsymbol {y} \rangle,$$

где:

– $\boldsymbol {y} $ – битовые строки длины $n$.

– $\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y} $ – скалярное произведение битовых строк $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {y} $.

– $|\boldsymbol {y} \rangle$ – состояние кубитов, соответствующее битовой строке $\boldsymbol {y} $.

Оператор Адамара $H^ {n} $ применяется к каждому кубиту в системе и приводит его в равновероятное суперпозиционное состояние $\frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) $. Это значит, что каждый кубит имеет вероятность 1/2 быть измеренным в состоянии $|0\rangle$ и вероятность 1/2 быть измеренным в состоянии $|1\rangle$.

Оператор Адамара является важным элементом формулы $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ и используется для преобразования состояний кубитов в начальной и конечной стадиях формулы. Он создает начальное состояние системы кубитов и играет важную роль в обработке и манипуляции с квантовой информацией.

Описание оператора Адамара в виде суммы последовательностей битовых строк

Оператор Адамара ($H^ {n} $) для системы из $n$ кубитов можно также представить в виде суммы последовательностей битовых строк.

Математически, оператор Адамара $H^ {n} $ может быть записан следующим образом:

$$H^ {n} = \frac {1} {\sqrt {2^ {n}}} \sum_ {\boldsymbol {y}} (-1) ^ {\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y}} |\boldsymbol {y} \rangle,$$

где:

– $\boldsymbol {y} $ – битовые строки длины $n$.

– $\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y} $ – скалярное произведение битовых строк $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {y} $.

– $|\boldsymbol {y} \rangle$ – состояние кубитов, соответствующее битовой строке $\boldsymbol {y} $.

Оператор Адамара выражается в виде суммы последовательностей битовых строк и может быть представлен следующим образом:

$$H^ {n} = \frac {1} {\sqrt {2^n}} \sum_ {\boldsymbol {y}} (-1) ^ {\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y}} |\boldsymbol {y} \rangle,$$

где каждая битовая строка $\boldsymbol {y} $ пробегает все возможные комбинации подходящего размера $n$. Значение $ (-1) ^ {\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y}} $ вносит фазовый фактор в каждый элемент суперпозиции.

Оператор Адамара $H^ {n} $ применяется к каждому кубиту в системе, преобразуя его в состояние с равными вероятностями $|0\rangle$ и $|1\rangle$. Это обеспечивает создание равновероятных суперпозиций в системе из $n$ кубитов.

Определение операции сложения по модулю 2 в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $:

Операция сложения по модулю 2 $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$ выполняется побитово для каждого бита входного вектора $\boldsymbol {x} $ и соответствующего ему бита вектора $\boldsymbol {p} $. Результат этой операции используется для изменения состояния каждого кубита в системе.

Входные данные $\boldsymbol {x} $ представлены в виде битовой последовательности, где каждый бит принимает значение 0 или 1. Вектор $\boldsymbol {p} $ также представляет собой битовую последовательность той же длины.

Операция сложения по модулю 2 выполняется следующим образом:

– Если соответствующие биты векторов $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {p} $ имеют одно и то же значение (ноль или единицу), то результатом сложения будет ноль.

– Если соответствующие биты имеют разные значения, то результатом будет единица.

Операция сложения по модулю 2 $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$ «складывает» каждый бит входного вектора $\boldsymbol {x} $ с соответствующим битом вектора $\boldsymbol {p} $ и возвращает результат в виде нового вектора. Результат этой операции используется для изменения состояния каждого кубита в системе перед повторным применением оператора Адамара.

Операция сложения по модулю 2 ($\bmod 2$) для битовой последовательности

Операция сложения по модулю 2 ($\bmod 2$) для битовой последовательности является операцией, где биты двух последовательностей складываются побитово и результат возвращается в виде новой последовательности.

Для каждого бита входной битовой последовательности, выполняется сложение с соответствующим битом другой битовой последовательности. Результатом сложения будет бит, который будет равен 0, если сумма битов равна четному числу, и 1, если сумма битов равна нечетному числу.

Например, для двух битовых последовательностей $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {p} $ длины $n$, операция сложения по модулю 2 выполняется следующим образом:

$ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2 = (x_1 + p_1) \bmod 2, (x_2 + p_2) \bmod 2, …, (x_n + p_n) \bmod 2$.

Каждый бит результирующей последовательности $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$ будет равен 0 или 1 в зависимости от суммы соответствующих битов входных последовательностей $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {p} $.

Применение оператора Адамара ($H^ {n} $)

Оператор Адамара $H^ {n} $ применяется ко всем кубитам в системе и выполняет следующие действия:

1. Каждый кубит приводится в состояние суперпозиции, где вероятности нахождения в состоянии $|0\rangle$ и $|1\rangle$ равны.