Значение в квантовых вычислениях. Исследование, применение и перспективы

Обзора формулы $H^ {\otimes n} (x) + p \mod 2^n = H^ {\otimes n} (x \oplus p \mod 2^n) $, которая является основной темой. Данная формула представляет собой уникальную операцию, зависящую от входных данных и заданных параметров вращения кубитов.

Формула состоит из нескольких компонентов. Во-первых, у нас есть оператор Адамара, обозначаемый как $H$, который применяется ко всем кубитам. Он накладывает состояния «0» и «1» друг на друга, создавая суперпозицию. Оператор Адамара также является собственным вектором оператора фазы.

Далее, у нас есть битовая последовательность входных данных, обозначенная как $x$. Эта последовательность представляет состояние кубитов, на которое будет применен оператор Адамара.

Заданный набор параметров для вращения кубитов обозначается как $p$. Эти параметры определяют, как будет вращаться каждый кубит после применения оператора Адамара.

Операция $\oplus$ обозначает сложение по модулю 2. Она применяется между входными данными $x$ и параметрами $p$, поэтому каждый кубит в $x$ будет сложен с соответствующим кубитом в $p$. Результат этой операции будет представлен в виде новой битовой последовательности.

Наконец, у нас есть количество кубитов $n$, которое указывает, сколько кубитов будет использоваться в этой операции.

Основная идея формулы заключается в следующем: если мы сначала применим оператор Адамара ко всем кубитам, а затем применим операцию сложения по модулю 2 между входными данными $x$ и параметрами $p$, а затем снова применим оператор Адамара к результату, мы получим тот же результат, который мы получили бы, если бы мы сначала применили оператор Адамара к $x$, затем сложили бы его с $p$, а затем снова применили оператор Адамара.

Формула демонстрирует, что оператор Адамара обратим и сохраняет суперпозицию при вращении кубитов. Это свойство открывает возможности для использования этой формулы в различных квантовых вычислениях.

Описание основных компонентов формулы

Рассмотрим основные компоненты формулы $H^ {\otimes n} (x) + p \mod 2^n = H^ {\otimes n} (x \oplus p \mod 2^n) $ и их роль в операции вращения кубитов.

2.1 Оператор Адамара ($H$):

Оператор Адамара, обозначаемый как $H$, является ключевой составляющей формулы. Он является матрицей размером 2x2, определенной следующим образом:

$H = \frac {1} {\sqrt {2}} \begin {pmatrix}

1 & 1 \\

1 & -1

\end {pmatrix} $

Оператор Адамара действует на одиночный кубит и накладывает состояния «0» и «1» друг на друга, создавая суперпозицию. Он также является собственным вектором оператора фазы.

2.2 Входные данные ($x$):

Входные данные $x$ представляют собой битовую последовательность, которая представляет состояние кубитов, на которое будет применен оператор Адамара. Эти данные могут быть представлены в виде последовательности «0» и «1» длиной $n$, где $n$ – количество кубитов.

2.3 Параметры вращения кубитов ($p$):

Параметры вращения кубитов $p$ представляют собой заданный набор параметров, которые определяют, как будет выполняться вращение каждого кубита после применения оператора Адамара. Параметры могут быть представлены в виде последовательности «0» и «1» длиной $n$, где $n$ – количество кубитов, и каждый элемент $p_i$ соответствует параметру вращения для $i$-го кубита.

2.4 Операция сложения по модулю 2 ($\oplus$):

Операция сложения по модулю 2, обозначаемая как $\oplus$, выполняется между входными данными $x$ и параметрами вращения кубитов $p$. В данной операции каждый бит во входных данных $x_i$ складывается с соответствующим битом в параметрах вращения $p_i$ и результат берется по модулю 2. Это означает, что если сумма двух битов равна 2, то результат будет 0, иначе результат будет 1.

2.5 Количество кубитов ($n$):

Количество кубитов $n$ указывает, сколько кубитов будет использоваться в операции вращения. Это определяет размерности матрицы оператора Адамара и размерности входных данных $x$ и параметров вращения $p$.

Рассмотрим оператор Адамара и его роль в формуле.

3.1 Оператор Адамара для одиночного кубита ($H$):

Оператор Адамара, обозначаемый как $H$, представляет собой матрицу размером 2x2. Определение оператора Адамара выглядит следующим образом:

$H = \frac {1} {\sqrt {2}} \begin {pmatrix}

1 & 1 \\

1 & -1

\end {pmatrix} $

Эта матрица определяет, как будет воздействовать оператор Адамара на состояние одиночного кубита. Применение оператора Адамара к кубиту приводит к накладыванию состояний «0» и «1» друг на друга.

3.2 Действие оператора Адамара:

Пусть $|\psi\rangle$ будет состоянием одиночного кубита. Тогда применение оператора Адамара к состоянию $|\psi\rangle$ дает нам новое состояние $H|\psi\rangle$. Оператор Адамара действует на вектор состояния следующим образом:

$H|\psi\rangle = \frac {1} {\sqrt {2}} \begin {pmatrix}

1 & 1 \\

1 & -1

\end {pmatrix} \begin {pmatrix}

\psi_0 \\

\psi_1

\end {pmatrix} = \frac {1} {\sqrt {2}} \begin {pmatrix}

\psi_0 + \psi_1 \\

\psi_0 – \psi_1

\end {pmatrix} $

После применения оператора Адамара к состоянию $|\psi\rangle$, мы получаем новое состояние $H|\psi\rangle$, которое является линейной комбинацией состояний «0» и «1» входного кубита.

Важно отметить, что оператор Адамара является обратимым, то есть можно применить обратный оператор для возвращения к исходному состоянию кубита.

Разъяснение того, как оператор Адамара накладывает состояния «0» и «1» друг на друга и создает суперпозицию

Рассмотрим, как оператор Адамара накладывает состояния «0» и «1» друг на друга и создает состояние суперпозиции.

4.1 Применение оператора Адамара к состояниям «0» и «1»:

Оператор Адамара действует на состояние «0» и состояние «1» следующим образом:

$H|0\rangle = \frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) $

$H|1\rangle = \frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle – |1\rangle) $

Применение оператора Адамара приводит к тому, что состояние «0» становится линейной комбинацией состояний «0» и «1», а состояние «1» – линейной комбинацией состояний «0» и "-1». Это создает суперпозицию двух состояний.

4.2 Применение оператора Адамара к суперпозиции:

Теперь рассмотрим суперпозицию состояний «0» и «1»:

$|\psi\rangle = \frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) $

Если мы применим оператор Адамара к этой суперпозиции, получим:

$H|\psi\rangle = H\left (\frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) \right) $

$= \frac {1} {\sqrt {2}} \left (H|0\rangle + H|1\rangle\right) $

$= \frac {1} {\sqrt {2}} \left (\frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) + \frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle – |1\rangle) \right) $

$= \frac {1} {\sqrt {2}} \left (\frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |0\rangle) + \frac {1} {\sqrt {2}} (|1\rangle – |1\rangle) \right) $

$ = |0\rangle$

Как видно из вычислений, после применения оператора Адамара к суперпозиции, мы получаем состояние «0». Это происходит потому, что оператор Адамара обратим и обеспечивает восстановление изначального состояния.

Оператор Адамара позволяет накладывать состояния «0» и «1» друг на друга и создавать суперпозицию, что открывает возможности для различных операций с кубитами в квантовых вычислениях.

Уточнение того, что оператор Адамара также является собственным вектором оператора фазы

Рассмотрим связь между операторами Адамара и фазы и объясним, почему оператор Адамара является собственным вектором оператора фазы.

5.1 Определение оператора фазы ($S$):

Оператор фазы, обозначаемый как $S$, является оператором, который вводит фазовые изменения в состояния кубитов. Определяется он следующим образом:

$S = \begin {pmatrix}

1 & 0 \\

0 & i

\end {pmatrix} $

5.2 Свойство оператора Адамара и оператора фазы:

Оказывается, что оператор Адамара и оператор фазы связаны друг с другом. Более конкретно, оператор Адамара является собственным вектором оператора фазы. Это означает, что вектор состояния после применения оператора Адамара будет собственным вектором оператора фазы.

Математически, это можно представить следующим образом:

$S (H|\psi\rangle) = \lambda (H|\psi\rangle) $

Где $|\psi\rangle$ – вектор состояния кубита после применения оператора Адамара, $H|\psi\rangle$ – результат действия оператора Адамара на $|\psi\rangle$, $\lambda$ – собственное значение оператора фазы.

5.3 Доказательство свойства:

Чтобы доказать, что оператор Адамара является собственным вектором оператора фазы, мы можем рассмотреть, как операторы Адамара и фазы действуют на состояния «0» и «1»:

$H|0\rangle = \frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) $