Математическая стодневка. Сто задач до нового года

© Ирина Краева, 2021

ISBN 978-5-0055-3282-4

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Предисловие

Сначала была новогодняя декада1: перед наступлением 2019 года заключительные десять дней мы в нашей группе ВКонтакте «Математические лайфхаки» публиковали задачи новогодней тематики.

Потом мы замахнулись на предновогоднюю стодневку: с 23 сентября по 31 декабря 2020 года каждый день мы предлагали по одной задаче (всего получилось сто). Содержание уже не всегда было праздничным (это было трудновато соблюсти), но нам пришла идея соединить математические свойства чисел и нумерацию года. По результатам этих двух челленджей мы и создали эту книгу.

Несколько договорённостей.

Весь разговор ведётся только в рамках десятичной системы счисления!

Число, которое является порядковым номером наступающего года, будем называть «числом года». Этот термин не имеет ничего общего с нумерологическими понятиями. Просто это самое оптимальное (короткое, понятное и – главное! – корректное) название из всех возможных.

В некоторых случаях возникает необходимость в обозначении числа года (в нашем понимании), пусть это будет «N».

Число N – четырёхзначное (в ближайшие без малого восемь тысяч лет) и натуральное, что очевидно и понятно.

Задачи мы будем формулировать максимально обобщённо для того, чтобы каждую задачу можно было использовать в любой текущий год. В конце книги есть раздел «Комментарии», в котором почти для каждой задачи приведены некоторые рассуждения, помогающие найти решение и ответ. В тексте некоторых задач есть пояснения, в других же такие пояснения отсутствуют. Но всю необходимую информацию можно найти в разделе «Комментарии» (в крайнем случае, в интернете).

Содержание книги можно применять во внеклассной работе по математике (выборочно или всё, по обстоятельствам).

Задачи можно ежедневно предлагать учащимся (в любом подходящем формате), скажем, в рубрике «Задача дня» (познавательные посты в соцсетях, публикации на тематических стендах и прочее и прочее…).

В формулировках задач преимущественно встречается два оборота «число предстоящего года» и «число наступающего года», но ничто не мешает при необходимости заменить их на «число текущего года».

ЗАДАЧА 1

(23 сентября)

Если предновогодняя стодневка начинается в понедельник, то в какой день недели наступит новый год?

На календарь не смотреть!

Задача, безусловно, имеет ещё шесть вариаций: вместо понедельника можно взять любой день недели.

ЗАДАЧА 2

(24 сентября)

Некоторые виды натуральных чисел можно определить просто по их «внешнему виду».

Является ли число предстоящего года палиндромом?

ЗАДАЧА 3

(25 сентября)

Является ли число предстоящего года репдигитом?

Это тоже можно определить непосредственно по записи числа.

ЗАДАЧА 4

(26 сентября)

Число года натуральное. Но натуральные числа бывают разными. Какова чётность числа предстоящего года?

ЗАДАЧА 5

(27 сентября)

1. Если число предстоящего года нечётное, то является оно простым или составным?

2. Если число предстоящего года чётное, то оно очевидно составное. Однако, если число равно произведению двух простых чисел, то оно называется полупростым. Является ли число предстоящего года полупростым?

Кстати, нечётное число также может быть полупростым, так ли это для числа предстоящего года?

ЗАДАЧА 6

(28 сентября)

Простое число, не являющееся палиндромом, называет бипростым, если при записи его цифр в обратном порядке также получается простое число.

Является ли число предстоящего года бипростым?

ЗАДАЧА 7

(29 сентября)

Несколько предыдущих задач было связано со свойствами делимости. Найдите все возможные делители числа предстоящего года. Сколько их?

ЗАДАЧА 8

(30 сентября)

Число называется продолговатым, если оно представимо в виде произведения двух натуральных множителей, больших единицы. Геометрическая интерпретация: площадь прямоугольника со сторонами, целочисленные длины которых больше 1.

Будет ли число предстоящего года продолговатым?

Дополнительные вопросы

1. Будет ли постое число продолговатым?

2. Может ли продолговатое число быть простым?

3. Всегда ли составное число будет продолговатым?

4. Всегда ли продолговатое число будет составным?

ЗАДАЧА 9

(1 октября)

Число называется прямоугольным, если оно представимо в виде произведения двух последовательных натуральных чисел. Будет ли число предстоящего года прямоугольным?

Дополнительные вопросы

1. Будет ли прямоугольное число продолговатым?

2. Может ли продолговатое число быть прямоугольным?

3. Любое ли составное число будет прямоугольным?

4. Всегда ли прямоугольное число будет составным?

ЗАДАЧА 10

(2 октября)

Продолжаем геометрическую тему: фигурные многоугольные числа. Если некоторое количество точек можно расставить в виде правильного треугольника, то число, соответствующее этому количеству, называется треугольным.

Является ли число предстоящего года треугольным?

ЗАДАЧА 11

(3 октября)

Если некоторое количество точек можно расставить в виде квадрата, то число, соответствующее этому количеству, называется квадратным.

Является ли число предстоящего года квадратным?

Дополнительные вопросы

Будет ли число предстоящего года

– пятиугольным,

– шестиугольным,

– любым другим фигурным многоугольным числом?

ЗАДАЧА 12

(4 октября)

Является ли число предстоящего года значением факториала какого-либо натурального числа?

ЗАДАЧА 13

(5 октября)

Натуральное число, для которого не существует натурального квадратного корня, иногда называют глухим.

Является ли число предстоящего года глухим?

Дополнительные вопросы

1. Будет ли глухое число квадратным?

2. Если число является квадратным, то может ли оно быть глухим?

3. Какой традиционный термин используют для названия чисел, не являющихся глухими?

ЗАДАЧА 14

(6 октября)

Является ли число предстоящего года совершенным?

ЗАДАЧА 15

(7 октября)

Натуральное число называется почти совершенным, если оно на 1 меньше суммы всех своих собственных2 делителей.

Например, все степени числа 2 являются почти совершенными числами: 4 – 1 = 1 +2; 16 – 1 = 1 +2 +4 +8 и т. д.

Будет ли число предстоящего года почти совершенным?

ЗАДАЧА 16

(8 октября)

Натуральное число называется кратно совершенным (или   мультисовершенным), если сумма всех его делителей кратна ему самому.

Будет ли число предстоящего года кратно совершенным?

ЗАДАЧА 17

(9 октября)

Натуральное число называется неприкасаемым, если оно не равно сумме собственных делителей ни одного другого натурального числа.

Является ли число предстоящего года неприкасаемым?

ЗАДАЧА 18

(10 октября)

Число, которое кратно сумме своих цифр, называется числом харшад (в переводе с санcкрита «великая радость»).

Будет ли число предстоящего года числом харшад?

ЗАДАЧА 19

(11 октября)

Существует ли натуральное число, сумма цифр которого равна номеру предстоящего года?

Если существует, то будет ли оно единственным?

Если таких чисел несколько, то найдите среди них наименьшее.

Будет ли множество таких чисел бесконечным?

Если множество таких чисел конечно, то найдите наибольшее.

ЗАДАЧА 20

(12 октября)

Есть ли натуральные числа, имеющие количество делителей равное числу предстоящего года?

ЗАДАЧА 21

(13 октября)

Существует ли натуральное число, произведение цифр которого числу предстоящего года?

Если существует, то будет ли оно единственным?

Если таких чисел несколько, то найдите среди них наименьшее.

Будет ли множество таких чисел бесконечным?

Если множество таких чисел конечно, то найдите наибольшее.

ЗАДАЧА 22

(14 октября)

Будет ли число предстоящего года радостным?

Алгоритм, позволяющий установить, является натуральное число радостным или нет, вы найдёте на странице 35.

ЗАДАЧА 23

(15 октября)

Амбициозным называют натуральное число, если в результате определённых действий получается совершенное число.

Действия такие:

– складываются все собственные делители числа;

– затем складываются собственные делители полученной суммы.

Процесс повторяется до тех пор, пока не получится совершенное число или станет понятным, что этого не произойдёт.

Будет ли число предстоящего года амбициозным?

ЗАДАЧА 24

(16 октября)

Число, меньшее суммы своих собственных делителей, называется избыточным.

Будет ли число предстоящего года числом избыточным?

Дополнительные вопросы

1. Может ли избыточное число быть простым?

2. Будут ли простые числа избыточными?

3. Любое ли составное число будет избыточным?

ЗАДАЧА 25

(17 октября)

Число, большее суммы своих собственных делителей, называется недостаточным.

Будет ли число предстоящего года числом недостаточным?

ЗАДАЧА 26

(18 октября)

Будет ли число предстоящего года циклическим?

ЗАДАЧА 27

(19 октября)

Самовлюблённым называется такое натуральное число, которое равно сумме степеней своих цифр, показатели которых равны количеству цифр данного числа.

Будет ли число предстоящего года самовлюблённым?

ЗАДАЧА 28

(20 октября)

Некоторые натуральные числа бывают даже счастливыми3.

Будет ли число предстоящего года счастливым?

ЗАДАЧА 29

(21 октября)

Странными называют числа, которые меньше суммы своих собственных делителей и не равны никакой частичной сумме этих делителей.

Будет ли число предстоящего года странным?

Дополнительные вопросы

1. Могут ли странные числа быть избыточными?

2. Все ли избыточные числа являются странными?

ЗАДАЧА 30

(22 октября)

Будет ли число предстоящего года автоморфным?

ЗАДАЧА 31

(23 октября)

Будет ли число предстоящего года триморфным?

ЗАДАЧА 32

(24 октября)

Будет ли число предстоящего года праймориалом?

ЗАДАЧА 33

(25 октября)

Будет ли число предстоящего года членом последовательности Фибоначчи?

ЗАДАЧА 34

(26 октября)

Будет ли число предстоящего года числом трибоначчи?

ЗАДАЧА 35

(27 октября)

Будет ли число предстоящего года числом Капрекара?

ЗАДАЧА 36

(28 октября)

Будет ли число предстоящего года числом Софи Жермен?

ЗАДАЧА 37

(29 октября)

Будет ли число предстоящего года числом Лишрел?

ЗАДАЧА 38

(30 октября)

Будет ли число предстоящего года числом Мерсенна?

ЗАДАЧА 39

(31 октября)

Будет ли число предстоящего года числом Улама?

ЗАДАЧА 40

(1 ноября)

Будет ли число предстоящего года числом Ферма?

ЗАДАЧА 41

(2 ноября)

Будет ли число предстоящего года числом Фридмана?

ЗАДАЧА 42

(3 ноября)

Будет ли число предстоящего года числом Каллена?

ЗАДАЧА 43

(4 ноября)

Будет ли число предстоящего года числом Вудала?

ЗАДАЧА 44

(5 ноября)

Будет ли число предстоящего года числом Лейланда?

ЗАДАЧА 45

(6 ноября)

Будет ли число предстоящего года числом Чена?

ЗАДАЧА 46

(7 ноября)

Будет ли число предстоящего года числом Смита?

ЗАДАЧА 47

(8 ноября)

Будет ли число предстоящего года пирамидальным?

ЗАДАЧА 48

(9 ноября)

Будет ли число предстоящего года кубическим?

ЗАДАЧА 49

(10 ноября)

Будет ли число предстоящего года октаэдральным?

ЗАДАЧА 50

(11 ноября)

Можно ли число предстоящего года представить в виде суммы натуральных чисел (не обязательно различных), произведение которых также равно числу предстоящего года?4

ЗАДАЧА 51

(12 ноября)

Можно ли число предстоящего года представить в виде суммы целых чисел (не обязательно различных), произведение которых также равно числу предстоящего года?5

ЗАДАЧА 52

(13 ноября)

Можно ли число предстоящего года представить в виде суммы различных натуральных чисел, произведение которых также равно числу предстоящего года?

ЗАДАЧА 53

(14 ноября)

Можно ли число предстоящего года представить в виде суммы различных рациональных чисел, произведение которых также равно числу предстоящего года?

ЗАДАЧА 54

(15 ноября)

Можно ли число предстоящего года представить в виде суммы различных рациональных чисел, произведение которых равно числу предстоящего года и, кроме того, количество самих чисел также равно числу предстоящего года?

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «ЛитРес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на ЛитРес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.

1

Декада – промежуток времени в десять дней (от др.-греч. δεκάς, δεκάδος – «десяток»).

2

Собственными называют все делители натурального числа, отличного от него самого.

3

Алгоритм нахождения счастливых чисел достаточно трудоёмок и в описании громоздок. Поэтому нам пришлось описать его в разделе «Комментарии» на странице 37.

4

Задача имеет разные ответы («да» или «нет») в зависимости от вида числа года.

5

Эта задача не дублирует предыдущую. Она позволяет «исправить» ситуацию, если ответ к задаче 50 «нет».