Наставница Эйнштейна. Как Эмми Нётер изобрела современную физику

Короче говоря, в тот момент жизнь Нётер напоминала жизнь первоклассного математика на заре многообещающей научной карьеры, жизнь, которая неизбежно должна была принести уверенность в завтрашнем дне и жизненные блага, связанные с престижными должностями. Она преподавала, руководила диссертантами и, благодаря собственной исследовательской работе и активному участию в конгрессах и собраниях коллег, завоевала стремительно упрочивавшуюся международную репутацию. Коллеги же – сообщество математиков – по большей части принимали ее как равную: она и была им равна – она входила во все еще узкий круг посвященных, говоривших на своем тайном языке.

Однако, как бы высоко ни ценили ее товарищи, Нётер не было суждено насладиться карьерой первоклассного математика. Из-за немецких законов, регламентов, традиций и господствовавших в обществе настроений университет продолжал пользоваться плодами ее неоплаченного труда, а ей самой и дальше дозволялось укреплять репутацию немецкой науки, но официального признания своих заслуг она при этом ожидать не могла. Вместо этого она наблюдала, как вереница уступавших ей талантом мужчин непрерывно поднимается по карьерной лестнице, оставляя ее позади. Положение начало меняться лишь по окончании Великой войны.

Хотя некоторые из ее коллег сетовали на то, как с ней обращаются, и даже вступали в бой за то, чтобы найти для нее место, сама она, судя по всему, вела себя в соответствии с процитированными выше словами Вейля: сложившиеся обстоятельства не вызывали у нее протеста. Нет свидетельств, чтобы она хоть раз возмутилась тем, как с ней обходятся; ни в одном из ее писем или сохранившихся высказываний нет никаких следов горечи или жалости к себе. Напротив, казалось, что она с юмором (но вовсе не сквозь розовые очки) смотрит на свое положение и мир в целом. Она ничего не ждала. Она была очень счастлива тому, что у нее есть возможность заниматься исследованиями, преподавать и беседовать о математике – единственном предмете, доставлявшем ей ничем не омраченную радость.

Слава Гильберта продолжала греметь. Он закрепил за Гёттингеном статус генерального штаба математики в западном мире. Теперь любой исполненный надежд математик хотел там учиться – и Гильберт был тому основной причиной. Он быстро превращался в первую подлинную математическую суперзвезду и сделал факультет математики Гёттингенского университета главной целью студентов, прибывавших со всей Европы, из Америки и даже из далекой Японии.

Кажется, слава никак не отразилась на Гильберте. Его бывший студент, Отто Блюменталь, отмечал, что тот воспринимал похвалы с «наивным, сдержанным удовольствием, не позволяя себя смутить и заставить демонстрировать ложную скромность»[55]. К этому времени сотни людей регулярно заполняли лектории Гёттингенского университета, чтобы его послушать: в аудиториях не было свободных мест, и люди рассаживались на подоконниках. Тем не менее, согласно одному из очевидцев: «Поведение Гильберта не изменилось бы, даже войди в аудиторию сам император». Но причиной тому было не раздутое самомнение: «Гильберт оставался бы собой, даже перебиваясь с хлеба на воду»[56].

Хотя лекции Гильберта были очень популярны, нетрадиционные подходы иногда навлекали на его голову неприятности[57]. Поскольку он предпочитал вести импровизированные вычисления на доске, объясняя их по ходу дела вместо того, чтобы переписывать материал тщательно подготовленной лекции, то, естественно, иногда заходил в тупик. Если вокруг не было никого, способного понять, куда двигаться дальше, он просто пожимал плечами и говорил: «Что ж, мне следовало бы подготовиться получше». Хотя такой подход может показаться залогом катастрофы, он позволял студентам увидеть, какие трудности и творческие усилия сопряжены с настоящими занятиями математикой. По сути, они могли стать свидетелями процесса открытия, что сделало лекции Гильберта столь памятными для многих. Присутствие на занятиях Гильберта составляло для большинства освежающий контраст с идеально проработанными и безупречными лекциями Феликса Клейна. Пауль Эвальд, которому предстояло стать выдающимся физиком и кристаллографом, но в то время работающий «стенографистом» на лекциях Гильберта, описывал происходящее как опыт присутствия при спонтанном создании Гильбертом новой математики, а не механическом повторении прописных истин[58].[59]

В начале 1900-х годов Гильберт получил звание, бывшее, грубо говоря, немецкой версией британского рыцарства[60]. Однако он с раздражением и даже грубостью относился к тем, кто настаивал на использовании при обращении к нему этого титула[61]. Гильберта не сильно тревожило то, как именно к нему обращаются, но он был нетерпим к излишней официальности и в особенности заискиванию.

Клейн и Гильберт представляли собой интересный пример разительного контраста. Клейн тоже получил звание рыцаря и предпочитал, чтобы к нему обращались, используя предполагавшийся этим званием титул. Американский математик Норберт Винер посетил Клейна после того, как немецкий профессор вышел в отставку. Винер постучал в его дверь и спросил экономку, дома ли «профессор». Она строго поправила его, сказав, что Клейн дома, но поставив вместо «профессора» громкий титул[62]. А когда бывшего студента спросили, какое обращение в те годы предпочитал Гильберт, тот ответил: «Гильберт? Ему было все равно. Он был королем. Он был Гильбертом».

За время пребывания в Гёттингене Гильберт произвел глубокое впечатление на длинный ряд студентов и коллег, многих из которых впоследствии прославил вклад, сделанный ими в математику и точные науки. Макс фон Лауэ, будущий нобелевский лауреат в области физики, но в те годы – студент, посещавший некоторые из прочитанных Гильбертом в Гёттингене лекций, сказал о своем профессоре: «Этот человек живет в моей памяти как, пожалуй, величайший из гениев, которых я видел в своей жизни»[63]. Размышляя о значении этого воспоминания, мы должны иметь в виду, с каким огромным числом первоклассных научных умов сталкивался за свою жизнь фон Лауэ.

Математик Харальд Бор вспоминал о Гильберте так: «Вся гёттингенская жизнь была озарена блистательным гением Давида Гильберта, будто связывавшего нас воедино… практически каждое его слово о задачах, стоящих перед нашей наукой, и о мире в целом казалось нам поразительно свежим и обогащающим»[64].

Минковский позднее писал Гильберту: «…у тебя можно многому научиться – не только математике, но также искусству разумного, подобающего философу наслаждения жизнью»[65].

Несмотря на то, что Гильберт был постоянно погружен в самые возвышенные области чистой математики, было бы ошибкой думать о нем как о рассеянном и отрешенном профессоре; когда обстоятельства того требовали, ему не была чужда проницательность в житейских делах. Такая ситуация возникла, когда его имя внезапно прогремело, и ему предложили занять престижную профессорскую должность в Берлине[66]. Студенты Гильберта боялись, что такая возможность слишком соблазнительна, чтобы от нее отказаться, но тем не менее попытались убедить того остаться в Гёттингене. Казалось, что Гильберт был поглощен собственными мыслями и, к их смятению, не развеял их страхи. Однако они ничего не знали о подковерной игре, которую начал их любимый профессор, планировавший использовать это предложение как рычаг давления. Продемонстрировав немалый дипломатический талант, он сумел надавить на соратника Клейна, Фридриха Альтхофа, заставив того учредить в Гёттингене новую должность и согласиться на то, чтобы ее занял старый друг Гильберта, Минковский. Когда пыль улеглась, все в Гёттингене сияли от радости – включая самого Гильберта; его научную жизнь теперь должно было еще больше обогатить присутствие одного из любимых товарищей по занятиям математикой. Впоследствии выяснилось, что Минковский оказал на Гильберта важное влияние, убедив того, что весьма существенно, глубже погрузиться в изучение физики[67].

Гёттинген – это больше, чем место работы, гораздо больше, чем просто учебное заведение. Старый университет – один из главных героев в этой истории: сам дух места, бремя его великолепной истории, то, какую среду он создавал для интеллектуальных странствий, разворачивавшихся как в его стенах, так и на тропинках окружающих его лесов, делает его активным участником эпохальных открытий Гильберта и его друзей. Американские физики Леон Ледерман и Кристофер Хилл так описывали немецкий университет той эпохи:

Немецкий университет конца XIX – начала XX веков… представлял собой в высшей степени влиятельное сообщество, в особенности в области точных наук и математики – здесь он считался лучшим в мире. В то время он был местом формирования высочайших научных стандартов, колыбелью квантовой механики и общей теории относительности Эйнштейна – а также большей части современной математики… здесь представителей этнических меньшинств ждало толерантное, открытое и восприимчивое общество, место, где можно было процветать, сулившее отдохновение от твердокаменного националистического консерватизма остававшегося за его стенами общества. То была спокойная, располагающая к созерцательности среда, сообщество ученых, объединенных глубокой и неизменной приверженностью абстрактным предметам их интереса[68].

Ледерман и Хилл говорят не о самом Гёттингене, но в целом о немецких университетах; Гёттингену посчастливилось завоевать в то время славу столицы математики и точных наук. Разумеется, у этой терпимости, свободы и меритократии были ограничения: этнические меньшинства – да, женщины – определенно, нет. Было и другое ограничение, классового характера. Оно не налагалось непосредственно самими университетами, но было фактическим препятствием, возникавшим вследствие организации немецкой системы образования. Лишь те, кто обладал определенным материальным положением, могли подготовиться к сдаче экзамена, прохождение которого позволяло причаститься этой меритократии.

В какой мере внушающая благоговение репутация немецких ученых, подвизавшихся в области математики и точных наук, была обязана своим существованием устрашающей немецкой системе университетского образования, а не, скажем, случаю, собравшему вместе множество блестящих умов, или каким-либо иным культурным и историческим обстоятельствам? Несомненно, отвечая на подобные вопросы, невозможно оперировать численными показателями, но столь же несомненно, что влияние университета было огромным.

Хотя его авторитет и круг обязанностей продолжали расширяться, Гильберт сохранял бескомпромиссную преданность своим принципам. Он пришел в ужас от произведенной Германией аннексии территорий и, когда разразилась Первая мировая война, отказался подписать печально известный манифест «К культурному миру», оправдывавший немецкую территориальную агрессию[69]. Природу этого документа, который подписали 93 почтенных и влиятельных немецких интеллектуала, изобличают предостережения против «русских орд, вместе с монголами и неграми натравливаемых на белую расу»[70]. Практически все его коллеги (даже Клейн и Макс Планк) и другие известные люди со всех концов Германии чувствовали себя обязанными подписать эту писанину (что позднее заставило одних из них сгорать со стыда, а других признаваться, что они не вполне понимали масштабы преступлений Германии). Как известно, Эптон Синклер сказал однажды: «Трудно заставить человека понять что-то, если ему платят зарплату именно за то, чтобы он этого не понимал». В результате его патриотизм стал вызывать сомнения: а во время войны это не шутка.

Тем временем, по мере развертывания боевых действий, Гильберт продолжал возмущать старших коллег, игнорируя их представления о том, как следует себя вести человеку его общественного положения.

После переезда в Гёттинген исследовательские интересы Гильберта изменились: от теории инвариантов он перешел к таким предметам, как логика и основания математики. Его работа характеризовалась все большим формализмом и сосредоточенностью на структуре математических систем.

Гильберт был пионером крайне абстрактного, аксиоматического подхода к математике. Суть этого подхода может быть не вполне ясна тем, кто находит математику в принципе настолько абстрактной, что дополнительные дистинкции кажутся бессмысленными. Но существуют разные стили математического исследования. Во времена Гильберта доверяли конкретным построениям, состоящим из результатов вычислений и пояснений – не только в теории инвариантов, но и в математике в целом. Гильберт стремился избегать подробных вычислений, вместо этого демонстрируя (подчас не напрямую) логическую необходимость выводов, которые стремился доказать. В конце концов критикам пришлось признать целесообразность его методов, и аксиоматический подход к математическим исследованиям получил широкое распространение.

В своей книге «Женщины-ученые, лауреатки Нобелевской премии» (Nobel Prize Women in Science) Шэрон Макгрейн описывает более широкий культурный контекст, в котором проявлялась склонность Гильберта к абстрактному мышлению: «Интеллектуалов начала XX века – в том числе математиков, художников, архитекторов, музыкантов, танцоров, писателей и физиков – завораживала идея абстракции. В стремлении избавить реальность от ее особых, индивидуальных примет, они искали общие, неизменно остающиеся справедливыми принципы. В Гёттингенском университете Давид Гильберт, считавшийся величайшим математиком со времен Карла Фридриха Гаусса, использовал в высшей степени абстрактные методы. В Эрлангене Нётер начала применять его подход к алгебре»[71]. Макгрейн также отмечает, что Эмми Нётер начала свою математическую карьеру, в известном смысле пребывая в тени своего знаменитого отца, и была известна как дочь Макса Нётера, но в конечном счете о Максе начали говорить как об отце Эмми Нётер, и так он известен и поныне.

В своей «Страсти к открытию» (A Passion for Discovery) Питер Фройнд придерживается того же мнения. Он отмечает сходства между все большей абстрактностью математики и физики начала XX века и появлением более высокой степени абстракции в искусстве, нашедшей, по его мнению, отражение в работах Василия Кандинского, Арнольда Шёнберга, Джеймса Джойса и других деятелей искусства[72].

Едва ли не впервые интерес Гильберта к логической структуре математики выразился в «Основаниях геометрии» – книге, опубликованной в 1899 году[73]. Этой книге и подходу, о котором в ней шла речь, предстояло оказать глубокое воздействие на последующее развитие математики[74]. Через год после ее публикации в прогремевшей речи Гильберта, содержавшей перечень 23 его знаменитых проблем, проблема под номером шесть побуждала ученых применить используемый в книге о геометрии аксиоматический подход к различным областям физики.

Возможно, Гильберт помнил о семестре 1903 года, когда Эмми Нётер слушала его лекции, а может быть, и нет. Вероятно, он помнил об этом хотя бы потому, что присутствие женщины-студентки на занятиях было делом необычным, хотя и – в Гёттингене – не неслыханным. Возможно, он по крайней мере однажды встречался с юной Эмми, когда навешал ее отца. В любом случае, к 1913 году он должен был знать о ее репутации и математических исследованиях. Мир математики все еще был довольно тесен. Активно работающий математик, как правило, знал о других своих коллегах, чьи изыскания приносили плоды – в особенности (как было в случае Гильберта и Нётер), когда они работали в одной и той же либо смежных областях.

В 1913 году Эмми и Макс Нётер посетили Гёттинген, чтобы вместе с Гильбертом и Клейном поработать над некрологом Пауля Гордана. «Король инвариантов» умер.

Мы не знаем, как и когда Гильберт впервые узнал об Эмми Нётер; но даже если он не обратил внимания на вольнослушательницу, посещавшую его лекции вскоре после защиты диссертации, во время визита 1913 года она произвела и на Гильберта, и на Клейна сильное и приятное впечатление.

Серия статей Нётер, начавшая выходить после присуждения ей докторской степени, не могла не привлечь внимания Давида Гильберта[75]. Его шансы заметить эти работы в те дни (до того, как рост количества публикаций вышел из-под контроля) были даже выше. В своих статьях Нётер расширяла теорему Гильберта о базисе и пробовала разобраться со связанными с ней сложностями, доказывала предположение, выдвинутое Гильбертом в 1914 году, и частично решала 14-ю проблему Гильберта из его знаменитого перечня задач для нового века. Она также завоевала репутацию экспертки в области, называемой теория дифференциальных инвариантов.

Помнил Гильберт Нётер по прежним встречам или нет, представшая перед ним теперь женщина сильно изменилась. Эмми уже совершенно не походила на заурядную даму среднего класса. Она полностью вошла в математический режим.

Она носила одежду, укороченную до минимальной удобной длины, и необычно короткие волосы (эта прическа вошла в моду несколько десятилетий спустя); это привлекало к ней внимание, о чем она, казалось, не подозревала. Некоторое время она выбирала наряды, которые, по свидетельствам очевидцев, были странными для приличной молодой женщины: например, простые черные сюртуки, из-за которых, по воспоминаниям одного из столкнувшихся с ней студентов, казалась похожей на железнодорожного кондуктора. В целом, она выглядела настолько необычно, что люди на улице подчас замирали и пялились на нее.

Под занавес работы над некрологом Гильберт и Клейн пригласили Нётер в Гёттинген, чтобы заниматься математикой бок о бок с ней.

Примерно одновременно с тем, как Эмми Нётер приняла приглашение в Гёттинген, Эйнштейн воспользовался предложением приехать в Германию и занять должность научного сотрудника в Берлине. Одним из важнейших преимуществ этой работы было то, что от него не требовалось преподавать.

Своими статьями 1905 года Эйнштейн перевернул физику с ног на голову – но то было лишь начало. После этого он немедленно приступил к своему грандиозному проекту: превращению специальной теории относительности в общую.

Специальная теория относительности касалась лишь того, что физики называют инерциальными системами отсчета, – упомянутых выше систем отсчета, движущихся с постоянной скоростью. Общая теория относительности должна была расширить эти условия и охватить любые системы отсчета: в частности, двигающиеся с ускорением. Под ускоренными системами отсчета физик понимает системы, у которых меняется скорость, или направление, или и то и другое одновременно.

Общая теория относительности должна была быть теорией тяготения. Разумеется, одна такая теория уже была сформулирована: закон всемирного тяготения Ньютона, согласно которому сила притяжения любых двух объектов пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. На протяжении веков человечество вполне довольствовалось этим. Наиболее поразительно то, что, используя один простой закон (а также сформулированные им законы движения), Ньютон смог объяснить, откуда берутся эллиптические орбиты Иоганна Кеплера – объяснение, которое было равносильно последнему аккорду коперниковской революции.

В ходе коперниканской революции геоцентрическая система была заменена гелиоцентрической. До Коперника все небесные тела вращались вокруг нас: они двигались по круглым орбитам, а также описывали маленькие окружности – печально знаменитые эпициклы. После Коперника наша Земля и другие планеты стали вращаться вокруг Солнца, но эпициклы сохранились – без них модель не соответствовала наблюдениям. Эпициклы были нужны потому, что орбиты представляли собой вовсе не окружности, чего Коперник не знал. Он, будучи адептом древнего культа циркулярного совершенства, и помыслить об этом не мог.

Кеплер заменил окружности эллипсами, а также сформулировал несколько законов, определяющих скорость движения каждой планеты по эллиптической орбите. Эта модель заменила сложную систему эпициклов немногими простыми правилами, не противоречившими наблюдениям, но была чисто геометрическим решением: никто не знал, как возникли эти эллиптические орбиты.

Ньютон показал, что эллипсы Кеплера определяются простым законом тяготения, заменив лишенное оснований геометрическое описание подлинным законом природы, системой причинно-следственных связей. То было также великим объединением: сила, связывавшая Вселенную воедино, была той же силой, под действием которой падает с дерева яблоко. Эта унификация объясняет, почему ньютоновский закон всемирного тяготения важен и почему он был поворотной точкой в нашем понимании Вселенной и занимаемого нами в ней места.

Однако с ньютоновским тяготением не все было так просто. С ним связано несколько концептуальных проблем и одна эмпирическая. Эмпирическая заключалась в давно известной аномалии, наблюдаемой на орбите Меркурия. Ее эллипс не оставался неизменным, но каждый год претерпевал незначительную прецессию. Эллипсы не обладают идеальной симметрией окружностей: они продолговаты, а значит имеют два радиуса (или оси) разной протяженности. Прецессия орбиты Меркурия означает, что любая из этих осей начинает медленно вращаться вместо того, чтобы неизменно указывать в одном и том же направлении. Направление орбиты, в котором она сплющивается, медленно меняется. Можно сказать и иначе: завершив годовой путь, планета не возвращается в исходную точку – ее орбита не замыкается.

Конечно, ни одна из орбит планет нашей Солнечной системы не является совершенным замкнутым эллипсом. Происходит это потому, что каждая орбита отклоняется от идеальной вследствие присутствия всех других движущихся по орбитам планет – в особенности расположенных поблизости. Когда мы говорим, что орбита Меркурия аномальна, мы имеем в виду, что наблюдаем некую дополнительную прецессию, которую уже не можем объяснить воздействием известных планет. Долгое время астрономы полагали, что эта неправильность орбитального движения должна объясняться наличием планеты, которую мы до сих пор непосредственно не наблюдали. Однако поиски этой планеты там, где, исходя из вычислений, она должна была находиться, ничего не дали[76].

Эйнштейн был одним из немногих физиков, полагавших, что в модификации нуждается сам закон тяготения. Нам не следует искать неведомую планету – искать следует новую физику. Он был единственным, кто преуспел в поиске этой модификации.

С ньютоновским законом всемирного тяготения было связано несколько концептуальных проблем. Одна состояла в магическом характере закона, действовавшего на расстоянии. Согласно модели Ньютона, сила тяготения мгновенно распространяется по пространству без каких-либо ограничений. По мере движения масс, приведших к возникновению тяготения, силы – даже связывающие другие массы на расстоянии миллионов километров – немедленно меняют направление. Если бы Солнце внезапно исчезло, немедленно исчезло бы и его гравитационное воздействие на нашу планету. А если бы внезапно возникла другая звезда, мы почувствовали бы ее притяжение, не дожидаясь, пока ее воздействие доберется до нас сквозь пространство. Эйнштейн был не единственным ученым, которого беспокоила эта модель реальности, но он был единственным, кто знал, что в связи с этим предпринять.

Другой важной головоломкой был тот загадочный факт, что массы в двух законах Ньютона казались тождественными – без каких-либо на то оснований. Сила тяготения, притягивающая вас к земле, пропорциональна вашей массе. Второй закон движения Ньютона гласит, что сила, с которой вас нужно толкнуть, чтобы вы изменили скорость, также пропорциональна вашей массе. Эти два закона никак друг с другом не связаны, но в обоих фигурирует одна и та же масса. Измерения показали, что мы, по сути, имеем дело с одной и той же массой. Гравитационная масса была той же, что и инерционная.

Одним из следствий тождества двух масс было знаменитое наблюдение, о котором известно (хотя, возможно, это и апокриф), что его сделал Галилей во время своего эксперимента с Пизанской башней: тяжелые и легкие объекты близ поверхности Земли испытывают одинаковое ускорение свободного падения. Сопротивление воздуха усложняет доказательство, но этот эксперимент регулярно повторяется в школьных классах с использованием трубки, в которой создан вакуум и куда помещены перо и камешек. Тот же эксперимент – с пером и молотком – был также повторен на Луне астронавтом экспедиции «Аполлон-15»[77]. Наши ожидания, сформированные опытом взаимодействия с телами в атмосфере, оказываются обмануты, когда мы видим, что камень и перышко падают рядом – удивительное и запоминающееся зрелище. Сила притяжения сильнее для камня (он перевешивает на весах, поскольку сильнее притягивается к земле). Однако он в той же мере сопротивляется ускорению; оба эффекта точно уравновешивают друг друга, в результате чего ускорение свободного падения у поверхности представляется постоянным свойством Земли.

То была одна из фундаментальных загадок классической физики, но ею никто не занимался, поскольку было непонятно, с чего начать.

Именно эти концептуальные проблемы с ньютоновской силой тяготения подтолкнули Эйнштейна к размышлениям о том, возможна ли теория с большей объяснительной силой, и к тому, как устранить из своей специальной теории относительности искусственное ограничение, налагаемое на инерциальные системы отсчета. Этим обобщением, переходом к более широкому классу систем отсчета, в итоге оказалось замещение описанной выше в этой главе инвариантности вращения более общими классами преобразований, причем стала очевидна скрытая симметрия, объяснявшая природу тяготения и делавшая неизбежным тождество двух форм массы.