Репетитор по математике. Алгебра

.

Целая часть: 2x +2

Остаток: – 9x

Приведём более сложный пример без дополнительных пояснений.

Целая часть: 3t2 – 7t +5

Остаток: 34t – 37

Среди частных случаев деления многочлена на многочлен выделим делимость двучлена xm±am на x±a.

1. Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих чисел, т.е. xm-am делится на x-a

Примеры.

(x2-a2): (x-a) =x+a

(x3-a3): (x-a) =x2+ax+a2

(x4-a4): (x-a) =x3-ax2+a2x+a3

(x5-a5): (x-a) =x4-ax3+a2x2+a3x+a4

2. Разность одинаковых чётных степеней двух чисел делится не только на разность этих чисел, но и на их сумму т.е. xm-am при чётном m делится на x+a

Примеры.

(x2-a2): (x+a) =x-a

(x4-a4): (x+a) =x3-ax2+a2x-a3

(x6-a6): (x+a) =x5-ax4+a2x3-a3x2+a4x-a5

2a. Разность одинаковых нечётных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел.

Например, ни x3-a3, ни x5-a5 не делятся на x+a.

2б. Так как разность чётных степеней делится на x-a и на x+a, то она делится и на x2-a2.

Примеры.

(x4-a4): (x2-a2) =x2+a2

(x6-a6): (x2-a2) =x4+a2x2+a4

(x8-a8): (x2-a2) =x6+a2x4+a4x2+a6

3. Сумма одинаковых степеней двух чисел никогда не делится на разность этих чисел.

Например, ни x2+a2, ни x3+a3 не делятся на x-a.

4. Сумма одинаковых нечётных степеней двух чисел делится на сумму этих чисел.

Примеры.

(x3+a3): (x+a) =x2-ax+a2

(x5+a5): (x+a) =x4-ax3+a2x2-a3x+a4

4а. Сумма одинаковых чётных степеней двух чисел не делятся ни на разность, ни на сумму этих чисел.

Например, x6+a6 не делится ни на x-a, ни на x+a.

Запомнить эти формулы необязательно, но уметь их применять необходимо.

Для удобства и упорядочивания вышеизложенных сведений можно составить такую таблицу.

Возведение в степень n двучлена a+b.

(a+b) n=an+k1×an-1×b+k2×an-2×b2+…+bn (эта формула называется биномом Ньютона).

Где коэффициенты k (биноминальные коэффициенты) определяются из треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля – таблица бесконечная. Вершина таблицы и боковые стороны каждой строки имеют единицы. Остальные числа (в середине) равны сумме 2-ух чисел, которые находятся в предыдущей строке (над ними).Вы можете легко это проверить, а также потренироваться в составлении коэффициентов для степени 8. Теперь, зная секрет этой таблицы, вы можете без труда вычислить необходимые коэффициенты. Запомните только, что таблица начинается с нулевой степени.

Примеры.

(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

(a+b) 6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

Разложение многочлена на множители.

1 способ. Вынесение общего множителя за скобки.

Если все члены многочлена содержат в качестве множителя одно и то же выражение, его можно «вынести за скобки».

С этим способом мы косвенно ознакомились раньше. Приведём только пару примеров.

Примеры.

4x2y3+8xy2z=4xy2 (xy+2z)

9a2b2—3ab2c+12abc2=3ab (3ab-bc+4c2)

2 способ. Способ группировки.

Многочлен разбивается на несколько групп, в каждой из групп выносится за скобки общий множитель, после чего в скобках оказывается одинаковое выражение, которое в свою очередь выносится за скобки.

Примеры.

5x3+10x2+3x+6=5x2 (x+2) +3 (x+2) = (x+2) (5x2+3)

20x3—12y3+8xy2—30x2y=20x3—30x2y+8xy2—12y3=10x2 (2x-3y) +

4y2 (2x-3y) = (2x-3y) (10x2+4y2)

При этом способе важно иметь в виду, что выражение a-b можно всегда представить в виде – (b-a). Поэтому, если множители отличаются только знаками, их всегда можно сделать одинаковыми.

Например:

6ab-2cb+9cd-27ad=2b (3a-c) +9d (c-3a) =2b (3a-c) -9d (3a-c) =

(3a-c) (2b-9d)

3 способ. С помощью формул сокращённого умножения.

Примеры.

9x2—1= (3x-1) (3x+1)

4x2+4x+1= (2x+1) 2

4 способ. Разложение квадратного трёхчлена ax2+bx+c=

=a (x-x1) (x-x2)

где x1 и x2-корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0

О решении квадратных уравнений мы поговорим позже.

А сейчас просто проиллюстрируем данный способ

одним примером.

Пример.

2x2+13x-24=2 (x-3/2) (x+8) = (2x-3) (x+8)

Сначала решается квадратное уравнение

2x2 +13x -24 = 0 и находятся его корни x1=3/2, x2=-8

Потом по формуле делается разложение.

Как правило, при разложении многочлена приходится комбинировать вышеперечисленными способами, но начинать преобразования, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.

Пример 1. Разложить на множители многочлен 36x3+24x+4x

Решение: Вынесем общий множитель 4x за скобки.

36x3+24x2+4x=4x (9x2+6x+1)

Трёхчлен 9x2+6x+1 можно представить в виде квадрата двучлена:

9x2+6x+1= (3x+1) 2

Таким образом, 36x3+24x2+4x=4x (3x+1) 2

Пример 2. Разложить на множители многочлен xy3—3y3+xy2z-3y2z

Решение: Вынесем за скобки общий множитель y2:

xy3—3y3+xy2z-3y2z=y2 (xy-3y+xz-3z)

Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвёртым, разложим на множители многочлен: xy-3y+xz-3z

xy-3y+xz-3z=y (x-3) +z (x-3) = (x-3) (y+z)

Окончательно получим:

xy3—3y3+xy2z-3y2z=y2 (x-3) (y+z)

Пример 3. Разложить на множители многочлен: a2—4ab-9+4b2

Решение: Сгруппируем первый, второй и четвёртый члены многочлена. Полученный трёхчлен можно представить в виде квадрата разности.

(a2—4ab+4b2) -9= (a-2b) 2—9

Полученное выражение не что иное, как разность квадратов:

(a-2b) 2—9= (a-2b) 2—32= (a-2b-3) (a-2b+3)

Таким образом, a2—4ab-9+4b2= (a-2b-3) (a-2b+3).

тест 1

тест 2

тест 3

тест 4

тест 5

тест 6

ЗАДАЧИ

Тема 3

Уравнение, общие сведения. Равносильные уравнения. Основные приёмы решения уравнений. Классификации уравнений. Решение простейших линейных и квадратных уравнений, а также уравнений приводящихся к квадратным

Понятие уравнения является одним из основных понятий алгебры. От того как вы освоите решение уравнений зависит ваше дальнейшее продвижение по усвоению более сложного материала. Поэтому отнеситесь к этой теме с должной серьёзностью.

Итак, равенство, содержащее переменную, называется уравнением. Корни уравнения – значение переменных, обращающие уравнение в верное равенство.

Уравнение может иметь один, два, три и т.д корня, бесчисленное множество корней или не иметь их вовсе.

Упомянутое выше уравнение имеет один корень.

Уравнение (6-x) (12-x) (3+x) = 0 имеет три корня: 6, 12, -3. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль один из множителей произведения (6-x) (12-x) (3+x) и само произведение соответственно.