Un curso de álgebra

(Ayuda: Para (i), agrupar los polinomios según grado y aplicar los problemas 1.16 y 1.14 (iv). Para (ii), volver a aplicar el problema 1.16).

18. Comprobar el siguiente argumento de D. Keyt para probar que ℝ no es numerable. Definimos una aplicación inyectiva f : P (ℕ) → [0, 1/9] de la manera siguiente. Si S ⊆ ℕ, entonces f(S) es el número real 0.a0a1a2 … an …, donde an = 0 si n ∉ S, y an = 1 si n ∈ S. Por ejemplo, f(∅) = 0, f(N) = 0.11111 … = 1/9, f({0, 1, 3, 5}) = 0.110101, etc.

Utilizando los teoremas 1.8 y el problema 1.10, probar que [0, 1/9] no es numerable. Deducir que ℝ no es numerable.

19. Probar por inducción que

1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2.

20. Definimos 0! = 1 y n! = 1 · 2 … (n − 1) · n para n > 0. Si 0 ≤ a ≤ n, definimos

Si 1 ≤ a < n, probar que

Deducir que

21. Probar que el producto de k naturales consecutivos es divisible por k!

22. (Binomio de Newton) Si a, b ∈ ℤ y n > 0, entonces

23. Sea p un primo, y sea 1 ≤ k < p. Probar que p divide a

.

(Ayuda: Sabemos que p divide a

, pero p no puede dividir a (p − k)!k!).

24. Probar las siguientes afirmaciones:

(i) Si n es impar, entonces n2 − 1 es divisible por 8.

(ii) Si a ≠ 0 es un entero, entonces a divide a (1 + a)n − 1.

(iii) Si n es cualquier entero, entonces 4 no divide a n2 + 2.

25. Si a, b, c son enteros no cero y mcd(a, c) = 1, probar que mcd(a, b) = mcd(a, bc).

26. Recordar que si a ∈ ℝ − ℚ, entonces a se dice irracional.

(i) Sean a ∈ ℚ y b ∈ ℝ irracional. Probar que a + b es irracional. Si a ≠ 0, probar que ab es irracional.

(ii) Si n ∈ ℕ, probar que

es irracional.

(iii) Probar que

es irracional.

(iv) Probar que

no se puede escribir de la forma , donde r, s ∈ ℚ.

27. Comprobar que existen números irracionales a, b ∈ ℝ tales que ab es racional.

(Ayuda: Si

no es racional, volver a elevar a ).

28. Si z = a + bi, entonces el conjugado complejo de z es

= a − bi. El módulo de z es , probar lo siguiente:

(i) z1z2 = z2z1.

(ii) z1(z2z3) = (z1z2)z3.

(iii) z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3.

(iv)

(v)

(vi)

(vii)

(viii)

(ix)

29. Hallar las ráıces 8-ésimas de la unidad.

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