Элементы математического анализа и нейросети. Практикум

lim (x→к бесконечности) f (x) = lim (x→к бесконечности) (x^2 +1) / (x^2 – 1) =

= lim (x→к бесконечности) (x^2/x^2 +1/x^2) / (x^2/x^2 – 1/x^2) I числитель и знаменатель функции делим на x^2 I= (1 +0) / (1 – 0) = 1/1 = 1. Ответ: 1.

2. Найти предел функции f (x) = (2x^3 + x^2 – 5) / (x^3 + x – 1) при x стремящемся к бесконечности.

GPTutor

Чтобы найти предел функции (f (x) = \frac {2x^3 + x^2 – 5} {x^3 + x – 1}) при (x \to \infty), мы будем анализировать поведение выражений в числителе и знаменателе.

Разделим каждый член числителя и знаменателя на (x^3), так как это наибольшая степень (x):

[f (x) = \frac {2x^3 + x^2 – 5} {x^3 + x – 1}]

Поделим каждый член на (x^3):

[f (x) = \frac {2 + \frac {x^2} {x^3} – \frac {5} {x^3}} {1 + \frac {x} {x^3} – \frac {1} {x^3}}]

Упростим выражения в скобках, замечая, что (\frac {x^2} {x^3} = \frac {1} {x}), (\frac {5} {x^3}) и так далее:

[f (x) \approx \frac {2 + \frac {1} {x} – \frac {5} {x^3}} {1 + \frac {1} {x^2} – \frac {1} {x^3}}]

Теперь рассмотрим предел при (x \to \infty):

В числителе (2 + \frac {1} {x} – \frac {5} {x^3} \to 2) (так как (\frac {1} {x}) и (\frac {5} {x^3}) стремятся к нулю).

В знаменателе (1 + \frac {1} {x} – \frac {1} {x^3} \to 1) (аналогично, (\frac {1} {x}) и (\frac {1} {x^3}) стремятся к нулю).

Таким образом, предел функции (f (x)) при (x \to \infty) равен:

[\lim_ {{x \to \infty}} f (x) = \frac {2} {1} = 2.]

Итак, (\lim_ {{x \to \infty}} \frac {2x^3 + x^2 – 5} {x^3 + x – 1} = 2).

Чтобы найти предел функции (f (x) = \frac {2x^3 + x^2 – 5} {x^3 + x – 1}) при (x \to \infty), нужно изучить поведение числителя и знаменателя.

Определим доминирующие термины в числителе и знаменателе:

Числитель: (2x^3 + x^2 – 5) → доминирующий член: (2x^3)

Знаменатель: (x^3 + x – 1) → доминирующий член: (x^3)

Предел можно переписать, выделив доминирующие члены: [\lim_ {x \to \infty} f (x) = \lim_ {x \to \infty} \frac {2x^3} {x^3} = \lim_ {x \to \infty} 2 = 2]

Следовательно, предел функции (f (x)) при (x \to \infty) равен (2).

Ответ: 2.

3. Найти предел функции f (x) = (x^2 – 1) / (4 x^2 +3) при x, стремящемся к бесконечности.

ChatGPT Online – AI Chat GPT

Для нахождения предела данной функции при x, стремящемся к бесконечности, нужно разделить все члены выражения на x^2, так как степень x в числителе и знаменателе одинакова. Получим:

f (x) = (x^2 – 1) / (4x^2 +3) = (1 – 1/x^2) / (4 +3/x^2).

Теперь вычислим предел данной функции:

lim (x-> ∞) (1 – 1/x^2) / (4 +3/x^2) = (lim (x-> ∞) 1 – lim (x-> ∞) 1/x^2) / (lim (x-> ∞) 4 + lim (x-> ∞) 3/x^2) = (1 – 0) / (4 +0) = 1/4.

Итак, предел функции f (x) при x, стремящемся к бесконечности, равен 1/4.Ответ: 1/4.

GPTutor

Чтобы найти предел функции (f (x) = \frac {x^2 – 1} {4x^2 +3}) при (x \to \infty), мы будем рассматривать старшие степени в числителе и знаменателе.

Сначала выражаем функцию более удобным способом:

[f (x) = \frac {x^2 – 1} {4x^2 +3} = \frac {1 – \frac {1} {x^2}} {4 + \frac {3} {x^2}}]

При (x \to \infty), (\frac {1} {x^2} \to 0). Поэтому можно упростить выражение:

[f (x) \approx \frac {1 – 0} {4 +0} = \frac {1} {4}]

Таким образом, предел функции (f (x)) при (x \to \infty) равен:

[\lim_ {x \to \infty} \frac {x^2 – 1} {4x^2 +3} = \frac {1} {4}]

Таким образом, ответ: (\frac {1} {4}).Ответ: 1/4.

Обе нейросети отлично справились с этим заданием: методы и результаты решений совпадают и являются верными. Необходимости использования третьей нейросети – нет.

III. Приведение числителя и знаменателя функции к общему знаменателю. Разложение на множители числителя и знаменателя и сокращение подобных элементов функции Методом замены переменной

Например:

lim f (x) (x-> 1) = lim (x-> 1) [(x +2) / (x – 1) (x – 4) + (x – 4) /3 (x – 1) (x – 2)] = lim (x-> 1) {[3 (x +2) (x – 2) + (x – 4) *2] / [3 (x – 1) (x – 2) (x – 4)]} = lim (x-> 1) [(4x^2 – 8x +4) /3 (x – 1) (x – 2) (x – 4)]

Дальнейшее определение предела для данной функции может быть раскрыто:

1) Разложением на множители:

lim f (x) (x-> 1) = lim (x-> 1) [(4x^2 – 8x +4) /3 (x – 1) (x – 2) (x – 4)] = lim (x-> 1) [(4 (x – 1) ^2) / 3 (x – 1) (x – 2) (x – 4)] =

= lim (x-> 1) [4 (x – 1) / 3 (x – 1) (x – 2)] = 4*0/3* (-1) * (– 3) = 0.

2) Методом замены переменной:

Введем новую переменную: y = x – 1. Тогда новая переменная у будет стремиться не к 1, а к 0.

lim f (x) (x-> 1) = lim (y-> 0) {[4 (y+1) ^2 – 8 (y+1) +4] /3 (y+1—1) (y+1—2) (y+1—4)} = lim (y-> 0) [(4y^2+8y+4 – 8y – 8+

+4) /3y (y – 1) (y – 3)] = lim (y-> 0) [4y^2/3y (y – 1) (y – 3)] = lim (y-> 0) [4y/3 (y – 1) (y – 3)] = 4*0/3* (-1) * (– 3) = 0.

Ответ: 0.

1.Найти предел функции f (x) = (x^2 – 3x +2) / (2x^2 – 5x +2) при x стремящемся к 2.

Нейросеть Маша (СhatGPT-4)

Чтобы найти предел функции \ [f (x) = \frac {x^2 – 3x +2} {2x^2 – 5x +2} \]

при \ (x \) стремящемся к 2, сначала подставим 2 в функцию:

\ [f (2) = \frac {2^2 – 3 (2) +2} {2 (2^2) – 5 (2) +2} = \frac {4 – 6 +2} {8 – 10 +2} = \frac {0} {0} \]

При подстановке получаем неопределенность \ (\frac {0} {0} \). Необходимо упростить выражение.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

1. Числитель: \ (x^2 – 3x +2 = (x – 1) (x – 2) \).

2. Знаменатель: \ (2x^2 – 5x +2 = (2x – 1) (x – 2) \).

Теперь подставим в предел:

\ [f (x) = \frac {(x – 1) (x – 2)} {(2x – 1) (x – 2)} \]

Сократим \ ((x – 2) \):\ [f (x) = \frac {x – 1} {2x – 1} \]

Теперь найдем предел, подставив \ (x = 2 \):

\ [\lim_ {x \to 2} f (x) = \frac {2 – 1} {2 (2) – 1} = \frac {1} {4 – 1} = \frac {1} {3} \]

Таким образом, предел функции равен:

\ [\lim_ {x \to 2} f (x) = \frac {1} {3} \]. Ответ: 1/3.

Традиционное решение

lim (x→2) f (x) = lim (x→2) (x^2 – 3x+2) / (2x^2 – 5x +2) = lim (x→2) ((x – 1) (x – 2) / (2x – 1) (x – 2)) =

= I числитель и знаменатель функции сокращаем на (x -2) I= (x – 1) / (2x – 1) = 1/3. Ответ: 1/3.

2. Найти предел функции f (x) = (x^2 – 3x +2) / (x^2 +2x – 3) при x стремящемся к 1.

GPTutor

Чтобы найти предел функции (f (x) = \frac {x^2 – 3x +2} {x^2 +2x – 3}) при (x) стремящемся к (1), мы можем подставить (x = 1) напрямую в выражение функции:

[f (1) = \frac {1^2 – 3 \cdot 1 +2} {1^2 +2 \cdot 1 – 3}]

[f (1) = \frac {1 – 3 +2} {1 +2 – 3}]

[f (1) = \frac {0} {0}]

Заметим, что получили неопределённость вида (\frac {0} {0}). Для решения этой неопределённости, мы можем применить метод деления числителя и знаменателя на ((x – 1)), так как (x – 1) является фактором и числителя, и знаменателя:

[f (x) = \frac {x^2 – 3x +2} {x^2 +2x – 3}]

Делим числитель и знаменатель на ((x – 1)):

[f (x) = \frac {(x – 1) (x – 2)} {(x – 1) (x +3)}]

При (x \neq 1), (x – 1) можно сократить:

[f (x) = \frac {x – 2} {x +3}]

Теперь вычисляем предел (f (x)) при (x \to 1):

[\lim_ {{x \to 1}} \frac {x – 2} {x +3} = \frac {1 – 2} {1 +3} = \frac {-1} {4}]

Итак, предел функции (f (x) = \frac {x^2 – 3x +2} {x^2 +2x – 3}) при (x) стремящемся к (1) равен (\boxed {-\frac {1} {4}}). Ответ: 1/4.

Другой вариант решения (с помошью ChatGPT):

Для нахождения предела данной функции при x стремящемся к 1, подставим значение x = 1 в функцию:

f (1) = (1^2 – 31 +2) / (1^2 +21 – 3) = (1 – 3 +2) / (1 +2 – 3) = 0/0

Получили неопределенность вида 0/0. Для определения предела в этом случае, проведем кратное деление многочленов:

(x^2 – 3x +2) / (x^2 +2x – 3) = (x-1) (x-2) / (x+3) (x-1) = (x-2) / (x+3)

Теперь можно подставить x=1:

f (x) = (1—2) / (1+3) = -1 / 4

Ответ: Предел функции f (x) при x стремящемся к 1 равен 1/4.

3.Найти предел функции f (x) = (x – 2) / (x^2 – 4) при x стремящемся к 2.

GPTutor

Чтобы найти предел функции (f (x) = \frac {x – 2} {x^2 – 4}) при (x) стремящемся к 2, начнем с замены

(x = 2):

[\lim_ {{x \to 2}} \frac {x – 2} {x^2 – 4}]

Проверим, что знаменатель не равен нулю при (x = 2):

[x^2 – 4 = 2^2 – 4 = 4 – 4 = 0]

Знаменатель равен нулю, поэтому необходимо преобразовать функцию перед вычислением предела. Мы можем разложить знаменатель на множители:

[x^2 – 4 = (x – 2) (x +2)]

Теперь можно переписать функцию:

[f (x) = \frac {x – 2} {(x – 2) (x +2)}]

При (x \neq 2), можно сократить (x – 2):

[f (x) = \frac {1} {x +2}]

Теперь можем найти предел:

[\lim_ {{x \to 2}} \frac {1} {x +2} = \frac {1} {2 +2} = \frac {1} {4}]

Итак, предел функции (f (x) = \frac {x – 2} {x^2 – 4}) при (x) стремящемся к 2 равен (\boxed {\frac {1} {4}}). Ответ: 1/4.

ChatGPT Online – AI Chat GPT

Для нахождения предела данной функции при x стремящемся к 2, можно воспользоваться методом дробно-рациональных выражений.

Сначала разложим функцию на простейшие дроби:

f (x) = (x – 2) / (x^2 – 4) = (x – 2) / ((x +2) (x – 2)) = 1/ (x +2)

Теперь найдем предел этой функции при x стремящемся к 2:

lim (x-> 2) (1/ (x +2)) = 1/ (2 +2) = ¼

Итак, предел функции f (x) = (x – 2) / (x^2 – 4) при x стремящемся к 2 равен 1/4. Ответ: 1/4.

«Для решения данной задачи можно воспользоваться правилом Лопиталя. Для этого возьмем производные числителя и знаменателя и вычислим предел их отношения при x, стремящемся к 3:

f (x) = (x^ (1/2) – 3^ (1/2)) / (x^2 – 9)

f’ (x) = (1/2) x^ (-1/2) / (2x)

f’ (x) = 1 / (2x^ (3/2))

g (x) = x^2 – 9

g’ (x) = 2x

Подставляем x = 3 в производные:

f’ (3) = 1 / (2 * 3^ (3/2)) = 1 / (2 * 3^ (3/2)) = 1 / (2 * 3 * 3^ (1/2)) = 1 / (6 * 3^ (1/2)) = 1 / (6 * √3) = √3 / 18

g’ (3) = 2 * 3 = 6

Теперь найдем предел отношения производных при x, стремящемся к 3:

lim (x-> 3) f’ (x) / g’ (x) = lim (x-> 3) (√3 / 18) / 6 = (√3 / 18) / 6 = √3 / 18 / 6 = √3 / 108

Таким образом, предел функции f (x) при x, стремящемся к 3, равен √3 / 108».

Ошибка произошла при нахождении производной функции f (x). Вообще, стремление нейросетей искать сложные и не всегда оправданные варианты решений (как в этом случае, я не одобряю).

Предлагаю для закрепления данного учебного материала рассмотреть решение данного примера традиционными методами:

Давайте найдем предел данной функции f (x) = (x^ (1/2) – 3^ (1/2/)) / (x^2 – 9) при x, стремящемся к 3, используя метод разложения на множители числителя и знаменателя, сокращением подобных и вычислением значения предела.

1вариант

lim f (x) (x -> 3) = lim (x^ (1/2) – 3^ (1/2/)) / (x^2 – 9) = lim [(x^ (1/2) – 3^ (1/2/) / (х – 3) (x +3)] =

= lim [(x^ (1/2) – 3^ (1/2/) / (x^ (1/2) – 3^ (1/2/) (x^ (1/2) +3^ (1/2/) (x +3)] = lim [1/ ((x^ (1/2) +3^ (1/2/) (x +3))] =

= lim {Подставим в выражение функции x =3} = (1/ (3 (1/2) +3^ (1/2/)) (3 +3) = 1/2*3^ (1/2) *6 = 1/ (12*3^ (1/2)).

Ответ: 1/ (12*3^ (1/2)).

2вариант

Для того, чтобы решить вопрос о пределе этой функции, перенесем иррациональность в знаменатель, умножив числитель и знаменатель дроби на сумму x^1/2 +3^1/2:

lim f (x) (x -> 3) = lim (x^ (1/2) – 3^ (1/2/)) / (x^2 – 9) = lim (x^ (1/2) – 3^ (1/2/)) (x^ (1/2) +3^ (1/2/)) / (x^2 – 9) *

* (x^ (1/2) +3^ (1/2/) = lim (x – 3) / (х – 3) (x +3) (x^ (1/2) +3^ (1/2)) {Так, как x =/ 3, а x – 3 /= 0, то можем

сократить числитель и знаменатель на x – 3. И тогда

lim f (x) (x -> 3) = lim) (x -> 3) (x^ (1/2) – 3^ (1/2/)) / (x^2 – 9) = lim (x -> 3) 1/ (x +3) (x^ (1/2) +3^ (1/2/)) =

= 1/ (3 +3) (3^1/2 +3^1/2) = 1/12*3^1/2.

Ответ: 1/ (12*3^ (1/2)).

Например:

lim (x-> к бесконечности) [(x^2 +1) ^ (1/2) – x)] =

Умножим и разделим выражение функции на сумму (x^2 +1) ^ (1/2) + x:

= lim (x-> к бесконечности) {[(x^2 +1) ^ (1/2) – x)] * [(x^2 +1) ^ (1/2) + x] / [(x^2 +1) ^ (1/2) + x]} =

= lim (x-> к бесконечности) {(x^2 +1 – x^2) / [(x^2 +1) ^ (1/2) + x]} = lim (x-> к бесконечности) {1/ [(x^2 +

+1) ^ (1/2) + x]} = 0.

1.Найти предел функции f (x) = ((1+x) ^ (1/2) – (1- x) ^ (1/2)) /3x при x стремящемся к 0.

Нейросеть Маша (СhatGPT-4)

Чтобы найти предел функции \ [f (x) = \frac {\sqrt {1+x} – \sqrt {1-x}} {3x} \]

при \ (x \) стремящемся к 0, подставим 0 в функцию:

\ [f (0) = \frac {\sqrt {1+0} – \sqrt {1—0}} {3 \cdot 0} = \frac {1 – 1} {0} = \frac {0} {0} \]

При подстановке получаем неопределенность \ (\frac {0} {0} \). Чтобы решить это, применим метод умножения на сопряженное выражение:

Умножим числитель и знаменатель на \ (\sqrt {1+x} + \sqrt {1-x} \):

\ [f (x) = \frac {(\sqrt {1+x} – \sqrt {1-x}) (\sqrt {1+x} + \sqrt {1-x})} {3x (\sqrt {1+x} + \sqrt {1-x})} \]

В числителе получаем:

\ [(\sqrt {1+x}) ^2 – (\sqrt {1-x}) ^2 = (1+x) – (1-x) = 2x\]

Таким образом, выражение становится:

\ [f (x) = \frac {2x} {3x (\sqrt {1+x} + \sqrt {1-x})} = \frac {2} {3 (\sqrt {1+x} + \sqrt {1-x})} \]

Теперь можем найти предел: