Múltiples aspectos del aprendizaje de la matemática
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La disciplina “didáctica de la matemática” tiene por lo menos tres decenios de historia, un gran número de investigadores activos en el mundo, un lenguaje compartido, revista propias (tanto de investigación, como de divulgación, como “mixtas”), seminarios de investigación y de divulgación propios, congresos,..., lo cual hace que su difusión real sea cada vez más amplia.
¿Qué sucede, desde un punto de vista profesional, al docente que hace investigación o al docente que, simplemente, viene a saber de los resultados de la investigación?
Gracias a la llamada difusión, la comunidad de estudiosos de didáctica de la matemática tiene finalmente la posibilidad de responder a esta pregunta; aquí lo presentaremos de la forma menos complicada posible: el docente y/o investigador, una vez conocidos los resultados de la investigación, cambian (D’Amore, Fandiño Pinilla, 2004; Campolucci, Fandiño Pinilla, Maori, Sbaragli, 2006). Cambian radicalmente su comportamiento, el cual se hace mucho más atento, más crítico, menos disponible a dar por descontado que ciertas actividades garantizan el aprendizaje sólo por que fueron sugeridas por alguien de alto nivel (o así considerado) o porque dicha actividad es ya una práctica consolidada por la tradición.
Por ejemplo, veamos como la “teoría ingenua de conjuntos”, fuertemente cuestionada por serios estudios en el ámbito de la investigación en epistemología del aprendizaje (Pellerey, 1989), fue lentamente abandonada de la práctica didáctica, posición sostenida incluso por algunos de sus más aguerridos sostenedores; o, por lo menos, fue redimensionada la fe ciega de la cual gozaba en los años ’70 y ’80: de disciplina - panacea se transformó en un lenguaje que se usa sólo cuando es estrictamente necesario;
como el uso de instrumentos didácticos pre-confeccionados, cuya utilidad didáctica era incondicionalmente aceptada por muchos docentes; hoy, este uso es menos a-crítico (D’Amore, 2002a);
como se han modificado las expectativas de los docentes de la escuela secundaria después de los estudios sobre el aprendizaje de la demostración: mientras que hasta hace algunos años se daba por descontada la competencia lingüística - lógica de los estudiantes de 14 años y como consecuencia la idea de demostración, por lo menos para la geometría; hoy se considera que dicha idea necesita de una práctica didáctica explícita (y no es a 14 años precisamente, sino mucho más tarde) (Duval, 1991, 1992-93; Hoyles, 1997).
Cambian, decíamos, la actitud: fatalmente, el docente que entra en contacto con ciertos resultados de investigación no los puede ignorar después; ve, reconoce en el comportamiento de sus estudiantes en aula y en el propio actuar profesional, la confirmación de aquellos resultados y de consecuencia la propia interpretación de las conductas debe ser modificada:
Examinaremos en detalle estos “cambios” de actitud.
Este cambio afecta el currículo.
El docente se vuelve más atento a la congruencia de las propias elecciones didácticas; consciente que existen, por ejemplo, obstáculos didácticos y epistemológicos, o reconoce la influencia del contrato didáctico; no acepta la aparente congruencia, en el sentido de consecutividad de los argumentos, que antes lo satisfacía y lo tranquilizaba, sino que comienza a ponerse el problema del análisis del currículo sobre la base de los resultados cognitivos de sus estudiantes, de su propia acción didáctica, aceptando de consecuencia una revisión crítica y metodológica simultáneamente (Fandiño Pinilla, 2002).
Este cambio afecta la definición de las tareas del docente y del estudiante.
El docente que entra en contacto con los resultados de la investigación, pone en discusión, eficaz y significativamente:
• sus tareas, sus expectativas;
• las tareas del estudiante, sus expectativas, las imágenes que se hace de la disciplina y de su enseñanza.
Se vuelve por lo tanto, más en general y en todo momento, atento a lo que sucede en el frente de quien podríamos definir el actor empeñado en la acción de construir conocimiento, su estudiante (muchas veces, en precedencia, ignorado como actor).
Este cambio afecta las nuevas exigencias que el docente pide a su preparación profesional. Tenemos la prueba en los siguientes hechos:
• el docente en servicio pide a la universidad siempre menos actividades de actualización y formación cuyo foco sea el contenido matemático y se dirige siempre más a especialistas de la didáctica, conciente del hecho que entre más conozca los resultados de la investigación didáctica mayor será, en primer lugar su capacidad crítica de análisis de la situación de aula, y en segundo lugar su propia profesionalidad;
• el docente en formación inicial no lo sabe, precisamente porque está en formación inicial, pero la elección ganadora de la sociedad contemporánea de todos los países es centrar la formación de los docentes de matemática en la didáctica de la matemática, obviamente después de una salda preparación disciplinar la cual resta de todas formas la base de toda la preparación cultural y profesional.
Este cambio afecta las expectativas que la práctica docente tiene de la sociedad y viceversa. Parece inútil que la sociedad exprese sus expectativas generales con respecto a la escuela, si estas expectativas no están en relación con los resultados de la investigación en didáctica. La profesionalidad nueva y atenta del docente informado lo lleva a redefinir esta relación y, en particular, a rediseñar su papel como eficiente ejecutor de los planes educativos que la sociedad le ha asignado.
Este cambio afecta la evaluación (y es sobre este aspecto que pretendemos hacer una mayor reflexión):
• la evaluación del trabajo realizado por el estudiante: el docente, informado de los resultados de la investigación en didáctica mira con diferente óptica, más analítico, crítico, observador, el trabajo de construcción del conocimiento de cada uno de sus estudiantes; incluso, la más banal de las evaluaciones, entendida como medida del conocimiento, como “nota” de asignar al estudiante sobre la base del resultado de su empeño, cambia notablemente;
• la evaluación del propio trabajo hecho en aula: de acuerdo con los resultados de aprendizaje obtenidos por sus estudiantes, el docente informado de los resultados de la investigación en didáctica está en grado de analizar críticamente su actuar al interno del aula, rediseñando sus estrategias metodológicas y sus elecciones;
• la evaluación del currículo: el docente informado de la investigación en didáctica está en grado de re-pensar al desarrollo curricular en cada uno de sus aspectos, asumiéndose en primera persona la crítica a dicho desarrollo y creando condiciones constructivas oportunas para una seria y en ocasiones profunda transformación.
Debemos hacernos preguntas de base: ¿Por qué se evalúa y qué se evalúa?, no obstante las respuestas parezcan obvias; dicha obviedad es muchas veces el resultado de una forma ingenua de afrontar el problema.
Se evalúa para tomar decisiones sobre el contenido (transposición didáctica) y sobre la metodología de trabajo en aula (ingeniería didáctica). A partir de los datos recogidos gracias a observaciones en el aula (hechos que describen los alumnos durante el trabajo matemático) y gracias al análisis de los resultados de las tareas (entendidas en general: tanto las “clásicas” escritas u orales, como las menos tradicionales), se pueden identificar puntos fuertes y puntos débiles de cada uno de los estudiantes (esto depende en gran parte del tipo de instrumento de evaluación que se adopta) y así decidir de consecuencia por las elecciones relativas a la transposición didáctica y por una determinada ingeniería didáctica, adecuadas a las necesidades de cada uno de los componentes del grupo clase.
Se evalúa para tomar decisiones sobre el ambiente clase. En una hipótesis constructivista, es dado por cierto que la implicación personal es el primer paso hacia la construcción de un conocimiento, hacia el aprendizaje; por tanto, evaluar si esta fue alcanzada es un paso de extraordinaria importancia. De esto deriva, como consecuencia, que el ambiente dominante en aula es fundamental. Esto significa que es de vital importancia que haya, por así decirlo, en una primera instancia, confianza en la acción del docente. Preguntas como: ¿Los alumnos se dan cuenta si al docente le gusta enseñar matemática?, ¿La resolución de los problemas y el descubrimiento son aspectos habituales en la hora de matemática?, ¿Los alumnos tienen la oportunidad de explorar y de experimentar sin sentir la presión de estar bajo juicio? ¿En el momento de dar una nota, se tiene en cuenta algo más que la respuesta correcta a un ejercicio?,... asumen importancia estratégica en la formación del ambiente de clase adecuado.
Se evalúa para comunicar a los alumnos lo que es importante. Los alumnos son capaces (es más, son habilísimos) de reconocer aquello que implícitamente el docente considera importante; por ejemplo, si frente a un trabajo escrito el docente revisa el proceso seguido por el estudiante, sólo cuando la respuesta final no es la correcta, con el fin de encontrar el error, implícitamente está enseñando que el proceso no es importante, que es secundario respecto al resultado (es decir al producto).
Se evalúa para dar una calificación. En esta enumeración, es la última de las razonas por las cuales se debe evaluar, pero ciertamente la de mayor difusión. Los alumnos deben por el contrario tener bien claro que evaluar no es sinónimo de dar una nota. Cuando se da una nota, se debe tener presente que:
• es necesario el uso de diversos instrumentos y técnicas, como lo veremos más adelante;
• es posible que el trabajo del estudiante sea diferente del trabajo usual cuando sabe que su trabajo será objeto de una calificación; y sin embargo los estudiantes deben saber con anticipación cuando un determinado trabajo que están por realizar será sometido a juicio;
• se requiere usar siempre un sistema de evaluación que tenga en cuenta tanto el proceso como el producto.
Las discusiones sobre los métodos y criterios de evaluación en matemática tienen raíces antiguas (en Jiménez Rodríguez, 1997 se ofrece una panorámica diacrónica y sincrónica de gran eficacia; véase también Fandiño Pinilla, 2002).
Consideramos necesario que sea claro que las modalidades concretas para realizar evaluaciones serias son muchísimas, no existen únicamente los cuestionarios o la solución de ejercicios o la resolución de problemas: hoy la investigación ha elaborado formas de evaluación sofisticadas, mucho más atendibles y significativas. Cuando llegue el momento, en el desarrollo de este libro, explicitaremos algunos de estos instrumentos.
En los apartados precedentes, privilegiemos la “evaluación para medir, para dar una calificación”. Pero no olvidemos que, como ya lo dijimos:
• se evalúa para tomar decisiones sobre el contenido (transposición didáctica) y sobre la metodología del trabajo en aula (ingeniería didáctica)
• se evalúa para tomar decisiones sobre el ambiente de clase
• se evalúa para comunicar a los alumnos lo que es importante,
como lo analizamos líneas arriba.
A través de oportunas técnicas de evaluación, el docente recibe informaciones claras sobre la eficacia de su acción didáctica en aula y por tanto de los contenidos tratados, de la metodología; obtiene además informaciones sobre el ambiente de clase; tiene la posibilidad, particularmente con pruebas que podemos llamar no tradicionales, de comunicar incluso explícitamente que es importante y que no lo es.
El análisis histórico de la evaluación, del sentido y de la función que le ha asignado la historia, de sus aspectos sociales etcétera, sería de gran interés, pero no es este el propósito de este libro; por lo tanto reenviamos a los textos enunciados precedentemente.
Así, existen varias teorías sobre la evaluación, teorías llamadas científicas, en sentido estricto, curricular, sobre las cuales invitamos a leer en los mismos textos citados precedentemente.
Precisamente, estas profundas reflexiones llevaron en el tiempo a establecer los criterios de tener presente en la evaluación, los métodos generales y específicos más adecuados, los instrumentos y sus funciones, el significado de validar los resultados que se obtienen con esta actividad.
Uno de los temas más interesantes es aquel de la relación entre convicciones de los docentes y evaluación; es obvio que diferentes convicciones impliquen diferentes evaluaciones. Pero, sobre todo esto, ya se hizo un profundo análisis por lo cual consideramos no sea necesario reportarlo aquí (Fandiño Pinilla, 2002).
Pero, una lectura como la que sigue, tiene sentido y es eficaz sólo si el docente que lee quiere hacer uso de los resultados reportados y si ya posee una buena capacidad crítica; deseamos aquí subrayar que, para nosotros, estas son las características de una innovación en la evaluación en matemática.
La forma más eficaz es la de hacer una breve lista de las condiciones que parecen determinar actualmente el sentido que tiene la innovación en la evaluación; lo haremos por puntos, buscando reutilizar algunos términos técnicos, evitando en lo posible largas explicaciones.
Las características principales de una innovación en la evaluación de un proceso sistemático de enseñanza - aprendizaje de la matemática, extrapoladas de los trabajos de investigación, son las siguientes:
• Una cuidadosa elección y descripción explícita de criterios y objetivos, con referencia a contenidos, en un modelo crítico - orientativo. Es así como la matemática debe ser considerada como una construcción significativa; la lista de los contenidos no es estática, por el contrario, ampliamente dinámica; debe ser incluida la valoración de los progresos locales de cada uno de los estudiantes; la elaboración de las actividades debe ser consecuencia del proceso o por lo menos relacionarse con este y no viceversa es decir fijada a priori de forma definitiva.
• La evaluación es vista como compleja y multidimensional, así como lo es el complejo proceso sistémico de enseñanza - aprendizaje.
• La evaluación no se restringe a un punto o a una cierta acción, por el contrario, debe ser realizada a lo largo de todo el arco del proceso de enseñanza - aprendizaje, dado que esta se considera una parte integrante de dicho proceso. La evaluación, por tanto, es continua y global.
• La evaluación debe ser adapta al estudiante evaluado y debe tener presente la diversidad. Evaluar significa también reconocer y aceptar las características individuales. La atención por la diversidad se extiende a la evaluación del currículo y del trabajo del docente.
• La evaluación implica el desarrollo de habilidades de tipo comunicativo. Esta favorece la adquisición de competencias incluso de tipo instrumental. El estudiante podrá desarrollar conceptos, procedimientos, actitudes y mejores estructuras, siempre que se mueva en esquemas no fijos, de forma tal que todo sea aplicable de forma independiente en las situaciones particulares; desde esta interpretación hablamos de “competencias estructurales”. El proceso de aprendizaje, entendido en un este vasto sentido, debe ser autorregulado; es decir favorecido de momentos de análisis crítico del proceso, replanteamientos y evaluaciones de carácter meta-cognitivo. En todo esto juega un papel esencial la explicitación, por parte del docente, de todo aquello que él piensa que deba suceder en el aula, en el proceso de enseñanza - aprendizaje y en el proceso de evaluación. Por último, se debe agregar la solicitud de claridad, con el objetivo de evitar ambigüedades sea en la asignación de las tareas, sea en la explicitación de las expectativas. Esto no debe entrar en contraposición con la idea de situación a-didáctica: no se debe confundir el contexto de enseñanza, es decir la elección de “buenas situaciones” de proponer para lograr los objetivos cognitivos, con las reflexiones sucesivas, o con la explicitación de los momentos de evaluación.
• El conocimiento adquirido debe tener un alto grado de aplicabilidad no sólo endógena, sino, básicamente, de carácter exógeno. Pero no basta: el estudiante debe reconocer este hecho y saberlo expresar a través oportunas situaciones: debe tener la sensación que el conocimiento adquirido influencia su competencia que resulta útil y evaluable.
• ¿Qué sucede en el proceso, cómo viene analizado antes y registrado después el nivel de calidad de la evolución cognitiva? De este punto se ocupa el “control”. El control interviene, incluso si parece paradójico, en vía preliminar, en el momento de proyectar el currículo o, por lo menos, la parte específica del proyecto de la evaluación; pero está siempre presente para alcanzar una re-proyectación constante, para articular formas de regulación y de autorregulación. Precisamente estas son las características que determinan un sistema abierto respecto a uno cerrado. Esto implica una actividad de tipo diverso de las pruebas de evaluación “usuales”, recurriendo a la formulación de conjeturas, su verifica y su defensa, al análisis del dominio de situaciones diversas que caen bajo el mismo conocimiento, a la redacción de textos, diseños, gráficos,.. Pero ¿cómo reconocer si las técnicas de control (entendido en este sentido) son adecuadas? Podemos decir que un control es adecuado sí ese mismo produce informaciones adecuadas para ser usadas a fin de mejorar las competencias de cada uno de los estudiantes y el proceso individual de construcción de conocimiento.
• La investigación actual sobre la evaluación, reflejando una dirección general que podemos pensar común a toda la didáctica de la matemática, está dando mucha importancia a la motivación y a los aspectos afectivos. Sobre estos aspectos debemos centrarnos, para ayudar al estudiante a crecer también en el gusto de tomar decisiones. Por ejemplo, si el estudiante hace preguntas sobre el procedimiento que debe seguir en una actividad, es contraproducente, desde este punto de vista, sugerir como proseguir; por el contrario, es aún más productivo motivar, responder con otra pregunta que lleve a reflexionar sobre la situación, sugerir un análisis, una analogía, una estrategia que el estudiante no había visto o pensado; es inútil dar indicaciones que aumenten el nivel de la propuesta, dirigiéndola a un nivel mayor (de un ejemplo a la generalización; de un ejercicio a la comparación estructural; de la defensa de una conjetura a la demostración; sólo para dar algún ejemplo concreto). Siempre en este ámbito, queremos subrayar la importancia que tiene el hecho que el estudiante entienda que el docente decidió aceptar su situación personal, ya sea en términos de elecciones, ya sea en lo que respecta una eventual condición de objetiva diversidad.
• Una moderna idea de evaluación, que tenga en cuenta de los resultados de la investigación, debe plantearse el problema de la formación. De una parte, la formación de los estudiantes sobre el tema: explicitar las problemática, hacerlas evidentes y contribuir a hacer sí que incluso la evaluación sea elemento vivo y presente en la vida de aula. Por otra parte, no siempre obvio en la formación inicial o en servicio de los docentes.
• Una moderna idea de evaluación, que se proponga como innovadora, no puede prescindir de la exigencia que esta sea coherente y ecuánime, de forma tal, que se gane la confianza de todos, de los estudiantes, de sus familias, de los docentes, de la noosfera. La coherencia más compleja de obtener parece ser aquella entre lo que se hace en matemática y cómo este hacer viene evaluado; este punto debería ser desarrollado dando valoraciones explícitas. En cuanto a la equidad, esto implica que cada estudiante deba sentirse parte no sólo del proceso de enseñanza - aprendizaje, sino también del proceso de evaluación. La coherencia implica un desarrollo eficaz, el reconocimiento de valores diversos, la profesionalidad del docente. Por último, es importante que todos tengan confianza en el proceso de evaluación, porque este pueda ser reconocido como el producto externo en el cual se configura la ética de las intenciones didácticas.
Es en todo esto que se reconoce un tentativo de fundar una moderna visión de la evaluación sobre la base de los actuales resultados; lejos de ser, como podría pensarse, sólo un conjunto de palabras vacías, lo descrito hasta aquí es, por el contrario, un instrumento preciso y concreto que aporta un fundamento nuevo, riguroso y ágil, a la profesionalidad del docente.
1.5. Intervenir y evaluar la especificidad de un fracaso
Como ya lo habíamos dicho, seguirán los cinco capítulos del 2 al 6, en cada uno de los cuales se presenta uno de los cinco componentes del aprendizaje de la matemática; en cada uno de ellos, se harán propuestas de actividades centradas en la evaluación específica.
¿Por qué? Porque el fracaso de un estudiante en matemática puede ser, en más: la mayor parte de las veces lo es, específico. Es un hecho conocido y confirmado por muchos docentes.
Un estudiante pudo haber construido en concepto auspiciado, pero no sabe usarlo para realizar un algoritmo, o para revolver un problema; no lo sabe comunicar o sólo aprendió a representarlo semióticamente.
Otro estudiante pudo no haber construido el concepto deseado, sin embargo sabe operar algorítmicamente sobre aspectos relacionados con este concepto; por ejemplo, el estudiante de la escuela media no ha entendido el sentido conceptual de la proporción
Ahora que el sentido de lo que aquí proponemos ha sido clarificado, podemos ir un poco más rápido, con ejemplos aún más específicos, formulados de forma mucho más cercana a la cotidianidad: estudiantes que saben transformar semióticamente ecuaciones, pero que no saben conceptualmente que están haciendo; estudiantes que... La lista podría continuar, con ejemplos fácilmente evidenciados a cualquier nivel escolástico.
Esta es la respuesta a la pregunta: el análisis detallado de cada una de las componentes no es y no pretende ser la declaración falsa e ingenua que estos aprendizajes actúan de forma separada; este análisis es sólo un proyecto discursivo por comodidad para ayudar en la evaluación específica, en la recuperación, actuando directamente sobre las causas y no sobre los errores.
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